人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)課件-多邊形的內(nèi)角和

多邊形及其內(nèi)角和11.3.2多邊形的內(nèi)角和人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)多邊形及其內(nèi)角和11.3.2多邊形的內(nèi)角和人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)【思考】你知道正六邊形的內(nèi)角和是多少嗎？導(dǎo)入新知1.能通過(guò)不同方法探索多邊形的內(nèi)角和與外角和公式.2.能運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式與外角和公式解決問(wèn)題.素養(yǎng)目標(biāo)你知道長(zhǎng)方形和正方形的內(nèi)角和是多少度？

三角形內(nèi)角和是多少度？三角形內(nèi)角和是180°.都是360°.猜想任意四邊形的內(nèi)角和是多少度？

多邊形的內(nèi)角和探究新知知識(shí)點(diǎn)1問(wèn)題1：?jiǎn)栴}2：?jiǎn)栴}3：猜想：四邊形ABCD的內(nèi)角和是360°.你能用以前學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明一下你的結(jié)論嗎？解法一：如圖，連接AC，所以四邊形被分為兩個(gè)三角形，所以四邊形ABCD內(nèi)角和為180°×2=360°.ABCD探究新知猜想與證明問(wèn)題4：解法二：如圖，在BC邊上任取一點(diǎn)E，連接AE，DE，所以該四邊形被分成三個(gè)三角形，所以四邊形ABCD的內(nèi)角和為

180°×3–(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3–180°=360°.ABCDE探究新知解法三：如圖，在四邊形ABCD內(nèi)部取一點(diǎn)E，連接AE，BE，CE，DE，把四邊形分成四個(gè)三角形：△ABE，△ADE，△CDE，△CBE.所以四邊形ABCD內(nèi)角和為：180°×4–(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)=180°×4–360°=360°.ABCDE探究新知ABCDP解法四：如圖，在四邊形外任取一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC、PD將四邊形變成有一個(gè)公共頂點(diǎn)的四個(gè)三角形.所以四邊形ABCD內(nèi)角和為180°×3–180°=360°.這四種方法都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，把四邊形分割成三角形，轉(zhuǎn)化到已經(jīng)學(xué)了的三角形內(nèi)角和求解.結(jié)論：

四邊形的內(nèi)角和為360°.探究新知例1

如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角有什么關(guān)系？試說(shuō)明理由.解：如圖，四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°.∠A+∠B+∠C+∠D=(4–2)×180°=360°，因?yàn)椤螧＋∠D=360°–（∠A＋∠C）=360°–

180°=180°.所以ABCD如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角也互補(bǔ).素養(yǎng)考點(diǎn)1運(yùn)用四邊形內(nèi)角和定理進(jìn)行證明或計(jì)算探究新知如圖，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度數(shù)．鞏固練習(xí)解：連接BE.∵∠DOB＝∠C＋∠D，∠DOB＝∠CBE＋∠DEB，∴∠C＋∠D＝∠CBE＋∠DEB，∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＝∠A＋∠ABC＋∠CBE＋∠DEB＋∠DEF＋∠F＝∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F.∵在四邊形ABEF中，∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F＝(4–2)×180°＝360°，∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＝360°.ACDEBABCDEF你能仿照求四邊形內(nèi)角和的方法，選一種方法求五邊形和六邊形內(nèi)角和嗎?內(nèi)角和為180°×3=540°.內(nèi)角和為180°×4=720°.探究新知問(wèn)題5：n邊形六邊形五邊形四邊形三角形多邊形內(nèi)角和分割出三角形的個(gè)數(shù)從多邊形的一頂點(diǎn)引出的對(duì)角線條數(shù)圖形邊數(shù)······0n–31231234n–2（n–2）·180o1×180o=180o2×180o=360o

3×180o=540o4×180o=720o························由特殊到一般

探究新知分割多邊形三角形分割點(diǎn)與多邊形的位置關(guān)系頂點(diǎn)邊上內(nèi)部外部轉(zhuǎn)化思想多邊形的內(nèi)角和公式n邊形內(nèi)角和等于(n–2)×180°.注意：①n邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的增加而增加，每增加一條邊其內(nèi)角和增加180°.②多邊形的內(nèi)角和是180°的整倍數(shù).探究新知

歸納總結(jié)例2一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比四邊形的內(nèi)角和多720°，并且這個(gè)多邊形的各內(nèi)角都相等，這個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角是多少度？解：設(shè)這個(gè)多邊形邊數(shù)為n，則

（n–2）?180=360+720，解得n=8，∵這個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，

（8–2）×180°=1080°，∴它每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為1080°÷8=135°．素養(yǎng)考點(diǎn)2利用多邊形內(nèi)角和公式求角度或邊數(shù)探究新知

根據(jù)多邊形的內(nèi)角和完成下列題目.(1)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是(

)A．4條B．5條C．6條D．7條(2)若一個(gè)多邊形的邊數(shù)為8條，則這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是(

)A．900°B．540°C．1080°D．360°(3)若一個(gè)多邊形增加一條邊，那么它的內(nèi)角和(

)A．增加180°B．增加360°C．減少360°D．不變CCA鞏固練習(xí)例3已知n邊形的內(nèi)角和θ=（n–2）×180°．（1）甲同學(xué)說(shuō)，θ能取360°；而乙同學(xué)說(shuō)，θ也能取630°．甲、乙的說(shuō)法對(duì)嗎？若對(duì)，求出邊數(shù)n．若不對(duì)，說(shuō)明理由；解：∵360°÷180°=2，

630°÷180°=3......90°，∴甲的說(shuō)法對(duì)，乙的說(shuō)法不對(duì)，

360°÷180°+2=4．故甲同學(xué)說(shuō)的邊數(shù)n是4；探究新知（2）若n邊形變?yōu)椋╪+x）邊形，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了360°，用列方程的方法確定x．解：依題意有（n+x–2）×180°–（n–2）×180°=360°，解得x=2．故x的值是2．探究新知如圖，在五邊形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度數(shù)．分析：根據(jù)五邊形的內(nèi)角和等于540°，由∠C，∠D，∠E的度數(shù)可求∠EAB+∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義可得∠PAB與∠PBA的角度和，進(jìn)一步求得∠P的度數(shù)．鞏固練習(xí)解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，∴∠EAB+∠ABC=540°–∠C–∠D–∠E=230°.∵AP平分∠EAB，∴∠PAB＝∠EAB，同理可得∠ABP＝∠ABC，∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，∴∠P=180°–∠PAB–∠PBA=180°?(∠EAB+∠ABC)=180°?×230°=65°．鞏固練習(xí)241324132413241324132413241324132413241324132413用形狀、大小完全相同的任意四邊形可拼成一塊無(wú)空隙的地板，你知道這是為什么嗎？

探究新知多邊形的外角和如圖，在五邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做五邊形的外角和．任意一個(gè)外角和它相鄰的內(nèi)角有什么關(guān)系？五個(gè)外角加上它們分別相鄰的五個(gè)內(nèi)角和是多少？EBCD123

45A互補(bǔ)5×180°=900°知識(shí)點(diǎn)2探究新知EBCD123

45A五邊形外角和=360°=5個(gè)平角–五邊形內(nèi)角和=5×180°–(5–2)×180°結(jié)論：五邊形的外角和等于360°.這五個(gè)平角和與五邊形的內(nèi)角和、外角和有什么關(guān)系？探究新知在n邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做n邊形的外角和．n邊形外角和n邊形的外角和等于360°.–(n–2)×180°=360°=n個(gè)平角–n邊形內(nèi)角和=n×180°AnA2A3A4123

4nA1【思考】n邊形的外角和又是多少呢？與邊數(shù)無(wú)關(guān)探究新知回想正多邊形的性質(zhì)，你知道正多邊形的每個(gè)內(nèi)角是多少度嗎？每個(gè)外角呢？為什么？每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是每個(gè)外角的度數(shù)是練一練：(1)若一個(gè)正多邊形的內(nèi)角是120°，那么這是正____邊形.(2)已知多邊形的每個(gè)外角都是45°，則這個(gè)多邊形是______邊形.六正八探究新知例1

已知一個(gè)多邊形，它的內(nèi)角和等于外角和的2倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n.∵它的內(nèi)角和等于(n–2)?180°，多邊形外角和等于360°，∴(n–2)?180°=2×360o.解得

n=6.∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為6.素養(yǎng)考點(diǎn)3多邊形的內(nèi)角和公式和外角和公式的綜合應(yīng)用探究新知例2

已知一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角與外角的比都是7:2，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).解法一：設(shè)這個(gè)多邊形的內(nèi)角為7x°，外角為2x°，根據(jù)題意得7x+2x=180，解得x=20.即每個(gè)內(nèi)角是140°，每個(gè)外角是40°.360°÷40°=9.答：這個(gè)多邊形是九邊形.還有其他解法嗎？探究新知解法二：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n

，根據(jù)題意得解得n=9.答：這個(gè)多邊形是九邊形.探究新知

如圖，在正五邊形ABCDE中，連接BE，求∠BED的度數(shù)．解：由題意得AB=AE，所以∠AEB=(180°–∠A)=36°，所以∠BED=∠AED–∠AEB=108°–36°=72°.鞏固練習(xí)1.已知正多邊形的一個(gè)外角等于40°，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（）A．6

B．7

C．8

D．9解析：正多邊形的一個(gè)外角等于40°，且外角和為360°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是：360°÷40°=9．D鏈接中考2.若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是其外角和的3倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是_____．解析：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得

（n–2）?180=3×360，解得n=8．則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是8．8鏈接中考1.判斷．(1)當(dāng)多邊形邊數(shù)增加時(shí)，它的內(nèi)角和也隨著增加.（）(2)當(dāng)多邊形邊數(shù)增加時(shí)，它的外角和也隨著增加.（）(3)三角形的外角和與八邊形的外角和相等.（）2.一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都是36°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是

．基礎(chǔ)鞏固題10課堂檢測(cè)3.如圖所示，小華從點(diǎn)A出發(fā)，沿直線前進(jìn)10米后左轉(zhuǎn)24°，再沿直線前進(jìn)10米，又向左轉(zhuǎn)24°，…，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地點(diǎn)A時(shí)，走的路程一共是________米．150課堂檢測(cè)4.一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)可引對(duì)角線3條，這個(gè)多邊形內(nèi)角和等于（）A.360°B.540°C.720°D.900°B課堂檢測(cè)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1800°，截去一個(gè)角后，求得到的多邊形的內(nèi)角和.

能力提升題課堂檢測(cè)如圖，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度數(shù).解：如圖，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五邊形的內(nèi)角和＝540°.89拓廣探索題課堂檢測(cè)多邊形的內(nèi)角和內(nèi)角和計(jì)算公式(n–2)×180°(n≥3的整數(shù)）①邊數(shù)增加1，內(nèi)角和增加180°；②內(nèi)角和是180°的整倍數(shù).外角和多邊形的外角和等于360°特別注意：與邊數(shù)無(wú)關(guān).正多邊形內(nèi)角=，外角=課堂小結(jié)課后作業(yè)作業(yè)內(nèi)容教材作業(yè)從課后習(xí)題中選取自主安排配套練習(xí)冊(cè)練習(xí)相關(guān)知識(shí)內(nèi)容延伸學(xué)習(xí)，授課時(shí)可參考。以下是針對(duì)人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)"多邊形的內(nèi)角和"的完整教案設(shè)計(jì)：#《多邊形的內(nèi)角和》教案**課程名稱**：多邊形的內(nèi)角和**教材版本**：人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)**授課時(shí)長(zhǎng)**：45分鐘**授課對(duì)象**：八年級(jí)學(xué)生##一、教學(xué)目標(biāo)###知識(shí)與技能1.理解多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)過(guò)程。2.掌握多邊形內(nèi)角和公式：$(n-2)\times180^\circ$（$n\geq3$且$n$為整數(shù)）。3.能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的多邊形角度計(jì)算問(wèn)題。###過(guò)程與方法1.通過(guò)類比三角形內(nèi)角和，經(jīng)歷探索多邊形內(nèi)角和公式的過(guò)程，體會(huì)化歸思想。2.通過(guò)動(dòng)手操作（分割多邊形為三角形）培養(yǎng)觀察、分析和邏輯推理能力。###情感態(tài)度與價(jià)值觀1.通過(guò)自主探究和小組合作，培養(yǎng)勇于探索的學(xué)習(xí)精神。2.感受數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。##二、教學(xué)重難點(diǎn)###重點(diǎn)1.多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)與應(yīng)用。2.理解多邊形邊數(shù)與內(nèi)角和的關(guān)系。###難點(diǎn)1.如何引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分割多邊形的方法推導(dǎo)內(nèi)角和公式。2.靈活運(yùn)用公式解決復(fù)雜幾何問(wèn)題。##三、教學(xué)方法講授法、探究法、小組合作法、多媒體輔助教學(xué)法。##四、教學(xué)過(guò)程###（一）導(dǎo)入新課（5分鐘）1.**情境引入**展示生活中的多邊形圖片（如蜂巢、地磚、足球表面），提問(wèn)：

-這些圖形有什么共同特點(diǎn)？

-三角形的內(nèi)角和是多少？四邊形的內(nèi)角和呢？五邊形呢？2.**引發(fā)思考**直接給出四邊形內(nèi)角和為$360^\circ$，引導(dǎo)學(xué)生思考：

-如何驗(yàn)證四邊形內(nèi)角和？

-多邊形邊數(shù)增加時(shí)，內(nèi)角和如何變化？###（二）新課講授（20分鐘）1.**多邊形定義與相關(guān)概念**

-回顧三角形定義，類比得出多邊形定義。

-強(qiáng)調(diào)多邊形的邊、頂點(diǎn)、內(nèi)角、對(duì)角線等概念。

-舉例說(shuō)明凸多邊形與凹多邊形的區(qū)別（結(jié)合圖形）。2.**探索四邊形內(nèi)角和**

-**方法1：測(cè)量法**讓學(xué)生用量角器測(cè)量四邊形四個(gè)內(nèi)角并求和，發(fā)現(xiàn)結(jié)果接近$360^\circ$。

-**方法2：分割法**引導(dǎo)學(xué)生將四邊形分割為三角形（連接對(duì)角線），得出：

$$\text{四邊形內(nèi)角和}=2\times180^\circ=360^\circ$$3.**類比推導(dǎo)多邊形內(nèi)角和公式**

-**五邊形**：讓學(xué)生動(dòng)手畫(huà)五邊形并嘗試分割為三角形，發(fā)現(xiàn)可分割成3個(gè)三角形，內(nèi)角和為：

$$3\times180^\circ=540^\circ$$-**六邊形**：同理，六邊形可分割成4個(gè)三角形，內(nèi)角和為：

$$4\times180^\circ=720^\circ$$-**n邊形**：通過(guò)表格歸納規(guī)律：

|多邊形邊數(shù)|分割三角形個(gè)數(shù)|內(nèi)角和||------------|----------------|-----------------||3|1|$180^\circ$||4|2|$2\times180^\circ$||5|3|$3\times180^\circ$||$\vdots$|$\vdots$|$\vdots$||n|$n-2$|$(n-2)\times180^\circ$|-**總結(jié)公式**：多邊形內(nèi)角和公式為：

$$(n-2)\times180^\circ\quad(n\geq3\text{且}n\text{為整數(shù)})$$4.**公式推導(dǎo)的其他方法**（選講）

-**從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)作對(duì)角線**：分割出$(n-2)$個(gè)三角形。

-**在多邊形內(nèi)部任取一點(diǎn)**：分割出$n$個(gè)三角形，再減去中心周角$360^\circ$。###（三）例題講解（15分鐘）**例1**：求八邊形的內(nèi)角和。**解**：代入公式$(n-2)\times180^\circ$，得：$$(8-2)\times180^\circ=1080^\circ$$**例2**：已知一個(gè)多邊形內(nèi)角和為$1440^\circ$，求它的邊數(shù)。**解**：設(shè)邊數(shù)為$n$，則：$$(n-2)\times180^\circ=1440^\circ\impliesn-2=8\impliesn=10$$**例3**：一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，且為$150^\circ$，求邊數(shù)。**