2025年中考數(shù)學(xué)模擬試題（一輪復(fù)習(xí)專用）-數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用

2025年中考數(shù)學(xué)模擬試題（一輪復(fù)習(xí)專用）——數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用一、數(shù)列的綜合應(yīng)用要求：本大題共4小題，每小題滿分10分，共40分。請認(rèn)真閱讀題目，解答完整。1.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S3=27，S4=40，求a5的值。2.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-2，求該數(shù)列的前5項和。二、不等式的綜合應(yīng)用要求：本大題共2小題，每小題滿分15分，共30分。請認(rèn)真閱讀題目，解答完整。3.已知函數(shù)f(x)=2x+1，g(x)=3-x，求不等式f(x)>g(x)的解集。4.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=n^2+2n，且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的最小值。四、不等式組的解法與應(yīng)用要求：本大題共3小題，每小題滿分10分，共30分。請認(rèn)真閱讀題目，解答完整。5.解下列不等式組，并指出解集在數(shù)軸上的表示：（1）$$\begin{cases}2x-3y>6\\x+4y\leq8\end{cases}$$（2）$$\begin{cases}x^2-5x+6\geq0\\x-2<0\end{cases}$$（3）$$\begin{cases}\frac{1}{x+2}+\frac{2}{x-1}>1\\x^2+x-6\neq0\end{cases}$$五、數(shù)列的性質(zhì)與證明要求：本大題共3小題，每小題滿分10分，共30分。請認(rèn)真閱讀題目，解答完整。6.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=3，a4+a6=20，求該數(shù)列的通項公式及前10項的和。7.證明：對于任意的正整數(shù)n，都有1^3+2^3+3^3+...+n^3=(n(n+1)/2)^2。8.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且a1=2，a3=32，求該數(shù)列的公比及前5項的乘積。六、函數(shù)的實際應(yīng)用要求：本大題共2小題，每小題滿分15分，共30分。請認(rèn)真閱讀題目，解答完整。9.某商品的售價為x元，成本為y元，且y與x的關(guān)系為y=0.5x+50。若該商品的利潤率為20%，求該商品的售價。10.設(shè)某城市居民每月用水量為m立方米，水費(fèi)為n元，水費(fèi)與用水量的關(guān)系為n=2m+10（m≥5）。若某居民用水量超過5立方米時，每增加1立方米，水費(fèi)增加0.5元，求該城市居民每月最少需要支付的水費(fèi)。本次試卷答案如下：一、數(shù)列的綜合應(yīng)用1.解析：由題意知，S3=a1+a2+a3=27，S4=a1+a2+a3+a4=40。因此，a4=S4-S3=40-27=13。由于{an}是等差數(shù)列，所以d=a4-a3=13-27/3=13-9=4。又因為a3=S3-S2，所以a2=S2-S1，從而a1=S1。由于S3=27，可得a1=27-a2-a3=27-(27/3)-13=27-9-13=5。所以a5=a1+4d=5+4*4=5+16=21。答案：a5=21。2.解析：數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-2，所以前5項分別為a1=1，a2=4，a3=7，a4=10，a5=13。因此，前5項和S5=a1+a2+a3+a4+a5=1+4+7+10+13=35。答案：S5=35。二、不等式的綜合應(yīng)用3.解析：不等式f(x)>g(x)可化為2x+1>3-x，即3x>2，所以x>2/3。解集為{x|x>2/3}。答案：解集為{x|x>2/3}。4.解析：數(shù)列{an}的通項公式為an=n^2+2n，由于n^2和2n都是關(guān)于n的二次函數(shù)，且開口向上，所以數(shù)列{an}是遞增的。當(dāng)n=1時，a1=1+2=3，這是數(shù)列的最小值。答案：最小值為3。四、不等式組的解法與應(yīng)用5.解析：（1）$$\begin{cases}2x-3y>6\\x+4y\leq8\end{cases}$$解第一個不等式得x>(6+3y)/2，解第二個不等式得x≤8-4y。兩個不等式結(jié)合，得(6+3y)/2<x≤8-4y。解集在數(shù)軸上表示為兩個不等式的交集。（2）$$\begin{cases}x^2-5x+6\geq0\\x-2<0\end{cases}$$解第一個不等式得(x-2)(x-3)≥0，所以x≤2或x≥3。解第二個不等式得x<2。兩個不等式結(jié)合，得x≤2。（3）$$\begin{cases}\frac{1}{x+2}+\frac{2}{x-1}>1\\x^2+x-6\neq0\end{cases}$$解第一個不等式得x>0且x≠3。解第二個不等式得x≠2且x≠-3。結(jié)合兩個不等式，得x>0且x≠2且x≠3。五、數(shù)列的性質(zhì)與證明6.解析：由a4+a6=20，得2a1+8d=20，又因為a1=3，代入得6+8d=20，解得d=2。所以通項公式為an=3+(n-1)*2=2n+1。前10項和S10=10/2*(a1+a10)=5*(3+21)=5*24=120。答案：通項公式為an=2n+1，前10項和為120。7.解析：使用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)n=1時，1^3=1=(1(1+1)/2)^2，等式成立。假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即1^3+2^3+3^3+...+k^3=(k(k+1)/2)^2。當(dāng)n=k+1時，1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3=(k(k+1)/2)^2+(k+1)^3=(k+1)^2*(k/2+k+1)=(k+1)^2*(3k/2+1)=(k+1)^2*(k+2)^2/4=((k+1)(k+2)/2)^2。因此，等式對n=k+1也成立。8.解析：由a1=2，a3=32，得q^2=32/2=16，所以q=±4。當(dāng)q=4時，an=2*4^(n-1)；當(dāng)q=-4時，an=2*(-4)^(n-1)。前5項的乘積分別為2*4*16*64*256和2*(-4)*(-16)*(-64)*(-256)。答案：公比為±4，前5項的乘積分別為2*4*16*64*256和2*(-4)*(-16)*(-64)*(-256)。六、函數(shù)的實際應(yīng)用9.解析：利潤率為20%，即利潤/成本=20%，所以0.2y=x-y。代入y