清華大學(xué)2014至2015學(xué)年第一學(xué)期高等微積分B期末考試試題

清華大學(xué)2014至2015學(xué)年第一學(xué)期高等微積分B期末考試試題清華大學(xué)高等微積分B期末試題（2015年1月9日）及答案

1．

填空題（直接填在橫線上）（4分/小題）1)．廣義積分在

時(shí)收斂，在其它情形發(fā)散。2)．?dāng)⑹鲆恢逻B續(xù)的定義：若，則稱函數(shù)在區(qū)間一致連續(xù)。3）

0

。4）

1

。（注：）2．選擇題（直接填在括號(hào)內(nèi)）(3分/小題)1)．若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，且，，則級(jí)數(shù)的斂散情況是[A]A.

絕對(duì)收斂；B.

條件收斂；C.

可能絕對(duì)收斂也可能條件收斂；D.

可能收斂也可能發(fā)散。2)．若級(jí)數(shù)，的收斂半徑分別為和，且，則的收斂半徑為[A]A.

；

B.

；

C.

；

D.

.3)．下列陳述中，與“數(shù)列不收斂于”等價(jià)的是[D]A.

；

B.

；C.

；

D.

.4)．設(shè)函數(shù)在區(qū)間可積，則函數(shù)在區(qū)間滿足[C]A．有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)；

B．可導(dǎo)，但導(dǎo)函數(shù)不一定連續(xù)；C．連續(xù)，但不一定處處可導(dǎo)；

D．不一定連續(xù)。3．判斷題：指出下列陳述是否正確，并簡(jiǎn)述理由(若正確，給出簡(jiǎn)要證明；若錯(cuò)誤，舉出反例)（5分/小題）。

評(píng)分：結(jié)論3分，理由2分1)．若，則數(shù)列收斂。錯(cuò)誤。例如所以

但數(shù)列發(fā)散。2)．若函數(shù)在區(qū)間可積，則函數(shù)在區(qū)間也可積。正確。因?yàn)樵谌魏我粋€(gè)子區(qū)間上，函數(shù)的振幅都小于或等于函數(shù)在此子區(qū)間上的振幅。3)．若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則

．錯(cuò)誤。例如級(jí)數(shù)

收斂，但

4)．函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂。正確。因?yàn)?，而正?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

收斂。4（12分）．評(píng)分：每問6分（答案4分，證明2分）。1）已知級(jí)數(shù)，都收斂，能否斷定級(jí)數(shù)收斂？若能，證明之；若不能，舉出反例。能。因?yàn)榧?jí)數(shù)，都收斂，所以級(jí)數(shù)收斂，且。記級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列為。因?yàn)槭諗?，所以存在。因?yàn)?，所以存在且，所以存在，?jí)數(shù)收斂。

2）已知級(jí)數(shù)收斂，能否斷定級(jí)數(shù)，都收斂？若能，證明之；若不能，舉出反例。不能。例如級(jí)數(shù)收斂，但，發(fā)散。5（12分）．求級(jí)數(shù)的收斂域及其和函數(shù)。解

，所以收斂半徑……………….2在端點(diǎn)上，收斂,……………..1

收斂，…………..1

所以收斂域?yàn)?。記，則當(dāng)時(shí)，。。，?！?.6

由連續(xù)性，..................................................................16（10分）．設(shè)函數(shù)

以為周期，在區(qū)間可積，，

是的Fourier系數(shù)，求函數(shù)（是常數(shù)）的Fourier系數(shù)。解

，?！?

記函數(shù)的Fourier系數(shù)為，則，…….3變量置換：。因?yàn)槎家詾橹芷?，所?/p>

………………..3同理

………………..37（10分）．設(shè)，討論廣義積分的斂散性，其中是自然數(shù)。解

當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散。..3

若，，廣義積分發(fā)散，從而廣義積分發(fā)散?！?

若，則函數(shù)沒有奇點(diǎn),收斂當(dāng)且僅當(dāng)收斂。……………..3

總之，當(dāng)且時(shí)廣義積分收斂，其他情形發(fā)散?！?……….18（8分）．（二選一）1）

設(shè)不是的整數(shù)倍，證明數(shù)列發(fā)散。證明

因?yàn)?/p>

所以

假設(shè)數(shù)列收斂，記

則

展開：

所以數(shù)列也收斂。

記

則

即

再將展開：

兩邊取極限：

即

從而有

代入（1），在恒等式

兩邊取極限：

矛盾！2）

設(shè)（n=1，2，…），證明級(jí)數(shù)收斂的充要條件是數(shù)列{}收斂。證明

由遞推公式易知，，。…………11）

設(shè)數(shù)列收斂，則。因?yàn)?，所以?jí)數(shù)與同斂散。故我們只要證明收斂。，所以前項(xiàng)和