同步練習：橢圓2

PAGE1/12.1橢圓一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設是橢圓上的點.若是橢圓的兩個焦點，則等于（）A.4 B.5 C.8 D.102.如果表示焦點在軸上的橢圓，那么實數的取值范圍是（）A.B.C.D.3.如果橢圓上一點M到此橢圓一個焦點的距離為2,N是的中點，O是坐標原點，則ON的長為（）A.2B.4C.8D.4.已知橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點.現有一水平放置的橢圓形臺球盤，其長軸長為2a，焦距為2c，若點A，B是它的焦點，當靜放在點A的小球（不計大?。?，從點A沿直線出發(fā)，經橢圓壁反彈后再回到點A時，小球經過的路程是（A.4a B.2(a－c) C.2(a＋c) D.不能惟一確定5.橢圓上一點與兩焦點組成一個直角三角形，則點到軸的距離是（）A.B.C.D.或6.如圖所示，“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點第三次變軌進入以F為圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用和分別表示橢圓軌道I和Ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道I和Ⅱ的長軸的長，給出下列式子：①②③④其中正確式子的序號是A.①③B.②③C.①④D.②④7.若橢圓過點，則其焦距為（）A. B. C. D.8.用一個與圓柱母線成角的平面截圓柱，截口是一個橢圓，則此橢圓的離心率是（）A.B.C.D.9.設橢圓的兩個焦點分別為F1、、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（）A.B.C.D.10.已知直線L交橢圓于M、N兩點，橢圓于y軸的正半軸交于點B，若的重心恰好落在橢圓的右焦點上，則直線L的方程是（）A.B.C.D.11.設橢圓和軸正方向交點為A，和軸正方向的交點為B，Ｐ為第一象限內橢圓上的點，使四邊形OAPB面積最大（Ｏ為原點），那么四邊形OAPB面積最大值為（）A.B.C.D.12.如圖,函數的圖象是中心在原點,焦點在軸上12題圖的橢圓的兩段弧,則不等式的解集為（）12題圖A.B.C.D.二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中的橫線上）13.橢圓的離心率為，則的值為______________.14.已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于A、B兩點，若，則=___________.15.橢圓的焦點、，點為其上的動點，當∠為鈍角時，點橫坐標的取值范圍是.16題圖16.某海域內有一孤島，島四周的海平面（視為平面）上有一淺水區(qū)（含邊界），其邊界是長軸長為2a，短軸長為2b的橢圓，已知島上甲、乙導航燈的海拔高度分別為h1、h2，且兩個導航燈在海平面上的投影恰好落在橢圓的兩個焦點上，現有船只經過該海域（船只的大小忽略不計），在船上測得甲、乙導航燈的仰角分別為，那么船只已進入該淺水區(qū)的判別條件是.16題圖三、解答題（本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.（本題滿分12分）在直角坐標系中，點到兩點的距離之和為4，設點的軌跡為,直線與交于兩點。（Ⅰ）寫出的方程;（Ⅱ）若，求的值。18.（本題滿分12分）為何值時，直線和橢圓有兩個公共點？有一個公共點？沒有公共點？19.（本題滿分12分）設橢圓的左右焦點分別為，離心率，點到右準線為的距離為（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設是上的兩個動點，，證明：當取最小值時，

20.（本題滿分12分）如圖、橢圓的一個焦點是F（1，0），O為坐標原點.（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，求橢圓的方程；（Ⅱ）設過點F的直線l交橢圓于A、B兩點。若直線l繞點F任意轉動，都有，求a的取值范圍.21.（本小題滿分12分）設橢圓中心在坐標原點，是它的兩個頂點，直線與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求四邊形面積的最大值.22.（本小題滿分14分）設橢圓過點，且著焦點為（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）當過點的動直線與橢圓相交與兩不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.D解：由橢圓的第一定義知，故選D。OMN2.D解：焦點在軸上，則，故選D。OMN3.C解：設為橢圓的右焦點，連接（如圖）∵N是的中點，O是，OAMBN∴，故選C。OAMBN4.D解：當球從點A出發(fā)經橢圓壁點反彈后再回到點A時，小球經過的路程是；當球從點A出發(fā)經橢圓壁點反彈后再回到點A時，小球經過的路程是；當球從點A出發(fā)經橢圓壁上點M反彈后穿過點B到N點再反彈回到點A時，小球經過的路程是。故選D。5.D解：當或時點到軸的距離是，當時點到軸的距離是，故選D。6.B解：由焦點到頂點的距離可知②正確，由橢圓的離心率知③正確，故選B.7.C解：把點代入得：，∴，∴，∴其焦距，故選C。OP8.B解：設圓柱底面半徑為R，則，，OP∴，∴，故選B。9.D解：設橢圓方程為，把代入橢圓方程得：，∴，又，∴，∴，解得，故選D。10.D解：設M、N的坐標分別為、，點B坐標為，橢圓右焦點為，∵的重心恰好落在橢圓的右焦點上，∴，∴MN的中點坐標為，又點、在橢圓上，∴，，兩式相減得：ABOP∴直線ABOP∴直線MN的方程為，即，故選D。11.B解：的面積為，四邊形OAPB的面積大于的面積而小于的面積的2倍，故選B。12.A解：由圖知為奇函數，∴，故選A。二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中的橫線上）13.解：當時，；當時，14.8解：依題直線過橢圓的左焦點,在中，，又，∴15.可以證明且而，則即16.解：。三、解答題（本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.解:（Ⅰ）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以為焦點，長半軸為2的橢圓.它的短半軸，故曲線C的方程為.（Ⅱ）設，其坐標滿足消去y并整理得，故.若，即.而，于是，化簡得，所以.18.解：由，得，即當，即時，直線和曲線有兩個公共點；當，即時，直線和曲線有一個公共點；當，即時，直線和曲線沒有公共點19.解：因為，到的距離，所以由題設得解得由，得（Ⅱ）由得，的方程為故可設由知知得，所以當且僅當時，上式取等號，此時所以，20.解：(Ⅰ)設M，N為短軸的兩個三等分點，因為△MNF為正三角形，所以,，因此，橢圓方程為(Ⅱ)設(ⅰ)當直線AB與x軸重合時，(ⅱ)當直線AB不與x軸重合時，設直線AB的方程為：整理得所以因為恒有，所以AOB恒為鈍角.即恒成立.又，所以對恒成立，即對恒成立，當時，最小值為0，所以，,，即,解得或(舍去)，即,綜合（i）(ii)，a的取值范圍為.21.解（Ⅰ）：依題設得橢圓的方程為，直線的方程分別為，.如圖，設，其中，DFByxADFByxAOE故.①由知，得；由在上知，得.所以，化簡得，解得或.（Ⅱ）解法一：根據點到直線的距離公式和①式知，點到的距離分別為，.又，所以四邊形的面積為，當，即當時，上式取等號.所以的最大值為.解法二：由題設，，.設，，由①得，，故四邊形的面積為，當時，上式取等號.所以的最大值為.22.解：（Ⅰ）由題意：，解得，所求橢圓方程為（Ⅱ）方法一：設點Q、A、B的坐標分別為。由題設知均不為零，記,則且又A，P，B，Q四點共線，從而于是，，從而，（1），（2）又點A、B在橢圓C上，即