2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)課后訓(xùn)練案鞏固提升含解析新人教A版選修1-1

PAGEPAGE12.1.2橢圓的簡潔幾何性質(zhì)課后訓(xùn)練案鞏固提升一、A組1.若點P(m,n)在橢圓x29+y2=1上,則實數(shù)m的取值范圍是(A.[-6,6] B.[-3,3]C.[-2,2] D.[-1,1]解析:橢圓焦點在x軸上,且a=3,所以-3≤m≤3.答案:B2.已知橢圓的方程為2x2+3y2=m(m>0),則此橢圓的離心率為()A.13 B.33 C.22解析:因為2x2+3y2=m(m>0)?x2m2+y2m3=1,所以c2=m2-答案:B3.已知橢圓中心在原點,一個焦點為(-3,0),且長軸長是短軸長的2倍,則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.x24+y2=1 B.x2+yC.x23+y2=1 D.x2+y解析:∵一個焦點為(-3,0),∴焦點在x軸上且c=3.∵長軸長是短軸長的2倍,∴2a=2·2b,即a=2b,∴(2b)2-b2=3.∴b2=1,a2=4,故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=答案:A4.(2024四川成都高二月考)橢圓以兩坐標(biāo)軸為對稱軸,一個頂點是(0,13),另一個頂點是(-10,0),則焦點坐標(biāo)為()A.(±13,0) B.(0,±10)C.(0,±13) D.(0,±69)解析:由題意知橢圓焦點在y軸上,且a=13,b=10,則c=a2-b2=答案:D5.曲線x225+y29=1與曲線xA.長軸長相等 B.短軸長相等C.離心率相等 D.焦距相等解析:由于k<9,所以兩個方程均表示焦點在x軸上的橢圓,且c2=25-9=(25-k)-(9-k)=16,所以兩個橢圓的焦距相等,但長軸長、短軸長、離心率不肯定相等.答案:D6.設(shè)F1,F2是橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,P為直線x=3a2上一點,A.12 B.23 C.34解析:由題意得|PF2|=|F1F2|,所以232a-c=2c,所以3a=4c答案:C7.與橢圓y24+x23=1有相同的離心率,且長軸長與解析:橢圓y24+x23=1的離心率為e=1所以ca=12,2a=42,解得a=22,c=2又因為所求橢圓焦點既可在x軸上,也可在y軸上,故方程為x28+y26答案:x28+y28.(2024江蘇南京高二月考)橢圓的一個焦點將長軸長分成3∶2兩部分,則這個橢圓的離心率為.

解析:依題意有(a+c)∶(a-c)=3∶2,所以a=5c,故離心率為e=ca答案:19.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)與橢圓4x2+9y2=36有相同的焦距,且離心率為55(2)長軸長是短軸長的2倍,且過點(2,-4).解:(1)將方程4x2+9y2=36化為x29+y24=1,可得橢圓焦距為2c=25,又因為離心率e=55,即55=5a,所以a=5,從而b2若橢圓焦點在x軸上,則其方程為x225若橢圓焦點在y軸上,則其方程為y225+(2)依題意2a=2·2b,即a=2b.若橢圓焦點在x軸上,設(shè)其方程為x2a2+y所以橢圓方程為x268若橢圓焦點在y軸上,設(shè)其方程為y2a2+x所以橢圓方程為x28+10.已知橢圓x24+y23=1,試問在橢圓上是否存在點M,使得點解:由已知得c2=4-3=1,所以c=1,故F(1,0).假設(shè)在橢圓上存在點M,使得點M到橢圓的右焦點F與到直線x=4的距離相等.設(shè)M(x,y)(-2≤x≤2),則(x-1)2+y2=|x-4|又由x24+y23=1,得y2=31-x24,代入y2=-6x+15,得x但由于-2≤x≤2,所以符合條件的點M不存在.二、B組1.若橢圓的兩個焦點分別為F1(-4,0),F2(4,0),點P在橢圓上,且△PF1F2的最大面積是12,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.x236+y220=C.x225+y29=解析:由題意得c=4,因為點P在橢圓上,且△PF1F2的最大面積為12,所以12×2c×b=12,即bc=12,于是b=3,a=5,故橢圓方程為x225答案:C2.某宇宙飛船的運行軌道是以地球中心為一個焦點的橢圓,近地點A距地面m千米,遠(yuǎn)地點B距離地面n千米,地球半徑為k千米,則飛船運行軌道的短軸長為()A.2(m+kC.mn D.2mn解析:由題意可得a-c=m+k,a+c=n+k,故(a-c)·(a+c)=(m+k)(n+k).即a2-c2=b2=(m+k)(n+k),所以b=(m+k答案:A3.如圖,F1,F2分別是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個焦點,A和B是以O(shè)為圓心,以|OF1|A.32 B.12 C.22 D.解析:連接AF1,由圓的性質(zhì)知,∠F1AF2=90°.因為△F2AB是等邊三角形,所以∠AF2F1=30°,故|AF1|=c,|AF2|=3c,因此e=ca=2答案:D4.(2024河南鄭州高二月考)已知以坐標(biāo)原點為中心的橢圓,一個焦點的坐標(biāo)為F(2,0),給出下列四個條件:①短半軸長為2;②長半軸長為22;③離心率為22;④一個頂點坐標(biāo)為(2,0).其中可求得橢圓方程為x28+y2解析:只需保證a=22,b=2,c=2即可,而橢圓的頂點坐標(biāo)為(0,±2),(±22,0),故①②③可求得橢圓方程為x28+答案:①②③5.若分別過橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點F1,F2所作的兩條相互垂直的直線l解析:設(shè)兩直線的交點為M,令|MF1|=d1,|MF2|=d2.由橢圓的定義,可得d1+d2=2a.∵MF1⊥MF2,∴d12+d2∵(d1+d2)2=d12+d22+2d1d2≤2(d12+d22),當(dāng)且僅當(dāng)∴a≤2c,∴ca≥22,即又e<1,∴22≤e<1答案:26.導(dǎo)學(xué)號59254018已知F1(-c,0),F2(c,0)為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個焦點,解:設(shè)P(x0,y0),則PF1=(-c-x0,-y0),PF2=(c-x0,-y0),所