2024-2025學年山東省青島市青島第五十八中學高一下學期期中數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年山東省青島市青島第五十八中學高一下學期期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足1+z2?i=i(i為虛數(shù)單位A.2i B.?2i C.?2+2i2.已知在?ABC中，AC=4，BC=43，∠A=60°A.60° B.30° C.60°或120° 3.已知直線l,m,n與平面α,β，下列命題正確的是(

)A.若α//β,l?α,n?β，則l//n

B.若m?α,n?β,m//β,n4.已知向量a=(?2,1)，b=32,?2，則bA.(2,?1) B.?25,15.如圖，為了測量河對岸的塔高AB，某測量隊選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D.現(xiàn)測量得∠CDB=120°，CD=30米，在點C，D處測得塔頂A的仰角分別為30°，45°，則塔高AB=A.15米 B.152米 C.30米 D.6.已知?ABC中，BA+BC?A.等邊三角形 B.等腰非等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形7.一個長方體墨水瓶的長、寬、高分別為10cm、8cm、15cm，內(nèi)部裝有400毫升墨水.將墨水瓶傾斜，使其一條長邊(10cm)置于水平地面，高邊(15cm)所在直線與水平地面成45度角，則此時墨水與墨水瓶接觸部分的面積為(

)A.180 B.220 C.260 D.3008.已知球O與正三棱柱ABC?A1B1C1的各個面均相切，記平面ABC1截球O所得截面的面積為S1A.313 B.913 C.101117二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列有關(guān)復(fù)數(shù)的說法中(其中i為虛數(shù)單位)，正確的是(

)A.2+i>1+i

B.復(fù)數(shù)z=3?2i的虛部為2i

C.復(fù)數(shù)z為實數(shù)的充要條件是z=z

D.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=2，則復(fù)數(shù)10.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,?π2<φ<π2的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是(

)

A.φ=?π6

B.ω=2

11.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，O為正方體的中心，M為DD1的中點，F(xiàn)為側(cè)面正方形AA1D1D內(nèi)一動點，且滿足B1F//平面BC1M，則(

)

A.動點F的軌跡是一條線段

B.直線AB1與BC1的夾角為60°

C.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.圓臺上底面半徑為2cm，下底面半徑為4cm，母線AB=8cm，A在上底面上，B在下底面上，從AB中點M拉一條繩子，繞圓臺側(cè)面一周到B點，則繩子最短距離為

cm13.菱形ABCD中，AB=6，∠BAD=60°，CE=2EB，CF=2FD，點M在線段EF上，且AM14.?ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c2=2a2?2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)在?ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知c(1)求角A的大??；(2)若a=2，當?ABC的周長取最大值時，求?ABC16.(本小題15分)如圖，在?ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1，P(1)若PB=13，求(2)若∠APB=135°，求tan∠17.(本小題15分)如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，點E在線段AC上，且E為?BCD的重心，點F在棱A(1)證明：平面A1EG//(2)若AB=AF=3，∠BAD=2π3，求點A18.(本小題17分)已知在平面四邊形BCDE中，EB=BC=CD=2，∠EBC=150°，∠BCD=60°.將?EBD沿BD翻折至?ABD，AC=22(1)求證：AB⊥面BCD(2)求三棱錐A?BCD外接球的半徑；(3)求直線CF與平面ACD所成角的正弦值的取值范圍．19.(本小題17分)已知在平面直角坐標系中，O為坐標原點，定義函數(shù)f(x)=psinx+qcosx的“和諧向量”為非零向量ω=(p,q)，ω(1)已知θ∈R，f(x)=2cosx+cos(x+θ)(2)已知a=b=2，設(shè)OG=λa+μb(λ>(3)已知M(?2,3)，N(2,6)，設(shè)(1)中的“和諧函數(shù)”的模取得最小時的“和諧函數(shù)”為m(x)，g(x)=2mx2，試問在y=g(x)的圖象上是否存在一點Q，使得MQ?NQ=0參考答案1.A

2.B

3.D

4.A

5.C

6.A

7.C

8.A

9.CD

10.ABC

11.ABD

12.20

13.7

14.π615.解：(1)因為ccosA2因為sinC≠0，所以cos又因為sinA=2sinA2cos又因為A∈0,π所以A2=π(2)在?ABC中，由余弦定理a得4=(b+c)2?2bc?2bc所以14(b+c)所以周長的最大值為a+b+c=6，此時面積S=1

16.解：(1)由已知得cos∠PBC=所以sin∠PBA=sinπ在?PBA中，由余弦定理得P所以PA=(2)設(shè)∠PBA=α，由已知得PB=BC在?PBA中，由正弦定理得化簡得2cosα=(

17.解：(1)如圖，設(shè)BD交AC于點O，連接FO．因為底面ABCD為菱形，E為?BCD所以EO=1又A1F=1所以A1因為A1E?平面BDF，F(xiàn)O所以A1E//在直四棱柱ABCD?A1B1C又DG=13G所以A1F=DG，所以四邊形A1FDG為平行四邊形，所以因為A1G?平面BDF，F(xiàn)D所以A1G//因為A1G∩所以平面A1EG//(2)如圖，過點A作AN⊥A1E于點N，交因為AA1⊥平面ABCD，BD?平面又ABCD為菱形，所以BD⊥又AO∩AA1=A，AO,AA1又AM?平面AFO，所以BD因為FO∩BD=O，F(xiàn)O,BD?平面BFD，所以AM因為平面A1EG//平面BDF，所以AM所以AN⊥平面A因為AB=AF=3，∠BAD=2π3，所以所以AE=23AC=2所以AN=A故點A到平面A1EG的距離為

18.解：(1)∵BC=CD=2，∠BCD=60又∠EBC=150°，∴∠EBD=90°，即∵AB=BC=2，AC=22又BC，BD?面BCD，BC∩BD=B，∴AB(2)過等邊三角形?BCD的外心O1作直線l⊥設(shè)球心O，連接OA，OB，過點O作OM⊥AB，交AB于設(shè)球O的半徑為R，OO1=?，則(2??)2+(3)由(1)得，AB⊥面BCD，∴而在?BCD中，BF=λBD(0<λ<1)由題意AB⊥BD,AB⊥所以S?設(shè)F到面ACD的距離為d，則VF?ACD∵VF?ACD=VA?FCD在?BFC中，由余弦定理，得C設(shè)CF與平面ACD所成角為θ，則sinθ=∵λ+1λ?1∈

19.解：(1)f(x)=2=?sinθ所以函數(shù)f(x)的“和諧向量”向量ω=ω=因為cosθ∈[?1,1]所以ω的取值范圍為[1,3]；(2)設(shè)a=則OG=λ所以φ(x)=2=2λcos=2λsin≤2λ+2μ，此時存在x0，滿足x0+α=π2所以α?β=2k1?k2所以φ(x)的最大值S=2λ+2μ，所