廣東省六校2025屆高三下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)廣東省六校2025屆高三下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x2<4}，B={x|0≤x≤3}，則A∪B=A.[0,2] B.[0,2) C.[0,3] D.(?2,3]2.已知z=21+i，其中i為虛數(shù)單位，則z?(z?1)=A.1+i B.1?i C.?1+i D.?1?i3.雙曲線x2a2?y212=1(a>0)兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，焦距為A.1 B.1或9 C.9 D.34.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n2+kn，則“k≥?2A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件D.充要條件5.已知向量a=(2,?2)，向量b在a上的投影向量c=(?1,1)，則a?A.?4 B.?2 C.0 D.26.已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，函數(shù)Fx=f1+x?1+xA.函數(shù)fx的一個(gè)對(duì)稱中心為2,1 B.f0=?1

C.函數(shù)fx為周期函數(shù)，且一個(gè)周期為7.已知過(guò)點(diǎn)A(a,0)可以作曲線y=(x?1)ex的兩條切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(1,+∞) B.(?∞,?e)∪(2,+∞)

C.(?∞,?2)∪(2,+∞) D.(?∞,?3)∪(1,+∞)8.如圖，ABC?A′B′C′為直三棱柱，用一個(gè)平行于底面ABC的平面α截此三棱柱，記下列三個(gè)三棱錐A′?ABC，A′?BCB′，A′?B′C′C在平面α上方的部位體積為V1，V2，V3，并記三個(gè)三棱錐被平面α截得的面積分別為S1，S2，S3A.13 B.12 C.1 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.某校300名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的考試成績(jī)(單位：分)，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是(

)

A.a的值為0.015

B.估計(jì)這40名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績(jī)的眾數(shù)為75

C.估計(jì)總體中成績(jī)落在[80,90)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為105

D.估計(jì)這40名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績(jī)的第80百分位數(shù)約為8710.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過(guò)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出，反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于x軸的光線l1從點(diǎn)P(m,n)(n2<4m)射入，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)A(x1,yA.點(diǎn)A(x1,y1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線l2上

B.若n=2，PB平分∠ABN，則m=5

C.若n=2，則拋物線上不存在點(diǎn)Q，使得QA⊥QB

D.11.設(shè)有限集合U={a1,a2,a3,?,am}，其中m≥4，m∈A.若集合U={?1,2,5,k}是“可拆等和集”，則k的取值共有6個(gè)

B.若集合U中元素滿足a1=1，a2=2，?n∈N?，an+2=an+1+an，則存在m使得U是“可拆等和集”

C.存在公比為正整數(shù)，且公比不為1的等比數(shù)列{an}三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.圓x2+y2?4x+4y+4=0與圓x13.已知1tanα=1sinα14.已知函數(shù)f(x)和g(x)的定義域分別為D1和D2，若對(duì)任意x0∈D1，恰好存在n個(gè)不同的實(shí)數(shù)x1，x2，?，xn∈D2，使得g(xi)=f(x0)(其中i=1，2，?，n，n∈N?)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，f(x)=(1)若f(x)在[0,π3]上單調(diào)遞增，求(2)若c=1，f(C)=?1，求a+b的最大值．16.(本小題15分)

在四棱錐P?ABCD中，PA⊥AD，PC⊥CB，AB/?/CD，AD=DC=CB=1，AB=PD=2．

(1)證明：二面角P?AD?C為π(2)求平面PAB與平面PCD所成的二面角的余弦值．17.(本小題15分)

設(shè)函數(shù)f(x)=ax2?a?ln?x，其中a∈R．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)確定a的所有可能取值，使得f(x)>1x?18.(本小題17分)已知某盒子里裝有除顏色外完全相同的5個(gè)小球，其中2個(gè)白球，3個(gè)黑球，每輪從盒子中隨機(jī)取出1個(gè)小球，放回盒子中．(1)若有放回地連續(xù)抽取5輪，求5輪取出的白球總數(shù)的數(shù)學(xué)期望;(2)若規(guī)定：取出的是白球，則直接丟棄，若取出的是黑球，則放入盒中．(Ⅰ)求在第1輪取出黑球的條件下，第5輪恰好取出所有白球的概率;(Ⅱ)求第n(n≥2)輪恰好取出所有白球的概率．19.(本小題17分)設(shè)M是由直線構(gòu)成的集合，對(duì)于曲線C，若C上任意一點(diǎn)處的切線均在M中，且M中的任意一條直線都是C上某點(diǎn)處的切線，則稱C為M的包絡(luò)曲線．(1)圓C1:x2+(y?3)2=4(2)已知M2的包絡(luò)曲線為C2:x22+y2=1，設(shè)直線l1，l2∈M2且l(Ⅰ)若兩切線l1，l2的斜率之積為1，求點(diǎn)P(Ⅱ)已知P為坐標(biāo)平面內(nèi)一定點(diǎn)，A為平面上的任意點(diǎn)，向量PA=(x,y)，點(diǎn)A繞著點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角后得到點(diǎn)B，則PB=(xcosθ?ysinθ,xsinθ+ycosθ)，我們稱該過(guò)程為平面上點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，對(duì)平面上的任一點(diǎn)做旋轉(zhuǎn)，則稱其為平面的旋轉(zhuǎn)變換.平面上的某二次曲線能夠通過(guò)旋轉(zhuǎn)變成反比例函數(shù)圖象，我們稱該二次曲線為“反比例曲線”.若(Ⅰ)中的曲線Γ是“反比例曲線”，過(guò)原點(diǎn)O0的直線kx?y=0(0<k<1)與曲線Γ交于點(diǎn)A1，將O0A1繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)至能在曲線Γ的漸近線上找到點(diǎn)O1，點(diǎn)O1滿足|O0A1|=|O1A1|，以此類推，過(guò)點(diǎn)On?1參考答案1.D

2.B

3.C

4.A

5.A

6.C

7.D

8.B

9.ABD

10.BCD

11.ABD

12.213.?414.{a|a≤?1}

15.解：(1)f(x)=當(dāng)x∈0,π3時(shí)，2cx?π所以2cπ3?π可得c的取值范圍為(0,1]．(2)c=1，0<C<π，C是三角形內(nèi)角，?π6<2C?π由余弦定理：c2即1=a2+b2?2abcos2π3=a2+b2

16.(1)證明：在梯形ABCD中，取AB中點(diǎn)M，連接CM，

∵AD=DC=CB=1，AB=PD=2，

∴DC=AM，又DC//AM，

∴四邊形AMCD為平行四邊形，

∴CM=AD=1，CM=12AB=1，

∴△ABC為直角三角形，AC⊥CB，

又PC⊥CB，PC∩AC=C，

PC，AC?平面PAC，

∴BC⊥平面PAC，PA?平面PAC，

∴CB⊥PA，

又∵PA⊥AD，且AD必與BC相交，BC，AD?平面ABCD，

∴PA⊥平面ABCD，PA?平面PAD，

∴平面PAD⊥平面ABCD，∴二面角P?AD?C為π2．

(2)解：過(guò)C作Cz//AP，由(1)知，PA⊥平面ABCD，所以Cz⊥平面ABCD，則CA，CB，Cz兩兩垂直，從而可建立以C為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系C?xyz如圖，

由題意，P(3,0,3)，A(3,0,0)，B(0,1,0)，D(32,?12,0)，

則AB=(?3,1,0)，AP=(0,0,3)，CD=(32,?12,0)，CP=(3,0,3)，

設(shè)n1=(x,y,z)是平面PAB的一個(gè)法向量，

則17.解：(1)由題意，f′(x)=2ax?1x=2ax2?1x，x>0，

①當(dāng)a≤0時(shí)，2ax2?1<0，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減．

②當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)=2a(x+12a)(x?12a)x，

當(dāng)x∈(0,12a)時(shí)，f′(x)<0，

當(dāng)x∈(12a,+∞)時(shí)，f′(x)>0，

即f(x)在(0,12a)上單調(diào)遞減，在(12a,+∞)上單調(diào)遞增．

綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(0,12a)上單調(diào)遞減，在(12a,+∞)上單調(diào)遞增．

(2)原不等式等價(jià)于f(x)?1x+e1?x>0在x∈(1,+∞)上恒成立，

令g(x)=f(x)?1x+e1?x=ax2?lnx?1x+e1?x?a，

只需g(x)在x∈(1,+∞)上恒大于0即可，

又∵g(1)=0，故g′(x)在x=1處必大于等于0；

g′(x)=2ax?1x+18.解：(1)由題意，每輪取出的白球概率為25，

5輪取出的白球總數(shù)X∽B(5,25)，

則E(X)=5×25=2．

(2)記Ai=“第i輪取出白球，Bi=“第i輪取出黑球”(i∈N?)，

(Ⅰ)記C=“在第1輪取出黑球的條件下，第5輪恰好取出所有白球”，

則P(C)=P(A2B3B4A5∪B2A3B4A5∪B2B3A4A5|B1)

=25×34×34×14+19.解：(1)由題可得，直線族mx+ny=1(m,n∈R)為圓C1的切線，

故圓心C1(0,3)到mx+ny=1的距離d=|m?0+n?3?1|m2+n2=2，

所以m，n滿足5n2?4m2?6n+1=0．

(2)(I)設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)，設(shè)過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為y?y0=k(x?x0)，即y=kx+(y0?kx0)，

聯(lián)立x2+2y2=2y=kx+(y0?kx0)得(