以波利亞怎樣解題表為鑰開啟初中生解題能力提升之門

以波利亞“怎樣解題表”為鑰，開啟初中生解題能力提升之門一、引言1.1研究背景與意義在初中數(shù)學(xué)教育中，解題能力的培養(yǎng)始終占據(jù)著核心地位。數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)其他科學(xué)知識的重要工具，更是鍛煉學(xué)生邏輯思維、分析問題和解決問題能力的關(guān)鍵途徑。而解題能力作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的綜合體現(xiàn)，不僅反映了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握程度，更關(guān)乎他們在未來學(xué)習(xí)和生活中運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解決實(shí)際問題的能力。當(dāng)前，初中數(shù)學(xué)教學(xué)面臨著諸多挑戰(zhàn)。一方面，隨著課程改革的不斷深入，數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容和難度都有所調(diào)整，更加注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和實(shí)踐能力，這對學(xué)生的解題能力提出了更高的要求。另一方面，在實(shí)際教學(xué)中，許多學(xué)生在解題時常常感到困惑和無助，缺乏有效的解題方法和策略。他們往往機(jī)械地記憶公式和定理，而不能靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決各種類型的數(shù)學(xué)問題。這不僅影響了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績，也阻礙了他們數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。波利亞的“怎樣解題表”為解決上述問題提供了一個有效的方法和框架。喬治?波利亞（GeorgePolya）是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、教育家，他在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的貢獻(xiàn)影響深遠(yuǎn)。他通過對數(shù)學(xué)解題過程的深入研究和分析，總結(jié)出了一套具有普遍指導(dǎo)意義的解題理論和方法，即“怎樣解題表”。該表將解題過程分為四個步驟：弄清問題、擬訂計劃、實(shí)現(xiàn)計劃和回顧。這四個步驟不僅為學(xué)生提供了一個清晰、有序的解題思路，更強(qiáng)調(diào)了在解題過程中思考和探索的重要性。通過引導(dǎo)學(xué)生按照這四個步驟進(jìn)行解題，能夠幫助他們更好地理解問題的本質(zhì)，找到解題的突破口，從而提高解題能力。本研究具有重要的理論和實(shí)踐意義。在理論方面，進(jìn)一步豐富和完善了初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的理論體系，為數(shù)學(xué)教育工作者深入理解波利亞的解題思想提供了新的視角和思路。通過對“怎樣解題表”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究，有助于揭示數(shù)學(xué)解題的內(nèi)在規(guī)律和機(jī)制，為數(shù)學(xué)教育理論的發(fā)展提供實(shí)證支持。在實(shí)踐方面，對初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐具有重要的指導(dǎo)作用。教師可以根據(jù)“怎樣解題表”的步驟和方法，設(shè)計更加科學(xué)、有效的教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生掌握正確的解題方法和策略，提高解題能力。同時，學(xué)生通過學(xué)習(xí)和運(yùn)用“怎樣解題表”，能夠?qū)W會如何分析問題、思考問題和解決問題，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新思維能力，為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和終身發(fā)展奠定堅實(shí)的基礎(chǔ)。此外，本研究的成果還可以為數(shù)學(xué)教材編寫、教學(xué)評價等提供參考和借鑒，推動初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)質(zhì)量的整體提升。1.2研究目的與方法本研究旨在深入探究波利亞“怎樣解題表”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，具體目的如下：其一，通過實(shí)踐研究，驗(yàn)證“怎樣解題表”對提高初中生數(shù)學(xué)解題能力的有效性。詳細(xì)分析學(xué)生在應(yīng)用“怎樣解題表”前后，解題的準(zhǔn)確性、速度、思維靈活性等方面是否有顯著提升。其二，剖析“怎樣解題表”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用策略，為教師提供可操作性的教學(xué)方法和建議。深入研究教師如何引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“怎樣解題表”，如何根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行有針對性的指導(dǎo)，以及如何將“怎樣解題表”融入日常教學(xué)中。其三，揭示“怎樣解題表”對培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)思維能力和自主學(xué)習(xí)能力的作用機(jī)制。探究“怎樣解題表”如何影響學(xué)生的邏輯思維、創(chuàng)新思維和批判性思維的發(fā)展，以及如何激發(fā)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)興趣和能力。為實(shí)現(xiàn)上述研究目的，本研究采用了以下研究方法：一是文獻(xiàn)研究法，廣泛查閱國內(nèi)外關(guān)于波利亞“怎樣解題表”以及初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的相關(guān)文獻(xiàn)，梳理已有研究成果，明確研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢，為研究提供堅實(shí)的理論基礎(chǔ)。深入分析波利亞的解題思想、“怎樣解題表”的內(nèi)涵和特點(diǎn)，以及前人在應(yīng)用“怎樣解題表”方面的成功經(jīng)驗(yàn)和存在的問題，為本研究的開展提供理論支持和實(shí)踐參考。二是案例分析法，選取初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的典型例題和學(xué)生的實(shí)際解題案例，運(yùn)用“怎樣解題表”進(jìn)行詳細(xì)分析。深入剖析學(xué)生在解題過程中的思維過程和遇到的問題，探究“怎樣解題表”在實(shí)際應(yīng)用中的具體步驟和方法，以及對學(xué)生解題能力的提升效果。通過對多個案例的分析，總結(jié)出具有普遍性和代表性的結(jié)論，為教學(xué)實(shí)踐提供具體的指導(dǎo)。1.3國內(nèi)外研究現(xiàn)狀國外對波利亞解題理論的研究起步較早，且在實(shí)踐中得到了廣泛的應(yīng)用和拓展。波利亞本人不僅在理論上系統(tǒng)地闡述了“怎樣解題表”，還通過大量的實(shí)例展示了其在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。他的思想對數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，許多國家的數(shù)學(xué)教育工作者紛紛將其理論引入到教學(xué)實(shí)踐中。例如，在美國，波利亞的解題理論被廣泛應(yīng)用于中學(xué)和大學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，成為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和解題能力的重要工具。教師們通過引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“怎樣解題表”，幫助學(xué)生掌握解題的方法和策略，提高解題能力。同時，一些教育研究者還對波利亞的解題理論進(jìn)行了深入的研究和改進(jìn)，提出了一些新的觀點(diǎn)和方法。如美國問題解決研究專家萊斯特（Lester）在肯定波利亞四階段模式對促進(jìn)問題解決的積極作用的同時，也指出它忽視了元認(rèn)知過程，至少元認(rèn)知過程在波利亞的模式中表現(xiàn)不明顯，后續(xù)有研究者在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步探討元認(rèn)知和認(rèn)知之間的關(guān)系，試圖完善波利亞的解題理論。在國內(nèi)，波利亞的解題理論也受到了數(shù)學(xué)教育界的高度重視。自20世紀(jì)80年代引入以來，眾多學(xué)者對其進(jìn)行了深入的研究和探討。一方面，學(xué)者們對波利亞的解題思想進(jìn)行了系統(tǒng)的梳理和分析，闡述了其在數(shù)學(xué)教育中的重要性和應(yīng)用價值。徐利治等就數(shù)學(xué)方法論的研究得到了一些具有重要意義的研究成果，如“關(guān)系映射反演原則”“數(shù)學(xué)抽象的方法與抽象度分析方法”等，在一定程度上是基于波利亞解題理論的拓展，為國內(nèi)數(shù)學(xué)解題教學(xué)研究提供了理論基礎(chǔ)。另一方面，許多教育工作者將波利亞的“怎樣解題表”應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，探索其在提高學(xué)生解題能力方面的作用。通過教學(xué)實(shí)驗(yàn)和案例分析，發(fā)現(xiàn)“怎樣解題表”能夠有效地引導(dǎo)學(xué)生思考，提高學(xué)生的解題能力和思維水平。有教師在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用“怎樣解題表”，通過具體的例題教學(xué)，詳細(xì)闡述了每個步驟的應(yīng)用方法，結(jié)果表明學(xué)生在解題時的思路更加清晰，解題能力有了明顯的提高。然而，當(dāng)前研究仍存在一些不足之處。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用研究方面，雖然已有不少實(shí)踐探索，但缺乏系統(tǒng)性和深入性。部分研究只是簡單地將“怎樣解題表”應(yīng)用于教學(xué)，未能充分挖掘其內(nèi)涵和價值，也沒有針對初中數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)和學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行有效的調(diào)整和改進(jìn)。對于如何將“怎樣解題表”與初中數(shù)學(xué)的各個知識點(diǎn)和題型有機(jī)結(jié)合，還需要進(jìn)一步的研究和實(shí)踐。在學(xué)生個體差異研究方面，目前的研究較少關(guān)注不同學(xué)生在應(yīng)用“怎樣解題表”時的表現(xiàn)和需求。初中學(xué)生在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)能力和思維方式等方面存在較大的個體差異，這些差異可能會影響他們對“怎樣解題表”的理解和應(yīng)用效果。因此，需要深入研究學(xué)生的個體差異，為不同學(xué)生提供個性化的指導(dǎo)和支持，以充分發(fā)揮“怎樣解題表”的作用。二、波利亞“怎樣解題表”概述2.1波利亞生平及學(xué)術(shù)貢獻(xiàn)喬治?波利亞（GeorgePolya）于1887年出生在匈牙利布達(dá)佩斯，1985年卒于美國。他的學(xué)術(shù)生涯極為輝煌，在數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域都取得了卓越成就。青年時期，波利亞在布達(dá)佩斯、維也納、巴黎等地深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理和哲學(xué)，并成功獲得博士學(xué)位。他曾在瑞士蘇黎世工業(yè)大學(xué)任教，后于1940年移居美國，先后在布朗大學(xué)、斯坦福大學(xué)擔(dān)任教授。在數(shù)學(xué)研究方面，波利亞的貢獻(xiàn)具有開創(chuàng)性。在函數(shù)論領(lǐng)域，他的研究成果為該領(lǐng)域的發(fā)展提供了新的思路和方法，推動了函數(shù)論的進(jìn)一步發(fā)展。在變分法中，他的工作解決了一些長期以來困擾數(shù)學(xué)家的難題，為變分法的實(shí)際應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。在概率論方面，他提出了許多重要的理論和方法，使概率論的理論體系更加完善，對現(xiàn)代概率論的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。在數(shù)論、組合數(shù)學(xué)等領(lǐng)域，波利亞同樣成果豐碩，他提出的波利亞計數(shù)定理是近代組合數(shù)學(xué)的重要工具，廣泛應(yīng)用于解決各種組合計數(shù)問題，為組合數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。他與其他數(shù)學(xué)家合著的《數(shù)學(xué)分析中的問題和定理》《不等式》《數(shù)學(xué)物理中的等周問題》《復(fù)變量》等書籍，成為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的經(jīng)典著作，對后世數(shù)學(xué)家的研究和學(xué)習(xí)產(chǎn)生了重要的指導(dǎo)作用。憑借在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的杰出貢獻(xiàn)，波利亞在1963年榮獲美國數(shù)學(xué)會功勛獎，他還成為法國科學(xué)院、美國國家科學(xué)院和匈牙利科學(xué)院的院士，這些榮譽(yù)充分彰顯了他在國際數(shù)學(xué)界的崇高地位。波利亞不僅是一位杰出的數(shù)學(xué)家，更是一位偉大的數(shù)學(xué)教育家。他對數(shù)學(xué)教育事業(yè)充滿熱情，投入了大量的時間和精力進(jìn)行深入研究。他認(rèn)為數(shù)學(xué)教育的核心目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生學(xué)會獨(dú)立思考、分析問題和解決問題。波利亞在教學(xué)過程中，十分注重引導(dǎo)學(xué)生掌握正確的學(xué)習(xí)方法和思維方式，鼓勵學(xué)生積極主動地探索數(shù)學(xué)知識。他通過長期的教學(xué)實(shí)踐和對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的細(xì)致觀察，發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生在解題時缺乏有效的方法和策略，往往感到無從下手。為了解決這一問題，波利亞深入研究解題的思維過程，經(jīng)過多年的努力，最終總結(jié)出了具有劃時代意義的“怎樣解題表”。這一成果是他數(shù)學(xué)教育思想的集中體現(xiàn)，對數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。他的著作《怎樣解題》《數(shù)學(xué)與似真推理》《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》等，圍繞解題理論、解題教學(xué)和教師培訓(xùn)等方面展開了深入探討，為數(shù)學(xué)教育提供了系統(tǒng)的理論指導(dǎo)和實(shí)踐方法。這些著作被翻譯成多種文字，在全球范圍內(nèi)廣泛傳播，受到了數(shù)學(xué)教育工作者的高度評價和熱烈歡迎?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)家瓦爾登曾在瑞士蘇黎世大學(xué)的會議致詞中強(qiáng)調(diào)：“每個大學(xué)生、每個學(xué)者、特別是每個教師都應(yīng)該讀這本引人入勝的書”，這充分體現(xiàn)了波利亞的著作在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的重要價值和廣泛影響力。2.2“怎樣解題表”的內(nèi)容與結(jié)構(gòu)波利亞的“怎樣解題表”將解題過程分為四個階段，每個階段都包含了一系列的啟發(fā)式問題，這些問題旨在引導(dǎo)解題者逐步深入地思考問題，找到解題的思路和方法。第一階段是弄清問題，這是解題的基礎(chǔ)。在這個階段，解題者需要明確問題的已知條件和未知量，理解問題的含義和要求。具體的啟發(fā)式問題包括：未知是什么？已知是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？例如，在解決幾何問題時，需要明確已知的圖形形狀、邊長、角度等條件，以及要求解的未知量，如面積、周長、角度大小等。同時，要仔細(xì)分析條件之間的關(guān)系，判斷條件是否足以確定未知量。如果條件不充分，可能需要進(jìn)一步尋找隱含條件或補(bǔ)充信息；如果條件多余或矛盾，則需要重新審視問題，檢查是否存在誤解。此外，還可以通過畫張圖，引入適當(dāng)?shù)姆?，把條件的各個部分分開并寫下來，幫助自己更清晰地理解問題。畫圖可以將抽象的問題直觀化，使條件之間的關(guān)系更加明顯；引入符號可以簡化表達(dá)，方便進(jìn)行推理和計算。第二階段是擬訂計劃，這是解題的關(guān)鍵。在這個階段，解題者需要尋找已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系，嘗試制定一個求解的計劃。如果直接找到聯(lián)系比較困難，可以考慮輔助問題，通過對輔助問題的解決來找到解決原問題的思路。相關(guān)的啟發(fā)式問題有：你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？看著未知數(shù)，試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題，你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？回到定義去。如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關(guān)的問題，你能不能想出一個更容易著手的有關(guān)問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？你能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對于未知數(shù)能確定到什么程度？它會怎樣變化？你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西？你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)？如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個條件？你是否考慮了包含在問題中的必要的概念？比如，在解決代數(shù)方程問題時，我們可以回顧以前解過的類似方程，思考當(dāng)時使用的方法，如因式分解、配方法、公式法等，看是否能應(yīng)用到當(dāng)前問題中。也可以嘗試將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，例如將復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為簡單的形式，或者將問題分解為幾個小問題，分別解決后再綜合起來。第三階段是實(shí)現(xiàn)計劃，即將擬訂的計劃付諸實(shí)踐。在這個階段，解題者要勇敢地寫出解題方法，并檢驗(yàn)每一步驟的正確性。具體問題為：勇敢地寫出你的方法，你能否說出你寫的每一步的理由？在執(zhí)行計劃的過程中，要嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)的邏輯規(guī)則和運(yùn)算法則進(jìn)行推導(dǎo)和計算，確保每一步的合理性和準(zhǔn)確性。如果遇到困難或疑問，要及時回到前面的步驟，檢查計劃是否存在問題，或者重新思考問題的解決方法。例如，在進(jìn)行數(shù)學(xué)證明時，每一步推理都要有依據(jù)，不能憑空臆想。要清晰地闡述每一步的推導(dǎo)過程，讓別人能夠理解你的思路。第四階段是回顧，這是解題的重要環(huán)節(jié)。在這個階段，解題者需要對整個解題過程進(jìn)行反思和總結(jié)，以加深對問題的理解，提高解題能力。相關(guān)啟發(fā)式問題包括：你能否檢驗(yàn)這個論證？你能否用別的方法導(dǎo)出這個結(jié)果？你能不能一下子看出結(jié)論？你能不能把這一結(jié)果或方法用于解決其他的問題？回顧時，首先要檢驗(yàn)解題過程的正確性，檢查計算是否準(zhǔn)確，推理是否嚴(yán)密。可以通過代入法、反證法等方法進(jìn)行檢驗(yàn)。其次，嘗試用不同的方法解決問題，這樣可以拓寬思維，加深對問題的理解，同時也能比較不同方法的優(yōu)劣，選擇最適合的方法。此外，還要思考這個問題的結(jié)論和方法是否具有一般性，能否應(yīng)用到其他類似的問題中，實(shí)現(xiàn)知識的遷移和拓展。例如，在解決完一道幾何證明題后，可以思考是否還有其他的證明思路，不同的證明方法有什么特點(diǎn)。還可以將這個問題的結(jié)論進(jìn)行推廣，看是否能得到更一般性的結(jié)論，或者將這個問題的解決方法應(yīng)用到其他幾何問題中。2.3“怎樣解題表”的理論基礎(chǔ)與教育價值“怎樣解題表”的理論基礎(chǔ)主要源于數(shù)學(xué)啟發(fā)法和元認(rèn)知理論。數(shù)學(xué)啟發(fā)法是波利亞解題理論的核心，它是關(guān)于發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律，旨在幫助解題者在面對問題時，通過一系列的思維啟發(fā)，找到解題的思路和方法。波利亞認(rèn)為，數(shù)學(xué)解題不僅僅是機(jī)械地運(yùn)用公式和定理，更需要通過啟發(fā)式的思考，如類比、歸納、特殊化、一般化等方法，來探索問題的解決途徑。例如，在解決幾何問題時，通過將復(fù)雜的圖形特殊化，觀察特殊情況下的性質(zhì)和規(guī)律，從而找到解決一般問題的思路。又如，在解決代數(shù)問題時，通過類比已有的解題經(jīng)驗(yàn)，將新問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題類型，進(jìn)而找到解決方案。元認(rèn)知理論則為“怎樣解題表”提供了更深層次的理論支持。元認(rèn)知是對認(rèn)知的認(rèn)知，包括元認(rèn)知知識、元認(rèn)知體驗(yàn)和元認(rèn)知監(jiān)控三個方面。在“怎樣解題表”中，元認(rèn)知知識體現(xiàn)在學(xué)生對自己解題能力、知識儲備以及解題策略的了解。例如，學(xué)生清楚自己在代數(shù)、幾何等不同知識板塊的掌握程度，知道自己擅長運(yùn)用哪些解題方法，以及在面對不同類型問題時應(yīng)選擇何種策略。元認(rèn)知體驗(yàn)則貫穿于解題的整個過程，學(xué)生在理解問題時的困惑、擬訂計劃時的思考、實(shí)現(xiàn)計劃時的順利或困難，以及回顧時的反思和收獲，都屬于元認(rèn)知體驗(yàn)。這些體驗(yàn)?zāi)軌驇椭鷮W(xué)生更好地了解自己的思維過程，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的主動性和積極性。元認(rèn)知監(jiān)控在解題過程中起著關(guān)鍵作用，學(xué)生通過對解題過程的監(jiān)控，不斷調(diào)整自己的思維方向和解題策略。例如，在實(shí)現(xiàn)計劃的過程中，如果發(fā)現(xiàn)計算結(jié)果不合理，學(xué)生能夠及時檢查計算過程，或者重新審視解題思路，調(diào)整解題方法，以確保問題的順利解決。“怎樣解題表”具有重要的教育價值，主要體現(xiàn)在以下幾個方面。其一，有助于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。通過引導(dǎo)學(xué)生按照“怎樣解題表”的步驟進(jìn)行思考，能夠鍛煉學(xué)生的邏輯思維、創(chuàng)新思維和批判性思維能力。在弄清問題階段，學(xué)生需要對問題進(jìn)行分析和理解，這有助于培養(yǎng)他們的邏輯思維能力，使他們能夠清晰地把握問題的本質(zhì)和關(guān)鍵信息。在擬訂計劃階段，學(xué)生需要運(yùn)用各種思維方法，如聯(lián)想、類比、歸納等，尋找解題的思路和方法，這能夠激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造力和想象力。在回顧階段，學(xué)生需要對解題過程進(jìn)行反思和總結(jié)，分析解題方法的優(yōu)劣，思考是否還有其他的解題途徑，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維能力，使他們能夠?qū)ψ约旱乃季S過程進(jìn)行客觀的評價和改進(jìn)。其二，能夠傳授元認(rèn)知知識和策略?！霸鯓咏忸}表”為學(xué)生提供了一個系統(tǒng)的元認(rèn)知框架，使學(xué)生能夠了解元認(rèn)知的重要性，并學(xué)習(xí)如何運(yùn)用元認(rèn)知知識和策略來監(jiān)控和調(diào)節(jié)自己的學(xué)習(xí)過程。通過運(yùn)用“怎樣解題表”，學(xué)生能夠逐漸掌握如何分析自己的解題能力，如何選擇合適的解題策略，以及如何在解題過程中進(jìn)行自我監(jiān)控和調(diào)整。這些元認(rèn)知知識和策略的掌握，將有助于學(xué)生提高學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力，使他們能夠更好地應(yīng)對未來學(xué)習(xí)和生活中的各種挑戰(zhàn)。其三，為學(xué)生提供了豐富的元認(rèn)知體驗(yàn)機(jī)會。在運(yùn)用“怎樣解題表”解題的過程中，學(xué)生能夠親身經(jīng)歷各種元認(rèn)知體驗(yàn)，如困惑、思考、嘗試、成功、反思等。這些體驗(yàn)?zāi)軌蜃寣W(xué)生更加深入地了解自己的思維過程，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自信心和動力。當(dāng)學(xué)生在擬訂計劃階段遇到困難，經(jīng)過努力思考最終找到解題思路時，他們會體驗(yàn)到成功的喜悅，這種積極的情感體驗(yàn)將激發(fā)他們進(jìn)一步探索的欲望。而當(dāng)學(xué)生在回顧階段發(fā)現(xiàn)自己的解題過程存在問題時，他們會進(jìn)行反思和總結(jié)，從中吸取教訓(xùn)，這有助于他們不斷改進(jìn)自己的學(xué)習(xí)方法和思維方式。其四，有利于培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和問題解決能力?！霸鯓咏忸}表”強(qiáng)調(diào)學(xué)生在解題過程中的主體地位，鼓勵學(xué)生積極主動地思考和探索。通過運(yùn)用“怎樣解題表”，學(xué)生能夠?qū)W會如何獨(dú)立分析問題、解決問題，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)的意識和能力。同時，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，也能夠逐漸掌握解決其他實(shí)際問題的方法和策略，提高問題解決能力，為今后的學(xué)習(xí)和生活打下堅實(shí)的基礎(chǔ)。三、初中生解題能力現(xiàn)狀分析3.1初中生解題能力的構(gòu)成要素初中生解題能力是一個綜合性的概念，它涵蓋了多個方面的要素，這些要素相互關(guān)聯(lián)、相互影響，共同決定了學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中的表現(xiàn)。對數(shù)學(xué)知識的理解與運(yùn)用能力是解題能力的基礎(chǔ)。學(xué)生需要深入理解數(shù)學(xué)概念、定理、公式等基礎(chǔ)知識，不僅要知道它們的表面含義，還要掌握其內(nèi)在的邏輯關(guān)系和適用條件。只有這樣，才能在解題時準(zhǔn)確地運(yùn)用這些知識，找到解決問題的思路。在學(xué)習(xí)一元二次方程時，學(xué)生不僅要記住求根公式，還要理解公式的推導(dǎo)過程，以及在什么情況下使用該公式。對于完全平方公式、平方差公式等，學(xué)生要清楚它們的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和變形形式，能夠在不同的題目情境中靈活運(yùn)用。此外，學(xué)生還需要具備將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到實(shí)際問題中的能力，能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行求解。邏輯思維能力在解題過程中起著關(guān)鍵作用。它包括分析、綜合、歸納、演繹、類比等思維方法。在分析問題時，學(xué)生需要將問題分解成各個部分，找出其中的關(guān)鍵信息和條件，然后通過綜合思考，將這些信息整合起來，形成解題的思路。在證明幾何題時，學(xué)生需要運(yùn)用演繹推理，從已知的條件和定理出發(fā)，逐步推導(dǎo)得出結(jié)論。在解決一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生可以通過歸納和類比的方法，從已有的經(jīng)驗(yàn)和知識中找到相似的問題類型，從而找到解題的方法。例如，在學(xué)習(xí)多邊形內(nèi)角和公式時，學(xué)生可以通過對三角形、四邊形內(nèi)角和的研究，歸納出多邊形內(nèi)角和的計算公式。問題轉(zhuǎn)化能力是解題能力的重要體現(xiàn)。許多數(shù)學(xué)問題往往不能直接運(yùn)用已有的知識和方法進(jìn)行解決，需要學(xué)生具備將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化的能力。這種轉(zhuǎn)化可以是將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，將陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型等。在解決一些幾何問題時，學(xué)生可以通過添加輔助線的方法，將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，從而便于求解。在解決應(yīng)用題時，學(xué)生需要將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系抽象出來，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程或不等式進(jìn)行求解。例如，在行程問題中，學(xué)生可以根據(jù)路程、速度、時間之間的關(guān)系，建立方程來解決問題。計算能力是數(shù)學(xué)解題的基本能力之一。準(zhǔn)確、快速的計算能夠保證解題的效率和準(zhǔn)確性。學(xué)生需要掌握基本的四則運(yùn)算、有理數(shù)運(yùn)算、代數(shù)式運(yùn)算、解方程等計算技能，并且要注意計算的準(zhǔn)確性和規(guī)范性。在進(jìn)行計算時，學(xué)生要注意運(yùn)算順序、符號的處理等問題，避免出現(xiàn)計算錯誤。在解方程時，學(xué)生要正確運(yùn)用移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等方法，求出方程的解。同時，學(xué)生還可以通過一些簡便運(yùn)算方法，如乘法分配律、結(jié)合律等，提高計算速度。反思總結(jié)能力也是解題能力的重要組成部分。學(xué)生在完成一道題目后，需要對解題過程進(jìn)行反思和總結(jié)，分析自己的解題思路是否正確、合理，是否還有其他更好的解題方法，以及從這道題目中可以學(xué)到哪些知識和方法。通過反思總結(jié)，學(xué)生可以加深對知識的理解，提高解題能力，同時也能夠培養(yǎng)自己的元認(rèn)知能力。例如，學(xué)生在解決完一道數(shù)學(xué)難題后，可以思考自己在解題過程中遇到了哪些困難，是如何克服的，以及這道題目的解題關(guān)鍵是什么。通過這樣的反思總結(jié)，學(xué)生可以不斷積累解題經(jīng)驗(yàn)，提高自己的解題水平。3.2初中生解題能力的現(xiàn)狀調(diào)查為全面了解初中生解題能力的現(xiàn)狀，本研究采用了問卷、測試和訪談等多種研究方法，從解題思維、方法運(yùn)用、錯誤類型等多個維度展開調(diào)查。在問卷調(diào)查方面，主要針對初中各年級的學(xué)生發(fā)放問卷，問卷內(nèi)容涵蓋了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握程度、解題習(xí)慣、解題策略的運(yùn)用等方面。通過對問卷數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生在解題時缺乏系統(tǒng)的思考方法，往往是憑直覺和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行解題。約60%的學(xué)生表示在遇到難題時，不知道從何處入手，缺乏對問題進(jìn)行深入分析的能力。同時，在解題策略的運(yùn)用上，只有不到30%的學(xué)生能夠主動運(yùn)用多種解題策略，如轉(zhuǎn)化、類比、分類討論等，大部分學(xué)生習(xí)慣于采用單一的解題方法，缺乏靈活性和創(chuàng)新性。在測試環(huán)節(jié)，選取了具有代表性的數(shù)學(xué)題目，涵蓋代數(shù)、幾何、函數(shù)等多個知識點(diǎn)，對學(xué)生的解題能力進(jìn)行了全面的考察。測試結(jié)果顯示，學(xué)生在代數(shù)運(yùn)算方面的表現(xiàn)相對較好，但在幾何證明和函數(shù)應(yīng)用等方面存在較大的困難。在幾何證明題中，約50%的學(xué)生不能準(zhǔn)確地運(yùn)用幾何定理進(jìn)行推理和證明，邏輯思維不夠嚴(yán)謹(jǐn)。在函數(shù)應(yīng)用題中，很多學(xué)生不能正確地建立函數(shù)模型，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進(jìn)行求解，反映出學(xué)生在數(shù)學(xué)建模能力和應(yīng)用意識方面的不足。為了更深入地了解學(xué)生解題過程中的思維過程和遇到的問題，還對部分學(xué)生進(jìn)行了訪談。訪談結(jié)果表明，學(xué)生在解題時存在的主要問題包括：對數(shù)學(xué)概念和公式的理解不夠深入，只是機(jī)械地記憶，不能靈活運(yùn)用；缺乏對解題方法的總結(jié)和歸納，不能舉一反三；在解題過程中容易受到思維定式的影響，難以突破常規(guī)思維，找到新的解題思路。一些學(xué)生表示，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，只是為了完成作業(yè)而做題，沒有真正理解數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵和應(yīng)用價值，導(dǎo)致在遇到新的問題時，無法運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行解決。通過對問卷、測試和訪談結(jié)果的綜合分析，可以看出當(dāng)前初中生的解題能力整體上有待提高。在解題思維方面，學(xué)生缺乏系統(tǒng)性和邏輯性，不能有效地分析問題和解決問題。在方法運(yùn)用上，學(xué)生的解題策略較為單一，缺乏靈活性和創(chuàng)新性，不能根據(jù)不同的題目類型選擇合適的解題方法。在錯誤類型上，學(xué)生主要存在對數(shù)學(xué)概念理解不清、計算錯誤、邏輯推理不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)葐栴}。這些問題不僅影響了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績，也制約了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。因此，有必要采取有效的措施，加強(qiáng)對學(xué)生解題能力的培養(yǎng)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。3.3影響初中生解題能力的因素初中生解題能力的發(fā)展受到多種因素的綜合影響，這些因素相互交織，共同作用于學(xué)生的解題過程。深入剖析這些因素，對于教師采取針對性的教學(xué)策略，提升學(xué)生的解題能力具有重要意義。知識掌握程度是影響解題能力的基礎(chǔ)因素。數(shù)學(xué)知識體系具有很強(qiáng)的邏輯性和連貫性，學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解和掌握程度直接決定了他們在解題時的表現(xiàn)。若學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、定理、公式等基礎(chǔ)知識一知半解，僅僅是機(jī)械地記憶，而未能真正理解其內(nèi)涵和適用條件，那么在面對實(shí)際問題時，就很難準(zhǔn)確地運(yùn)用這些知識來分析和解決問題。對一元二次方程的求根公式，如果學(xué)生只是死記硬背公式，而不理解公式的推導(dǎo)過程和使用條件，在解題時就容易出現(xiàn)錯誤。當(dāng)遇到一些需要靈活運(yùn)用公式的題目時，他們可能會感到無從下手。此外，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握還應(yīng)包括對知識之間聯(lián)系的理解。數(shù)學(xué)知識之間存在著廣泛的聯(lián)系，如代數(shù)與幾何、函數(shù)與方程等知識之間都有著內(nèi)在的關(guān)聯(lián)。如果學(xué)生能夠把握這些聯(lián)系，在解題時就能從不同的角度思考問題，運(yùn)用多種知識和方法來解決問題，從而提高解題的效率和準(zhǔn)確性。思維習(xí)慣在解題過程中起著關(guān)鍵作用。不同的思維習(xí)慣會導(dǎo)致學(xué)生在解題時采取不同的策略和方法，進(jìn)而影響解題的效果。有些學(xué)生在解題時習(xí)慣于按部就班地進(jìn)行思考，缺乏創(chuàng)新思維和靈活性。他們往往局限于傳統(tǒng)的解題方法，難以突破常規(guī)思維的束縛，在遇到新穎或復(fù)雜的問題時，就容易陷入困境。而具有創(chuàng)新思維的學(xué)生，能夠從不同的角度去觀察問題，嘗試運(yùn)用不同的方法和思路來解決問題。在解決幾何證明題時，他們可能會通過添加輔助線、構(gòu)造圖形等方法，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，從而找到解題的突破口。此外，邏輯思維能力也是影響解題能力的重要因素。邏輯思維能力強(qiáng)的學(xué)生，在解題時能夠條理清晰地分析問題，準(zhǔn)確地運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行推理和證明，使解題過程更加嚴(yán)謹(jǐn)和規(guī)范。而邏輯思維能力較弱的學(xué)生，在解題時可能會出現(xiàn)思路混亂、推理不嚴(yán)密等問題，導(dǎo)致解題錯誤。學(xué)習(xí)態(tài)度對解題能力的影響也不容忽視。積極的學(xué)習(xí)態(tài)度能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動性，使他們更加投入地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，努力提高自己的解題能力。具有積極學(xué)習(xí)態(tài)度的學(xué)生，在遇到難題時，往往會主動思考，勇于嘗試，不斷探索解題的方法和途徑。他們會把解題過程看作是一個挑戰(zhàn)自我、提升能力的機(jī)會，從而充滿熱情地去解決問題。相反，消極的學(xué)習(xí)態(tài)度會使學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏興趣和動力，在解題時容易產(chǎn)生畏難情緒，遇到困難就輕易放棄。一些學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏信心，認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門很難的學(xué)科，自己學(xué)不好，這種消極的心態(tài)會嚴(yán)重影響他們的解題能力。此外，學(xué)習(xí)態(tài)度還包括學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)方法。良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，如認(rèn)真聽講、及時復(fù)習(xí)、獨(dú)立完成作業(yè)等，有助于學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識，提高解題能力。而科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，如善于總結(jié)歸納、舉一反三、建立錯題本等，能夠幫助學(xué)生更好地理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，提高解題效率。教學(xué)方法在學(xué)生解題能力的培養(yǎng)中起著重要的引導(dǎo)作用。教師的教學(xué)方法是否得當(dāng)，直接影響著學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和掌握，以及解題能力的提升。如果教師在教學(xué)過程中采用滿堂灌的教學(xué)方法，注重知識的傳授而忽視學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中就會處于被動接受的狀態(tài)，缺乏主動思考和探索的機(jī)會，這不利于學(xué)生解題能力的提高。相反，如果教師采用啟發(fā)式、探究式的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生積極參與課堂教學(xué)，鼓勵學(xué)生自主思考、合作交流，讓學(xué)生在探究問題的過程中掌握數(shù)學(xué)知識和解題方法，就能夠有效地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和解題能力。在講解數(shù)學(xué)例題時，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生分析問題，讓學(xué)生嘗試提出解題思路，然后再進(jìn)行講解和總結(jié)，這樣能夠讓學(xué)生更好地理解解題的過程和方法，提高解題能力。此外，教師對學(xué)生的評價方式也會影響學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度和解題能力。如果教師能夠給予學(xué)生及時、準(zhǔn)確、積極的評價，鼓勵學(xué)生的進(jìn)步和努力，就能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和自信心，從而促進(jìn)學(xué)生解題能力的提升。四、波利亞“怎樣解題表”在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用案例分析4.1代數(shù)問題中的應(yīng)用以一元二次方程x^{2}-5x+6=0的求解為例，運(yùn)用波利亞“怎樣解題表”，深入分析其在代數(shù)問題中的應(yīng)用。在理解問題階段，引導(dǎo)學(xué)生明確題目中的已知條件與未知量。已知方程為x^{2}-5x+6=0，這是一個一元二次方程，其中二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為-5，常數(shù)項(xiàng)為6，未知量是x。要確定x的值，需判斷該方程是否有解，這就需要用到判別式\Delta=b^{2}-4ac（其中a=1，b=-5，c=6），通過計算判別式來判斷方程解的情況。擬訂計劃階段，幫助學(xué)生回憶相關(guān)知識和解題方法。學(xué)生已學(xué)習(xí)過一元二次方程的求解方法，如因式分解法、配方法、公式法等。觀察方程的特點(diǎn)，嘗試對其進(jìn)行因式分解。因?yàn)?=(-2)??(-3)，且(-2)+(-3)=-5，所以可以將方程因式分解為(x-2)(x-3)=0。根據(jù)“若兩個數(shù)的乘積為0，則至少其中一個數(shù)為0”的原理，得到x-2=0或x-3=0，從而找到解題的思路和方法。實(shí)現(xiàn)計劃階段，學(xué)生按照擬訂的計劃進(jìn)行解題。由(x-2)(x-3)=0，分別求解兩個方程：當(dāng)x-2=0時，解得x=2；當(dāng)x-3=0時，解得x=3?；仡欕A段，對整個解題過程進(jìn)行反思和總結(jié)。首先檢驗(yàn)答案的正確性，將x=2代入原方程：2^{2}-5??2+6=4-10+6=0，等式成立；將x=3代入原方程：3^{2}-5??3+6=9-15+6=0，等式也成立，說明答案是正確的。然后思考是否還有其他解題方法，如使用配方法，將方程變形為x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{25}{4}-6，即(x-\frac{5}{2})^{2}=\frac{1}{4}，再開方求解，同樣可得到x=2或x=3。還可以引導(dǎo)學(xué)生思考這個解題方法是否能應(yīng)用到其他類似的一元二次方程中，如x^{2}-7x+10=0，通過類比，學(xué)生可以嘗試用因式分解法將其分解為(x-2)(x-5)=0，進(jìn)而求解。通過這一案例可以看出，波利亞“怎樣解題表”對提高學(xué)生代數(shù)解題能力具有顯著作用。它幫助學(xué)生在面對代數(shù)問題時，能夠有條不紊地分析問題，明確解題思路，選擇合適的解題方法。在理解問題階段，讓學(xué)生充分認(rèn)識問題的本質(zhì)和條件，避免盲目解題；擬訂計劃階段，引導(dǎo)學(xué)生回憶和運(yùn)用已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力；實(shí)現(xiàn)計劃階段，鍛煉學(xué)生的計算能力和邏輯推理能力，確保解題的準(zhǔn)確性；回顧階段，促使學(xué)生反思解題過程，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，加深對知識的理解和掌握，同時培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和知識遷移能力，使學(xué)生能夠舉一反三，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決其他類似的問題。4.2幾何問題中的應(yīng)用以三角形全等證明為例，闡述波利亞“怎樣解題表”在幾何問題中的應(yīng)用。在理解問題階段，引導(dǎo)學(xué)生明確三角形全等證明的目標(biāo)，即證明兩個三角形全等。已知條件通常包括三角形的邊和角的相關(guān)信息，如邊的長度、角的度數(shù)等。同時，要清楚三角形全等的判定定理，如“邊邊邊”（SSS）、“邊角邊”（SAS）、“角邊角”（ASA）、“角角邊”（AAS）、“斜邊、直角邊”（HL）等。例如，已知在\triangleABC和\triangleDEF中，AB=DE，BC=EF，\angleB=\angleE，要證明\triangleABC\cong\triangleDEF。此時，明確未知量是證明兩個三角形全等，已知量是AB=DE，BC=EF，\angleB=\angleE，條件是給定的這兩組邊和一組角對應(yīng)相等，滿足“邊角邊”判定定理的條件。同時，可以讓學(xué)生畫出這兩個三角形，將已知條件標(biāo)注在圖上，使問題更加直觀。擬訂計劃階段，幫助學(xué)生回憶三角形全等的判定方法，并結(jié)合已知條件，尋找證明的思路。觀察已知條件，發(fā)現(xiàn)有兩邊及其夾角對應(yīng)相等，符合“邊角邊”（SAS）判定定理。因此，計劃通過“邊角邊”定理來證明這兩個三角形全等。具體來說，就是要說明在\triangleABC和\triangleDEF中，AB與DE、BC與EF分別是兩組對應(yīng)邊，\angleB與\angleE是這兩組對應(yīng)邊的夾角，且它們都相等，從而滿足“邊角邊”定理的條件。實(shí)現(xiàn)計劃階段，學(xué)生按照擬訂的計劃進(jìn)行證明。具體步驟如下：在\triangleABC和\triangleDEF中，因?yàn)锳B=DE（已知），\angleB=\angleE（已知），BC=EF（已知），所以根據(jù)“邊角邊”（SAS）判定定理，可得\triangleABC\cong\triangleDEF?；仡欕A段，對整個證明過程進(jìn)行反思和總結(jié)。首先，檢驗(yàn)證明過程是否正確，每一步的推理是否都有依據(jù)。檢查已知條件的使用是否準(zhǔn)確，“邊角邊”定理的應(yīng)用是否恰當(dāng)。其次，思考是否還有其他方法可以證明這兩個三角形全等。例如，是否可以通過其他的邊或角的關(guān)系，利用其他判定定理來證明。此外，還可以引導(dǎo)學(xué)生思考這個證明方法是否能應(yīng)用到其他類似的三角形全等證明問題中。比如，在其他三角形全等證明中，如果也出現(xiàn)了兩邊及其夾角對應(yīng)相等的情況，就可以直接應(yīng)用“邊角邊”定理進(jìn)行證明。通過回顧，學(xué)生可以加深對三角形全等判定定理的理解，提高幾何證明的能力，同時培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性。通過這一案例可以看出，波利亞“怎樣解題表”在幾何問題中具有重要的應(yīng)用價值。它幫助學(xué)生在面對幾何證明問題時，能夠系統(tǒng)地分析問題，明確解題目標(biāo)和思路，選擇合適的定理和方法進(jìn)行證明。在理解問題階段，使學(xué)生充分認(rèn)識問題的條件和要求，避免盲目證明；擬訂計劃階段，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，制定合理的證明計劃，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和分析問題的能力；實(shí)現(xiàn)計劃階段，鍛煉學(xué)生的推理和表達(dá)能力，確保證明過程的準(zhǔn)確性和規(guī)范性；回顧階段，促使學(xué)生反思證明過程，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，拓展思維，提高學(xué)生的幾何思維和空間想象能力，使學(xué)生能夠更好地應(yīng)對各種幾何問題的挑戰(zhàn)。4.3應(yīng)用題中的應(yīng)用以行程問題為例，探討波利亞“怎樣解題表”在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的應(yīng)用。例如：甲、乙兩人同時從A地出發(fā)前往B地，甲的速度是每小時6千米，乙的速度是每小時4千米。甲到達(dá)B地后立即返回，在距離B地3千米處與乙相遇。求A、B兩地的距離。在理解問題階段，引導(dǎo)學(xué)生明確題目中的已知條件和未知量。已知甲的速度是每小時6千米，乙的速度是每小時4千米，兩人相遇時甲比乙多走了3??2=6千米（因?yàn)榧椎竭_(dá)B地后又返回了3千米與乙相遇，所以甲比乙多走的路程是兩個3千米），未知量是A、B兩地的距離?？梢宰寣W(xué)生思考：題目中的條件是否充分？是否能根據(jù)已知條件建立起與未知量的聯(lián)系？同時，為了更直觀地理解問題，引導(dǎo)學(xué)生畫出線段圖，用線段表示A、B兩地的距離，以及甲、乙兩人的行走路線和相遇點(diǎn)，這樣能幫助學(xué)生更清晰地看到數(shù)量關(guān)系。擬訂計劃階段，幫助學(xué)生尋找解題思路。從速度和路程的關(guān)系出發(fā)，因?yàn)閮扇诵凶邥r間相同，根據(jù)“路程=速度×?xí)r間”，當(dāng)時間相同時，路程與速度成正比。甲、乙的速度比是6:4=3:2，那么他們在相同時間內(nèi)行走的路程比也是3:2。設(shè)A、B兩地的距離為x千米，則甲行走的路程是(x+3)千米，乙行走的路程是(x-3)千米，可列出方程\frac{x+3}{x-3}=\frac{3}{2}?；蛘邚募妆纫叶嘧叩穆烦倘胧郑酌啃r比乙多走6-4=2千米，而總共多走了6千米，所以兩人行走的時間是6?·2=3小時。再根據(jù)乙的速度和行走時間，可得到乙行走的路程為4??3=12千米，那么A、B兩地的距離就是12+3=15千米。引導(dǎo)學(xué)生思考不同的解題思路，比較哪種方法更簡便，培養(yǎng)學(xué)生的思維靈活性。實(shí)現(xiàn)計劃階段，學(xué)生按照擬訂的計劃進(jìn)行解題。若采用方程法，解方程\frac{x+3}{x-3}=\frac{3}{2}，通過交叉相乘得到2(x+3)=3(x-3)，展開式子為2x+6=3x-9，移項(xiàng)可得3x-2x=6+9，解得x=15千米。若采用算術(shù)法，先算出兩人行走時間為3??2?·(6-4)=3小時，再計算A、B兩地的距離為4??3+3=15千米。在這個過程中，要求學(xué)生書寫步驟清晰、規(guī)范，每一步都要有依據(jù)，確保解題的準(zhǔn)確性。回顧階段，對整個解題過程進(jìn)行反思和總結(jié)。首先檢驗(yàn)答案的正確性，將x=15代入原題目中，甲行走的路程是15+3=18千米，時間為18?·6=3小時；乙行走的路程是15-3=12千米，時間為12?·4=3小時，兩人行走時間相同，符合題目條件，說明答案正確。然后思考是否還有其他解題方法，比如可以設(shè)兩人行走時間為t小時，根據(jù)甲、乙行走的路程關(guān)系列出方程6t-4t=3??2，先求出時間t=3小時，再計算A、B兩地的距離為4??3+3=15千米。此外，還可以引導(dǎo)學(xué)生將這個問題進(jìn)行拓展，如改變甲、乙的速度或相遇地點(diǎn)，看解題方法是否仍然適用，通過這樣的回顧和拓展，加深學(xué)生對行程問題的理解，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。通過這一案例可以看出，波利亞“怎樣解題表”在解決應(yīng)用題時具有顯著優(yōu)勢。它幫助學(xué)生在面對復(fù)雜的實(shí)際問題時，能夠有條不紊地分析問題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，找到解題的關(guān)鍵和思路。在理解問題階段，讓學(xué)生全面把握題目信息，避免遺漏重要條件；擬訂計劃階段，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思維方法，尋找不同的解題途徑，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和邏輯思維能力；實(shí)現(xiàn)計劃階段，鍛煉學(xué)生的計算能力和書寫表達(dá)能力，確保解題過程的嚴(yán)謹(jǐn)性；回顧階段，促使學(xué)生反思解題過程，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，提高解題的準(zhǔn)確性和靈活性，同時培養(yǎng)學(xué)生的知識遷移能力，使學(xué)生能夠舉一反三，解決更多類似的實(shí)際問題。五、基于波利亞“怎樣解題表”培養(yǎng)初中生解題能力的策略5.1加強(qiáng)對“怎樣解題表”的理解與訓(xùn)練在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強(qiáng)學(xué)生對波利亞“怎樣解題表”的理解與訓(xùn)練是培養(yǎng)解題能力的關(guān)鍵。教師可通過專題講解，系統(tǒng)地向?qū)W生介紹“怎樣解題表”的四個步驟：弄清問題、擬訂計劃、實(shí)現(xiàn)計劃和回顧，詳細(xì)闡述每個步驟的含義、目的以及在解題過程中的重要性。在講解“弄清問題”步驟時，教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)明確已知條件和未知量的重要性，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)分析問題的表述，理解問題的本質(zhì)和要求，通過實(shí)例讓學(xué)生學(xué)會如何挖掘隱含條件，避免因理解偏差而導(dǎo)致解題錯誤。案例分析也是加深學(xué)生對“怎樣解題表”理解的有效方式。教師可選取具有代表性的數(shù)學(xué)題目，運(yùn)用“怎樣解題表”進(jìn)行詳細(xì)的分析和解答，展示每個步驟的具體操作方法和思維過程。在講解幾何證明題時，教師可以按照“怎樣解題表”的步驟，先引導(dǎo)學(xué)生弄清已知條件和要證明的結(jié)論，分析圖形的特征和性質(zhì)；然后擬訂證明計劃，思考運(yùn)用哪些定理和方法進(jìn)行證明；接著實(shí)現(xiàn)計劃，書寫證明過程；最后回顧整個證明過程，檢查推理的嚴(yán)密性和證明方法的合理性。通過這樣的案例分析，讓學(xué)生直觀地感受“怎樣解題表”在解題中的應(yīng)用，從而更好地掌握其方法和技巧。為了讓學(xué)生熟練掌握“怎樣解題表”，教師應(yīng)安排適量的模仿練習(xí)，讓學(xué)生在實(shí)踐中運(yùn)用所學(xué)知識和方法。在練習(xí)過程中，教師要給予學(xué)生充分的指導(dǎo)和反饋，及時糾正學(xué)生的錯誤，幫助他們解決遇到的問題。對于學(xué)生在“擬訂計劃”步驟中遇到的困難，教師可以引導(dǎo)他們回顧相關(guān)的知識點(diǎn)和解題方法，啟發(fā)他們從不同的角度思考問題，嘗試運(yùn)用多種方法解決問題。同時，教師還可以鼓勵學(xué)生之間相互交流和討論，分享自己的解題思路和方法，促進(jìn)學(xué)生之間的學(xué)習(xí)和進(jìn)步。通過反復(fù)的模仿練習(xí)，使學(xué)生逐漸熟悉“怎樣解題表”的步驟和方法，培養(yǎng)他們運(yùn)用解題表的意識和習(xí)慣，提高解題能力。5.2引導(dǎo)學(xué)生在解題中運(yùn)用“怎樣解題表”在教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生在解題過程中熟練運(yùn)用“怎樣解題表”，讓其成為學(xué)生解題的得力工具，助力學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和解題能力的提升。在課堂教學(xué)環(huán)節(jié)，教師可以選擇典型的數(shù)學(xué)題目，帶領(lǐng)學(xué)生一起按照“怎樣解題表”的步驟逐步分析和解答。在講解一元一次方程的應(yīng)用題時，以“某商店進(jìn)行促銷活動，商品打八折出售，小明購買了一件商品，支付了40元，問該商品原價是多少？”為例。在弄清問題階段，教師引導(dǎo)學(xué)生明確已知條件為商品打八折后小明支付40元，未知量是商品原價。通過提問幫助學(xué)生理解問題：“打八折意味著什么？”“我們要找的原價與已知的40元之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？”引導(dǎo)學(xué)生分析條件，理解八折就是原價的80%，從而確定問題的本質(zhì)是已知一個數(shù)的80%是40，求這個數(shù)。在擬訂計劃階段，教師啟發(fā)學(xué)生思考解決問題的方法?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生回顧已學(xué)知識，思考如何根據(jù)已知條件建立等式來求解原價。學(xué)生可能會想到設(shè)原價為x元，根據(jù)“原價×80%=現(xiàn)價”這一數(shù)量關(guān)系列出方程0.8x=40。教師進(jìn)一步提問：“還有其他方法嗎？”鼓勵學(xué)生從不同角度思考，比如用算術(shù)方法，根據(jù)除法的意義，已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)用除法，即40?·0.8來計算原價。通過這樣的引導(dǎo)，讓學(xué)生學(xué)會從多種途徑尋找解題思路，培養(yǎng)思維的靈活性。在實(shí)現(xiàn)計劃階段，教師要求學(xué)生按照擬訂的計劃進(jìn)行解題，注意書寫規(guī)范和計算準(zhǔn)確性。對于用方程求解的學(xué)生，要求他們正確地進(jìn)行移項(xiàng)、計算，得出x=50的結(jié)果；對于用算術(shù)方法的學(xué)生，要確保計算過程正確，得出同樣的答案。教師在這個過程中巡視，及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生的問題并給予指導(dǎo)，如有的學(xué)生可能在計算40?·0.8時出現(xiàn)錯誤，教師可以引導(dǎo)他們將除數(shù)和被除數(shù)同時擴(kuò)大10倍，轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法進(jìn)行計算。在回顧階段，教師引導(dǎo)學(xué)生對整個解題過程進(jìn)行反思。首先檢查答案是否正確，將x=50代入原方程0.8??50=40，等式成立，說明答案正確。然后思考是否還有其他解法，引導(dǎo)學(xué)生比較方程法和算術(shù)法的優(yōu)缺點(diǎn)，使學(xué)生明白不同方法在解決問題時的適用情況。還可以讓學(xué)生思考這個問題與之前學(xué)過的哪些問題類似，能否將這種解題方法應(yīng)用到其他相關(guān)問題中，實(shí)現(xiàn)知識的遷移和拓展。比如，在解決折扣問題時，都可以根據(jù)類似的數(shù)量關(guān)系來求解原價、現(xiàn)價或折扣率等。在課后作業(yè)布置中，教師可以明確要求學(xué)生運(yùn)用“怎樣解題表”來解決問題，并在作業(yè)中體現(xiàn)每個步驟的思考過程。對于一些較難的題目，教師可以提供一些提示性的問題，引導(dǎo)學(xué)生按照解題表的步驟進(jìn)行思考。如在布置幾何證明題時，提示學(xué)生：“首先明確已知條件和要證明的結(jié)論，你能從已知條件中得出哪些有用的信息？你以前見過類似的證明題嗎？可以嘗試運(yùn)用哪些定理和方法來證明？”通過這樣的要求和提示，促使學(xué)生逐漸養(yǎng)成運(yùn)用“怎樣解題表”解題的習(xí)慣，提高自主解題能力。同時，教師在批改作業(yè)時，要認(rèn)真分析學(xué)生在運(yùn)用“怎樣解題表”過程中出現(xiàn)的問題，如有些學(xué)生可能在擬訂計劃階段思路不清晰，有些學(xué)生在回顧階段沒有認(rèn)真反思解題過程等，針對這些問題在課堂上進(jìn)行集中講解和指導(dǎo)，幫助學(xué)生不斷改進(jìn)和提高。5.3結(jié)合教學(xué)內(nèi)容滲透解題策略在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容滲透解題策略是培養(yǎng)學(xué)生解題能力的重要途徑。教師應(yīng)深入挖掘教材中的知識點(diǎn)，將化歸、類比、數(shù)形結(jié)合等解題策略融入日常教學(xué)中，使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的同時，掌握有效的解題方法?；瘹w策略是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的一種解題策略。在教學(xué)一元二次方程時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將一元二次方程通過因式分解、配方法等轉(zhuǎn)化為一元一次方程來求解。在講解x^{2}-3x+2=0時，教師引導(dǎo)學(xué)生利用十字相乘法將方程因式分解為(x-1)(x-2)=0，這樣就把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程x-1=0和x-2=0，從而輕松求解。通過這樣的教學(xué)，讓學(xué)生體會化歸策略在解題中的應(yīng)用，學(xué)會將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解決。在幾何教學(xué)中，也常常運(yùn)用化歸策略。如求不規(guī)則圖形的面積時，可將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積之和或差。在求一個由三角形和梯形組成的不規(guī)則圖形面積時，引導(dǎo)學(xué)生通過添加輔助線，將其分割成一個三角形和一個梯形，分別計算它們的面積，再相加得到不規(guī)則圖形的面積。這樣的教學(xué)方式，能讓學(xué)生逐漸掌握化歸策略，提高解題能力。類比策略是根據(jù)兩個或兩類對象在某些方面的相似性，推出它們在其他方面也可能相似的一種推理方法。在教學(xué)相似三角形時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生類比全等三角形的性質(zhì)和判定定理來學(xué)習(xí)。全等三角形是相似比為1的特殊相似三角形，它們在很多方面都有相似之處。通過類比，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)相似三角形的性質(zhì)，如對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例等，與全等三角形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等有相似的邏輯關(guān)系。在判定定理方面，全等三角形有“邊邊邊”“邊角邊”“角邊角”等判定定理，相似三角形也有“三邊對應(yīng)成比例”“兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等”“兩角對應(yīng)相等”等判定定理。通過這樣的類比教學(xué)，學(xué)生可以更好地理解和掌握相似三角形的知識，同時也學(xué)會了類比策略在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用，能夠在遇到新的數(shù)學(xué)問題時，嘗試通過類比已有的知識和經(jīng)驗(yàn)來尋找解題思路。數(shù)形結(jié)合策略是將數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系與幾何圖形相結(jié)合，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決問題的一種策略。在教學(xué)函數(shù)時，教師可以通過函數(shù)圖象來直觀地展示函數(shù)的性質(zhì)。以一次函數(shù)y=2x+1為例，教師畫出函數(shù)圖象，讓學(xué)生觀察圖象的特征。從圖象上，學(xué)生可以直觀地看出函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)x增大時，y也隨之增大；還可以看出函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，當(dāng)x=0時，y=1，即函數(shù)與y軸交于點(diǎn)(0,1)；當(dāng)y=0時，x=-\frac{1}{2}，即函數(shù)與x軸交于點(diǎn)(-\frac{1}{2},0)。通過函數(shù)圖象，學(xué)生可以更深刻地理解函數(shù)的性質(zhì)，同時也體會到數(shù)形結(jié)合策略在解決函數(shù)問題中的優(yōu)勢。在解決幾何問題時，也可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合策略。如在證明三角形內(nèi)角和為180^{\circ}時，可以通過作輔助線，將三角形的三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個平角，從圖形上直觀地展示出內(nèi)角和的關(guān)系，幫助學(xué)生更好地理解和證明。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際情況，靈活選擇和運(yùn)用解題策略，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會根據(jù)問題的特點(diǎn)選擇合適的解題方法。同時，要讓學(xué)生在解題過程中不斷總結(jié)和反思，加深對解題策略的理解和掌握，提高解題能力。5.4培養(yǎng)學(xué)生的反思與總結(jié)能力反思與總結(jié)能力是提升解題能力的關(guān)鍵要素，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在解題后對整個過程進(jìn)行回顧與思考，從而實(shí)現(xiàn)知識的深化與能力的進(jìn)階。在回顧解題過程時，教師要引導(dǎo)學(xué)生思考自己在每個步驟中的思路和方法，分析哪些步驟是正確的，哪些步驟存在問題。例如，在解決幾何證明題時，讓學(xué)生回顧自己是如何從已知條件推導(dǎo)出結(jié)論的，每一步推理是否有依據(jù)，是否存在邏輯漏洞。通過這樣的回顧，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)自己在解題過程中的思維誤區(qū)，及時糾正錯誤，提高邏輯思維的嚴(yán)密性。總結(jié)解題方法和經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)是反思的重要內(nèi)容。教師要幫助學(xué)生歸納總結(jié)出針對不同類型題目的解題方法和技巧，使學(xué)生能夠舉一反三，靈活運(yùn)用。在解決一元二次方程的問題后，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出因式分解法、配方法、公式法等常用的解題方法，并分析每種方法的適用條件和優(yōu)缺點(diǎn)。同時，讓學(xué)生思考在解題過程中遇到的困難和挫折，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，避免在今后的解題中犯同樣的錯誤。比如，學(xué)生在計算時經(jīng)常出現(xiàn)粗心大意的錯誤，通過反思總結(jié)，學(xué)生可以認(rèn)識到認(rèn)真審題、仔細(xì)計算的重要性，從而在今后的解題中更加嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真。反思錯誤原因也是培養(yǎng)學(xué)生反思與總結(jié)能力的重要環(huán)節(jié)。教師要引導(dǎo)學(xué)生深入分析自己在解題中出現(xiàn)錯誤的原因，是對知識點(diǎn)理解不透徹，還是解題方法不當(dāng)，或是粗心大意等其他原因。對于因知識點(diǎn)理解不透徹導(dǎo)致的錯誤，教師可以幫助學(xué)生重新梳理相關(guān)知識點(diǎn)，加深對知識的理解和掌握。對于解題方法不當(dāng)?shù)膯栴}，教師可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試其他解題方法，拓寬解題思路。對于粗心大意造成的錯誤，教師要提醒學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真審題、仔細(xì)答題的良好習(xí)慣。例如，在解決應(yīng)用題時，學(xué)生可能因?yàn)闆]有理解題意而列出錯誤的方程，通過反思錯誤原因，學(xué)生可以提高自己的閱讀理解能力和分析問題的能力。為了幫助學(xué)生更好地進(jìn)行反思與總結(jié)，教師可以要求學(xué)生建立錯題本，將自己在作業(yè)、考試中出現(xiàn)的錯題整理到錯題本上，并詳細(xì)分析錯誤原因，寫出正確的解題思路和方法。定期讓學(xué)生回顧錯題本，加深對錯誤的認(rèn)識，鞏固所學(xué)知識。教師