用空間向量研究距離夾角問題

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題【劃重點】1．理解點到直線、點到平面距離的公式及其推導(dǎo).2．利用空間向量求點到直線、點到平面、直線到直線、直線到平面、平面到平面的距離．3．會用向量法求線線、線面、面面夾角.4．能正確區(qū)分向量夾角與所求線線角、線面角、面面角的關(guān)系．【知識梳理】知識點一點P到直線l的距離已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設(shè)向量eq\o(AP,\s\up6(→))=a，則向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))＝，則點P到直線l的距離為eq\r(a2－a·u2)(如圖)．知識點二點P到平面α的距離設(shè)平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點，P是平面α外一點，則點P到平面α的距離為eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)(如圖)．知識點三兩個平面的夾角平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．知識點四空間角的向量法解法角的分類向量求法范圍兩條異面直線所成的角設(shè)兩異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))直線與平面所成的角設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))兩個平面的夾角設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))【例題詳解】一、點到直線的距離例1(1)已知空間直角坐標(biāo)系中的三點，，，則點A到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由點A到直線的距離,向量在向量上的投影及勾股定理即可求.【詳解】已知，，，所以，，點A到直線的距離為.故選：C.(2)直線l的方向向量為，且l過點，則點到l的距離為__________.【答案】【分析】利用空間向量投影和點到線的距離公式運算即可．【詳解】又，在方向上的投影，到l距離．故答案為：．(3)如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體求點B到直線的距離.【答案】【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運算求點到直線的距離.【詳解】設(shè)則，∴∴點B到直線的距離跟蹤訓(xùn)練1(1)已知直線l過點，且直線l的一個方向向量為，則坐標(biāo)原點O到直線l的距離d為___________.【答案】【分析】根據(jù)空間中點到直線距離公式計算即可.【詳解】由題知，直線過點，且直線的方向向量為，點，所以，所以點到的距離為故答案為：.(2)如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，為棱的中點，點在上，且，則的中點到直線的距離是______．【答案】【分析】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計算出、，進而可計算得出點到直線的距離為.【詳解】因為平面，底面為正方形，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點、、，，，，所以，，所以，的中點到直線的距離.故答案為：.二、點到平面的距離與直線到平面的距離例2如圖，正方體的棱長為2，點為的中點．(1)求點到平面的距離為；(2)求到平面的距離．【答案】(1)；(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求點到平面的距離為即可；（2）利用法向量的來證明線面平行，將到平面的距離進行轉(zhuǎn)化為點到面的距離即可.【詳解】（1）以為原點，所在的直線分別為軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，

設(shè)平面的一個法向量為，則，令，所以平面所的法向量為，又所以點到平面的距離.（2）由（1）可得平面的法向量為，∵，∴，，，∴平面，

所以到平面的距離可以轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，由，所以到平面的距離為.跟蹤訓(xùn)練2(1)已知平面的一個法向量，點在內(nèi)，則到的距離為（

）A．10B．3C．D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用空間向量法計算空間點到平面的距離，即可求解.【詳解】由題意得，，則到平面的距離為.故選：D.(2)如圖所示的多面體是由底面為的長方體被截面所截得到的，其中，，，，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，計算平面AEC1F的法向量，利用點到面距離的向量公式即得解【詳解】以D為原點，分別以DA，DC，DF所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則，∴，.設(shè)為平面的法向量，，由，得，令z=1，∴，所以.又，∴點C到平面AEC1F的距離d=.故選：C.(3)如圖所示，若正方形ABCD的邊長為1，平面ABCD，且，E、F分別為AB、BC的中點，則直線AC到平面PEF的距離為______．【答案】/【分析】以點D為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求直線到平面的距離.【詳解】依題意，以點D為原點，射線分別為軸非負半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，則，設(shè)平面PEF的一個法向量為，則，令，得，顯然，即，而直線平面，則平面，因此直線AC到平面PEF的距離即為點A到平面PEF的距離，而，則點A到平面PEF的距離，所以直線AC到平面PEF的距離為．故答案為：三、兩條異面直線所成的角例3(1)正方體中，E，F(xiàn)分別為，的中點，則異面直線AE與FC所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直接坐標(biāo)系，利用空間向量求解.【詳解】如圖，建立空間直接坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，因為E，F(xiàn)分別為，的中點，易知，A(2，0，0)，E(0，1，2)，C(0，2，0)，F(xiàn)(2，2，1)，所以，，所以<>=.因為異面直線AE與FC所成角為銳角.所以異面直線AE與FC所成角的余弦值為.故A，B，C錯誤.故選：D.(2)如圖，在圓錐中，，為底面圓的兩條直徑，，且，，，異面直線與所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求異面直線所成的角的余弦值，再得正弦值．【詳解】由題意以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，，，，，又，．，則，設(shè)異面直線與所成角為，則，為銳角，，所以．故選：D．跟蹤訓(xùn)練3(1)在棱長均等的正三棱柱中，直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)正三棱柱的棱長為2，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】設(shè)正三棱柱的棱長為2，取的中點，的中點，連接，則∥，，因為平面，平面，所以，所以，所以兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，設(shè)直線與所成角為，則，所以直線與所成角的余弦值為，故選：D(2)如圖，在四棱錐中，，底面ABCD為長方形，，，Q為PC上一點，且，則異面直線AC與BQ所成的角的余弦值為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出后可求線線角的余弦值.【詳解】因為平面，平面，故，底面ABCD為長方形，故，所以DP，DC，DA兩兩互相垂直，以D為原點，DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．，，，，，所以，，設(shè)異面直線AC與BQ所成的角為，則，所以異面直線AC與BQ所成的角的余弦值為．故選：A.四、直線與平面所成的角例4在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）作于，于，利用勾股定理證明，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.【詳解】（1）證明：在四邊形中，作于，于，因為，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因為平面，平面，所以，又，所以平面，又因為平面，所以；（2）解：如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，，則，則，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.跟蹤訓(xùn)練4如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；（2）取中點，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量和平面的一個法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出．【詳解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以．（2）由，，而與相交，所以平面，因為，所以，取中點，連接，則兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,則,又為中點，所以.由（1）得平面，所以平面的一個法向量從而直線與平面所成角的正弦值為．【點睛】本題第一問主要考查線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，要證明，可以考慮，題中與有垂直關(guān)系的直線較多，易證平面，從而使問題得以解決；第二問思路直接，由第一問的垂直關(guān)系可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角的向量公式即可計算得出．五、兩個平面的夾角例5如圖1，在直角梯形中，，，，，.現(xiàn)沿平行于的折疊，使得且平面，如圖2所示.(1)求的長度；(2)求二面角的大小.【答案】(1)1；(2)【分析】（1）利用垂直關(guān)系得，再結(jié)合勾股定理，即可求解；（2）分別求平面和的法向量，根據(jù)二面角的向量公式，即可求解.【詳解】（1）由平面，平面，得，在矩形中，由，，知，設(shè)，則，，故，，由勾股定理：，解得：，的長度為1；（2）因為，，，且平面，所以平面，結(jié)合知，兩兩互相垂直，故以點為原點，為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，，，所以，，，，設(shè)為平面的一個法向量，所以，取，則，設(shè)為平面的一個法向量，所以，取，則，記所求二面角大小為，為鈍角，則，所求二面角的大小為.跟蹤訓(xùn)練5如圖，在圓錐中，是底面的直徑，是底面圓周上的一點，且，，，是的中點.(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）確定，根據(jù)中點得到，得到平面，得到面面垂直.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，得到各點坐標(biāo)，平面的一個法向量為，是平面的一個法向量，根據(jù)向量的夾角公式計算得到答案.【詳解】（1）由是底面的直徑，點是底面圓周上的點，得.又因，分別為，的中點，所以，故.

因是圓錐的軸，所以底面，又平面，故.于是與平面內(nèi)的兩條相交直線，都垂直，從而平面；而平面，故由平面與平面垂直的判定定理，得平面平面.（2）在圓錐底面，過圓心作直徑的垂線，交圓周于點，則直線，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，直線，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，，，，.設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，得.又是平面的一個法向量，故.平面與平面所成的二面角是銳角，故二面角的余弦值為.【課堂鞏固】1．已知空間中三點，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點到直線距離的向量坐標(biāo)公式計算即可求解．【詳解】因為，所以，則點到直線的距離為.故選：C.2．已知正方體的棱長為2，，分別為上底面和側(cè)面的中心，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，按照距離的向量求法求解即可.【詳解】如圖，以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，易知，設(shè)平面的法向量，則，令，解得，故點到平面的距離為.故選：A.3．已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1，則平面AB1C與平面A1C1D之間的距離為()A．eq\f(\r(3),6)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(2\r(3),3)D．eq\f(\r(3),2)【答案】B【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1(1,0,0),C1(0,1,0),D(0,0,1),A(1,0,1)，所以eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(1,0，－1)，eq\o(DC1,\s\up6(→))＝(0,1，－1),eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1,0,0)，設(shè)平面A1C1D的一個法向量為m＝(x，y，1)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥\o(DA1,\s\up6(→))，,m⊥\o(DC1,\s\up6(→))，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝0，,y－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))故m＝(1,1,1)，顯然平面AB1C∥平面A1C1D，所以平面AB1C與平面A1C1D之間的距離d＝eq\f(|\o(AD,\s\up6(→))·m|,|m|)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).4．若異面直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角為150°，則l1與l2所成的角為()A．eq\f(π,6)B．eq\f(5π,6)C．eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)D．以上均不對【答案】A【詳解】l1與l2所成的角與其方向向量的夾角相等或互補，且異面直線所成角的范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故選A.5．在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾角與線線角相等或互補關(guān)系求結(jié)果.詳解：以D為坐標(biāo)原點，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C.點睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.6．如圖，在三棱錐中，平面，是邊長為的正三角形，，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】解法一：可以通過幾何法找到異面直線所成角的平面角，結(jié)合余弦定理可以求出；解法二：通過空間向量法，用坐標(biāo)運算可以求出.【詳解】解法一：設(shè)E為BC的中點，連接FE，如圖，∵E是BC的中點，∴∥，,,;在中，由余弦定理可知∴異面直線BE與AF所成角的余弦值為，解法二：以A為坐標(biāo)原點，AC，AM所在直線分別為y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，易知，，，所以，，則，∴異面直線BE與AF所成角的余弦值為.故選：D7．已知點，若，兩點在直線l上，則點A到直線l的距離為______.【答案】3【分析】先求與方向相同的單位向量，然后由公式可得.【詳解】依題意，而，故與方向相同的單位向量為，則所求距離.故答案為:38．在直三棱柱中，，，，分別為的中點.則點到平面的距離為__________.【答案】【分析】以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點的坐標(biāo)，求出平面的法向量以及，然后求出在上的投影向量的模，即可得出答案.【詳解】因為，，所以.又由直三棱柱的性質(zhì)，可知平面.如圖，以點為坐標(biāo)原點，分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，所以，，，.設(shè)是平面的一個法向量，則，即，取，則是平面的一個法向量.因為，在方向上投影向量的模為，所以，點到平面的距離為.故答案為：.9．已知向量為平面的法向量，點在內(nèi)，則點到平面的距離為__________．【答案】【分析】把點到平面的距離向量求法可得答案.【詳解】由題意可得，所以，設(shè)點到平面的距離為，則.故答案為：.10．如圖，在三棱錐中，，，兩兩垂直，，．(1)求點到直線的距離；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用點與直線距離的空間向量法計算可得.（2）利用直線與平面夾角的空間向量法計算可得【詳解】（1）解：以為坐標(biāo)原點，，，方向分別為，，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，．取，，則，，所以點到直線的距離為．（2）解：設(shè)是平面的一個法向量，則，所以，取，解得，所以．設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．11．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別為BB1,CC1的中點，，過點E,F,G的平面交AA1于點H，求D1A1到平面EFGH的距離．【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面EFGH的法向量，把線面距轉(zhuǎn)化為點面距，利用點面距的公式可得答案.【詳解】因為E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點，所以EF//B1C1//A1D1.又因為平面EFGH，EF平面EFGH，所以A1D1//平面EFGH.所以D1A1到平面EFGH的距離即為點D1到平面EFGH的距離．以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則，，，，所以，.設(shè)平面EFGH的一個法向量為，則，令z＝6，得．設(shè)D1A1到平面EFGH的距離為d，連接D1F.因為，所以，故D1A1到平面EFGH的距離為.12．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有單位正方體，點E是的中點，求直線與直線CE所成角的余弦值．【答案】【分析】用空間向量求解空間直線的夾角的余弦值.【詳解】設(shè)正方體棱長為a，則，，，，則，，設(shè)直線與直線CE所成角為（），則，故直線與直線CE所成角的余弦值為.13．如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，F(xiàn)為棱CD的中點．（I）求證：平面；（II）求直線與平面所成角的正弦值．（III）求二面角的正弦值．【答案】（I）證明見解析；（II）；（III）.【分析】（I）建立空間直角坐標(biāo)系，求出及平面的一個法向量，證明，即可得證；（II）求出，由運算即可得解；（III）求得平面的一個法向量，由結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可得解.【詳解】（I）以為原點，分別為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則,,,,,,，因為E為棱BC的中點，F(xiàn)為棱CD的中點，所以，，所以,,,設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，因為，所以，因為平面，所以平面；（II）由（1）得，，設(shè)直線與平面所成角為，則；（III）由正方體的特征可得，平面的一個法向量為，則，所以二面角的正弦值為.14．如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是的中點.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義即可證得線線垂直；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得直線的方向向量和平面的法向量，然后結(jié)合線面角的正弦值和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得線面角的余弦值.【詳解】(1)如圖所示，連結(jié)，等邊中，，則，平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，由面面垂直的性質(zhì)定理可得：平面，故，由三棱柱的性質(zhì)可知，而，故，且，由線面垂直的判定定理可得：平面，結(jié)合?平面，故.(2)在底面ABC內(nèi)作EH⊥AC，以點E為坐標(biāo)原點，EH,EC,方向分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，,，據(jù)此可得：，由可得點的坐標(biāo)為，利用中點坐標(biāo)公式可得：，由于，故直線EF的方向向量為：設(shè)平面的法向量為，則：，據(jù)此可得平面的一個法向量為，此時，設(shè)直線EF與平面所成角為，則.【點睛】本題考查了立體幾何中的線線垂直的判定和線面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.15．如圖，在底面是矩形的四棱雉中，平面，，，是PD的中點.(1)求證：平面平面PAD；(2)求平面EAC與平面ACD夾角的余弦值；(3)求B點到平面EAC的距離.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)【分析】（1）根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，利用兩向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示及線面垂直的判定定理，結(jié)合面面垂直的判定定理即可求解；（2）求出平面EAC與平面ACD的法向量，利用向量的夾角公式及面面角的定義即可求解；（3）根據(jù)（2）得出平面EAC的法向量，利用點到平面的距離公式即可求解.【詳解】（1）由題可知，以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示則所以所以即,所以即,又,平面PAD,所以平面PAD,又平面，所以平面平面PAD.（2）設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，由題意知，平面，平面ACD的法向量為,設(shè)平面EAC與平面ACD夾角的，則，所以平面EAC與平面ACD夾角的余弦值為.（3）由（2）知，平面的法向量為，設(shè)B點到平面EAC的距離為，則，所以B點到平面EAC的距離為.【課時作業(yè)】1．在棱長為2的正方體中，點E為棱的中點，則點到直線BE的距離為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，得到各點坐標(biāo)，再根據(jù)向量公式計算得到距離.【詳解】如圖所示：以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，點到直線BE的距離為.故選：C.2．直線l的方向向量為，且l過點，則點到直線l的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量投影和勾股定理即可計算.【詳解】∵，，∴，又，∴在方向上的投影，∴P到l距離.故選：C3．已知正方形的邊長為1，平面，且，分別為的中點，則直線到平面的距離為（

）A．2B．C．D．【答案】B【分析】先證明平面，再把距離轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，根據(jù)空間向量法求解即可.【詳解】建立以D為坐標(biāo)原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系.則，所以設(shè)平面的一個法向量為，則,即,令，則，所以.因為，所以點到平面的距離為.因為分別為的中點，所以，又平面，平面，所以平面，所以到平面的距離即為點到平面的距離為.故選：B.4．如圖，已知是側(cè)棱長和底面邊長均等于的直三棱柱，是側(cè)棱的中點.則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取的中點，連接，以點為坐標(biāo)原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得點到平面的距離.【詳解】取的中點，連接，因為為等邊三角形，為的中點，則，以點為坐標(biāo)原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，，所以，點到平面的距離為.故選：A.5．如圖，在正方體中，點E是上底面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角求解.【詳解】以為原點，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方體棱長為2，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B6．已知向量m，n分別是平面α和平面β的法向量，若cos〈m，n〉＝－eq\f(1,2)，則α與β的夾角為()A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】B【詳解】設(shè)α與β所成的角為θ，且0°≤θ≤90°，則cosθ＝|cos〈m，n〉|＝eq\f(1,2)，∴θ＝60°.7．設(shè)直線l與平面α相交，且l的方向向量為a，α的法向量為n，若〈a，n〉＝eq\f(2π,3)，則l與α所成的角為()A．eq\f(2π,3)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,6)D．eq\f(5π,6)【答案】C【詳解】線面角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).∵〈a，n〉＝eq\f(2π,3)，∴l(xiāng)與法向量所在直線所成角為eq\f(π,3)，∴l(xiāng)與α所成的角為eq\f(π,6).8．在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F(xiàn)為線段上的中點，點M滿足，則點M到直線AE的距離為________________．【答案】【分析】利用點到直線的距離與兩條平行線間的距離、空間向量的坐標(biāo)運算．【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，則有，又，即M在上，所以點M到直線AE的距離即等于點F到直線AE的距離，又因為，，所以，，所以點M到直線AE的距離為．故答案為：．9．已知平面的一個法向量，點在平面內(nèi)，則點到平面的距離為__________.【答案】【分析】運用空間中點到面的距離公式計算即可.【詳解】由題意知，，則，，所以點P到平面的距離為.故答案為：.10．在三棱錐中，平面平面，若棱長，且，則點到平面的距離為________．【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，利用空間距離的公式即可求出結(jié)果.【詳解】如圖所示，以AD的中點O為原點，以O(shè)D，OC所在直線為x軸、y軸，過O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直線OM為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A，B，C，D，∴＝，＝，＝，設(shè)為平面的一個法向量，則，所以y＝－x，z＝－x，可取,代入，得，即點D到平面ABC的距離是.故答案為：.11．已知正△ABC與正△BCD所在平面垂直，則平面ABD與平面BDC夾角的余弦值為____．【答案】eq\f(\r(5),5)【詳解】取BC的中點O，連接AO，DO，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)BC＝1，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(\r(3),2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，0))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，0)).所以eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(\r(3),2)))，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0)).由于eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(\r(3),2)))為平面BCD的一個法向量．設(shè)平面ABD的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BA,\s\up6(→))＝0，,n·\o(BD,\s\up6(→))＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)y＋\f(\r(3),2)z＝0，,\f(\r(3),2)x＋\f(1,2)y＝0，))取x＝1，則y＝－eq\r(3)，z＝1，所以n＝(1，－eq\r(3)，1)，所以cos〈n，eq\o(OA,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(5),5).12．如圖，已知正三棱柱的所有棱長均為1，則線段上的動點P到直線的距離的最小值為______.【答案】/【分析】首先以點A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用點到直線距離的坐標(biāo)公式列式，化簡后求函數(shù)的最小值即可.【詳解】在正三棱柱中，在平面內(nèi)過A作，顯然射線兩兩垂直，以點A為原點，射線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因正三棱柱的所有棱長均為1，則，所以，因動點P在線段上，則令，即有點，所以，則，從而，因此點P到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以線段上的動點P到直線的距離的最小值為.故答案為：13．如圖，在棱長為2的正方體中，E為的中點．(1)求證：平面；(2)求點C到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)2.【分析】（1）由四邊形為平行四邊形證得，進而證得//平面；（2）以點為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量，用空間向量求點C到平面的距離.【詳解】（1）易知，且，故四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，故//平面；（2）以點為坐標(biāo)原點,所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,∴.設(shè)平面的法向量為,由得令,則,則.點C到平面的距離，所以點C到平面的距離為2.13．如圖，在棱長為2的正方體中，為線段的中點，為線段的中點．(1)求直線與平面所成角的余弦值．(2)求直線到平面的距離．【答案】(1)；(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線與平面所成角的正弦值，再由平方關(guān)系求余弦值.（2）利用向量法證明平面，求得點到平面的距離即可.【詳解】（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，，令，可得，故可取.設(shè)直線與平面所成角，所以，可得.直線與平面所成角的余弦值.（2）由（1）知，，平面的法向量為，因為，所以，又平面，所以平面，設(shè)到平面的距離為，則，由直線與平面平行的性質(zhì)知，直線到平面的距離為.14．斜三棱柱的各棱長都為2，，點在下底面ABC的投影為AB的中點O．(1)在棱（含端點）上是否存在一點D使？若存在，求出BD的長；若不存在，請說明理由；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)存在，；(2)【分析】（1）連接，以O(shè)點為原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)，求出即可；（2）利用向量法求解即可.【詳解】（1）連接，因為，為的中點，所以，由題意知平面ABC，又，，所以，以O(shè)點為原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，由得，同理得，設(shè)，得，又，，由，得，得，又，∴，∴存在點D且滿足條件；（2）設(shè)平面的法向量為，，，則有，可取，又，∴點到平面的距離為，∴所求距離為.15．如圖在邊長是2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點．（1）求異面直線EF與所成角的大?。?）證明：平面．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用可得解；（2）利用和，可證得線線垂直，進而得線面垂直.【詳解】據(jù)題意，建立如圖坐標(biāo)系．于是：，，，，，∴，，，．（1），∴∴異面直線EF和所成的角為．（2）∴，即，∴即．又∵，平面且∴平面．16．如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AA1=2，點P，Q分別為A1B1，BC的中點．（1）求異面直線BP與AC1所成角