第18講復(fù)數(shù)全章復(fù)習(xí)（講義）

復(fù)數(shù)全章復(fù)習(xí)知識梳理1．復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及運算法則(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的分類①z是實數(shù)?b＝0；②z是虛數(shù)?b≠0；③z是純虛數(shù)?a＝0且b≠0.(2)共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z＝a＋bi的共軛復(fù)數(shù)eq\x\to(z)＝a－bi.(3)復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模|z|＝eq\r(a2＋b2).(4)復(fù)數(shù)相等的充要條件a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．特別地，a＋bi＝0?a＝0且b＝0(a，b∈R)．(5)復(fù)數(shù)的運算法則加減法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中a，b，c，d∈R.))2．復(fù)數(shù)的幾個常見結(jié)論(1)(1±i)2＝±2i.(2)eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i.(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)．(4)ω＝－eq\f(1,2)±eq\f(\r(3),2)i，且ω0＝1，ω2＝eq\x\to(ω)，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.3、理解復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)平面的有關(guān)概念：實軸是軸,虛軸是軸；與復(fù)數(shù)一一對應(yīng)的點是；非零復(fù)數(shù)與復(fù)平面上自原點出發(fā)以點為終點的向量一一對應(yīng)；復(fù)數(shù)模的幾何意義是:復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面上的點到原點的距離.【特別提醒】【特別提醒】(1)虛軸上的原點對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為，它所確定的復(fù)數(shù)是表示是實數(shù)故除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù).(2)復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點所成的集合是一一對應(yīng)關(guān)系，這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義,也是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示法.4、實系數(shù)一元二次方程實系數(shù)一元二次方程中的為根的判別式，那么（1）方程有兩個不相等的實根；（2）方程有兩個相等的實根；（3）方程有兩個共軛虛根，在（3）的情況下，方程的根與系數(shù)關(guān)系（韋達(dá)定理）仍然成立．求解復(fù)數(shù)集上的方程的方法：（1）設(shè)化歸為實數(shù)方程來解決（化歸思想）．（2）把看成一個未知數(shù)（而不是實部和虛部兩個未知數(shù)），用復(fù)數(shù)的性質(zhì)來變形（整體思想）．（3）對二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．5．復(fù)數(shù)的三角表示式及復(fù)數(shù)的輻角和輻角主值一般地，如果非零復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點Z(a，b)，且r為向量eq\o(OZ,\s\up7(→))的模，θ是以x軸正半軸為始邊、射線OZ為終邊的一個角，則r＝|z|＝eq\r(a2＋b2)，根據(jù)任意角余弦、正弦的定義可知cosθ＝eq\f(a,r)，sinθ＝eq\f(b,r).因此a＝rcosθ，b＝rsinθ，如圖所示，從而z＝a＋bi＝(rcosθ)＋(rsinθ)i＝r(cosθ＋isinθ)，上式的右邊稱為非零復(fù)數(shù)z＝a＋bi的三角形式(對應(yīng)地，a＋bi稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式)，其中的θ稱為z的輻角．顯然，任何一個非零復(fù)數(shù)z的輻角都有無窮多個，而且任意兩個輻角之間都相差2π的整數(shù)倍．特別地，在[0,2π)內(nèi)的輻角稱為z的輻角主值，記作argz6．復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運算若復(fù)數(shù)z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，則(1)z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)×r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．(2)eq\f(z1,z2)＝eq\f(r1,r2)[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．(3)[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn[cos(nθ)＋isin(nθ)].【易錯點提醒】1．復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)的充要條件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi，a，b∈R)．還要注意巧妙運用參數(shù)問題和合理消參的技巧．2．復(fù)數(shù)的運算與多項式運算類似，要注意利用i2＝－1化簡合并同類項．1．復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)的充要條件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi，a，b∈R)．還要注意巧妙運用參數(shù)問題和合理消參的技巧．2．復(fù)數(shù)的運算與多項式運算類似，要注意利用i2＝－1化簡合并同類項．考向一復(fù)數(shù)的概念【解決法寶】1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的概念：設(shè)a，b都是實數(shù)，形如a＋bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實數(shù)；若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)；若b≠0且a＝0，則a＋bi為純虛數(shù)．(2)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d；a＋bi＝0?a＝0且b＝0.(3)共軛復(fù)數(shù)：如果兩個復(fù)數(shù)的實部相等，而虛部互為相反數(shù)，則這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)z＝a＋bi的共軛復(fù)數(shù)eq\x\to(z)＝a－bi.2.復(fù)數(shù)的概念問題，關(guān)鍵在理解概念的基礎(chǔ)上，利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念解題.1．（2020·浦東新區(qū)·上海師大附中高二期末）若，且，則________.【答案】5【分析】推導(dǎo)出，從而，由此能求出.【詳解】解：∵，且，∴，∴，∴.故答案為：5.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的實部的求法，考查復(fù)數(shù)的運算法則等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.關(guān)鍵是利用復(fù)數(shù)的運算求出z的標(biāo)準(zhǔn)形式，并注意準(zhǔn)確掌握實部的概念.2．（2020·上海市洋涇中學(xué)高二期末）復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為_________（i為虛數(shù)單位）【答案】【分析】由共軛復(fù)數(shù)的定義求解．【詳解】復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為．故答案為：．3．（2020·上海大學(xué)附屬中學(xué)高二期末）已知是復(fù)數(shù)，為實數(shù)（為虛數(shù)單位），且．（1）求復(fù)數(shù)；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）設(shè)，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出、的值，即可得出復(fù)數(shù)的值；（2）化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長公式可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)，則，所以，，可得，為實數(shù)，所以，，解得，因此，；（2），所以，，可得，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是考向二復(fù)數(shù)的運算【解決法寶】復(fù)數(shù)的運算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)復(fù)數(shù)加法的運算定律：復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．1．（2021·全國高二單元測試）已知復(fù)數(shù)，.（1）求；（2）在復(fù)平面內(nèi)作出復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量.【答案】（1）；（2）答案見解析.【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的減法運算直接求解即可；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義直接作圖即可.【詳解】（1）由復(fù)數(shù)減法的運算法則得：.（2）在復(fù)平面內(nèi)作復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量，如圖中.2．（2021·江蘇高一課時練習(xí)）計算：－.【答案】1＋2i.【分析】利用復(fù)數(shù)的除法、乘方運算法則化簡即可.【詳解】－＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i10＝(1＋i)2－i10＝1＋2i.3．（2020·林芝市第二高級中學(xué)高二月考（理））已知復(fù)數(shù)滿足.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的乘法運算以及復(fù)數(shù)相等即可求解.（2）利用共軛復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的加法運算求出，然后再利用復(fù)數(shù)模的求法即可求解.【詳解】（1）設(shè)復(fù)數(shù)，則由復(fù)數(shù)相等得，解得（2）由（1）得∴∵∴∴.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運算、復(fù)數(shù)相等、共軛復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題.4．（2021·全國高一課時練習(xí)）計算：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算法則，準(zhǔn)確運算，即可求解.【詳解】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，可得；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，可得；（3）根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，可得.5．（2020·黃梅國際育才高級中學(xué)高二期中）已知復(fù)數(shù).（1）化簡：；（2）如果，求實數(shù)的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由復(fù)數(shù)z求出，然后代入復(fù)數(shù)ω＝z2+34化簡求值即可；（2）把復(fù)數(shù)z代入，然后由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡求值，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義列出方程組，從而解方程組可求得答案．【詳解】（1）∵，∴,∴.（2）∵,∴解得：【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，考查了復(fù)數(shù)相等的定義，是基礎(chǔ)題．6．（2020·巴楚縣第一中學(xué)高二期中（文））化簡下列復(fù)數(shù)（1）（2）【答案】（1）；（2）.【分析】利用復(fù)數(shù)的加減運算法則求解.【詳解】（1），，.（2），，.【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的加減，相等，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題考向三復(fù)數(shù)的幾何意義【解決法寶】1.復(fù)數(shù)z＝a＋bi←eq\o(――→,\s\up7(一一對應(yīng)))有序?qū)崝?shù)對(a，b)←eq\o(――→,\s\up7(一一對應(yīng)))點Z(a，b)．2.一般情況下復(fù)數(shù)不能比較大小。3.對于復(fù)數(shù)z＝a＋bi必須滿足a、b均為實數(shù)，才能得出實部為a，虛部為b.對于復(fù)數(shù)相等必須先化為代數(shù)形式才能比較實部與虛部．4.復(fù)數(shù)問題的實數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的最基本也是最重要的方法，其依據(jù)是復(fù)數(shù)相等的充要條件和復(fù)數(shù)的模的運算及性質(zhì)．5.復(fù)數(shù)與向量很相近.注意復(fù)數(shù)的求模運算.1.【2020·福建福州一中月考】已知是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，所以的虛部為，故選A2.【2020四川江油一中期中】若是純虛數(shù)，則的值為（）A．﹣7 B． C．7 D．﹣7或【答案】A【解析】因為是純虛數(shù)，故，，所以，∴，故選3.【2020貴州遵義一中期中】已知，是虛數(shù)單位，，則可取的值為（）A．1 B．1 C．1或1 D．任意實數(shù)【答案】C【解析】由于，所以，所以或，所以可取的值為1或1，故選C．4.（2020·上海市洋涇中學(xué)高二期末）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于（）（i為虛數(shù)單位）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】首先利用除法公式，計算復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷復(fù)數(shù)所在的象限.【詳解】,復(fù)數(shù)對應(yīng)的點是，在第一象限.故選：A5.（2020·上海市第二中學(xué)高二期末）設(shè)，其中，則下列命題中正確的是（）A．復(fù)數(shù)z可能為純虛數(shù)B．復(fù)數(shù)z可能是實數(shù)C．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一象限D(zhuǎn)．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的實部和虛部的符號可確定復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點的特征，從而可得正確的選項.【詳解】因為，，故ABD均錯誤，C正確.故選：C.6.【2020·上海奉賢一中期中】已知z＝（a﹣i）（1+i）（a∈R，i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則a＝_____.【答案】﹣1.【解析】因為,因為為純虛數(shù)，所以且，解得.7.【2020·江蘇徐州二中期中】已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值為___________．【答案】7【解析】設(shè)，由可得點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓及圓內(nèi)的點，則的最小值為．二、解答題8．（2020·浦東新區(qū)·上海師大附中高二期末）（1）已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，求的模；（2）已知，且，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)是純虛數(shù)，求出，求出代數(shù)式的值即可；（2）設(shè)，則，，得到，求出的取值范圍即可．【詳解】解：（1），若是純虛數(shù)，則，解得：，故，故；（2）由題意設(shè)，則，，故，時，取最小值，最小值是1，時，取最大值，最大值是5，故的取值范圍是，．考向四實系數(shù)一元二次方程【解決法寶】（1）在復(fù)數(shù)集中的一元二次方程的求根公式和韋達(dá)定理仍適用，但根的判別式僅在實數(shù)集上有效；（2）實系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)集中一定有根，若是虛根則一定成對出現(xiàn)；（3）齊二次實系數(shù)二次方程，將等式兩端除以后，將得到一個關(guān)于得實系數(shù)一元二次方程；（不作要求）（4）虛系數(shù)一元二次方程至少有一個為虛數(shù)）①判別式判斷實根情況失效；②虛根成對出現(xiàn)的性質(zhì)失效；如，雖然，但該方程并無實根，不過韋達(dá)定理仍適用.1．（2020·上海市建平中學(xué)高二期末）已知復(fù)數(shù)，（，是虛數(shù)單位）.（1）若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點落在第一象限，求實數(shù)的取值范圍；（2）若虛數(shù)是實系數(shù)一元二次方程的根，求實數(shù)的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知求出，由題意得，解不等式可得答案；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可求得結(jié)果【詳解】解：（1）由題意得，，因為在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點落在第一象限，所以，解得（2）由題意得，故，所以，即.【點睛】此題考查復(fù)數(shù)的加減運算，考查共軛復(fù)數(shù)，考查根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題2．（2020·上海市進才中學(xué)高二期末）已知是關(guān)于x的方程的一個根，求實數(shù)p、q的值及方程的另一個根．【答案】，，另一個根．【分析】根據(jù)是方程的一個根，代入方程，利用復(fù)數(shù)相等求得p，q即可.【詳解】因為是方程的一個根，所以，即，所以，解得，所以方程為，因為，所以方程的另一個根是.3．（2021·湖南長沙市·雅禮中學(xué)高一月考）已知關(guān)于的方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩根為、．（1）若p=8，求、；（2）若，求的值．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）利用求根公式即可求解.（2）將代入方程即可求解.【詳解】（1）由題意得，，∴，∴，．（2）已知關(guān)于x的方程的一根為，所以，所以，解得．4．（2020·青海（文））已知復(fù)數(shù)，是實數(shù)．（1）求復(fù)數(shù)z；（2）若復(fù)數(shù)是關(guān)于x的方程的根，求實數(shù)b和c的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，化簡得，結(jié)合是實數(shù)，列出方程，即可求解；（2）根據(jù)是方程的根，得到，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件，列出方程，即可求解.【詳解】（1）因為，可得，又由是實數(shù)，可得，解得，所以．（2）因為是方程的根，所以，即，可得，解得.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運算，以及復(fù)數(shù)相等的概念求參數(shù)，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的除法運算法則，以及復(fù)數(shù)相等的充要條件列出方程組是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力.5．（2021·寶山區(qū)·上海交大附中高二期末）已知方程有兩個根，，．（1）若，求實數(shù)p的值；（2）若，求實數(shù)p的值．【答案】（1）或；（2）或．【分析】（1）根據(jù)韋達(dá)定理，得出，，則可求出實數(shù)p的值；（2）根據(jù)題意，對兩根進行分類討論，一是兩實根，二是一對共軛虛根，分別根據(jù)韋達(dá)定理求出實數(shù)p的值.【詳解】解：（1）方程有兩個根，，則由韋達(dá)定理知：，，或；（2）①當(dāng)，為兩個實根，，即時，，，則，②當(dāng)，為一對共軛虛根，，即時，由，，得，由韋達(dá)定理可得，綜上所述，或.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理，列出對應(yīng)關(guān)系式，其中要注意對根的虛實情況進行討論.6．（2021·上海市奉賢中學(xué)高二期末）已知關(guān)于的方程的兩根為、.（1）若，求的值；（2）若，求實數(shù)的值.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）將代入方程，將復(fù)數(shù)化為一般形式，利用復(fù)數(shù)相等可求得實數(shù)的值；（2）列出韋達(dá)定理，由可得出關(guān)于的等式，由此可解得實數(shù)的值.【詳解】（1）已知關(guān)于的方程的一根為，所以，，所以，，解得；（2），由題意得.若，即，則，解得；若，即，由，可得，解得，，則，解得.綜上所述，或.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵在于以下兩點：（1）在解第一問時，可利用實系數(shù)的二次方程的兩個虛根互為共軛復(fù)數(shù)來求解；（2）在解第二問時，應(yīng)對二次方程是否有實根進行分類討論，并結(jié)合韋達(dá)定理求解.7．（2021·全國高一課時練習(xí)）已知3＋2i是關(guān)于x的方程2x2＋px＋q＝0的一個根，求實數(shù)p，q的值．【答案】【分析】由題得2(3＋2i)2＋p(3＋2i)＋q＝0，再利用復(fù)數(shù)相等的概念分析求解.【詳解】因為3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的根，所以2(3＋2i)2＋p(3＋2i)＋q＝0，即2(9＋12i－4)＋(3p＋2pi)＋q＝0，整理得(10＋3p＋q)＋(24＋2p)i＝0，所以解得【點睛】結(jié)論點睛：復(fù)數(shù).考向五復(fù)數(shù)的三角形式1．（2021·江蘇高一單元測試）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），若，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)相等的定義求出的值，再計算.【詳解】復(fù)數(shù)，所以，可得，所以.故選：D2．（2020·天津紅橋區(qū)·高一期中）已知，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示，即得答案.【詳解】.故選：.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)乘法的三角表示，屬于基礎(chǔ)題.3．（2020·全國高一課時練習(xí)）復(fù)數(shù)1+i的的輻角主值是____，三角形式是______.【答案】（cos+isin）【分析】求出復(fù)數(shù)的模，求出輻角的正切值．由對應(yīng)點所在位置求得復(fù)數(shù)的輻角主值，然后可得三角形式．【詳解】復(fù)數(shù)1+i的模是，因為1+i對應(yīng)的點在第一象限且輻角的正切tanθ＝1，它的輻角主值為，三角形式為：（cos+isin）．故答案為：；（cos+isin）．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式，考查輻角主值的概念，屬于基礎(chǔ)題．4．（2020·全國高一課時練習(xí)）復(fù)數(shù)的模是_____________.【答案】3【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式的定義，即可得到復(fù)數(shù)的模.【詳解】復(fù)數(shù)是三角形式，故的模是3.故答案為：3.【點睛】本題考查由復(fù)數(shù)的三角形式，寫出模的大小，屬基礎(chǔ)題.5．（2020·全國高一課時練習(xí)）_______________.【答案】【分析】將化為復(fù)數(shù)的三角形式，再利用除法法則，進行計算即可.【詳解】故答案為：.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)三角形式的除法法則，屬基礎(chǔ)題，注意本題中將純虛數(shù)轉(zhuǎn)化為三角形式的細(xì)節(jié).6．（2020·全國高一課時練習(xí)）______（用代數(shù)形式表示）.【答案】【分析】先用多項式乘法展開，再用兩角和與差的三角函數(shù)化簡，分別求出再整理為的形式.【詳解】解析.故答案為：.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的轉(zhuǎn)化，兩角和與差的三角函數(shù)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.7．（2020·全國高一課時練習(xí)）______.【答案】【分析】先將6轉(zhuǎn)化三角形式，再用復(fù)數(shù)的除法求解.【詳解】.故答案為：.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的轉(zhuǎn)化及其運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.8．（2020·全國高一課時練習(xí)）______________.【答案】【分析】先將不是標(biāo)準(zhǔn)三角形式的復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后再用乘法法則計算，即可求得.【詳解】.故答案為：.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式的乘法，注意將非標(biāo)準(zhǔn)三角形式化簡為標(biāo)準(zhǔn)三角形式.9．（2020·全國高一課時練習(xí)）_______________.【答案】【分析】先將代數(shù)形式的復(fù)數(shù)，以及非標(biāo)準(zhǔn)三角形式的復(fù)數(shù)，都化為標(biāo)準(zhǔn)三角形式，再用除法法則計算.【詳解】=故答案為：.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)三角形式的除法法則，屬基礎(chǔ)題，本題中需要將代數(shù)形式的復(fù)數(shù)，以及非標(biāo)準(zhǔn)三角形式的復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)三角形式.10．（2020·全國高一課時練習(xí)）復(fù)數(shù)是方程的一個根，那么的值等于________.【答案】【分析】由題意轉(zhuǎn)化條件得，再由復(fù)數(shù)三角形式的乘方法則即可得解.【詳解】因為復(fù)數(shù)是方程的一個根，所以.故答案為：.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)三角形式乘方法則的應(yīng)用，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11．（2020·全國高一課時練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則復(fù)數(shù)是_____________.(用代數(shù)形式表示).【答案】【分析】把與復(fù)數(shù)?i對應(yīng)的向量繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到z=(cos45°+isin45°)×(?i)，再把三角形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式運算即可.【詳解】由題意得.故答案為：【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的轉(zhuǎn)化及其運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.12．（2020·全國高一課時練習(xí)）復(fù)平面內(nèi)向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，A點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，現(xiàn)將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的向量為，則點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為_________.【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義求得對應(yīng)的復(fù)數(shù).【詳解】由于向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，而，現(xiàn)將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的向量為，所以對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.故答案為：【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)有關(guān)概念，屬于基礎(chǔ)題.13．（2020·全國高一課時練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，等腰直角三角形以為斜邊（其中為坐標(biāo)原點），若對應(yīng)的復(fù)數(shù)，則直角頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)_____________.【答案】或【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義由，得到，點的坐標(biāo)為，設(shè)點的坐標(biāo)為，再根據(jù)三角形是以為斜邊的等腰直角三角形，則有，再運算求解..【詳解】因為，所以，點的坐標(biāo)為.設(shè)點的坐標(biāo)為，則.由題意得，，所以，解得或，所以復(fù)數(shù)或.故答案為：或.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.四、解答題14．（2020·全國高一課時練習(xí)）復(fù)數(shù)的