2025年河南省開封市第十七中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

2025年河南省開封市第十七中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若曲線在點處的切線方程為，則()A．-1 B． C． D．12．某同學(xué)家門前有一筆直公路直通長城，星期天，他騎自行車勻速前往旅游，他先前進了，覺得有點累，就休息了一段時間，想想路途遙遠，有些泄氣，就沿原路返回騎了,當他記起詩句“不到長城非好漢”，便調(diào)轉(zhuǎn)車頭繼續(xù)前進.則該同學(xué)離起點的距離與時間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致為（）A． B．C． D．3．已知，為的導(dǎo)函數(shù)，則的圖象是（）A． B．C． D．4．利用數(shù)學(xué)歸納法證明“且”的過程中，由假設(shè)“”成立，推導(dǎo)“”也成立時，該不等式左邊的變化是（）A．增加B．增加C．增加并減少D．增加并減少5．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲次，正面向上的次數(shù)為，則（）A． B．C． D．6．在區(qū)間上任取兩個實數(shù)a，b，則函數(shù)無零點的概率為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的圖象如圖所示，若，且，則的值為（）A． B． C．1 D．08．設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是()A． B． C． D．9．等比數(shù)列的前項和為，已知，，則（）A．270 B．150 C．80 D．7010．已知四個命題：①如果向量與共線，則或；②是的充分不必要條件；③命題：，的否定是：，；④“指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，而是指數(shù)函數(shù)，所以是增函數(shù)”此三段論大前提錯誤，但推理形式是正確的.以上命題正確的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．311．4名同學(xué)報名參加兩個課外活動小組，每名同學(xué)限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有()A．4種 B．16種 C．64種 D．256種12．用反證法證明“”時，應(yīng)假設(shè)（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)等差數(shù)列，的前項和分別為，，若，則__________．14．不等式的解集為_______．15．已知函數(shù)，則當函數(shù)恰有兩個不同的零點時，實數(shù)的取值范圍是______．16．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的解集為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某小組有7個同學(xué)，其中4個同學(xué)從來沒有參加過天文研究性學(xué)習活動，3個同學(xué)曾經(jīng)參加過天文研究性學(xué)習活動．（1）現(xiàn)從該小組中隨機選2個同學(xué)參加天文研究性學(xué)習活動，求恰好選到1個曾經(jīng)參加過天文研究性學(xué)習活動的同學(xué)的概率；（2）若從該小組隨機選2個同學(xué)參加天文研究性學(xué)習活動，則活動結(jié)束后，該小組有參加過天文研究性學(xué)習活動的同學(xué)個數(shù)是一個隨機變量，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．18．（12分）已知平行四邊形中，，，，是邊上的點，且，若與交于點，建立如圖所示的直角坐標系.（1）求點的坐標；（2）求.19．（12分）已知橢圓.（1）求橢圓C的離心率e；（2）若，斜率為的直線與橢圓交于、兩點，且，求的面積.20．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若對于任意恒成立，求實數(shù)的最小值，并求當取最小值時的范圍.21．（12分）某農(nóng)場灌溉水渠長為1000m,橫截面是等腰梯形ABCD（如圖），,其中渠底BC寬為1m，渠口AD寬為3m,渠深.根據(jù)國家對農(nóng)田建設(shè)補貼的政策，該農(nóng)場計劃在原水渠的基礎(chǔ)上分別沿AD方向加寬、AB方向加深，若擴建后的水渠橫截面仍是等腰梯形，且面積是原面積的2倍.設(shè)擴建后渠深為hm，若挖掘費為ah2元/m3，擴建后的水渠的內(nèi)壁AB1，C1D1和渠底B1C1鋪設(shè)混凝土費為3a元/m2.（1）試用h表示渠底B1C1的寬，并確定h的取值范圍；（2）問：渠深h為多少時，可使總建設(shè)費最少？（注：總建設(shè)費為挖掘費與鋪設(shè)混凝土費之和）22．（10分）已知矩陣.（1）求直線在對應(yīng)的變換作用下所得的曲線方程；（2）求矩陣的特征值與特征向量.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】分析：求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由切線方程可得，即可得到答案.詳解：的導(dǎo)數(shù)為，曲線在點處的切線方程為，有，解得.故選：B.點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的運用，求切線的斜率，注意運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.2、C【解析】

分析：本題根據(jù)運動變化的規(guī)律即可選出答案．依據(jù)該同學(xué)出門后一系列的動作，勻速前往對應(yīng)的圖象是上升的直線，勻速返回對應(yīng)的圖象是下降的直線，等等，從而選出答案．解答：解：根據(jù)他先前進了akm，得圖象是一段上升的直線，由覺得有點累，就休息了一段時間，得圖象是一段平行于t軸的直線，由想想路途遙遠，有些泄氣，就沿原路返回騎了bkm（b＜a），得圖象是一段下降的直線，由記起詩句“不到長城非好漢”，便調(diào)轉(zhuǎn)車頭繼續(xù)前進，得圖象是一段上升的直線，綜合，得圖象是C，故選C．點評：本小題主要考查函數(shù)的圖象、運動變化的規(guī)律等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合思想．屬于基礎(chǔ)題．3、A【解析】

先化簡f（x）＝，再求其導(dǎo)數(shù)，得出導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，排除B，D．再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)小于0的x的范圍，確定導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而排除C，即可得出正確答案．【詳解】由f（x）＝，∴，它是一個奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故排除B，D．又，當﹣＜x＜時，cosx＞，∴＜0，故函數(shù)y＝在區(qū)間上單調(diào)遞減，故排除C．故選A．本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負之間的關(guān)系，即當導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解析】

由題寫出時的表達式和的遞推式，通過對比，選出答案【詳解】時，不等式為時，不等式為，增加并減少.故選D.用數(shù)學(xué)歸納法寫遞推式時，要注意從到時系數(shù)k對表達式的影響，防止出錯的方法是依次寫出和的表達式，對比增項是什么，減項是什么即可5、D【解析】分析：將一枚硬幣連續(xù)拋擲5次，正面向上的次數(shù)，由此能求出正面向上的次數(shù)的分布列詳解：將一枚硬幣連續(xù)拋擲5次，正面向上的次數(shù).故選D.點睛：本題考查離散型隨機變量的分布列的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意二項分布的合理運用．6、D【解析】

在區(qū)間上任取兩個實數(shù)a，b，其對應(yīng)的數(shù)對構(gòu)成的區(qū)域為正方形，所求事件構(gòu)成的區(qū)域為梯形區(qū)域，利用面積比求得概率.【詳解】因為函數(shù)無零點，所以，因為，所以，則事件函數(shù)無零點構(gòu)成的區(qū)域為梯形，在區(qū)間上任取兩個實數(shù)a，b所對應(yīng)的點構(gòu)成的區(qū)域為正方形，所以函數(shù)無零點的概率.本題考查幾何概型計算概率，考查利用面積比求概率，注意所有基本事件構(gòu)成的區(qū)域和事件所含基本事件構(gòu)成的區(qū)域.7、C【解析】由題意得，，則，又，即，解得，所以，令，即，，解得該函數(shù)的對稱軸為，則，即，所以，故選C.8、B【解析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念求結(jié)果.詳解：因為，所以,所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是,選B.點睛：首先對于復(fù)數(shù)的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實部為、虛部為、模為、對應(yīng)點為、共軛為9、B【解析】

根據(jù)題意等比數(shù)列的公比，由等比數(shù)列的性質(zhì)有，成等比數(shù)列，可得答案.【詳解】根據(jù)題意等比數(shù)列的公比.由等比數(shù)列的性質(zhì)有，成等比數(shù)列所以有，則，所以，故選：B本題考查等比數(shù)列的前項和的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題.10、B【解析】

由向量共線定理可判斷①；由充分必要條件的定義可判斷②；由特稱命題的否定為全稱命題，可判斷③；由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷④．【詳解】①，如果向量與共線，可得xy，不一定或，故①錯誤；②，|x|≤3?﹣3≤x≤3，x≤3不能推得|x|≤3，但|x|≤3能推得x≤3，x≤3是|x|≤3的必要不充分條件，故②錯誤；③，命題p：?x0∈（0，2），的否定是￢p：?x∈（0，2），x2﹣2x﹣3≥0，故③錯誤；④，“指數(shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)，而是指數(shù)函數(shù)，所以是增函數(shù)”由于a＞1時，y＝ax為增函數(shù)，0＜a＜1時，y＝ax為減函數(shù)，此三段論大前提錯誤，但推理形式是正確的，故④正確．其中正確個數(shù)為1．故選B．本題考查命題的真假判斷，主要是向量共線定理和充分必要條件的判斷、命題的否定和三段論，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解析】根據(jù)題意，每個同學(xué)可以在兩個課外活動小組中任選1個，即有2種選法，則4名同學(xué)一共有種選法；故選B.12、A【解析】

根據(jù)反證法的步驟，假設(shè)是對原命題結(jié)論的否定，即可得出正確選項．【詳解】根據(jù)反證法的步驟，假設(shè)是對原命題的否定，P（x0）成立的否定是使得P（x0）不成立，即用反證法證明“?x∈R，2x＞0”，應(yīng)假設(shè)為?x0∈R，0故選：A．本題考查反證法的概念，全稱命題的否定，注意“改量詞否結(jié)論”二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：首先根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，利用分數(shù)的性質(zhì)，將項的比值轉(zhuǎn)化為和的比值，從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意有，所以答案是.點睛：該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列的性質(zhì)的問題，將兩個等差數(shù)列的項的比值可以轉(zhuǎn)化為其和的比值，結(jié)論為，從而求得結(jié)果.14、【解析】

原不等式等價于，解之即可.【詳解】原不等式等價于，解得或.所以不等式的解集為本題考查分式不等式的解法，屬基礎(chǔ)題.15、【解析】

由題方程恰有兩個不同的實數(shù)根，得與有2個交點，利用數(shù)形結(jié)合得a的不等式求解即可【詳解】由題可知方程恰有兩個不同的實數(shù)根，所以與有2個交點，因為表示直線的斜率，當時，，設(shè)切點坐標為，，所以切線方程為，而切線過原點，所以，，，所以直線的斜率為，直線與平行，所以直線的斜率為，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為本題考查函數(shù)與方程的零點，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查切線方程，準確轉(zhuǎn)化題意是關(guān)鍵，是中檔題，注意臨界位置的開閉，是易錯題16、【解析】

先求出，根據(jù)為偶函數(shù)，即可得出,從而得出，從而判斷在上單調(diào)遞增，且，這樣即可由，得出，從而得出，這樣解不等式即可.【詳解】由題知函數(shù)為偶函數(shù)，則解得，所以，，故即答案為.本題主要考查函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題.已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，主要方法有兩個，一是利用關(guān)系式：奇函數(shù)由恒成立求解，偶函數(shù)由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函數(shù)一般由求解，偶函數(shù)一般由求解，用特殊法求解參數(shù)后，一定要注意驗證奇偶性.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）分布列見解析，【解析】

（1）恰好選到1個曾經(jīng)參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習活動的同學(xué)為事件，則，計算得到答案、（2）隨機變量，計算，，，得到分布列，計算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】（1）記“恰好選到1個曾經(jīng)參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習活動的同學(xué)”為事件，則其概率為．（2）隨機變量，，，．∴隨機變量的分布列為234∴．本題考查概率的計算，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.18、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)題意寫出各點坐標，利用求得點的坐標。（2）根據(jù)求得點的坐標，再計算、，求出數(shù)量積?！驹斀狻拷⑷鐖D所示的坐標系，則，，，，由，所以，設(shè)，則,所以，解得，所以（2）根據(jù)題意可知，所以,所以，從而，。本題考查了平面向量的坐標運算以及數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題。19、（1）；（2）.【解析】

（1）將橢圓的方程化為標準方程，得出、與的等量關(guān)系，可得出橢圓的離心率的值；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將的值代入得出橢圓的方程，將直線的方程與橢圓聯(lián)立，消去，列出韋達定理，利用弦長公式結(jié)合條件可求出，利用點到直線的距離公式計算出原點到直線的距離，然后利用三角形的面積公式可得出的面積.【詳解】（1）橢圓，橢圓長半軸長為，短半軸長為，；（2）設(shè)斜率為的直線的方程為，且、，，橢圓的方程為，由，.消去得，又有.，解得：滿足，直線的方程為.故到直線的距離，.本題考查橢圓離心率的計算，考查橢圓中的弦長與三角形面積的計算，一般將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達定理與弦長公式進行計算求解，難點在于計算量大，屬于中等題.20、（1）（2）【解析】

（1）零點分段去絕對值化簡解不等式即可；（2）恒成立，即恒成立，即，由絕對值三角不等式求即可求解【詳解】（1）當時，不等式化為，解得，可得；當時，不等式化為，解得，可得；當時，不等式化為，解得，可得.綜上可得，原不等式的解集為.（2）若恒成立，則恒成立，又最小值為.此時解得.本題考查絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式求最值，熟記定理，準確計算是關(guān)鍵，絕對值三角不等式成立條件是易錯點，是中檔題21、（1），h的取值范圍；（2）1m【解析】

（1）通過前后面積是兩倍關(guān)系可計算出擴建后的面積，通過梯形面積公式可找出關(guān)系式，于是可得答案；（2）找出總建設(shè)費用關(guān)于h的函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出極值，于是可得答案.【詳解】（1）設(shè)，由于，原來的橫截面面積，故擴建后的面積為，擴建后，可列方程為：，化簡整理得到，而，故，故渠底B1C1的寬為，h的取值范圍；（2）由（1）可表示，故，因此總建設(shè)費用為：，令，則，當時，，當時，，故在處取得極小值，故總建設(shè)費用最小為，即渠深h為時，可使總建設(shè)費最少.本題主要考查函數(shù)的實際應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力，計算能力，邏輯推理能力，難度中等.22、（1）；（2）屬于特征值的一