安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期春季聯(lián)賽試題 數(shù)學(xué) PDF版含解析

安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2025年春季聯(lián)賽(高一)本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，選擇題第1至第3頁(yè)，非選擇題第4至第6頁(yè)。全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘?？忌⒁馐马?xiàng)：1.答題前，務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫(xiě)自己的姓名、座位號(hào)，并認(rèn)真核對(duì)答題卡上所粘貼的條形碼中姓名、座位號(hào)與本人姓名、座位號(hào)是否一致。2.答選擇題時(shí)，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需3.答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)，要求字體工整、筆跡清晰。作圖題可先用鉛筆在答題卡規(guī)定的位置繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米的黑色墨水簽字筆描清楚。必須在題號(hào)所指示的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在4.考試結(jié)束，務(wù)必將試題卷和答題卡一并上交。一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件2.已知集合A={x|2x2-3x≤2},,則A∩B=()A.f(2025)=0B.f(x)的周期為6C.f(x)圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D.f(x—6)是奇函數(shù)5.已知函數(shù),實(shí)數(shù)a,b滿足f(a)—f(—b)>0,則下列說(shuō)法正確的是()A.a2>b2B.a2<b2C.a+b>06.已知函數(shù),且函數(shù)f(x)的相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的直線距離為√5+π2,若Vx∈R,f(xn)≥f(x),則sinxn=7.定義,若函數(shù)f(x)=min{x2—tx+t+3,21-4},當(dāng)關(guān)于x的方程f(x)=0至少有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()BDD二、選擇題(本題共3小題，第9題為選考題，請(qǐng)考生任選一題作答。每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。)9.【選考人教版—復(fù)數(shù)】已知復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位),則下列說(shuō)法正確的是()【選考北師大版——百分位數(shù)】現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)1,2,5,7,10,則下列說(shuō)法正確的是()A.這組數(shù)據(jù)的極差為8B.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5C.這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為5D.這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為610.在銳角△ABC中，下列結(jié)論一定成立的是()A.sinA>cosBB.tanA+tanB+tanC=taC.1+sin2C<cos2B+sin2AD.sin2A-sin2B=sin11.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，非零向量OA=(m,n),其中m2+n2=1,將OA繞著點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ角得到向量OB,點(diǎn)P滿足AP=2PB,則下列說(shuō)法正確的是()A.若構(gòu)成△OAB,則△OAB面積的最大值為 B.OB在OA方向上的投影向量為(mcosθ,nsinθ)D.|OP|的最小值為考生注意事項(xiàng)：請(qǐng)用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效。三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分。第14題為選考題，請(qǐng)考生任選一題作答，若兩題都答，則以所做的第一題計(jì)分。)12.定義在R上的函數(shù)f(x),滿足f(—3)>f(2),且對(duì)Vx,y∈R,都有f(xy)=f(x)f(y)成立.請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿足上述條件的函數(shù)f(x)=13.已知a>b>0,的最小值為14-1.【選考人教版——球】勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”,它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來(lái)回滾動(dòng)(如圖甲),利用這一原理，科技人員發(fā)明了轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī).勒洛四面體是以正四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體如圖乙所示.已知正四面體ABCD的內(nèi)切球的半徑,若在勒洛四面體ABCD內(nèi)放一個(gè)小正方體零件，該零件可以在勒洛四面體ABCD內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則該零件棱長(zhǎng)的最大值為乙14-2.【選考北師大版——古典概型】一個(gè)不透明的盒子里裝有規(guī)格完全相同的5個(gè)小球，編號(hào)分別為1,2,3,4,5,現(xiàn)采用有放回的方式摸球3次，每次摸出1個(gè)小球，其中第3次是先拿出編號(hào)為1,3,5的三個(gè)小球后再摸球一次，則這三次摸到的小球號(hào)碼之和為偶數(shù)的概率四、解答題(本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。)15.(13分)(1)若c=√2,求b;16.(15分)如圖，已知扇形AOB的圓心角為,半徑為1,點(diǎn)E,F分別是弧AB上的三等分點(diǎn)，連接(2)求BE·AF.17.(15分)已知函數(shù),g(x)=Inx,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)若f(x)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)求y=[g(x)]2-g(ex)-1,x∈[1,e2]的值域；(3)若x。是方程x2e?+g(x)=0范圍.(選考題)(17分)(請(qǐng)考生從18-1,18-2兩題中任選一題作答，若兩題都答，則以所做的第一題計(jì)分。)18-1.【選考人教版——立體幾何】點(diǎn)，將△BCE沿著CE翻折成△PCE,使得第18-1題圖(2)若點(diǎn)M,N分別為棱AP和PC的中點(diǎn)，求四面體M-DEN的體積；(3)求平面PAE與底面AECD所成二面角的余弦值.18-2.【選考北師大版——統(tǒng)計(jì)和概率】隨著新能源汽車(chē)的不斷普及，城市街道上的綠色牌照車(chē)輛日益增多，悄然改變著人們的出行方式。為了研究購(gòu)買(mǎi)新能源汽車(chē)的人群年齡分布，現(xiàn)從某品牌新能源汽車(chē)近一年的銷(xiāo)售情況中隨機(jī)抽取了100位顧客的基本信息，按年齡(單位：歲)分組，分為5組，依次是(20,30),(30,40),(40,50),[50,60],(60,70),整理可得到如下的頻率分布直方圖.用樣本的數(shù)字特征來(lái)估計(jì)總體的數(shù)字特征，請(qǐng)完成以下問(wèn)題(1)求a;(2)估計(jì)該品牌新能源汽車(chē)的購(gòu)買(mǎi)人群的平均年齡；(3)經(jīng)計(jì)算可知，樣本數(shù)據(jù)中年齡位于(50,60)內(nèi)的方差為12,年齡位于(60,70)內(nèi)的方差為10,請(qǐng)估計(jì)該品牌新能源汽車(chē)的購(gòu)買(mǎi)人群的年齡在50歲以上的方差.第18-2題圖19.(17分)已知集合A={1,2,3,…n}.對(duì)于A的非空子集S,定義函數(shù)f(S)為S中所有元素的最大公約數(shù)(gcd),例如gcd(2)=2,gcd(1,2)=1,gcd(2,6,12)=2.請(qǐng)解決以下問(wèn)題.(1)當(dāng)n=6時(shí)，求滿足f(S)=1的二元集合S的個(gè)數(shù)；(2)證明：當(dāng)n為質(zhì)數(shù)時(shí)，且S至少含有2個(gè)元素時(shí)，則f(S)=1的充要條件是S中存在兩個(gè)互質(zhì)的元素；(3)當(dāng)n=10時(shí)，求所有滿足f(S)=1的非空子集S的個(gè)數(shù).安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2025年春季聯(lián)賽(高一)12345678CCDBDABB9一、選擇題：本大題共8個(gè)題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.【答案】C【解析】a2+b2≤2ab?(a-b)2≤0?a=b,即p與q等價(jià)，所以p是q的充要條件.2.【答案】C【解析】則A∩B={x|0<x≤2},故答案選C3.【答案】D4.【答案】B【解析】由f(1+x)=-f(2-x)得f(1+x)+f(2-x)=0,則函數(shù)f(x)圖象關(guān)于點(diǎn))對(duì)稱(chēng)，所以答案C錯(cuò)誤；又因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，則易得f(x)的周期為6,故答案B正確；f(x-6)為偶函數(shù)，答案D錯(cuò)誤；f(2025)=f(3)=f(0),不一定為0,故答案A錯(cuò)誤.5.【答案】D【解析】,定義域?yàn)?-1,1),由得，f(x)為奇函數(shù)，則f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；由f(a)-f(-b)>0得-1<a<-b<1,故答案D正確.6.【答案】A【解析】由)可知，T=2π,函數(shù)f(x)相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的直線距離為√5+π2,即有,解得a=1.所以.對(duì)Vx∈R,f(x。)≥f(x),則在x?處取最大值，即有sin(x+φ)=1,即數(shù)學(xué)試題第1頁(yè)(共7頁(yè))數(shù)學(xué)試題第2頁(yè)(共7頁(yè))7.【答案】B【解析】(方法一)易知方程2-4=0只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，分別為x=-2和x=2,故方程x2-tx+t+3=0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，下面分情況討論：當(dāng)△=t-4(t+3)=0時(shí)，即t=6或t=-2時(shí)，方程只有一個(gè)根，若t=6,則根為x=3,符合題意；若t=-2,則根為x=-1,結(jié)合取小函數(shù)圖象可知，方程f(x)=0只有兩個(gè)根，不符合題意；當(dāng)△=t2-4(t+3)>0時(shí)，即t>6或t<-2時(shí)，方程x2-tx+t+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，分別設(shè)為x,x?,并且x?<x?,結(jié)合取小函數(shù)圖象，當(dāng)2≤x?<x?或x<x?≤-2時(shí)，方程f(x)=0至少有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則或,解得6<t≤7;則實(shí)數(shù)t的取值范圍是[6,7],故答案B正確.(方法二)代入特殊值，排除法CP=在△APC中，由余弦定理可知，AC2=CP2+AP2-2·CP·AP·cos60°,計(jì)算得再由余弦定理可知，AP2=CP2+AC2-2·CP·AC·cosθ,帶入計(jì)算得(方法二)此點(diǎn)為布洛卡點(diǎn)，故由余弦定理可證(a2+b2+c2)·tanθ=4SABC,所以展開(kāi)即可.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)得0分。9.【答案】(人教版)BD;(北師大版)BD.【解析】(人教版),故(北師大版)這組數(shù)據(jù)的極差為10-1=9,這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(1+2+5+7+10)÷5=5,因?yàn)?×60%=3,數(shù)學(xué)試題第3頁(yè)(共7頁(yè))故取從小到大排列的第3和第4個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即故BD正確.【解析】由得則即sinA>cosB,故A正確；由變形得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,故答案B正確；因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以a2<b2+c2,則sin2A<sin2B+sin2C,sin2A<sin2C+(1-cos2B),故答案C錯(cuò)誤；sin(A+B)sin(A-B)=(sinAcosB+cosAsin=(sinAcosB)2-(cosAsinB)2=sin2A(1-sin2B)-(1-sin2A)sin2B=sin2A-sin2B,故答案D正確；故ABD正確.【解析】本題改編自人教版習(xí)題6.4的第11題.選項(xiàng)A,易知△OAB為等腰三角形，且|OAHOB|=1,所以△OAB面積的最大值為,此時(shí)θ=90°,選項(xiàng)B,OB在OA方向上的投影向量為xg=|OB|=cos(a+θ)=cosacosθ-sinasinθ=mcosyB=|OB?F=sin(a+θ)=sinacosθ+cosasinθ=msinθ+ncosθ,選項(xiàng)D,因?yàn)锳P=2PB,且O,A,B三點(diǎn)不共線，故,平方得.故ACD正確.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【答案】f(x)=x2,f(x)=x(答案不唯一)【解析】由Vx,y∈R,都有f(xy)=f(x)f(y)可知，冪函數(shù)f(x)=x”滿足性質(zhì)；再由f(-3)>f(2)可知該冪函數(shù)在R上不是單調(diào)函數(shù)，故可填f(x)=x2.(答案不唯一)13.【答案】數(shù)學(xué)試題第4頁(yè)(共7頁(yè))【解析】令a+2b=m,則m>0,a-b=n,則n>0;由可解,帶入原式可得,當(dāng)且僅當(dāng),即m=√2n時(shí)取等，的最小值14.【答案】(人教版)(北師大版)【解析】(人教版)由正四面體ABCD的內(nèi)切球的半徑為可得該正四面體的棱長(zhǎng)為2,正方體零件可以在勒洛四面體ABCD內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，不難得到當(dāng)零件棱長(zhǎng)最大時(shí)，該正方體內(nèi)接于勒洛四面體的內(nèi)切球.勒洛四面體的內(nèi)切球與勒洛四面體的弧面相切，如圖，點(diǎn)0為該球的球心，易知該球的球心0為正四面體ABCD的中心，半徑為OE,連接BE,易知B,O,E三點(diǎn)共線，且BE=2,,所以,即勒洛四面體的內(nèi)切球的半徑為,則該內(nèi)切球的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為.,即該正方體零件的棱長(zhǎng)的最大值為：(北師大版)(方法一)前兩次小球的號(hào)碼之和必為偶數(shù)，即前兩次都為奇數(shù)或者偶數(shù).(方法二)由列表法可知前兩次有放回的摸球號(hào)碼之和號(hào)碼之和第一次小球的號(hào)碼12345第二次小球12345623456734567845678956789之和也必為偶數(shù)，由表格可知此概率為四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.(13分)【解析】(1)如圖15-1,當(dāng)c=√2時(shí)，(2)如圖15-2,當(dāng)BD=2DC時(shí)，即所以(6分)(8分)(10分)(13分)圖15-1圖15-216.(15分)【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)E,F分別是弧AB上的三等分點(diǎn)，所以,(2分)所以O(shè)F=OA+√2OB,(注：建立平面直角坐標(biāo)系亦可做)17.(15分)(6分)(10分)(15分)即(4分)(2)y=[g(x)]2-g(ex)-1=(Inx)2-In(ex)-1=(Inx)2-I(3)若x是方程x2e?+g(x)=0的根，則數(shù)學(xué)試題第5頁(yè)(共7頁(yè)),即Inx?=-x?,(13分)18.(17分)(人教版)【解析】(1)取CE的中點(diǎn)為Q,(2)連接AC交DE于點(diǎn)G,連接MG,在四邊形AECD中，由AE//CD,AE=CD,可得四邊形AECD為平行四邊形，所以點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)，又因?yàn)镸為AP的中點(diǎn)，所以MG是三角形PAC的中位線，故MG//PC,所以VM-DEN=VN-MDE=Vc-MDE=VM-CDE,(7分)過(guò)點(diǎn)P作底面AECD的垂線，交DQ延長(zhǎng)線于點(diǎn)0,在直角△POQ中，(11分)(3)由(2)可知，PO⊥底面AECD,延長(zhǎng)AE,過(guò)點(diǎn)0作AE延長(zhǎng)線的垂線，交點(diǎn)記為T(mén),連接PT,因?yàn)镻O⊥底面AECD,所以PO⊥AE,又因?yàn)镻在直角所以(北師大版)(1)在頻率分布直方圖中，所有小矩形的面積和為1,則(2a+3a+7a+0.030+2a)×10=1,解得a=0.005.(4分)歲.(8分)數(shù)學(xué)試題第6頁(yè)(共7頁(yè))(3)先計(jì)算樣本數(shù)據(jù)中年齡位于[50,70]內(nèi)的平均數(shù)為根據(jù)方差的定義，記年齡位于[50,60]內(nèi)的平均數(shù)為x=55,方差為s2=12,人數(shù)為30,年齡位于[60,70]內(nèi)的平均數(shù)