第11章簡(jiǎn)單幾何體（單元提升卷）

第11章簡(jiǎn)單幾何體（單元提升卷）（滿分150分，完卷時(shí)間120分鐘）考生注意：1．本試卷含三個(gè)大題，共21題．答題時(shí)，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無(wú)效．2．除第一、二大題外，其余各題如無(wú)特別說(shuō)明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出解題的主要步驟．一、填空題1．若一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)是底面半徑的3倍，則該圓錐的側(cè)面積是底面積的_________倍；【答案】3；【分析】分別計(jì)算側(cè)面積和底面積后再比較．【詳解】由題意，，，∴．故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的側(cè)面積，掌握側(cè)面積計(jì)算公式是解題關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．2．若將兩個(gè)半徑為1的鐵球熔化后鑄成一個(gè)球，則該球的半徑為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)球的體積等于兩個(gè)半徑為1的球的體積之和即可求其半徑．【詳解】設(shè)大球的半徑為，則根據(jù)體積相同，可知，則，解得故答案為：．3．已知一個(gè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，其側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)為，則這個(gè)正四棱柱的側(cè)面積為_(kāi)________.【答案】【詳解】設(shè)正四棱柱的高（側(cè)棱長(zhǎng)）為，因側(cè)面為矩形，故，，側(cè)面積為，填.4．若一個(gè)球的體積為，則該球的表面積為_(kāi)________．【答案】【詳解】由題意，根據(jù)球的體積公式，則，解得，又根據(jù)球的表面積公式，所以該球的表面積為.5．直角梯形繞著它的垂直于底邊的腰所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體是_____．【答案】圓臺(tái)【分析】直接由圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征得答案．【詳解】由圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，可知直角梯形繞著它的垂直于底邊的腰所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體是圓臺(tái)．故答案為圓臺(tái)．【點(diǎn)睛】本題考查圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征.6．已知一個(gè)四棱錐的高為3，其底面用斜二測(cè)畫法所畫出的水平放置的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，則此四棱錐的體積為_(kāi)_____．【答案】【分析】先依據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則求得四棱錐的底面積，再去求其體積即可.【詳解】依據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1，高為的平行四邊形.則四棱錐的底面積為，此四棱錐的體積為故答案為：7．已知一個(gè)正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為1和2，其側(cè)面積恰等于兩底面積之和，則該正四棱臺(tái)的高為_(kāi)__________．【答案】.【分析】利用棱臺(tái)的高、斜高、邊心距構(gòu)成直角梯形，即可求出．【詳解】設(shè)正四棱臺(tái)的高、斜高分別為h，x．所以，解得．再根據(jù)棱臺(tái)的高、斜高、邊心距構(gòu)成直角梯形，可得，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．若圓柱的底面直徑和高都與球的直徑相等圓柱、球的表面積分別記為、則有______【答案】試題分析：設(shè)球的直徑為2R，則考點(diǎn)：球的表面積9．已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為2的半圓，則圓錐的體積為_(kāi)_______.【答案】【分析】由側(cè)面展開(kāi)圖求出圓錐的底面半徑和高，再由體積公式計(jì)算．【詳解】由題意圓錐的母線長(zhǎng)為，設(shè)圓錐底面半徑為，則，，所以高為，體積為．故答案為：．10．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知一個(gè)凸多面體的平面展開(kāi)圖由兩個(gè)正六邊形和六個(gè)正方形構(gòu)成，如圖所示，若該凸多面體所有棱長(zhǎng)均為，則其體積_____.【答案】【分析】由展開(kāi)圖知該多面體是正六棱柱，由棱柱體積公式計(jì)算即得．【詳解】該多面體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為1的正六邊形，高為1的正六棱柱.則底面六邊形的面積,如圖所示，在中，,,由余弦定理,所以,,則，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查正六棱柱的表面展開(kāi)圖，考查棱柱的體積．屬于基礎(chǔ)題．11．圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為的水，若放入一個(gè)球（球的半徑與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒(méi)球（如圖所示），則球的半徑是________.【答案】3【分析】根據(jù)水的體積與球的體積之和為一個(gè)高為的圓柱的體積即可求解.【詳解】設(shè)球的半徑為，根據(jù)題意，水的體積與球的體積之和等于高為的圓柱的體積，所以，解得.故答案為：312．設(shè)是半徑為的球面上的四個(gè)不同點(diǎn),且滿足,,,用分別表示△?△?△的面積,則的最大值是___________【答案】2【分析】由題意可知，三棱錐的頂點(diǎn)的三條直線兩兩垂直，可以擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，對(duì)角線為球的直徑，設(shè)出三邊長(zhǎng)度，表示出面積關(guān)系式，然后利用基本不等式，求出最大值.【詳解】解：設(shè)，因?yàn)閮蓛苫ハ啻怪?，擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，它的對(duì)角線為球的直徑，所以，，即最大值為：2．故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題是基礎(chǔ)題，考查球的內(nèi)接多面體，基本不等式求最值問(wèn)題，能夠把幾何體擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，推知多面體的外接球是同一個(gè)球，是解題的關(guān)鍵.二、單選題13．直角三角形的三邊滿足，分別以，，三邊為軸將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積記為、、，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】求出，，，推導(dǎo)出，從而得到．【詳解】直角三角形的三邊滿足，分別以、、三邊為軸將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積記為、、，，，該直角三角形斜邊上的高滿足，可得，，，，，，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查旋轉(zhuǎn)體體積的大小比較，解題的關(guān)鍵就是確定旋轉(zhuǎn)體的形狀，并據(jù)此求出對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)體的體積，結(jié)合作差法比較即可.14．平行六面體的六個(gè)面都是菱形，那么點(diǎn)在面上的射影一定是的________心，點(diǎn)在面上的射影一定是的________心（

）A．外心、重心 B．內(nèi)心、垂心 C．外心、垂心 D．內(nèi)心、重心【答案】C【解析】將三棱錐、三棱錐分離出來(lái)單獨(dú)分析，根據(jù)線段長(zhǎng)度以及線線關(guān)系證明的射影點(diǎn)分別是和的哪一種心.【詳解】三棱錐如下圖所示：記在面上的射影點(diǎn)為，連接，因?yàn)椋制矫?，所以，所以，所以為的外心；三棱錐如下圖所示：記在面上的射影點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，且四邊形是菱形，所以，所以，又因?yàn)槠矫妫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，同理可知：，所以為的垂心，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是通過(guò)的射影點(diǎn)去證明線段長(zhǎng)度的關(guān)系、線段位置的關(guān)系，借助線面垂直的定義和判定定理去分析解答問(wèn)題.15．如圖，正四面體的體積為，底面積為，是高的中點(diǎn)，過(guò)的平面與棱、、分別交于、、，設(shè)三棱錐的體積為，截面三角形的面積為，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】設(shè)，取與重合時(shí)的情況，計(jì)算出以及的值，利用排除法可得出正確選項(xiàng).【詳解】如圖所示，利用排除法，取與重合時(shí)的情況.不妨設(shè)，延長(zhǎng)到，使得．，，，，則，由余弦定理得，，，又，，當(dāng)平面平面時(shí)，，，排除B、D選項(xiàng)；因?yàn)?，，此時(shí)，，當(dāng)平面平面時(shí)，，，排除C選項(xiàng).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱錐的體積計(jì)算公式、排除法，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．16．已知半球與圓臺(tái)有公共的底面，圓臺(tái)上底面圓周在半球面上，半球的半徑為1，則圓臺(tái)側(cè)面積取最大值時(shí)，圓臺(tái)母線與底面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)，，作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交球面于點(diǎn)，則由圓的相交弦定理可得，從而可求得，進(jìn)而可表示出圓臺(tái)的側(cè)面積，求出其最大值，從而可得的值，然后在求出圓臺(tái)母線與底面所成角的余弦值即可【詳解】如圖1所示，設(shè)，，作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交球面于點(diǎn)，則，，由圓的相交弦定理及圖2得，即，解得，則圓臺(tái)側(cè)面積，則，令，則或（舍去），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．當(dāng)時(shí)，，則．在軸截面中，為圓臺(tái)母線與底面所成的角，在中可得，故選：D．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題是立體幾何中最值的綜合性問(wèn)題．旋轉(zhuǎn)體的問(wèn)題常需正確做出軸截面圖進(jìn)行分析，最值問(wèn)題要注意“選元”“列式”“討論最值”三個(gè)環(huán)節(jié)，考查線面角的余弦值，屬于較難題三、解答題17．如圖，已知圓柱底面圓的半徑為，高為2，AB、CD分別是兩底面的直徑，AD、BC是母線，若一只小蟲從A點(diǎn)出發(fā)，從側(cè)面爬行到C點(diǎn)，求小蟲爬行的最短長(zhǎng)度．【答案】2【分析】小蟲爬行的最短長(zhǎng)度，是半個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)矩形的對(duì)角線.通過(guò)勾股定理求得這個(gè)對(duì)角線的長(zhǎng).【詳解】解：如圖，將圓柱的側(cè)面展開(kāi)，其中AB為底面圓周的一半，即AB=,AD=2則小蟲爬行的最短路線為線段AC,在矩形AC中，AC=所以小蟲爬行的最短路線長(zhǎng)度為2.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，考查兩點(diǎn)間的距離公式以及分析和思考能力，屬于基礎(chǔ)題.18．一個(gè)圓錐的底面半徑為2，高為6，在其中有一個(gè)高為x的內(nèi)接圓柱．(1)用x表示圓柱的軸截面面積S；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，S最大？【答案】(1)S＝－x2＋4x(0<x<6)．(2)當(dāng)x＝3時(shí)，S最大，最大值為6.【分析】分析：（1）畫出圓錐的軸截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和比例的性質(zhì)，得出內(nèi)接圓柱底面半徑r與x關(guān)系式即可（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)易得到其最大值，及對(duì)應(yīng)的x的值．詳解：畫出圓柱和圓錐的軸截面，如圖所示，設(shè)圓柱的底面半徑為r，則由三角形相似可得＝，解得r＝2－.(1)圓柱的軸截面面積S＝2r·x＝2·(2－)·x＝－x2＋4x(0<x<6)．(2)∵S＝－x2＋4x＝－(x2－6x)＝－(x－3)2＋6，∴當(dāng)x＝3時(shí)，S最大，最大值為6.點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓錐的幾何特征及圓錐及圓柱的軸截面面積公式，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題是解答立體幾何題最常用的思路．19．如圖，在四棱錐中，，且．(1)證明：直線平面PAD；(2)若，，且四棱錐的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）由線面垂直的判定定理證明線面垂直；（2）在平面PAD內(nèi)作，垂足為點(diǎn)E．證明平面ABCD．設(shè)，則，．由棱錐體積求得后可得各面面積．即可得側(cè)面積．(1)證明：因?yàn)?，且，所以且．又，平面，所以直線平面PAD．(2)解：在平面PAD內(nèi)作，垂足為點(diǎn)E．由（1）知平面PAD，故．又，平面，所以平面ABCD．設(shè)，則，．故四棱錐的體積．由題設(shè)得，故．從而，，．所以四棱錐的側(cè)面積為．20．如圖，在正三棱柱中，，，分別為和的中點(diǎn).（1）求證：//平面；（2）若為中點(diǎn)，求三棱錐的體積.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）試題分析：（1）取中點(diǎn)，利用平面幾何知識(shí)可得是平行四邊形，即得，再根據(jù)線面平行判定定理得//平面；（2）利用等體積性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化：，最后根據(jù)錐體體積公式求體積試題解析：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連接和，因?yàn)楹头謩e為和的中點(diǎn)，所以，且，則是平行四邊形，，又不在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，所以平面．解：（Ⅱ）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又為中點(diǎn)，所以，則三棱錐的體積：．點(diǎn)睛:垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類型.(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直