江蘇省蘇州市吳江汾湖高級中學(xué)2025年高二下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

江蘇省蘇州市吳江汾湖高級中學(xué)2025年高二下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，要求甲、乙均不與丙相鄰，則不同的排法種數(shù)為（）A．72種 B．52種 C．36種 D．24種2．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．3．若的展開式中的第五、六項二項式系數(shù)最大，則該展開式中常數(shù)項為（）A． B．84 C． D．364．如圖分別是橢圓的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該左半橢圓的兩個交點，且是等邊三角形，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．5．在一次連環(huán)交通事故中，只有一個人需要負(fù)主要責(zé)任，但在警察詢問時，甲說：“主要責(zé)任在乙”；乙說：“丙應(yīng)負(fù)主要責(zé)任”；丙說“甲說的對”；丁說：“反正我沒有責(zé)任”．四人中只有一個人說的是真話，則該事故中需要負(fù)主要責(zé)任的人是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，Q是BC邊上的一個動點，且直線PQ與面ABC所成角的最大值為則該三棱錐外接球的表面積為()A． B． C． D．7．下列推理是歸納推理的是（）A．，為定點，動點滿足，得的軌跡為橢圓.B．由，，求出，，，猜想出數(shù)列的前項和的表達式.C．由圓的面積，猜出橢圓的面積.D．科學(xué)家利用鳥類的飛行原理制造飛機.8．設(shè)函數(shù)的定義域A，函數(shù)的值域為B，則（）A． B． C． D．9．過拋物線y2＝4x焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，交其準(zhǔn)線于點C，且A、C位于x軸同側(cè)，若|AC|＝2|AF|，則|BF|等于（）A．2 B．3 C．4 D．510．如果的展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，那么展開式中的所有項的系數(shù)和是()A．0 B．256 C．64 D．11．下列等式中，錯誤的是（）A． B．C． D．12．橢圓的左焦點為，若關(guān)于直線的對稱點是橢圓上的點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則的最小值為________.14．曲線在點處的切線方程為__________．15．已知函數(shù)，則__________.16．若三角形內(nèi)切圓半徑為r，三邊長為a,b,c，則，利用類比思想：若四面體內(nèi)切球半徑為R，四個面的面積為，則四面體的體積________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）袋子中裝有大小形狀完全相同的5個小球，其中紅球3個白球2個，現(xiàn)每次從中不放回的取出一球，直到取到白球停止．（1）求取球次數(shù)的分布列；（2）求取球次數(shù)的期望和方差．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將圓上每一個點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到曲線.（1）求直線的普通方程及曲線的參數(shù)方程；（2）設(shè)點在直線上，點在曲線上，求的最小值及此時點的直角坐標(biāo).19．（12分）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，分別是的中點.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝|x﹣a|+2a，且不等式f（x）≤4的解集為{x|﹣1≤x≤3}．（1）求實數(shù)a的值．（2）若存在實數(shù)x0，使f（x0）≤5m2+m﹣f（﹣x0）成立，求實數(shù)m的取值范圍．21．（12分）如圖,平面平面為等邊三角形,,過作平面交分別于點,設(shè).（1）求證：平面；（2）求的值,使得平面與平面所成的銳二面角的大小為.22．（10分）已知函數(shù)f(x)＝alnx＋(a∈R)．(1)當(dāng)a＝1時，求f(x)在x∈[1，＋∞)內(nèi)的最小值；(2)若f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；(3)求證ln(n＋1)>(n∈N*)．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

當(dāng)丙在第一或第五位置時，有種排法；當(dāng)丙在第二或第四位置時，有種排法；當(dāng)丙在第三或位置時，有種排法；則不同的排法種數(shù)為36種.2、A【解析】因為，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是-1，選A.3、B【解析】

先由的展開式中的第五、六項二項式系數(shù)最大，求解n,寫出通項公式，令，求出r代入，即得解.【詳解】由于的展開式中的第五、六項二項式系數(shù)最大，故，二項式的通項公式為：令可得：故選：B本題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.4、D【解析】

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，求得A點坐標(biāo)，代入橢圓方程，結(jié)合橢圓離心率的取值范圍，即可求得橢圓的離心率．【詳解】由題意知A，把A代入橢圓(a＞b＞0)，得，∴，整理，得，∴，∵0＜e＜1，∴，故選D.本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．5、A【解析】

①假定甲說的是真話，則丙說“甲說的對”也是真話，這與四人中只有一個人說的是真話矛盾，所以假設(shè)不成立，故甲說的是假話；②假定乙說的是真話，則丁說“反正我沒有責(zé)任”也為真話，這與四人中只有一個人說的是真話矛盾，所以假設(shè)不成立，故乙說的是假話；③假定丙說的是真話，由①知甲說的也是真話，這與四人中只有一個人說的是真話矛盾，所以假設(shè)不成立，故丙說的是假話；綜上可得，丁說的真話，甲乙丙三人說的均為假話，即乙丙丁沒有責(zé)任，所以甲負(fù)主要責(zé)任，故選A.6、C【解析】

根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形找出△ABC的外接圓圓心與三棱錐P﹣ABC外接球的球心，求出外接球的半徑，再計算它的表面積．【詳解】三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，直線PQ與平面ABC所成角為θ，如圖所示；則sinθ==，且sinθ的最大值是，∴（PQ）min=2，∴AQ的最小值是，即A到BC的距離為，∴AQ⊥BC，∵AB=2，在Rt△ABQ中可得，即可得BC=6；取△ABC的外接圓圓心為O′，作OO′∥PA，∴=2r，解得r=2；∴O′A=2，取H為PA的中點，∴OH=O′A=2，PH=，由勾股定理得OP=R==，∴三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積是S=4πR2=4×=57π．故答案為C本題主要考查正弦定理和線面位置關(guān)系，考查了幾何體外接球的應(yīng)用問題，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.解題的關(guān)鍵求外接球的半徑．7、B【解析】

根據(jù)歸納推理的定義即可選出答案?！驹斀狻繗w納推理是由個別事實概括出一般結(jié)論的推理。A為演繹推理B為歸納推理C為類比推理D為類比推理故選B本題考查歸納推理，屬于簡單題。8、B【解析】

根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出，取交集即可．【詳解】，，解得：，而單調(diào)遞增，故值域：，，故選：．本題考查定義域值域的求法，考查交集等基本知識，是基礎(chǔ)題9、C【解析】

由題意可知：|AC|＝2|AF|，則∠ACD，利用三角形相似關(guān)系可知丨AF丨＝丨AD丨，直線AB的切斜角，設(shè)直線l方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及拋物線弦長公式求得丨AB丨，即可求得|BF|．【詳解】拋物線y2＝4x焦點F（1，0），準(zhǔn)線方程l：x＝﹣1，準(zhǔn)線l與x軸交于H點，過A和B做AD⊥l，BE⊥l，由拋物線的定義可知：丨AF丨＝丨AD丨，丨BF丨＝丨BE丨，|AC|＝2|AF|，即|AC|＝2|AD|，則∠ACD，由丨HF丨＝p＝2，∴，則丨AF丨＝丨AD丨，設(shè)直線AB的方程y（x﹣1），，整理得：3x2﹣10x+3＝0，則x1+x2，由拋物線的性質(zhì)可知：丨AB丨＝x1+x2+p，∴丨AF丨+丨BF丨，解得：丨BF丨＝4，故選：C．本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查相似三角形的性質(zhì)，考查計算能力，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．10、D【解析】分析：先確定n值，再根據(jù)賦值法求所有項的系數(shù)和.詳解：因為展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，所以n＝6.令x＝1，則展開式中所有項的系數(shù)和是,選D.點睛：二項式系數(shù)最大項的確定方法①如果是偶數(shù)，則中間一項(第項)的二項式系數(shù)最大；②如果是奇數(shù)，則中間兩項第項與第項的二項式系數(shù)相等并最大.11、C【解析】分析：計算每一選項的左右兩邊，檢查它們是否相等.詳解：通過計算得到選項A,B,D的左右兩邊都是相等的.對于選項C,,所以選項C是錯誤的.故答案為C.點睛：本題主要考查排列組合數(shù)的計算，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平和基本計算能力.12、A【解析】

利用點關(guān)于直線的對稱點，且A在橢圓上，得，即得橢圓C的離心率；【詳解】∵點關(guān)于直線的對稱點A為，且A在橢圓上，即，∴，∴橢圓C的離心率．故選A．本題主要考查橢圓的離心率，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

，利用基本不等式求解即可．【詳解】解：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號。故答案為：1．本題考查了基本不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵要變形湊出積為定值的形式，屬基礎(chǔ)題．14、.【解析】分析：先求導(dǎo)求切線的斜率，再寫切線方程.詳解：由題得，所以切線方程為故答案為：.點睛：（1）本題主要考查求導(dǎo)和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查求切線方程，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.(2)函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程是15、1【解析】

先求內(nèi)層函數(shù)的值，解得函數(shù)值為2，再將2代入求值即可【詳解】當(dāng)時，滿足對應(yīng)的表達式，先求內(nèi)層函數(shù)，當(dāng)時，滿足對應(yīng)的表達式，再求，所以分段函數(shù)求值問題需注意先求解內(nèi)層函數(shù)，再依次求解外層函數(shù)，每一個括號內(nèi)對應(yīng)的值都必須在定義域?qū)?yīng)的區(qū)間內(nèi)進行求值16、．【解析】試題分析：由題意得三角形的面積可拆分成分別由三條邊為底，其內(nèi)切圓半徑為高的三個小三角形的面積之和，從而可得公式，由類比思想得，四面體的體積亦可拆分成由四個面為底，其內(nèi)切圓的半徑為高的四個三棱錐的體積之和，從而可得計算公式．考點：1．合情推理；2．簡單組合體的體積（多面體內(nèi)切球）．【方法點晴】此題主要考查合情推理在立體幾何中的運用方面的內(nèi)容，屬于中低檔題，根據(jù)題目前半段的“分割法”求三角形面積的推理模式，即以三角形的三條邊為底、其內(nèi)切圓半徑為高分割成三個三角形面積之和，類似地將四面體以四個面為底面、其內(nèi)切球半徑為高分割成四個三棱錐（四面體）體積之和，從而問題可得解決．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2），【解析】

根據(jù)相互獨立事件概率求出離散型隨機變量的分布列、期望和方差.【詳解】解：（1）由題設(shè)知，，則的分布列為1234（2）則取球次數(shù)的期望，的方差.本題考查離散型隨機變量的分布列、期望和方差，屬于中檔題.18、(1)（為參數(shù)）(2)【解析】

運用消參求出直線的普通方程，解出曲線的普通方程，然后轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為點到直線的距離，運用參數(shù)方程進行求解【詳解】（1）由得，消元得設(shè)為圓上的點，在已知變換下變?yōu)樯系狞c，依題意得由，得∴化為參數(shù)方程為（為參數(shù)）（2）由題意，最小值即橢圓上點到直線距離的最小值設(shè)，（其中，）∴，此時，即（）∴，∴∴.本題考查了普通方程與參數(shù)方程之間的轉(zhuǎn)化，需要運用公式熟練求解，在求最值問題時運用參量來求解，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題。19、（1）；（2）.【解析】

（1）以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，計算直線對應(yīng)向量，根據(jù)向量夾角公式得到答案.（2）分別計算兩個平面的法向量，利用法向量的夾角計算二面角余弦值.【詳解】（1）如圖，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，,異面直線與所成角的余弦值為.（2）平面的一個法向量為．設(shè)平面的一個法向量為,由得,，不妨取則，,,二面角的余弦值為.本題考查了空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，求異面直線夾角和二面角，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.20、（1）a＝1（2）（﹣∞，]∪[1，+∞）【解析】

（1）解不等式f（x）≤4，根據(jù)其解集，得到的值；（2）將所求不等式轉(zhuǎn)化為5m2+m≥[f（x）+f（﹣x）]min，得到f（x）+f（﹣x）的最小值，從而得到關(guān)于的不等式，解出的取值范圍.【詳解】（1）由f（x）＝|x﹣a|+2a≤4，得2a﹣4≤x﹣a≤﹣2a+4，∴3a﹣4≤x≤﹣a+4，∵不等式f（x）≤4的解集為{x|﹣1≤x≤3}，∴，∴a＝1；（2）由（1）知f（x）＝|x﹣1|+2，∵存在實數(shù)x0，使f（x0）≤5m2+m﹣f（﹣x0）成立，∴只需5m2+m≥[f（x）+f（﹣x）]min∵f（x）+f（﹣x）＝|x﹣1|+|x+1|+4≥|（x﹣1）﹣（x+1）|+4＝6，當(dāng)且僅當(dāng)（x﹣1）（x+1）≤0，即﹣1≤x≤1時取等號，∴5m2+m≥6，∴或m≥1，∴m的取值范圍為（﹣∞，]∪[1，+∞）．本題考查解絕對值不等式，絕對值不等式的恒成立問題，屬于中檔題.21、（1）詳見解析（2）【解析】試題分析：（1）證明線面平行，一般利用線面平行判定定理，即從線線平行出發(fā)給予證明，而線線平行的尋找與論證，往往需結(jié)合平幾條件，如三角形相似，本題可根據(jù)得,而，因此（2）利用空間向量研究二面角，首先利用垂直關(guān)系建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，利用方程組解兩個平面的法向量，利用向量數(shù)量積求夾角，最后根據(jù)向量夾角與二面角之間關(guān)系得等量關(guān)系，求的值試題解析：（1）證明：如圖,以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則,由,得,則.易知是平面的一個法向量,且,故,又因為平面,平面.（2）,設(shè)平面法向量為,則,故可取,又是平面的一個法向量,由為平面與平面所成銳二面角的度數(shù)),以及得,.解得或(舍去),故.考點：線面平行判定定理，利用空間向量研究二面角【思路點睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建