湖南省瀏陽市三中2025年數(shù)學高二下期末監(jiān)測模擬試題含解析

湖南省瀏陽市三中2025年數(shù)學高二下期末監(jiān)測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．《九章算術》是我國古代的數(shù)學名著，它在幾何學中的研究比西方早一千多年，其中中有很多對幾何體體積的研究．已知某囤積糧食的容器是由同底等高的一個圓錐和一個圓柱組成,若圓錐的底面積為、高為,則該容器外接球的表面積為（）A． B． C． D．2．下列關于獨立性檢驗的敘述：①常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征；②獨立性檢驗依據(jù)小概率原理；③樣本不同，獨立性檢驗的結論可能有差異；④對分類變量與的隨機變量的觀測值來說，越小，與有關系的把握程度就越大.其中正確的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．43．如表是降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生產能耗y（噸標準煤）的幾組對應數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程=0.7x+0.35，那么表中m的值為（）A．4 B．3.15 C．4.5 D．34．設，，若，則的最小值為A． B．8 C．9 D．105．中，，是的中點，若，則（）.A． B． C． D．6．已知函數(shù)在區(qū)間上是單調遞增函數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知X～B(5,14)，則A．54 B．72 C．38．用數(shù)學歸納法證明：，第二步證明由到時，左邊應加（）A． B． C． D．9．二維空間中圓的一維測度（周長），二維測度（面積），觀察發(fā)現(xiàn)；三維空間中球的二維測度（表面積），三維測度（體積），觀察發(fā)現(xiàn).則由四維空間中“超球”的三維測度，猜想其四維測度（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)的定義域為，為的導函數(shù)，且，若，則函數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)在處取極值10，則（）A．4或 B．4或 C．4 D．12．已知函數(shù)，則=（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．超速行駛已成為馬路上最大殺手之一,已知某路段屬于限速路段,規(guī)定通過該路段的汽車時速不超過60,否則視為違規(guī).某天,有1000輛汽車經過了該路段，經過雷達測速得到這些汽車運行時速的頻率分布直方圖如圖,則違規(guī)的汽車大約為___________．14．觀察下列不等式，……照此規(guī)律，第五個不等式為15．已知三棱錐A﹣BCD的頂點都在球O的表面上，且AB⊥BC，BC⊥CD，AB⊥CD，若AB＝1，BC，CD，則球O的表面積為_____．16．設為拋物線的焦點，為拋物線上兩點，若,則____________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）以下是某地搜集到的新房源的銷售價格（萬元）和房屋的面積的數(shù)據(jù)：房屋面積銷售價格（萬元）（1）由散點圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關系，求關于的線性回歸方程；（2）請根據(jù)（1）中的線性回歸方程，預測該地當房屋面積為時的銷售價格。，，其中，18．（12分）5G網(wǎng)絡是第五代移動通信網(wǎng)絡，其峰值理論傳輸速度可達每8秒1GB，比4G網(wǎng)絡的傳輸速度快數(shù)百倍．舉例來說，一部1G的電影可在8秒之內下載完成．隨著5G技術的誕生，用智能終端分享3D電影、游戲以及超高畫質（UHD）節(jié)目的時代正向我們走來．某手機網(wǎng)絡研發(fā)公司成立一個專業(yè)技術研發(fā)團隊解決各種技術問題，其中有數(shù)學專業(yè)畢業(yè)，物理專業(yè)畢業(yè)，其它專業(yè)畢業(yè)的各類研發(fā)人員共計1200人．現(xiàn)在公司為提高研發(fā)水平，采用分層抽樣抽取400人按分數(shù)對工作成績進行考核，并整理得如上頻率分布直方圖（每組的頻率視為概率）．（1）從總體的1200名學生中隨機抽取1人，估計其分數(shù)小于50的概率；（2）研發(fā)公司決定對達到某分數(shù)以上的研發(fā)人員進行獎勵，要求獎勵研發(fā)人員的人數(shù)達到30%，請你估計這個分數(shù)的值；（3）已知樣本中有三分之二的數(shù)學專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員分數(shù)不低于70分，樣本中不低于70分的數(shù)學專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員人數(shù)與物理及其它專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)和相等，估計總體中數(shù)學專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)．19．（12分）已知函數(shù)（，e為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）若，求的最大值；（2）若在R上單調遞減，①求a的取值范圍；②當時，證明：.20．（12分）如圖所示，球的表面積為，球心為空間直角坐標系的原點，且球分別與軸的正交半軸交于三點，已知球面上一點.（1）求兩點在球上的球面距離；（2）過點作平面的垂線，垂足，求的坐標，并計算四面體的體積；（3）求平面與平面所成銳二面角的大小.21．（12分）已知，．（1）如果函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，求函數(shù)的解析式；（2）在（1）的條件下，求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；（3）若不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．22．（10分）如圖，在矩形中，為CD的中點，將沿AE折起到的位置，使得平面平面．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

首先求出外接球的半徑，進一步利用球的表面積公式的應用求出結果【詳解】根據(jù)已知條件，圓錐的底面積為8π，所以π?r2＝8π，解得圓錐的底面半徑為，由題外接球球心是圓柱上下底面中心連線的中點，設外接球半徑為R,則，解得所以表面積．故選C．本題考查的知識要點：組合體的外接球的半徑的求法及應用，球的表面積公式的應用，主要考察學生的運算能力和轉化能力，屬于基礎題型．2、C【解析】分析：根據(jù)獨立性檢驗的定義及思想，可得結論．詳解：①常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征；正確；②獨立性檢驗依據(jù)小概率原理；正確；③樣本不同，獨立性檢驗的結論可能有差異；正確；④對分類變量與的隨機變量的觀測值來說，越大，與有關系的把握程度就越大.故④錯誤.故選C.點睛：本題考查了獨立性檢驗的原理，考查了推理能力，屬于基礎題．3、D【解析】

因為線性回歸方程=0.7x+0.35，過樣本點的中心，，故選D.4、C【解析】

根據(jù)題意可知，利用“1”的代換，將化為，展開再利用基本不等式，即可求解出答案?！驹斀狻坑深}意知，，，且，則當且僅當時，等號成立，的最小值為9，故答案選C。本題主要考查了利用基本不等式的性質求最值的問題，若不滿足基本不等式條件，則需要創(chuàng)造條件對式子進行恒等變形，如構造“1”的代換等。5、D【解析】

作出圖象，設出未知量，在中，由正弦定理可得，進而可得，在中，還可得，建立等式后可得，再由勾股定理可得，即可得出結論．【詳解】解：如圖，設，，，，在中，由正弦定理可得，代入數(shù)據(jù)解得，故，而在中，，故可得，化簡可得，解之可得，再由勾股定理可得，聯(lián)立可得，故在中，，故選：D．本題考查正弦定理的應用，涉及三角函數(shù)的誘導公式以及勾股定理的應用，屬于中檔題．6、C【解析】

對函數(shù)求導，將問題轉化為恒成立，構造函數(shù)，將問題轉化為來求解，即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】，，令，則.，其中，且函數(shù)單調遞增.①當時，對任意的,，此時函數(shù)在上單調遞增，則，合乎題意；②當時，令，得，.當時，；當時，.此時，函數(shù)在處取得最小值，則，不合乎題意.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.本題考查利用函數(shù)的在區(qū)間上的單調性求參數(shù)的取值范圍，解題時根據(jù)函數(shù)的單調性轉化為導數(shù)的符號來處理，然后利用參變量分離法或分類討論思想轉化函數(shù)的最值求解，屬于?？碱}，屬于中等題。7、B【解析】

利用二項分布的數(shù)學期望，計算出EX，再利用期望的性質求出E【詳解】∵X~B5,14，∴E故選：B。本題考查二項分布的數(shù)學期望與期望的性質，解題的關鍵就是利用二項分布的期望公式以及期望的性質，考查計算能力，屬于基礎題。8、D【解析】

當成立，當時，寫出對應的關系式，觀察計算即可得答案.【詳解】在第二步證明時，假設時成立，即左側，則成立時，左側，左邊增加的項數(shù)是，故選：D．本題考查數(shù)學歸納法，考查到成立時左邊項數(shù)的變化情況，考查理解與應用的能力，屬于中檔題．9、A【解析】

因為，，由此類比可得，，從而可得到結果.【詳解】因為二維空間中圓的一維測度（周長），二維測度（面積），觀察發(fā)現(xiàn)；三維空間中球的二維測度（表面積），三維測度（體積），觀察發(fā)現(xiàn).所以由四維空間中“超球”的三維測度，猜想其四為測度W，應滿足，又因為，所以，故選A.本題主要考查類比推理以及導數(shù)的計算.10、B【解析】分析：根據(jù)題意求得函數(shù)的解析式，進而得到的解析式，然后根據(jù)函數(shù)的特征求得最值．詳解：由，得，∴，設（為常數(shù)），∵，∴，∴，∴，∴，∴當x=0時，；當時，，故當時，，當時等號成立，此時；當時，，當時等號成立，此時．綜上可得，即函數(shù)的取值范圍為．故選B．點睛：解答本題時注意從所給出的條件出發(fā)，并結合導數(shù)的運算法則利用構造法求出函數(shù)的解析式；求最值時要結合函數(shù)解析式的特征，選擇基本不等式求解，求解時注意應用不等式的條件，確保等號能成立．11、C【解析】分析：根據(jù)函數(shù)的極值點和極值得到關于的方程組，解方程組并進行驗證可得所求．詳解：∵，∴．由題意得，即，解得或．當時，，故函數(shù)單調遞增，無極值．不符合題意．∴．故選C．點睛：（1）導函數(shù)的零點并不一定就是函數(shù)的極值點，所以在求出導函數(shù)的零點后一定要注意分析這個零點是不是函數(shù)的極值點．（2）對于可導函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件，因此在根據(jù)函數(shù)的極值點或極值求得參數(shù)的值后需要進行驗證，舍掉不符合題意的值．12、C【解析】

由積分運算、微積分基本定理、積分的幾何意義分別求出，從而求得.【詳解】因為由微積分基本定理得：，由積分的幾何意義得：所以，故選C.本題考查積分的運算法則及積分的幾何意義的運用，考查數(shù)形結合思想和運算求解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、800【解析】

先通過頻率分布直方圖，得出速度大于對應矩形的面積和，再乘以可得出結果.【詳解】由圖象可知，速度大于的汽車的頻率為，因此，違規(guī)的汽車數(shù)為，故答案為：.本題考查頻率分布直方圖的應用，計算頻率時要找出符合條件的矩形的面積之和，考查計算能力，屬于基礎題.14、：【解析】

試題分析：照此規(guī)律，第個式子為，第五個為．考點：歸納推理．歸納推理的定義：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理．是由部分到整體、由個別到一般的推理．15、6π．【解析】

根據(jù)題意畫出圖形，結合圖形把三棱錐補充為長方體，則該長方體的外接球為三棱錐的外接球，計算長方體的對角線長，求出外接球的直徑，利用球的表面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，以和為棱，把三棱錐補成一個長方體，則該長方體的長寬高分別為，此時長方體的外接球即為三棱錐的外接球，且長方體的對角線長為，即，即，所以外接球的表面積為.本題主要考查了多面體的外接球的表面積的計算，其中解答中以和為棱，把三棱錐補成一個長方體，此時長方體的外接球即為三棱錐的外接球是解答本題的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.16、12【解析】分析：過點兩點分別作準線的垂線，過點作的垂線，垂足為，在直角三角形中，求得，進而得直線的斜率為，所以直線的方程，聯(lián)立方程組，求得點的坐標，即可求得答案．詳解：過點兩點分別作準線的垂線，過點作的垂線，垂足為，設，則，因為，所以，在直角三角形中，，,所以，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，將其代入拋物線的方程可得，解得，所以點，又由，所以所以．點睛：本題主要考查了主要了直線與拋物線的位置關系的應用問題，同時涉及到共線向量和解三角形的知識，解答本題的關鍵是利用拋物線的定義作出直角三角形，確定直線的斜率，得出直線的方程，著重考查了數(shù)形結合思想和推理與運算能力．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2)該地房屋面積為時的銷售價格為萬元.【解析】分析：（1）先求出和的平均數(shù)，將數(shù)據(jù)代入，計算出的值，最后根據(jù)，求出的值，即可得到線性回歸方程；（2）將代入所求的線性回歸方程可估計當房屋面積為時的銷售價格.詳解：（1）設所求線性回歸方程為，則∴∴所求線性回歸方程為（2）當時，銷售價格的估計值為（萬元）所以該地房屋面積為時的銷售價格為萬元點睛：求回歸直線方程的步驟：①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點圖，確定兩個變量具有線性相關關系；②計算的值；③計算回歸系數(shù)；④寫出回歸直線方程為；回歸直線過樣本點中心是一條重要性質，利用線性回歸方程可以估計總體，幫助我們分析兩個變量的變化趨勢.18、（1）0.1；（2）77.5；（3）540人.【解析】

（1）由題意可知,樣本中隨機抽取一人,分數(shù)小于50的概率是0.1,由此能估計總體中分數(shù)小于50的概率；（2）根據(jù)頻率分布直方圖,第六組的頻率為0.4,第七組頻率為0.2,由此能求出這個分數(shù)；（3）樣本中不低于70分的研發(fā)人員人數(shù)為240人,從而樣本中不低于70分的數(shù)學專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員為120人,樣本中有三分之二的數(shù)學專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員分數(shù)不低于70分,從而樣本中的是數(shù)學專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)為180人,由此能估計總體中數(shù)學專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)【詳解】解：（1）由題意可知,樣本中隨機抽取一人,分數(shù)小于50的概率是,所以估計總體中分數(shù)小于50的概率0.1（2）根據(jù)頻率分布直方圖，第六組的頻率為0.04×10=0.4,第七組頻率為0.02×10=0.2,此分數(shù)為（3）因為樣本中不低于70分的研發(fā)人員人數(shù)為400×（0.4+0.2）=240人,所以樣本中不低于70分的數(shù)學專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員為120人,又因為樣本中有三分之二的數(shù)學專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員分數(shù)不低于70分,所以樣本中的是數(shù)學專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)120÷=180人,故估計總體中數(shù)學專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)為：1200×=540人本題考查概率、頻數(shù)的求法,考查頻率分布直方圖的性質,考查運算求解能力,是基礎題．19、（1）1；（2）①，②證明見解析.【解析】

（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，利用導函數(shù)與函數(shù)單調性的關系當，求出單調遞增區(qū)間，當，求出函數(shù)的單調遞減區(qū)間，進而可求出最大值.（2）①求出對恒成立，化為對恒成立，記，討論值，求出的最小值即可證出；②由題意可得，即，兩邊取對數(shù)可得，下面采用分析法即可證出.【詳解】（1）時，時，，在上單調遞增時，，在上單調遞減（2）由①在R上單調遞減，對恒成立，即對恒成立，記，則對恒成立，當時，，符題當時，時，，在上單調遞減時，，在上單調遞增；當時，時，，在上單調遞減時，，在上單調遞增；綜上：②當時，在上單調遞減，，，，.要證，即證下面證明令，，則，在區(qū)間上單調遞增，，得證本題考查了導函數(shù)在研究函數(shù)單調性的應用，分析法證明不等式，考查了分類討論的思想，綜合性比較強，屬于難題.20、（1）；（2）；（3）.【解析】分析：（1）根據(jù)題意求出，即可得到兩點在球上的球面距離；（2）根據(jù)題意，可證與重合，利用向量可求，求出的面積，即可得到四面體的體積；（3）利用空間向量可求面與平面所成銳二面角的大小..詳解：（1），，，∴∴，∴，兩點在球上的球面距離；（2），面，，，∴，∴，∴與重合，∴，的面積，則四面體的體積.（3）設平面的法向量，得得平面的法向量，設兩法向量夾角，，所以所成銳二面角的大小為.點睛：本題考查球面距離，幾何體的體積，利用空間向量求二面角的大小，屬中檔題.