北京市西城區(qū)市級(jí)名校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

北京市西城區(qū)市級(jí)名校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)在上的最大值為（）A． B． C． D．2．如圖，平面與平面所成的二面角是，是平面內(nèi)的一條動(dòng)直線，，則直線與所成角的正弦值的取值范圍是（）A． B．C． D．3．下列值等于1的積分是（）A． B． C． D．4．設(shè)集合U=x1≤x≤10,x∈Z，A=1,3,5,7,8，B=2,4,6,8A．2,4,6,7 B．2,4,5,9 C．2,4,6,8 D．2,4,6,5．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則（）A． B． C． D．6．設(shè)a=e1eA．a(chǎn)>c>b B．c>a>b C．c>b>a D．a(chǎn)>b>c7．在直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的方程為，直線與曲線相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，()A． B． C． D．8．已知函數(shù)為奇函數(shù),則（）A． B． C． D．9．若偶函數(shù)滿足且時(shí),則方程的根的個(gè)數(shù)是()A．2個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．多于4個(gè)10．設(shè)命題，則為（）A． B．C． D．11．己知函數(shù),若,則()A． B． C． D．12．如圖，設(shè)D是邊長(zhǎng)為l的正方形區(qū)域，E是D內(nèi)函數(shù)與所構(gòu)成(陰影部分)的區(qū)域，在D中任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)在E中的概率是（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則___________．14．已知，區(qū)域滿足：，設(shè)，若對(duì)區(qū)域內(nèi)的任意兩點(diǎn)，都有成立，則的取值范圍是______.15．某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：?jiǎn)蝺r(jià)（元）456789銷量（件）908483807568由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程為，則實(shí)數(shù)______.16．若方程有實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)，已知，為關(guān)于的二次方程兩個(gè)不同的虛根，（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，，求實(shí)數(shù)，的值.18．（12分）一只口袋中裝有形狀、大小都相同的10個(gè)小球，其中有紅球2個(gè)，黑球3個(gè)，白球5個(gè)．從中1次隨機(jī)摸出2個(gè)球，求2個(gè)球顏色相同的概率；從中1次隨機(jī)摸出3個(gè)球，記白球的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的概率分布和數(shù)學(xué)期望；每次從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，記下顏色后放回，連續(xù)取3次，求取到紅球的次數(shù)大于取到白球的次數(shù)的概率．19．（12分）已知正整數(shù),.(1)若的展開式中,各項(xiàng)系數(shù)之和比二項(xiàng)式系數(shù)之和大992,求的值；(2)若,且是中的最大值,求的值.20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，平面平面.(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.21．（12分）如圖，在空間四邊形OABC中，已知E是線段BC的中點(diǎn)，G在AE上，且．試用向量，，表示向量；若，，，，求的值．22．（10分）已知函數(shù)f(x)=4ax-a（1）當(dāng)a=1時(shí),求曲線f(x)在點(diǎn)(1,（2）若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)g(x)=6ex,若在區(qū)間[1,e]上至少存在一點(diǎn)x0

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出極值，再結(jié)合端點(diǎn)函數(shù)值得出函數(shù)的最大值．【詳解】，，令，由于，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此，函數(shù)在處取得最小值，在或處取得最大值，，，因此，，故選A．本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，一般而言，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的基本步驟如下：（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性；（2）求出函數(shù)的極值；（3）將函數(shù)的極值與端點(diǎn)函數(shù)值比較大小，可得出函數(shù)的最大值和最小值．2、B【解析】

假定ABCD和BCEF均為正方形，過D作，可證平面BCEF，進(jìn)而可得直線BD與平面BCEF所成的角正弦值，即直線與所成角的正弦值的最小值，當(dāng)直線與異面垂直時(shí)，所成角的正弦值最大.【詳解】過D作，垂足為G，假定ABCD和BCEF均為正方形，且邊長(zhǎng)為1則平面CDG，故又，平面BCEF故直線BD在平面BCEF內(nèi)的射影為BG，由已知可得，則以直線BD與平面BCEF所成的角正弦值，所以直線BD與平面BCEF內(nèi)直線所成的角正弦值最小為，而直線與所成角最大為（異面垂直），即最大正弦值為1.故選：B本題考查了立體幾何中線面角，面面角找法，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.3、C【解析】

分別求出被積函數(shù)的原函數(shù)，然后根據(jù)定積分的定義分別計(jì)算看其值是否為1即可．【詳解】解：選項(xiàng)A，xdxx2，不滿足題意；選項(xiàng)B，（x+1）dx＝（x2+x）1，不滿足題意；選項(xiàng)C，1dx＝x1﹣0＝1，滿足題意；選項(xiàng)D，dxx0，不滿足題意；故選C．考點(diǎn)：定積分及運(yùn)算．4、D【解析】

先求出CUA,再求?【詳解】由題得CU所以?UA∩B故選：D本題主要考查補(bǔ)集和交集的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這種知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

求導(dǎo)數(shù)，將代入導(dǎo)函數(shù)解得【詳解】將代入導(dǎo)函數(shù)故答案選D本題考查了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，把握函數(shù)里面是一個(gè)常數(shù)是解題的關(guān)鍵.6、B【解析】

依據(jù)y=lnx的單調(diào)性即可得出【詳解】∵b=ln而a=e1e>0,c=又lna=lne1所以lnc>lna，即有c>a，因此c>a>b本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小。7、D【解析】

先將直線直線與曲線轉(zhuǎn)化為普通方程，結(jié)合圖形分析可得，要使的面積最大，即要為直角，從而求解出?！驹斀狻拷猓阂?yàn)榍€的方程為，兩邊同時(shí)乘以，可得，所以曲線的普通方程為，曲線是以為圓心，2為半徑的上半個(gè)圓.因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以直線的普通方程為，因?yàn)?，所以?dāng)為直角時(shí)的面積最大，此時(shí)到直線的距離，因?yàn)橹本€與軸交于，所以，于是，所以，故選D。本題考查了曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的互化，同時(shí)考查了直線與圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是本題的核心思想。8、A【解析】

根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì),利用計(jì)算得到,再代入函數(shù)計(jì)算【詳解】由函數(shù)表達(dá)式可知，函數(shù)在處有定義，則，，則，.故選A.解決本題的關(guān)鍵是利用奇函數(shù)性質(zhì),簡(jiǎn)化了計(jì)算,快速得到答案.9、B【解析】

在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)和函數(shù)的圖象，這兩個(gè)函數(shù)的圖象的焦點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為所求.【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)滿足，所以函數(shù)的周期為2，又當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，則方程的根的個(gè)數(shù)，等價(jià)于函數(shù)和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示，可得兩函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，即方程有4個(gè)根，故選B.本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用問題，即根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判定，其中解答中把方程的根的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.10、D【解析】分析：根據(jù)全稱命題的否定解答.詳解：由全稱命題的否定得為：，故答案為D.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查全稱命題的否定，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2)全稱命題：,全稱命題的否定（）：.11、D【解析】分析：首先將自變量代入函數(shù)解析式，利用指對(duì)式的運(yùn)算性質(zhì)，得到關(guān)于參數(shù)的等量關(guān)系式，即可求得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意有，解得，故選D.點(diǎn)睛：該題考查的是已知函數(shù)值求自變量的問題，在求解的過程中，需要對(duì)指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)了如指掌.12、A【解析】試題分析：正方形面積為1，陰影部分的面積為，所以由幾何概型概率的計(jì)算公式得，點(diǎn)在E中的概率是，選A.考點(diǎn)：定積分的應(yīng)用，幾何概型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先化簡(jiǎn)已知得，再利用平方關(guān)系求解.【詳解】由題得，因?yàn)?，所以故答案為：本題主要考查誘導(dǎo)公式和同角的平方關(guān)系，意在考察學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.14、【解析】

由題意可知直線與圓相切，由相切定義可得，令，由可求其范圍.【詳解】由題意可得：直線與圓相切即，化簡(jiǎn)得：，令故答案為：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了三角換元法，本題的關(guān)鍵在于題干條件的轉(zhuǎn)化，由線性規(guī)劃知識(shí)可知位于直線同一側(cè)的點(diǎn)正負(fù)性相同，滿足題目要求.屬于難題.15、106【解析】

求出樣本中心坐標(biāo)，代入回歸方程即可求出值.【詳解】解：，，將代入回歸方程得，解得.故答案為：.本題考查回歸方程問題，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

關(guān)于x的方程sinxcosx＝c有解，即c＝sinxcosx＝2sin（x-）有解，結(jié)合正弦函數(shù)的值域可得c的范圍．【詳解】解：關(guān)于x的方程sinx-cosx＝c有解，即c＝sinx-cosx＝2sin（x-）有解，由于x為實(shí)數(shù)，則2sin（x-）∈[﹣2，2]，故有﹣2≤c≤2本題主要考查兩角差的正弦公式、正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2),【解析】

(1)由題可得二次函數(shù)的判別式小于0,列式求解即可.

(2)利用韋達(dá)定理代入可求得的關(guān)系,再化簡(jiǎn)利用韋達(dá)定理表示,換成的形式進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)由題二次函數(shù)的判別式小于0,故,解得.

(2)由為關(guān)于的二次方程兩個(gè)不同的虛根可得,,又則,得,因?yàn)?故,又,故故,本題主要考查了一元二次方程的復(fù)數(shù)根的性質(zhì),注意的意義為的模長(zhǎng)為2,故.屬于中等題型.18、（1）；（2）詳見解析；（3）.【解析】

利用互斥事件的概率求和公式計(jì)算即可；由題意知X的可能取值，計(jì)算所求的概率值，寫出X的概率分布，求出數(shù)學(xué)期望值；由題意知事件包含一紅兩黑和兩紅一黑，兩紅一白，求出對(duì)應(yīng)的概率值．【詳解】解：從袋中1次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則2個(gè)球顏色相同的概率為；從袋中1次隨機(jī)摸出3個(gè)球，記白球的個(gè)數(shù)為X，則X的可能取值是0，1，2，3；則，，，，隨機(jī)變量X的概率分布為；

X0123

P

數(shù)學(xué)期望；記3次摸球后，取到紅球的次數(shù)大于取到白球的次數(shù)為事件A，則．本題考查了離散型隨機(jī)變量的概率分布與數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問題，也考查了古典概型的概率計(jì)算問題，是中檔題．19、(1)；(2)或.【解析】

(1)令求出的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和,結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)和公式,可由題意列出方程,解方程即可求出的值(2)根據(jù)數(shù)列最大項(xiàng)的定義,可以列出不等式組,解這個(gè)不等式組即可求出的值.【詳解】(1)令,所以的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為：,二項(xiàng)式系數(shù)和為：,由題意可知：或(舍去),所以；(2)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為：.因?yàn)槭侵械淖畲箜?xiàng),所以有：,因此或.本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)之和公式和展開式系數(shù)之和算法,考查了二項(xiàng)式展開式系數(shù)最大值問題,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.20、（1）詳見解析（2）【解析】

（1）在平面內(nèi)知道兩條相交直線與垂直，利用判定定理即可完成證明；（2）通過輔助線，將與平行四邊形關(guān)聯(lián)，從而計(jì)算出長(zhǎng)度，然后即可求解三棱錐的體積.【詳解】解：（1）平面，，又四邊形為正方形，，且，平面，為的中點(diǎn)，，且，平面；（2）作于，連接，如圖所示：平面平面，面，由（1）知平面，，又平面平面，面，平面，平面，平面平面，平面，四邊形為平行四邊形，為的中點(diǎn)，，本題考查立體幾何中的線面垂直關(guān)系證明以及體積計(jì)算，難度一般.計(jì)算棱錐體積的時(shí)候，可以采取替換頂點(diǎn)位置的方式去計(jì)算，這樣有時(shí)候能簡(jiǎn)化運(yùn)算.21、（1）；（2）.【解析】

又，由此即可求出結(jié)果；（2）利用，和數(shù)量及的定義，代入得結(jié)果．【詳解】解：又由問知．本題考查平面向量的基本定理，和平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式及平面向量基本定理的應(yīng)用．22、(1)y=3x(2)[12【解析】

（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出f′（1），f（1），代入切線方程即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出a的具體范圍；（3）構(gòu)造函數(shù)?（x）=f（x）﹣g（x），x∈[1，e]，只需?（x）max＞0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出?（x）max，從而求出a的范圍．【詳解】（1）解:當(dāng)a=1時(shí),f(x)=4x-1x-2lnx,曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的斜率為f'(1)=3,故曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-3=3(x-1)（2）解:f'(x)=4a+ax2-2x=4ax2-2x+ax2.令h(x)=4ax2-2x+a,要使f(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),只需h(x)≥0在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)恒成立.依題意a>0,此時(shí)h(x)=4ax2-2x+a的圖象為開口向上的拋物線,h(x)=4a(x-14a所以f(x)定義域內(nèi)為增函數(shù),實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1（3）解:構(gòu)造函數(shù)?(x)=f(x)-g(x),x∈[1,e],依題意由（2）可知a