2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5章數(shù)列第4講數(shù)列求和講義理含解析VIP

PAGEPAGE9第4講數(shù)列求和[考綱解讀]1.嫻熟駕馭等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．(重點(diǎn))2.嫻熟駕馭另外幾種非等差、等比數(shù)列求和的常見方法．(難點(diǎn))[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來(lái)看，本講始終是高考中的熱點(diǎn)，主要考查“錯(cuò)位相減”“裂項(xiàng)相消”“等差、等比數(shù)列的公式求和”等．預(yù)料2024年高考會(huì)考查數(shù)列求和或數(shù)列求和與不等式的綜合．此類問題一般以解答題為主，以中檔題型為主.1．基本數(shù)列求和公式法(1)等差數(shù)列求和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(2)等比數(shù)列求和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))2．非基本數(shù)列求和常用方法(1)倒序相加法；(2)分組求和法；(3)并項(xiàng)求和法；(4)錯(cuò)位相減法；(5)裂項(xiàng)相消法．常見的裂項(xiàng)公式：①eq\f(1,nn＋k)＝eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))；②eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))；③eq\f(1,nn＋1n＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2)))；④eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq\f(1,k)(eq\r(n＋k)－eq\r(n))．3．常用求和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)；(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2；(3)12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(nn＋12n＋1,6)；(4)13＋23＋33＋…＋n3＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2.1．概念辨析(1)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，則有eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an＋1))).()(2)推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.()(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan時(shí)只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以a即可依據(jù)錯(cuò)位相減法求得．()(4)若數(shù)列a1，a2－a1，…，an－an－1是(n>1，n∈N*)首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝eq\f(3n－1,2).()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．小題熱身(1)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an＝eq\f(1,nn＋1)，則S5等于()A．1B.eq\f(5,6)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,30)答案B解析∵an＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).(2)數(shù)列1eq\f(1,2)，3eq\f(1,4)，5eq\f(1,8)，7eq\f(1,16)，…，(2n－1)＋eq\f(1,2n)，…的前n項(xiàng)和Sn的值等于()A．n2＋1－eq\f(1,2n) B．2n2－n＋1－eq\f(1,2n)C．n2＋1－eq\f(1,2n－1) D．n2－n＋1－eq\f(1,2n)答案A解析該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝(2n－1)＋eq\f(1,2n)，則Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,22)＋…＋\f(1,2n)))＝n2＋1－eq\f(1,2n).(3)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n－1·(4n－3)，則它的前100項(xiàng)之和S100等于()A．200B．－200C．400D．－400答案B解析設(shè)bn＝4n－3，則{bn}是公差為4的等差數(shù)列，an＝(－1)n－1bn.S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝(b1－b2)＋(b3－b4)＋…＋(b99－b100)＝－4－4－4－…－4＝－4×50＝－200.(4)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝ncoseq\f(nπ,2)，其前n項(xiàng)和為Sn，則S2024等于()A．－1010B．2024C．505D．1010答案A解析易知a1＝coseq\f(π,2)＝0，a2＝2cosπ＝－2，a3＝0，a4＝4，….所以數(shù)列{an}的全部奇數(shù)項(xiàng)為0，前2024項(xiàng)中全部偶數(shù)項(xiàng)(共1008項(xiàng))依次為－2,4，－6,8，…，－2014,2024.故S2024＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2014＋2024)＝1008.a2024＝0，a2024＝2024×coseq\f(2024π,2)＝－2024，∴S2024＝S2024＋a2024＝1008－2024＝－1010.故選A.題型eq\a\vs4\al(一)分組轉(zhuǎn)化法求和1．(2024·信陽(yáng)模擬)已知數(shù)列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＋2，n是奇數(shù)，,2an，n是偶數(shù)，))則數(shù)列{an}的前20項(xiàng)和為()A．1121B．1122C．1123D．1124答案C解析由題意知，數(shù)列{a2n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列{a2n－1}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，故數(shù)列{an}的前20項(xiàng)和為eq\f(1×1－210,1－2)＋10×1＋eq\f(10×9,2)×2＝1123.2．(2024·合肥質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(n2＋n,2)，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝2an＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和．解(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n2＋n,2)－eq\f(n－12＋n－1,2)＝n.a1也滿意an＝n，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n.(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.記數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和為T2n，則T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．記A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，則A＝eq\f(21－22n,1－2)＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.結(jié)論探究在舉例說(shuō)明2條件下，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解由舉例說(shuō)明2知bn＝2n＋(－1)nn.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]＝eq\f(2－2n＋1,1－2)＋eq\f(n,2)＝2n＋1＋eq\f(n,2)－2；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－2)＋(n－1)－n]＝2n＋1－2＋eq\f(n－1,2)－n＝2n＋1－eq\f(n,2)－eq\f(5,2).∴Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2n＋1＋\f(n,2)－2，n為偶數(shù)，,2n＋1－\f(n,2)－\f(5,2)，n為奇數(shù).))分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采納分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和．(2)通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采納分組求和法求和．如舉例說(shuō)明1.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，滿意a1＝2，a4＝8，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，滿意b2＝4，b5＝32.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{an＋bn}的前n項(xiàng)和Sn.解(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得d＝eq\f(a4－a1,3)＝2，所以an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)×2＝2n.設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，由題意得q3＝eq\f(b5,b2)＝8，解得q＝2.因?yàn)閎1＝eq\f(b2,q)＝2，所以bn＝b1·qn－1＝2×2n－1＝2n.(2)Sn＝eq\f(n2＋2n,2)＋eq\f(21－2n,1－2)＝n2＋n＋2n＋1－2.題型eq\a\vs4\al(二)裂項(xiàng)相消法求和1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，若前n項(xiàng)和為10，則項(xiàng)數(shù)n為________．答案120解析因?yàn)閍n＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)，所以Sn＝(eq\r(2)－1)＋(eq\r(3)－eq\r(2))＋…＋(eq\r(n＋1)－eq\r(n))＝eq\r(n＋1)－1，又因?yàn)镾n＝10，所以eq\r(n＋1)－1＝10，解得n＝120.2．(2024·蕪湖模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn＝n2＋n＋2.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若bn＝eq\f(1,anan＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解(1)Sn＝n2＋n＋2，①當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)＋2，②①－②得an＝2n，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝4，an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2n，n≥2))(n∈N*)．(2)由題意，bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，n＝1，,\f(1,2n2n＋2)＝\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，n≥2，))當(dāng)n＝1時(shí)，T1＝eq\f(1,16).當(dāng)n≥2時(shí)，Tn＝eq\f(1,16)＋eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,5)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))))＝eq\f(1,16)＋eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,n＋1)))＝eq\f(3n－1,16n＋1).Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，n＝1，,\f(3n－1,16n＋1)，n≥2.))條件探究舉例說(shuō)明2中，若an＝2n，bn＝eq\f(1,log2an·log2an＋2)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解bn＝eq\f(1,log2an·log2an＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))，Tn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2n＋2)－eq\f(1,2n＋4).幾種常見的裂項(xiàng)相消及解題策略(1)常見的裂項(xiàng)方法(其中n為正整數(shù))(2)利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)留意抵消后不肯定只剩下第一項(xiàng)和最終一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候須要調(diào)整前面的系數(shù)，使前后相等．1．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a4＝4，S5＝15，若數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前m項(xiàng)和為eq\f(10,11)，則m＝()A．8B．9C．10D．11答案C解析Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，設(shè)公差為d，a4＝4，S5＝15，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝4，,S5＝15＝5a3，))解得d＝1，則an＝4＋(n－4)＝n.由于eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，則Sm＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,m)－eq\f(1,m＋1)＝1－eq\f(1,m＋1)＝eq\f(10,11)，解得m＝10.2．已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，bn＝eq\f(an＋1,SnSn＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解(1)因?yàn)閿?shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a4＝9，,a1<a4，,a1·a4＝8))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,a4＝8))?q3＝eq\f(a4,a1)＝8?q＝2?an＝a1·qn－1＝2n－1.(2)由(1)可知Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1，所以bn＝eq\f(2n,2n－12n＋1－1)＝eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1－1)，所以Tn＝1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,7)＋eq\f(1,7)－eq\f(1,15)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1－1)＝1－eq\f(1,2n＋1－1).題型eq\a\vs4\al(三)錯(cuò)位相減法求和(2024·安徽皖江最終一卷)設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))的前n項(xiàng)和Sn.解(1)設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，則依題意有q>0且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2d＋q4＝21，,1＋4d＋q2＝13，))解得d＝2，q＝2.所以an＝1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝qn－1＝2n－1.(2)eq\f(an,bn)＝eq\f(2n－1,2n－1).Sn＝1＋eq\f(3,21)＋eq\f(5,22)＋…＋eq\f(2n－3,2n－2)＋eq\f(2n－1,2n－1)，①2Sn＝2＋3＋eq\f(5,2)＋…＋eq\f(2n－3,2n－3)＋eq\f(2n－1,2n－2)，②②－①得Sn＝2＋2＋eq\f(2,2)＋eq\f(2,22)＋…＋eq\f(2,2n－2)－eq\f(2n－1,2n－1)＝2＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)＋\f(1,22)＋…＋\f(1,2n－2)))－eq\f(2n－1,2n－1)＝2＋2×eq\f(1－\f(1,2n－1),1－\f(1,2))－eq\f(2n－1,2n－1)＝6－eq\f(2n＋3,2n－1).利用錯(cuò)位相減法的一般類型及思路(1)適用的數(shù)列