2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓性質(zhì)綜合之求線段長(zhǎng)度問(wèn)題》專項(xiàng)測(cè)試卷(附答案)

第第頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓性質(zhì)綜合之求線段長(zhǎng)度問(wèn)題》專項(xiàng)測(cè)試卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1．已知中，，為的弦，直線與相切于點(diǎn)．(1)如圖1，連接，若，直徑與相交于點(diǎn)，求和的大??；(2)如圖2，若，，垂足為，與相交于點(diǎn)，，求線段的長(zhǎng)．2．如圖1~圖3，半圓O的直徑，弦在半圓O上滑動(dòng)（點(diǎn)C，D可以分別與A，B兩點(diǎn)重合），且．(1)如圖1，求劣弧的長(zhǎng)；(2)連接，，，，當(dāng)時(shí)，如圖2，求證：；(3)點(diǎn)E是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，如圖3．①當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；②在弦滑動(dòng)的過(guò)程中，直接寫出線段長(zhǎng)度的最大值．3．是的內(nèi)接三角形，是的直徑，是弦，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)到，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，若，，求線段的長(zhǎng)．4．如圖，內(nèi)接于⊙O，，點(diǎn)是弧上的動(dòng)點(diǎn)，是沿直線翻折得到的，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．(1)求證：點(diǎn)三點(diǎn)共線；(2)當(dāng)，時(shí)，求線段的長(zhǎng)；(3)求證：．5．已知為的直徑，為的弦，弦的長(zhǎng)為5．(1)如圖①，若直徑的長(zhǎng)為10，求的大??；(2)如圖②，過(guò)點(diǎn)作的切線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，若，線段的長(zhǎng)為3，求直徑的長(zhǎng)．6．已知：是⊙的弦，點(diǎn)A是上的一點(diǎn)：，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)D．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，作直徑，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)F，連接，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)G在上，連接，，其中，且，若，求線段的長(zhǎng)．7．已知：的切線交直徑所在的直線于F，D為直徑上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，，(1)求證：；(2)過(guò)點(diǎn)C作于H，交于于點(diǎn)G，連接、，求證：；(3)在（2）的條件下，，時(shí)，求線段的長(zhǎng)．8．是的內(nèi)接三角形，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．(1)如圖1．求證：；(2)如圖2．若平分，求證：；(3)如圖3．在（2）的條件下，時(shí)，連接，交弦于點(diǎn)，交弦于點(diǎn)在線段上，連接，若，求線段的長(zhǎng)．9．【定義新知】定義：有一個(gè)角是其對(duì)角一半的圓內(nèi)接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個(gè)角叫做美角．【初步應(yīng)用】（1）如圖1，已知四邊形是圓美四邊形，是美角，連接．①寫出的度數(shù)是______，的度數(shù)是______，的度數(shù)是______；②點(diǎn)為的中點(diǎn)，的半徑為5，求線段的長(zhǎng)；【拓展提升】（2）如圖2，已知四邊形是圓美四邊形，是美角，連接，若平分，的半經(jīng)為6，則的最大值是______．10．如圖，是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，和過(guò)點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為，直線與的延長(zhǎng)線相交于．弦平分，交直徑于點(diǎn)，連接．(1)求證：平分；(2)若，求線段的長(zhǎng)．11．如圖，已知為的直徑，與相切于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，，，平分交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若的直徑為，求線段的長(zhǎng)．12．如圖，是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，和過(guò)點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為，直線與的延長(zhǎng)線相交于．弦平分，交直徑于點(diǎn)，連接．(1)求證：平分；(2)求證：；(3)若，，求線段的長(zhǎng)．13．在中，直徑交弦于點(diǎn)E，連接、，且．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)F在弧上，弦交線段于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，交于另一點(diǎn)M，若，求的度數(shù)；(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)N在弧上，連接、、，若，，，求線段的長(zhǎng)．14．如圖，的半徑與直徑垂直，點(diǎn)P在上，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使．(1)求證：是的切線；(2)當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)．15．如圖，為的直徑，直線是的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)，過(guò)作，垂足為點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，求線段的長(zhǎng)．參考答案1．(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)切線性質(zhì)得出于點(diǎn)，即，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，求出，根據(jù)垂徑定理得出，，求出，得出，根據(jù)圓周角定理得出；（2）連接，求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得出，即可得出，求出x的值即可．【詳解】（1）解：如圖1所示，∵為的切線，且為直徑，∴于點(diǎn)，即，∵，∴，∴，即于點(diǎn)，∵于點(diǎn)，且為直徑，∴，，∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：連接，由（1）可知，且，∵，，∴，∴在中，，，∴，設(shè)，則，∴由勾股定理，即，解得，負(fù)值舍去，即線段的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．2．(1)(2)見解析(3)；②3【分析】（1）求劣弧長(zhǎng)，需先確定其所對(duì)圓心角及圓半徑，再用弧長(zhǎng)公式計(jì)算．（2）利用圓中弧與角的關(guān)系找全等條件，用全等判定定理證明．（3）①通過(guò)角度關(guān)系求，在直角三角形中用三角函數(shù)求，進(jìn)而得②構(gòu)造輔助線，利用三角形相關(guān)性質(zhì)確定EF與其他線段關(guān)系，根據(jù)三邊關(guān)系求最大值．【詳解】（1）連接，，為等邊三角形，，；（2）證明：，，又，，(AAS)；（3）①連接由（1）得，當(dāng)時(shí)，，在中，，；②取中點(diǎn)，連接，是中點(diǎn)，，在中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，因?yàn)?，是中點(diǎn)，在中，，在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的相關(guān)性質(zhì)，包括弧長(zhǎng)計(jì)算、圓周角與弧的關(guān)系，以及三角形的知識(shí)，如等邊三角形判定、全等三角形判定、直角三角形邊角關(guān)系、三角形中位線定理和三邊關(guān)系等，掌握以上知識(shí)，數(shù)形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵．3．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）設(shè)，則．利用直徑所對(duì)圓周角為直角得到，從而，結(jié)合同弧所對(duì)圓周角相等得出，再根據(jù)已知，最后由等角對(duì)等邊證明．（2）先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)得出，結(jié)合第一問(wèn)結(jié)論得到，再利用，證明，由推出，從而證明．（3）先通過(guò)角度關(guān)系推出，延長(zhǎng)使構(gòu)造等腰三角形，利用角度推導(dǎo)得出；再在中，根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而得到；最后在中求出，利用面積的兩種表示方法求出．【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接三角形性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形性質(zhì)、勾股定理及三角形全等與相似等知識(shí)．解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)定理進(jìn)行角與線段關(guān)系的推導(dǎo)轉(zhuǎn)化，通過(guò)構(gòu)造輔助線、利用勾股定理及三角形面積公式求解．【詳解】（1）證明：∵，設(shè)，則，∵∴．∵是的直徑，∴，∴，，∴，∵∴．∴，∴，∴．（2）證明：連接．∴為圓內(nèi)接四邊形，∴，由（1）得．，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴∵，即，∴，即．（3）解：連接，交于點(diǎn)P，設(shè)與交于點(diǎn)M，∵是直徑，∴，∴，∵，交于M∴，∴，∴，由（2）得，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，延長(zhǎng)到使，連接，∵，∴，∵，，∵，∴，∴，在中，，∴，即，∴，，∴，在中，，∴，即，∴．4．(1)見解析(2)(3)見解析【分析】（1）證明即可證明結(jié)論成立；（2）求出，由得到，在Rt中，，即可求出答案；（3）分兩種情況畫出圖形證明，在Rt中，，在Rt中，，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：在中，與是弧所對(duì)的圓周角．．是沿直線翻折得到的，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)∴四邊形內(nèi)接于圓點(diǎn)三點(diǎn)共線．（2）解：．在中，．在中，，四邊形內(nèi)接于圓，是等邊三角形，∵，在Rt中，（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在Rt中，在Rt中，分兩種情況討論：若在的右側(cè)，點(diǎn)在線段上，如備用圖1，若在的左側(cè)，如備用圖2，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，綜上所述，在Rt中，在Rt中，．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)判定和性質(zhì)是關(guān)鍵．5．(1)(2)【分析】（1）證明是等邊三角形，再利用圓周角定理即可求出答案；（2）連接，過(guò)點(diǎn)作．求出．證明四邊形是矩形．得到．在中，，設(shè)，則．利用勾股定理列方程解得即可求出答案．【詳解】（1）解：如圖，連接．為的直徑，，．，．是等邊三角形．．，.（2）如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作．．為的切線，．即．，．在Rt中，．，四邊形是矩形．．在中，，設(shè)，則．可得方程．解得．.【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理、勾股定理、切線的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握切線的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．6．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)弧與弦的關(guān)系得到，證明垂直平分即可求證；（2）連接，在上截取，連接，證明，則，根據(jù)等腰三角形三角形三線合一得到，那么；（3）連接，過(guò)點(diǎn)D分別作，，，垂足分別為M，N，R．由角平分線的性質(zhì)及判定得到，根據(jù)角平分線得到，那么，則．令，則，則在中，由勾股定理得，則，可得，那么，解得．在中，，求出，則．【詳解】（1）證明：如圖1，連接,∵，∴，∴點(diǎn)A在的垂直平分線上，∵，∴點(diǎn)O在的垂直平分線上，∴垂直平分∴，；（2）證明：如圖2，連接，在上截取，連接．∵，，，∴．∴，又∵，∴∴；（3）解：如圖3，連接，過(guò)點(diǎn)D分別作，，，垂足分別為M，N，R．∵為的直徑，∴∵，∴，∴∵，，，∴，∴，∴∵?∴?∴∴，∴．∴，令，則在中，，∴∵，∴，∴，解得．在中，，∴，∴在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題，涉及解直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)及判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．7．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）先由得，再結(jié)合切線的性質(zhì)得，則即，則，故，所以；（2）根據(jù)垂徑定理得，，再結(jié)合圓周角定理得出，再證明，進(jìn)行角的整理得，即可作答．（3）先由直角三角形兩個(gè)銳角互余，以及切線的性質(zhì)得，結(jié)合圓周角定理得，得出，因?yàn)?，所以，然后運(yùn)用解直角三角形的性質(zhì)得，運(yùn)用勾股定理表示，再得出，結(jié)合，則，即，因?yàn)?，代入得出，最后運(yùn)用勾股定理列式計(jì)算，即可作答．【詳解】（1）解：連接、，∵、是的半徑，∴，∴∵是的切線，切點(diǎn)為C，∴，即，∵，，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：連接，，∵，∴，，∴，∴∵，∴，，∴∵，∴，∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵，∴，∴∵∴∴∵，∴，∴；（3）解：連接，、、，過(guò)B作于K，∵過(guò)點(diǎn)C作于H，的切線交直徑所在的直線于F，∴，∴，∵由（2）得，∴∵∴∴即，∵，，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∵∴，∴，∵，∴，∵，且在中則，設(shè)，∴，即，∴，∴，∵∴，∵，∴，∴，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，切線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，難度較大，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．8．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）連接，先根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，再根據(jù)圓周角定理可得，由此即可得證；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得，再證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)垂徑定理可得，，由此即可得證；（3）過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，先利用勾股定理的逆定理可得，從而可得，再證出，從而得出，然后解直角三角形可得，利用三角形的面積公式可得的長(zhǎng)，利用勾股定理可得的長(zhǎng)，最后解直角三角形可得的長(zhǎng)，利用勾股定理求解即可得．【詳解】（1）證明：如圖1，連接，∵，，∴，由圓周角定理得：，∴．（2）證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵平分，，，∴，在和中，，∴，∴，又∵，，∴，，∴．（3）解：如圖3，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，由（2）已證：，∵，∴，∴是等腰直角三角形，且，∴是直徑，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，由圓周角定理得：，，∵，∴，∴，，∴，，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，且，又∵，，∴，∴在中，，∴在中，，設(shè)，則，∴，∵，∴或（不符合題意，舍去），∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)在線段上，∴，即，由圓周角定理得：，∴是等腰直角三角形，且，設(shè)，∵，∴，在中，，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，這與在中，矛盾，舍去，∴，，∴在中，，∵，，∴是等腰直角三角形，且，設(shè)，則，在中，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列分式方程的解，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理、三角形全等的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度大的是題（3），通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵．9．（1）①；②；（2）【分析】（1）①根據(jù)定義和圓周角定理求角即可；②根據(jù)垂徑定理和特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行解答即可；（2）延長(zhǎng)到點(diǎn)M，使得，連接，得到是等邊三角形，證明，則，進(jìn)一步證明，當(dāng)是直徑時(shí)，取最大值，即可求出答案．【詳解】解：（1）①∵四邊形是圓美四邊形，是美角，∴，∴，解得，∴，故答案為：．②連接交于點(diǎn)P，∵為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴,∴，∴．（2）如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)M，使得，連接，∵四邊形是圓美四邊形，是美角，∴，∴，解得，∴，∵平分，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．∵是的一條弦，∴當(dāng)是直徑時(shí)，取最大值，即的最大值是．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了新定義問(wèn)題，等邊三角形的判定和性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，圓周角定理、垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．(1)見詳解(2)【分析】（1）先由，得，結(jié)合是的切線，，即，證明，則，即可作答．（2）連接，證明，根據(jù)，求出，證明，得出，根據(jù)，得出，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得出，解方程，得出x的值，即可得出答案．【詳解】（1）解：連接，如圖所示：∵，∴，∵是的切線，，∴，∴，∴，∴平分；（2）解：連接，如圖所示：∵是的直徑，∴，∵弦平分，∴，∴，∴，又∵是直徑，∴，∴，即，∴，∴∵，，∴，即，∴，設(shè)，則，在中，，∴解得，（舍去），∴．由（1）得，∴，即，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的相關(guān)運(yùn)算，切線的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．11．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，利用切線的性質(zhì)可得，然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，從而利用圓周角定理可得，最后根據(jù)等角對(duì)等邊，即可解答；（2）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是度可得，從而利用（1）的結(jié)論可得，再利用角平分線的定義可得，然后在中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）證明：連接，如圖：與相切于點(diǎn)，，，，，，；（2）解：為的直徑，，，的直徑為，，平分，，，，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，在中，，（負(fù)值已舍）．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解答本題的關(guān)鍵．12．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得，而，則可判斷，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，即可得到平分；（2）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得出，根據(jù)余角的性質(zhì)可得出，然后根據(jù)角平分線的定義以及三角形外角的性質(zhì)可得出，最后根據(jù)等角對(duì)等邊即可得證；（3）連接，證明，根據(jù)，求出，證明，得出，根據(jù)，得出，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得出，解方程，得出x的值，即可得出答案．【詳解】（1）解：連接．，．是的切線，，，．．即平分．（2）證明：是直徑，，又，．又，，．．．（3）解：連接．，．又是直徑，．，．，，．又，．設(shè)，則，在中，，解得，．，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理．圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．13．(1)見解析(2)(3)7【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得，從而得到，進(jìn)而有，再由垂徑定理即可證明；（2）連接，設(shè)，由，得到，根據(jù)垂徑定理得到，從而，因此，又，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理可得．（3）如圖，將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至，連接，，，，與交于點(diǎn)J．設(shè)，則，，得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，從而根據(jù)中位線定理有，設(shè)的半徑為r，則，根據(jù)勾股定理有，，根據(jù)，得到，從而求出r的值．通過(guò)解直角三角形得到，因此．證明，得到，根據(jù)垂徑定理即可解答．