2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《等腰等邊三角形“三線合一”》專項(xiàng)測(cè)試卷(附答案)

第第頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《等腰等邊三角形“三線合一”》專項(xiàng)測(cè)試卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1．在中，，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，連接，若．(1)求證：；(2)求的長(zhǎng)．2．如圖，在中，是邊上的中線，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)若，判斷四邊形的形狀：________（填“菱形”、“矩形”或“正方形”），并證明．3．如圖，在平行四邊形中，平分，交于點(diǎn)E，平分，交于點(diǎn)F．(1)求證：．(2)若，求證：四邊形是矩形．4．如圖，，是中點(diǎn)，，．(1)求證：四邊形是矩形．(2)若，，是上一點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．5．在等腰中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，要求用尺規(guī)作圖的方法在上找一點(diǎn)，連結(jié)，使得．現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)的做法如下：(1)①做法正確的同學(xué)有___________；②請(qǐng)選擇你認(rèn)為正確的一種做法給出證明；(2)用尺規(guī)作圖的方法畫出一種不同于以上三位同學(xué)的畫法．6．如圖，都是的半徑，．(1)求證：；(2)若，，求．7．如圖，，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)（），連接，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，M為的中點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線相交于G，與相交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)求證：；(3)若，求的長(zhǎng)．8．如圖1，“天幕”是大家特別喜歡的一種露營(yíng)設(shè)備，通常由支桿、天幕布、拉繩組成．圖2是其截面示意圖，天幕布，為可伸縮支桿，拉繩、固定在水平地面上，且點(diǎn)A、D、E共線，點(diǎn)A、C、F共線，于點(diǎn)B，于點(diǎn)O．拉繩在地面的固定點(diǎn)E與點(diǎn)B的距離，，．(1)求拉繩的長(zhǎng)；(2)如圖3，現(xiàn)將支桿向上伸長(zhǎng)至點(diǎn)，同時(shí)將固定點(diǎn)E、F分別移動(dòng)至、，使、、共線，、、共線，且，在此過程中，拉繩長(zhǎng)度保持不變，求的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）9．在四邊形中，(1)如圖①，求證：(2)如圖②，在邊上分別取中點(diǎn)M、N，連接．若，求的度數(shù)．10．如圖所示，中，D是邊上一點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作的平行線交的延長(zhǎng)線于F，且，連接．(1)求證：D是的中點(diǎn)；(2)若，試判斷四邊形的形狀，并證明．11．如圖，在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)，G在邊上，，交于E，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，求的長(zhǎng)．12．如圖，在中，平分交于點(diǎn)D，點(diǎn)F在上，連接，E為的中點(diǎn)，、交于點(diǎn)G，連接．(1)若，求的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)F在直線上，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．13．在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)若，兩邊分別交于兩點(diǎn)．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)分別在邊和上時(shí)，求證：；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)分別在和的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，若，則______．(2)如圖3，若，兩邊分別交邊于，交的延長(zhǎng)線于，連接，若，，試求的長(zhǎng)．14．如圖，中，，點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M的速度為，點(diǎn)N的速度為，當(dāng)點(diǎn)M，點(diǎn)N第一次相遇時(shí)，點(diǎn)M，點(diǎn)N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（）秒．(1)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．(2)當(dāng)點(diǎn)N在上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)N在上時(shí)，（分別用含t的代數(shù)式表示）．(3)點(diǎn)N在上時(shí)，請(qǐng)問t為何值時(shí)，是直角三角形，并說明理由．(4)連結(jié)，請(qǐng)問t為何值時(shí)，線段的垂直平分線經(jīng)過的某一頂點(diǎn)，并說明理由．15．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B在坐標(biāo)軸上，，．點(diǎn)C為的中點(diǎn)，D為上一點(diǎn)．(1)如圖（1），將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段．①求證：．②P為x軸上一點(diǎn)，且在點(diǎn)D左側(cè)，點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱的點(diǎn)為Q，連接，．是否存在這樣的點(diǎn)P，使得對(duì)于任意的點(diǎn)D，總有成立？若存在，請(qǐng)寫出P的坐標(biāo)，并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．(2)如圖（2），過點(diǎn)C作的垂線，交y軸于點(diǎn)F．連接，．若，請(qǐng)寫出，，的數(shù)量關(guān)系，并證明．參考答案1．(1)見解析(2)4.5【分析】本題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，證明，根據(jù)垂直的定義即可得證；（2）根據(jù)勾股定理可得，再由三線合一定理得到，則可利用勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而得到，據(jù)此建立方程求解即可．【詳解】（1）證明：，，，，，，，，；（2）解：，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，在中，，，解得：．2．(1)證明見解析；(2)四邊形是矩形，理由見解析．【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形、矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）由是的中點(diǎn)，得，再通過平行線的性質(zhì)可得，然后證明，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求證；（）由（）得，又是邊上的中線，所以，則有，從而證明四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)等腰三角形的三線合一可求出，最后由矩形的判定方法即可求解．【詳解】（1）證明：∵是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：四邊形是矩形，理由，由（）得，，∵是邊上的中線，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，是邊上的中線，∴，∴，∴四邊形是矩形．3．(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，三線合一定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義等等，熟知矩形的判定定理，平行四邊形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）由平行四邊形對(duì)邊平行且相等可證明，，，再由角平分線的定義可證明，據(jù)此利用即可證明；（2）由全等三角形的性質(zhì)得到，再證明，進(jìn)而可證明四邊形是平行四邊形，再由三線合一定理證明，即可證明四邊形是矩形．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，同理可得，∵平分，平分，，，，∴；（2）證明：∵，∴，四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，平分，∴，∴四邊形是矩形．4．(1)詳見解析(2)【分析】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理．根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)可證，，從而可證，又因?yàn)?，根?jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可證四邊形是平行四邊形，又因?yàn)?，可證四邊形是矩形；利用勾股定理可以求出，利用等面積法可知，從而可求的長(zhǎng)度．【詳解】（1）證明：，是等腰三角形，是中點(diǎn)，，，，，，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是矩形；（2）解：在中，，，，，于，，，，解得：．5．(1)①甲、丙；②見解析(2)見解析【分析】該題考查了復(fù)雜作圖，還涉及等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理等知識(shí)點(diǎn)．（1）①根據(jù)作圖判斷即可；②根據(jù)尺規(guī)作圖和等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理證明即可；（2）根據(jù)題意作圖使得點(diǎn)是中點(diǎn)或即可，做法不唯一．【詳解】（1）解：①做法正確的同學(xué)有甲、丙；②甲的做法證明如下：方法一：由圖可知平分，，，，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，；方法二：由圖可知平分，，為邊上的中線，即點(diǎn)為的中點(diǎn)，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，是的中位線，，；丙的做法證明如下：方法一：連結(jié)由圖可知，點(diǎn)在的垂直平分線上，，點(diǎn)在的垂直平分線上，是的垂直平分線，，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，；方法二：連結(jié)由圖可知，點(diǎn)在的垂直平分線上，，點(diǎn)在的垂直平分線上，是的垂直平分線，即點(diǎn)為的中點(diǎn)，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，是的中位線，，．（2）解：如圖，以點(diǎn)D為圓心為直徑畫圓，交于點(diǎn)E，則．其他做法酌情給分6．(1)見解析(2)【分析】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）利用圓周角定理即可證明；（2）作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，利用三線合一性質(zhì)得到，，得到，利用全等三角形的判定證出，得到，再利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：，，，又，；（2）解：如圖，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，，，，，，由（1）得，，，，，，又，，，，，．7．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）證明，推出，即可證明；（2）利用兩對(duì)角分別相等，證明，即可得到；（3）在上取點(diǎn)N，使，連接．證明，推出，，利用等角的余角相等求得，再證明，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）證明：，，．由旋轉(zhuǎn)可知，，，，，，；（2）證明：，，，．為的中點(diǎn)，，，，．，，，，．（3）解：如圖，在上取點(diǎn)N，使，連接．，M為的中點(diǎn)，．，，，，，．，，．，，，，．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)變換及其性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．8．(1)(2)【分析】本題考查了解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得，再解直角三角形得出，即可得解；（2）由題意可得，，求出，再由勾股定理計(jì)算即可得解．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∵，，∴，∴；（2）解：由題意可得：，，∵，∴，∴．9．(1)證明見解析(2)【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理，熟知等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊對(duì)等角可得，再由角的和差關(guān)系可證明結(jié)論；（2）由三線合一定理得到，再由四邊形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴（2）解：∵，M、N分別是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴．10．(1)見解析(2)若，則四邊形是矩形，證明見解析【分析】本題考查了矩形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出，然后利用證明和全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等量關(guān)系即可求解；（2）由（1）知平行等于，易證四邊形是平行四邊形，而，是中線，利用等腰三角形三線合一定理，可證，即，那么可證四邊形是矩形．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴D是的中點(diǎn)；（2）解：若，則四邊形是矩形．證明如下：∵，∴，∵，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，，∴，∴平行四邊形是矩形．11．(1)見解析(2)【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角形中位線定理．（1）根據(jù)等腰三角形三線合一得到，再利用三角形的中位線定理證明，再加上條件可證出結(jié)論．（2）先證明，再證明，可得到．【詳解】（1）證明：，，．又是邊的中點(diǎn)，∴，為的中位線，，，四邊形是平行四邊形．（2）解：四邊形是平行四邊形，，、分別是、的中點(diǎn)，，，．12．(1)6(2)5或25【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線的判定及其性質(zhì)，對(duì)于（1），先求出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，然后說明是的中位線，可得答案；對(duì)于（2），分三種情況：當(dāng)F在線段上時(shí)，當(dāng)F在線段CB延長(zhǎng)線上時(shí)，當(dāng)F在線段BC延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)得出答案.【詳解】（1）解：∵，∴.∵，平分，∴.∵點(diǎn)E是中點(diǎn)，∴是的中位線，（2）解：①當(dāng)F在線段上時(shí)，由（1）得，∴；②當(dāng)F在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖1，由(1)得，此情況不成立；③當(dāng)F在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，由(1)得，∴.綜上所述：的長(zhǎng)為5或25．13．(1)①見解析；②18(2)2【分析】（1）①連接，證明即可；②連接，，得出，利用三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）連接，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明，得出，，證明，得出，即可得出答案．【詳解】（1）證明：①如圖，連接，∵，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，，，∴，∴，∴，∴；②如圖，連接，∵，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，，，∴，，∴，∴，∴，∴，（2）解：如圖，連接，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，，∴，，∴，∴，∴，，∵，，∴，又∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵．14．(1)；(2)；(3)t為4.5或5時(shí)，是直角三角形；理由見解析(4)或或或【分析】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和路程解答即可；（2）根據(jù)速度和時(shí)間得出路程，進(jìn)而解答即可；（3）由題意當(dāng)時(shí)，點(diǎn)N落在上，此時(shí)點(diǎn)M也在上．當(dāng)點(diǎn)M或點(diǎn)N是的中點(diǎn)時(shí)，是直角三角形．由此構(gòu)建方程求解即可；（4）分四種情形，分別畫出圖形，構(gòu)建方程求解．【詳解】（1）解：當(dāng)，，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M經(jīng)過的路程為，，故答案為：；；（2）解：當(dāng)點(diǎn)N在上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)N在上時(shí)，；故答案為：；；（3）解：t為4.5或5時(shí)，是直角三角形；理由如下：由題意當(dāng)時(shí)，點(diǎn)N落在上，此時(shí)點(diǎn)M也在上．當(dāng)點(diǎn)M或點(diǎn)N是的中點(diǎn)時(shí)，是直角三角形．∴或，綜上所述，t為4.5或5時(shí)，是直角三角形；（4）解：t為或或或時(shí)，線段的垂直平分線經(jīng)過的某一頂點(diǎn)；理由如下：如圖1中，當(dāng)線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，，解得；如圖2中，當(dāng)線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，，解得；如圖3中，當(dāng)線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，，解得；如圖4中，當(dāng)線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，，解得．綜上所述，滿足條件的t的值為或或或．15．(1)①見解析；②存在，(2)，證明見解析【分析】（1）①證出．，則可得出結(jié)論；②作點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)K，連接，證明，得出．則可得出結(jié)論；（2）連接，取點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M，連接．證明，得出．，，從而得到為等腰直角三角形．再證明，則可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①∵，∴為等腰直角三角形，．∵，∴．又∵，∴，∴．②存在．證明：