2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《與軸對(duì)稱相關(guān)的幾何動(dòng)態(tài)問題探究》專項(xiàng)測(cè)試卷(附答案)

第第頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《與軸對(duì)稱相關(guān)的幾何動(dòng)態(tài)問題探究》專項(xiàng)測(cè)試卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1．綜合與探究：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)方形的頂點(diǎn)A、B分別在x軸與y軸上，已知，．點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿線段的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求直線的函數(shù)解析式；(2)①求的面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式；②把長(zhǎng)方形沿著折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在使為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．2．如圖，等腰直角中，，，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)，作出符合下列條件的各點(diǎn)，不寫作法，但保留必要的作圖痕跡．(1)作上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，使得，且最大；(2)在第一問的條件下，作上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，使得，且最小，并求出這個(gè)最小值．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，和，請(qǐng)按下列要求畫圖并填空．(1)平移線段，使點(diǎn)A平移到點(diǎn)C，畫出平移后所得的線段，并寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)為______；(2)將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后所得的線段，連接，求的正切值；(3)在y軸上找出點(diǎn)F，使的周長(zhǎng)最小，并直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)為______．4．如圖①，在平行四邊形中，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線的路線向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)平行四邊形的面積是________；(2)用含t的式子表示線段的長(zhǎng)；(3)當(dāng)直線與垂直時(shí)，求t的值；(4)請(qǐng)直接寫出的最小值．5．如圖，在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)重合時(shí)，連接．設(shè)．(1)的長(zhǎng)為________；(2)當(dāng)是直角三角形時(shí)，求的值；(3)當(dāng)是軸對(duì)稱圖形時(shí)，求的面積；(4)如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出的值．6．如圖，在四邊形中，，，，，，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E．若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合時(shí)，連結(jié)，作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)、，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（）(1)的長(zhǎng)為______；(2)用含t的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)；(3)當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求t的值；(4)當(dāng)與四邊形的某條邊平行時(shí)，直接寫出t的值．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形的頂點(diǎn)，分別在軸和軸上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為上一點(diǎn)，且，為長(zhǎng)方形邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)．(1)當(dāng)在軸上時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為__________；(2)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)求出直線的表達(dá)式；(3)當(dāng)為以為直角邊的直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．8．在平面直角坐標(biāo)系中，直線過原點(diǎn)且經(jīng)過第三、第一象限，與軸所夾銳角為．對(duì)于點(diǎn)和軸上的兩點(diǎn)，，給出如下定義：記點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正數(shù)，且為等邊三角形，則稱點(diǎn)為，的點(diǎn)．(1)如圖1，若點(diǎn)，，點(diǎn)為，的點(diǎn)，連接，．①°；②求點(diǎn)坐標(biāo)．(2)已知點(diǎn)，．①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為，的點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則；②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為，的點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則．9．已知為等邊三角形．

(1)如圖，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，以為邊作等邊三角形，連接，求證：；(2)如圖，以為腰作等腰直角三角形，取斜邊的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．求證：；(3)如圖，若，點(diǎn)是邊上一定點(diǎn)且，若點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊向右側(cè)作等邊，連接，，求的最小值．10．【問題情境】：（1）如圖1，四邊形是正方形，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是______．【類比探究】：（2）如圖2，四邊形是矩形，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接．判斷線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系：______，并說明理由：【拓展提升】：（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，求的最小值．

11．【問題初探】（1）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給出如下問題：如圖1，在四邊形中，，，，，垂足是點(diǎn)．求證：．①如圖，小明同學(xué)給出如下解法：作，垂足是點(diǎn)．②如圖，小亮同學(xué)給出另一種解題方法：作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解題方法，寫出完整的證明過程．【類比分析】

（2）李老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，將證明與的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為與另一條線段的數(shù)量關(guān)系；為了幫助學(xué)生更好地感悟轉(zhuǎn)化思想，李老師將圖進(jìn)行變換，并提出了下面問題，請(qǐng)你解答．如圖，在四邊形中，，，，，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．求證：．【學(xué)以致用】（3）如圖5，四邊形中，，，和都是鈍角，且，，點(diǎn)在上，請(qǐng)直接寫出的最小值．

12．已知是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），以為邊作等邊三角形（點(diǎn)在的上方）．(1)如圖①，當(dāng)D為邊的中點(diǎn)時(shí)，求證：；(2)如圖②，連接，求證：；(3)F為邊的中點(diǎn)，連接，當(dāng)取得最小值時(shí)，延長(zhǎng)與直線相交于點(diǎn)G，求線段的長(zhǎng)（直接寫出結(jié)果即可）．13．【問題背景】如圖1，是銳角三角形，點(diǎn)在邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連接，將沿翻折得到，將沿翻折得到，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，連接．設(shè)的長(zhǎng)為，四邊形的面積為．【特例探究】如圖2，當(dāng)，且時(shí)，（1）猜想四邊形的形狀，并說明理由．（2）當(dāng)時(shí)，______．【類比遷移】（1）如圖3，當(dāng)時(shí)，______（用含的式子表示）．（2）當(dāng)時(shí)，______（用含的式子表示）．【思維拓展】當(dāng)時(shí)，______（用含，的最簡(jiǎn)二次根式表示）．14．平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別為y軸正半軸和x軸正半軸上的點(diǎn)，點(diǎn)，連接，，(1)如圖1，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)如圖2，點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，以P為直角頂點(diǎn)作等腰直角，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用含m、n表示，不要求寫出m、n的取值范圍）；(3)如圖3，點(diǎn)C為中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為y軸點(diǎn)A上方一點(diǎn)，點(diǎn)F為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，，連接，若射線于D，連接，，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．15．如圖1，已知直線：交軸于，交軸于．(1)求直線的表達(dá)式；(2)如圖2，直線的表達(dá)式為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，在直線上找一點(diǎn)，使得最小，并求出最小值；(3)如圖3，已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線右側(cè)一點(diǎn)，且滿足，求的值．參考答案1．(1)(2)①；②點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3)P坐標(biāo)為或或【分析】（1）設(shè)直線解析式為，將D與C坐標(biāo)代入求出k與b的值，即可確定出解析式；（2）①當(dāng)P在段時(shí)，底與高為固定值，求出此時(shí)面積；當(dāng)P在段時(shí)，底邊為固定值，表示出高，即可列出S與t的關(guān)系式；②設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求出，得出，根據(jù)勾股定理得出，解方程即可；（3）存在，分別以，，為底邊三種情況考慮，利用勾股定理及圖形與坐標(biāo)性質(zhì)求出P坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：∵，四邊形為長(zhǎng)方形，∴，設(shè)直線解析式為，把，分別代入，得：，解得：，則此時(shí)直線解析式為；（2）解：①當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，，高為6，，即時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，，高為，∴，∴；②設(shè)，則，如圖2，∵，，∴，∴，∵，∴，解得：，則此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是；（3）解：存在，理由為：若為等腰三角形，分三種情況考慮：如圖3，①當(dāng)，在中，，，根據(jù)勾股定理得：，∴，即；②當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)F，∴，∴，此時(shí)；③當(dāng)時(shí)，在中，，根據(jù)勾股定理得：，∴，即，綜上，滿足題意的P坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的定義，勾股定理，利用了分類討論的思想，合理分類討論是解本題第三問的關(guān)鍵．2．(1)見解析(2)的最小值為【分析】本題考查作圖基本作圖，等腰直角三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．（1）作于點(diǎn)，以為圓心，為半徑作弧交于點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)即為所求；（2）設(shè)，利用勾股定理，轉(zhuǎn)化的思想解決問題即可．【詳解】（1）如圖，點(diǎn)，點(diǎn)即為所求；（2）設(shè)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．，，，，，，，，，欲求的最小值，只要在軸上找一點(diǎn)，使得點(diǎn)到，，的距離和最小即可，如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，連接，此時(shí)的值最小，最小值．的最小值為．3．(1)(2)圖見解析，2(3)【分析】題目主要考查正切的定義，圖形的平移、旋轉(zhuǎn)及最短路徑問題，理解題意，熟練掌握這些基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖形的平移作出相應(yīng)圖形，然后讀出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；（2）先作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，然后利用勾股定理逆定理及正切函數(shù)的定義求解即可；（3）利用軸對(duì)稱作出點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接交y軸即為所求．【詳解】（1）如圖所示，，故答案為：；（2）如圖所示，，∴，∴的形狀為直角三角形，∴的正切值；（3）作B點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)，連接交y軸于F點(diǎn)，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，，故答案為：．4．(1)(2)或(3)或(4)【分析】（1）過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，易得，則，根據(jù)平行四邊形面積公式求解即可；（2）分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)；（3）根據(jù)題意，分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，求出，則，再得出，則，根據(jù)，列出方程求解即可；②當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，易得，，則，根據(jù)，列出方程求解即可；（4）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出，則點(diǎn)在以點(diǎn)E為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，連接，與相交于點(diǎn)，此時(shí)最小，即可求解．【詳解】（1）解：過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，∵，，∴，∴，根據(jù)勾股定理可得：，∴平行四邊形的面積，故答案為：；

（2）解：當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，，∴，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，，∴，（3）解：①當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，過P作于點(diǎn)G，令交于點(diǎn)T，交于點(diǎn)R，∵點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)A和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，∴，由（1）可知，該平行四邊形高為，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，∴，則，∵，∴，∴，∵，∴，解得：；

②當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，∵點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，∴，則，∴，∵，，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵點(diǎn)A和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，∴，，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，解得：；

（4）解：∵點(diǎn)A和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，∴，∴點(diǎn)在以點(diǎn)E為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，連接，與相交于點(diǎn)，此時(shí)最小，由（3）可知，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴．即最小值為．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，正確畫出圖形，具有分類討論的思想，是解題的關(guān)鍵．5．(1)；(2)或；(3)或；(4)或．【分析】（）由等腰三角形的性質(zhì)求出，由勾股定理可求出答案；（）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，當(dāng)時(shí)，由勾股定理可求出答案；（）分三種情況，由等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理可得出答案；（）分兩種情況，當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，由軸對(duì)稱的性質(zhì)及勾股定理可得出答案．【詳解】（1）∵，，點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，，∴，∴，故答案為：；（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，在中，，∴，當(dāng)時(shí)，在中，，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，故的值為或；（3）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，綜上可知：的面積為或；（4）當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，，∴，在中,，∴，∴；當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，∵，，∴，∵，，∵，在中，，∴，∴，綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的判定，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、靈活運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．6．(1)5(2)當(dāng)，當(dāng)(3)或或(4)或2或8或或【分析】（1）證明是矩形，根據(jù)矩形性質(zhì)和勾股定理則可得出答案；（2）分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，由題意可得出答案；（3）分為當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，兩種情況分別畫圖解答；（4）分為當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，五種情況分別畫圖解答；【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得故是矩形，，（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，；（3）如圖，當(dāng)時(shí)，或，解得：或；當(dāng)時(shí)，如圖，過點(diǎn)E作，則解得：（舍去）或；綜上，或或；（4）如圖1，當(dāng)時(shí)，；如圖2，當(dāng)時(shí)，，；如圖3，當(dāng)時(shí)，,是平行四邊形，三點(diǎn)共線，如圖4，當(dāng)時(shí)，是正方形，；，如圖，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作，于點(diǎn)，則四邊形是矩形，∴，∴四邊形是正方形，∵∴即∴∴∴∴，綜上，或或或或．【點(diǎn)睛】該題主要考查了矩形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．7．(1)；(2)或；(3)或或．【分析】（1）依題意可得點(diǎn)與點(diǎn)重合，，即可求解；（2）當(dāng)在軸上方時(shí)和當(dāng)在軸下方時(shí)，進(jìn)而待定系數(shù)法求解析式即可求解；（3）分三種情況討論；當(dāng)與重合時(shí)，點(diǎn)在軸的正半軸，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，當(dāng)平分時(shí)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸，如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，等面積法，即可求解．【詳解】（1）解：∵，四邊形是長(zhǎng)方形，∴，∵關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)．在軸上，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴，∴，故答案為：；（2）解：當(dāng)在軸上方時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，∵，四邊形是長(zhǎng)方形，∴，又∵，∴，在中，，∵關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，∴，∵，則，又∵∴，∴，∴，∴，設(shè)，∵，∴，解得：，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得：，∴直線的表達(dá)式：，當(dāng)在軸下方時(shí)，如圖所示，設(shè)交于，過作軸,交軸于，交延長(zhǎng)線于，∵，又，∴，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，設(shè)，∴，,∴,，∴，，∴設(shè)直線解析式為，，解得：，∴直線的表達(dá)式為：，綜上可知，直線的表達(dá)式或；（3）解：依題意，，∴，又∵，∴，∴，∴平分，∴當(dāng)與重合時(shí)，點(diǎn)在軸的正半軸，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，此時(shí)，當(dāng)平分時(shí)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸，如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，∴，即，解得：，∴，綜上所述，或或．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．(1)①30；②(2)①6；②或【分析】（1）①設(shè)點(diǎn)為第一象限內(nèi)上一點(diǎn)，得出與軸的夾角為,即，則即可得出；②過點(diǎn)作軸于A，過點(diǎn)作軸于，證明．根據(jù)是等邊三角形，點(diǎn)，點(diǎn)，得出，即可求解；（2）①延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交軸于，過點(diǎn)作軸于，根據(jù)定義得出是等邊三角形，證明軸，得出，分別求得，解方程，即可得出；②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，如圖所示，過點(diǎn)作軸于A，過點(diǎn)作軸于，設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)得出；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，根據(jù)，解方程，即可求解．【詳解】（1）①解：如圖所示，設(shè)點(diǎn)為第一象限內(nèi)上一點(diǎn)，∵為等邊三角形，，，則，,，∵點(diǎn)為，的點(diǎn)，∴與軸的夾角為,即，∴，∴，故答案為：30；②解：過點(diǎn)作軸于A，過點(diǎn)作軸于，，點(diǎn)為線段的點(diǎn)，，，．．在和中，．，，是等邊三角形，，，，，，，，點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）解：①如圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交軸于A，過點(diǎn)作軸于，∵點(diǎn)為，的點(diǎn)，∴，則是等邊三角形，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，∴∵關(guān)于對(duì)稱，∴，則，∴軸，∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴，∵，則，∵，，則，∴解得：故答案為：．②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，如圖所示，過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作軸于，設(shè)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，∵,，，則()∴，∴，∵，∴；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，同理可得，，則，∴，解得：，綜上所述，或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)．【分析】（）由等邊三角形的性質(zhì)可得，再利用即可證明；（）由為等腰直角三角形可得，，進(jìn)而得到，又根據(jù)為的中點(diǎn)，可得，即可得，在上取一點(diǎn)，使，可得是等邊三角形，得到，故得，再證明，得到，即可求證；（）把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)可得為等邊三角形，得到點(diǎn)的軌跡是射線，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則有，根據(jù)即可求解．【詳解】（1）證明：∵為等邊三角形，∴，，，∴∴，∴；（2）證明：∵為等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵為的中點(diǎn)，∴平分，∴，∴，在上取一點(diǎn)，使，連接，則是等邊三角形，

∴，∴，∵，，，∴，∴，∴；（3）解：把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則，

∵，，∴，∴，∴三點(diǎn)共線，又由旋轉(zhuǎn)可得，，∴為等邊三角形，∴，∴點(diǎn)的軌跡是射線，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則，，∴，∵，∴，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和，軸對(duì)稱的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的三邊性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（1）；（2）判斷：，理由見解析；（3）【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得，，，，則有，即可證明，有成立；（2）由矩形的性質(zhì)得，，結(jié)合題意可證得，則有，故；（3）過點(diǎn)E作，垂足為點(diǎn)K，過點(diǎn)G作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)L，則，結(jié)合矩形的性質(zhì)證得，有，即可證得，得到，得，則點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，得到的值最小為，將，利用勾股定理即可求得．【詳解】解：（1）∵四邊形是正方形，∴，，∵四邊形是正方形，∴，，∴，則，那么，，故答案為：；（2）判斷：，理由如下：∵四邊形是矩形，四邊形是矩形，∴，，∴，∵，，∴∴，∴，∴；故答案為：；（3）如圖，過點(diǎn)E作，垂足為點(diǎn)K，過點(diǎn)G作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)L，則，

∵四邊形是矩形，∴，，，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，∴當(dāng)點(diǎn)B，G，三點(diǎn)同一直線時(shí)，的值最小，即為，由（2）得，∴，∴，∴的最小值為的最小值，即，∵，，∴，∴∴，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟悉相似三角形的性質(zhì)和線段之間的轉(zhuǎn)化及最短距離的求解．11．（1）見解析（2）見解析（3）【分析】（1）①小明同學(xué)的解法：根據(jù)題意證明四邊形是矩形；，即可得證；②小亮同學(xué)的解法：證明四邊形是矩形，，即可得證；（2）作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)則，證明四邊形是矩形，，則，根據(jù)，等量代換進(jìn)而，即可求解；（3）過點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由（2）可得四邊形是矩形，，是等腰直角三角形，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則，此時(shí)最小，在中，，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)，結(jié)合三角形的三角函數(shù)關(guān)系求得，最后在中，勾股定理，即可求解．【詳解】解：①小明同學(xué)的解法：如圖所示，

，，，四邊形是矩形，，，，又，，，②小亮同學(xué)的解法：如圖所示，

，，，四邊形是矩形，，，又，，，（2）解：如圖所示，作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)則

，，，，四邊形是矩形，，，又，，，，，，（3）解：如圖所示，過點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)則

由（2）可得四邊形是矩形，，∴，，∴四邊形是正方形，∴，又∵，∴∴是等腰直角三角形，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則∴，此時(shí)最小，

∵，∴點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，∴，∵，∴又，在中，∴解得：（負(fù)值舍去）∴∴∵∴，∴∴在中，【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．12．(1)見解析(2)見解析(3)3【分析】本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三線合一的性質(zhì)即可得結(jié)論；（2）根據(jù)“”證明，得，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得結(jié)論；（3）根據(jù)可知：點(diǎn)在過點(diǎn)與平行的射線上運(yùn)動(dòng)，如圖③，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線于，連接，此時(shí)的值最小，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定即可解答．【詳解】（1）證明：是等邊三角形，為邊的中點(diǎn)，，，是等邊三角形，，，，，；（2）證明：和是等邊三角形，，，，，，，，；（3）解：為邊的中點(diǎn)，，，由（2）知：，點(diǎn)在過點(diǎn)與平行的射線上運(yùn)動(dòng)，，，如圖③，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線于，連接，垂直平分，，，，，，，，．即線段的長(zhǎng)為3．13．[特例探究]（1）正方形，理由見解析；（2）[類比遷移]（1）；（2）[思維拓展]．【分析】特例探究：（1）由折疊的性質(zhì)得，，由矩形的判定方法得四邊形是矩形，由正方形的判定方法，即可得證；（2）由勾股定理得，可求，即可求解；類比遷移：（1）過作交延長(zhǎng)線于，過作交于，由可判定，由全等三角形的性質(zhì)得，由正方形的判定方法得四邊形是正方形，即可求解；（2）過作交延長(zhǎng)線于，過作交于，同理可證，可得，由勾股定理及三角形面積得，即可求解；思維拓展：過作交延長(zhǎng)線于，過作交于，由正弦函數(shù)得，由勾股定理得，由，即可求解．【詳解】解：特例探究：（1）四邊形是正方形．理由如下：，，由折疊得：，，，，，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形；（2）四邊形是正方形，，，，解得：，；故答案為：；類比遷移：（1）過作交延長(zhǎng)線于，過作交于，，同理可證：，，，四邊形是矩形，，，，，在和中，（），，四邊形是正方形，同理可求：，；故答案為：；（2）過作交延長(zhǎng)線于，過作交于，同理可證：，，，，平分，，，，，，，，，；故答案為：；思維拓展：過作交延長(zhǎng)線于，過作交于，同理可證：，，，，，，，，，，，，，；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定及性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，角平分線的判定及性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，直角三角形的特征等；掌握正方形的判定及性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，角平分線的判定及性質(zhì)，能構(gòu)建全等三角形，并能熟練利用勾股定理，三角函數(shù)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．14．(1)(2)或者(3)【分析】（1）根據(jù)三角形面積，即可求出B；（2）先求出直線的解析式為：，可得，當(dāng)點(diǎn)Q在上方時(shí)落在，當(dāng)點(diǎn)Q在下方時(shí)落在，過作軸于W點(diǎn)，過軸于H點(diǎn)，如圖，根據(jù)題意可知：、等腰直角三角形，再證明點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，且垂直平分，即有，接著證明，即有，，結(jié)合圖形有：，，則有，進(jìn)而可得，，則有，問題隨之得解；（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作于點(diǎn)K．證明，，，可得：．過點(diǎn)G分別作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N．證明．根據(jù)，，可得，問題隨之得解．【詳解】（1）解：∵，∴．∵，∴，∴；（2）設(shè)直線的解析式為：，∵，，∴，解得：，∴直線的解析式為：，∵點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)Q在上方時(shí)落在，當(dāng)點(diǎn)Q在下方時(shí)落在，過作軸于W點(diǎn)，過軸于H點(diǎn)，如圖，根據(jù)題意可