2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章計(jì)數(shù)原理與概率隨機(jī)變量及其分布第56講排列與組合課時(shí)達(dá)標(biāo)理含解析新人教A版

PAGEPAGE1第56講排列與組合課時(shí)達(dá)標(biāo)一、選擇題1．在試驗(yàn)室進(jìn)行的一項(xiàng)物理試驗(yàn)中，要先后實(shí)施6個(gè)程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最終一步，程序B和C在實(shí)施時(shí)必需相鄰，則試驗(yàn)依次的編排方法共有()A．34種 B．48種C．96種 D．124種C解析設(shè)6個(gè)程序分別是A，B，C，D，E，F(xiàn)，A支配在第一步或最終一步，有Aeq\o\al(1,2)種方法．將B和C看作一個(gè)元素，它們自身之間有Aeq\o\al(2,2)種方法，與除A外的其他程序進(jìn)行全排列，有Aeq\o\al(4,4)種方法，由分步計(jì)數(shù)原理得試驗(yàn)依次的編排方法共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝96(種)，故選C.2．甲、乙等5位同學(xué)分別保送到北京高校、上海交通高校、中山高校這3所高校就讀，則每所高校至少保送1人的不同保送方法種數(shù)為()A．150 B．180C．240 D．540A解析分為兩類，第一類為2＋2＋1，即有2所高校分別保送2名同學(xué)，方法種數(shù)為Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,3)·eq\f(A\o\al(3,3),A\o\al(2,2))＝90，其次類為3＋1＋1，即有1所高校保送3名同學(xué)，方法種數(shù)為Ceq\o\al(3,5)·Aeq\o\al(3,3)＝60，故不同的保送方法種數(shù)為150，故選A.3．在5×5的棋盤中，放入3顆黑子和2顆白子，它們均不在同一行且不在同一列，則不同的排列方法種數(shù)為()A．150 B．200C．600 D．1200D解析首先放入3顆黑子，在5×5的棋盤中，選出三行三列，共Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,5)種方法，然后放入3顆黑子，每一行放1顆黑子，共3×2×1種方法，然后在剩下的兩行兩列放2顆白子，所以不同的方法種數(shù)為Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,5)×3×2×1×2×1＝1200，故選D.4．市汽車牌照號(hào)碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左到右其次個(gè)號(hào)碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個(gè)號(hào)碼可以從0～9這十個(gè)數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復(fù))，某車主第一個(gè)號(hào)碼(從左到右)只想在數(shù)字3,5,6,8,9中選擇，其他號(hào)碼只想在1,3,6,9中選擇，則他的車牌號(hào)碼可選的全部可能狀況有()A．180種 B．360種C．720種 D．960種D解析依據(jù)車主的要求，從左到右第一個(gè)號(hào)碼有5種選法，其次個(gè)號(hào)碼有3種選法，其余三個(gè)號(hào)碼各有4種選法．因此車牌號(hào)碼可選的全部可能狀況有5×3×4×4×4＝960(種)．5．“住房”“醫(yī)療”“教化”“養(yǎng)老”“就業(yè)”成為現(xiàn)今社會(huì)關(guān)注的五個(gè)焦點(diǎn)．小趙想利用國(guó)慶節(jié)假期調(diào)查一下社會(huì)對(duì)這些熱點(diǎn)的關(guān)注度．若小趙打算依據(jù)依次分別調(diào)查其中的4個(gè)熱點(diǎn)，則“住房”作為其中的一個(gè)調(diào)查熱點(diǎn)，但不作為第一個(gè)調(diào)查熱點(diǎn)的種數(shù)為()A．13 B．24C．18 D．72D解析可分三步：第一步，先從“醫(yī)療”“教化”“養(yǎng)老”“就業(yè)”這4個(gè)熱點(diǎn)中選出3個(gè)，有Ceq\o\al(3,4)種不同的選法；其次步，在調(diào)查時(shí)，“住房”支配的依次有Aeq\o\al(1,3)種可能狀況；第三步，其余3個(gè)熱點(diǎn)調(diào)查的依次有Aeq\o\al(3,3)種排法．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同調(diào)查依次的種數(shù)為Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝72.6．(2024·石家莊質(zhì)檢)中小學(xué)校車平安問題引起社會(huì)的關(guān)注，為了徹底消退校車平安隱患，某市購(gòu)進(jìn)了50臺(tái)完全相同的校車，打算發(fā)放給10所學(xué)校，每所學(xué)校至少2臺(tái)，則不同的發(fā)放方案的種數(shù)有()A．Ceq\o\al(9,41) B．Ceq\o\al(9,38)C．Ceq\o\al(9,40) D．Ceq\o\al(9,39)D解析首先每個(gè)學(xué)校配備一臺(tái)，這個(gè)沒有依次和狀況之分，剩下40臺(tái)；將剩下的40臺(tái)像排隊(duì)一樣排列好，則這40臺(tái)校車之間有39個(gè)空．對(duì)這39個(gè)空進(jìn)行插空(隔板)，比如說(shuō)用9個(gè)隔板隔開，就可以隔成10部分了．所以是在39個(gè)空里選9個(gè)空插入隔板，所以是Ceq\o\al(9,39).二、填空題7．4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)盒中，則恰有1個(gè)空盒的放法共有________種(用數(shù)字作答)．解析4個(gè)球分成3組，每組至少1個(gè)，即分成小球個(gè)數(shù)分別為2,1,1的3組，有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))種，然后將3組球放入4個(gè)盒中的3個(gè)，安排方法有Aeq\o\al(3,4)種，因此，方法共有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))×Aeq\o\al(3,4)＝144(種)．答案1448．?dāng)?shù)字1,2,3,4,5,6按如圖形式隨機(jī)排列，設(shè)第一行的數(shù)為N1，其中N2，N3分別表示其次、三行中的最大數(shù)，則滿意N1<N2<N3的全部排列的個(gè)數(shù)是________．解析(元素優(yōu)先法)由題意知6必在第三行，支配6有Ceq\o\al(1,3)種方法，第三行中剩下的兩個(gè)空位支配數(shù)字有Aeq\o\al(2,5)種方法，在留下的三個(gè)數(shù)字中，必有一個(gè)最大數(shù)，這個(gè)最大數(shù)支配在其次行，有Ceq\o\al(1,2)種方法，剩下的兩個(gè)數(shù)字有Aeq\o\al(2,2)種排法，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，全部排列的個(gè)數(shù)是Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝240.答案2409．(2024·孝感質(zhì)檢)某學(xué)校新來(lái)了五名學(xué)生，學(xué)校打算把他們安排到甲、乙、丙三個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少安排一人，則其中學(xué)生A不安排到甲班的安排方案種數(shù)是________．解析A的安排方案有2種，若A安排到的班級(jí)不再安排其他學(xué)生，則把其余四人分組后安排到另外兩個(gè)班級(jí)，安排方法種數(shù)是(Ceq\o\al(3,4)＋eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2)))Aeq\o\al(2,2)＝14；若A安排到的班級(jí)再安排一名學(xué)生，則把剩余的三名學(xué)生分組后安排到另外兩個(gè)班級(jí)，安排方法種數(shù)是Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝24；若A安排到的班級(jí)再安排兩名學(xué)生，則剩余的兩名學(xué)生就安排到另外兩個(gè)班級(jí)，安排方法種數(shù)是Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝12.故總數(shù)為2×(14＋24＋12)＝100.答案100三、解答題10．(1)解方程eq\f(A\o\al(7,x)－A\o\al(5,x),A\o\al(5,x))＝89.(2)解不等式eq\f(1,C\o\al(3,n))－eq\f(1,C\o\al(4,n))<eq\f(2,C\o\al(5,n)).解析(1)原方程可化為eq\f(A\o\al(7,x),A\o\al(5,x))＝90，所以eq\f(x！,x－7！)·eq\f(x－5！,x！)＝90.所以(x－6)(x－5)＝90.解得x＝15或x＝－4(舍)．經(jīng)檢驗(yàn)x＝15是原方程的解．(2)原不等式可化為eq\f(3！n－3！,n！)－eq\f(4！n－4！,n！)<eq\f(2×5！n－5！,n！)，所以(n－3)(n－4)－4(n－4)<2×5×4，即n2－11n－12<0，解得－1<n<12.又因?yàn)閚∈N*且n≥5，所以n＝5,6,7,8,9,10,11.11．7名師生站成一排照相留念．其中老師1人，男生4人，女生2人，在下列狀況中，各有不同站法多少種？(1)2名女生必需相鄰；(2)4名男生互不相鄰；(3)若4名男生身高都不相等，且男生按從高到低的一種依次站；(4)老師不站中間，女生不站兩端．解析(1)2名女生站在一起有Aeq\o\al(2,2)種站法，視為一個(gè)元素與其余5人全排，有Aeq\o\al(6,6)種排法，所以有不同站法Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(6,6)＝1440種．(2)先站老師和女生，有Aeq\o\al(3,3)種站法，再在老師和女生站位的間隔(含兩端)處插男生，每空一人，有插入方法Aeq\o\al(4,4)種，所以共有不同站法Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)＝144種．(3)7人全排列中，4名男生不考慮身高依次的站法有Aeq\o\al(4,4)種，而由高到低有從左到右，或從右到左的不同，所以共有不同站法2·eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(4,4))＝420種．(4)中間和兩側(cè)是特別位置可分類求解：①老師站兩側(cè)之一，另一側(cè)男生站，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)種站法．②兩側(cè)全由男生站，老師站除兩側(cè)和正中間之外的另外4個(gè)位置之一，有Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)種站法．所以共有不同站法Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝960＋1152＝2112種．12．(2024·宜昌月考)按下列要求安排6本不同的書，各有多少種不同的安排方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均安排給甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．解析(1)無(wú)序不勻稱分組問題，先選1本有Ceq\o\al(1,6)種選法；再?gòu)挠嘞碌?本中選2本有Ceq\o\al(2,5)種選法；最終余下的3本全選有Ceq\o\al(3,3)種方法，故共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60種．(2)有序不勻稱分組問題．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)題基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再安排，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360種．(3)無(wú)序勻稱分組問題．先分三步，則應(yīng)是Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)種方法，但是這里出現(xiàn)了重復(fù)．不妨記6本書為A，B，C，D，E，F(xiàn)，若第一步取了AB，其次步取了CD，第三步取了EF，記該種分法為(AB，CD，EF)，則Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)種分法中還有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共Aeq\o\al(3,3)種狀況，而這Aeq\o\al(3,3)種狀況僅是AB，CD，EF的依次不同，因此只能作為一種分法，故安排方式有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15種．(4)有序勻稱分組問題，在第(3)題基礎(chǔ)上再安排給3個(gè)人，共有安排方式eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90種．(5)無(wú)序部分勻稱分組問題，共有eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＝15種．(6)有序部分勻稱分組問題．在第(5)題基礎(chǔ)上再安排給3個(gè)人，共有安排方式eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝90種．(7)干脆安排問題．甲選1本有Ceq\o\al(1,6)種方法，乙從余下5本中選1本有Ceq\o\al(1,5)種方法，余下4本留給丙有Ceq\o\al(4,4)種方法，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,4)＝30種．13．[選做題]用0,1,2,3,4,5,6構(gòu)成無(wú)重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，其中：(1)能被25整除的數(shù)有多少個(gè)？(2)設(shè)x，y，z分別表示個(gè)位、十位、百位上的數(shù)字，滿意x<y<z的數(shù)有多少個(gè)？(3)偶數(shù)必需相鄰的數(shù)有多少個(gè)？解析(1)能被25整除的數(shù)有兩類：后兩位是50時(shí)，總的個(gè)數(shù)是Aeq\o\al(5,5)＝120；后兩位是25時(shí)，先排首位有4種方法，其他四位有Aeq\o\al(4,4)種方法，共有4×Aeq\o\al(4,4)＝96(個(gè))數(shù)．所以能被25整除的數(shù)有120＋96＝216(個(gè))．(2)0,1,2,3,4,5,6構(gòu)成無(wú)重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)有6Aeq\o\al(6,6)個(gè)，滿意x，y，z分別表示個(gè)位、十位、百位上的數(shù)字，且x<y<z的數(shù)共有eq\f(6A\o\al(6,6),A\o\al(3,3))＝720(個(gè))