重慶西南大學(xué)附屬中學(xué)2025年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

重慶西南大學(xué)附屬中學(xué)2025年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)存在零點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．2．若（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．3．已知方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．4．設(shè)隨機(jī)變量，若，則等于（）A． B． C． D．5．若非零向量，滿足，向量與垂直，則與的夾角為（）A． B． C． D．6．動(dòng)點(diǎn)在圓上移動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是（）A． B．C． D．7．已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A． B． C． D．8．函數(shù)是周期為4的偶函數(shù),當(dāng)時(shí)，,則不等式在上的解集是()A． B． C． D．9．某地區(qū)一次聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績近似地服從正態(tài)分布，已知，現(xiàn)隨機(jī)從這次考試的成績中抽取個(gè)樣本，則成績小于分的樣本個(gè)數(shù)大約為（）A． B． C． D．10．已知全集，集合，則（）A． B． C． D．11．設(shè)隨機(jī)變量，若，則（）A． B． C． D．12．若函數(shù)且）在R上既是奇函數(shù),又是減函數(shù),則的圖象是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為____.14．已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則__________.15．若復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍是______．16．若隨機(jī)變量，則_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在極坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過點(diǎn)，且圓心為，求圓的極坐標(biāo)方程.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將圓上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到曲線.（1）求直線的普通方程及曲線的參數(shù)方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在曲線上，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo).19．（12分）已知A，B為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足．（1）求證：原點(diǎn)O到直線AB的距離為定值；（2）求的最大值；（3）求過點(diǎn)O，且分別以O(shè)A，OB為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)P的軌跡方程．20．（12分）計(jì)劃在某水庫建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X（年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和．單位：億立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，如將年人流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立．（1）求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；（，）（2）水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行最多，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：年流入量發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)123若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)年利潤為4000萬元，若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)年虧損600萬元，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？21．（12分）如圖，在四邊形中，.（1）求的余弦值；（2）若，求的長.22．（10分）某儀器配件質(zhì)量采用值進(jìn)行衡量，某研究所采用不同工藝，開發(fā)甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)該配件，為調(diào)查兩條生產(chǎn)線的生產(chǎn)質(zhì)量，檢驗(yàn)員每隔分別從兩條生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個(gè)配件，測量并記錄其值，下面是甲、乙兩條生產(chǎn)線各抽取的30個(gè)配件值莖葉圖.經(jīng)計(jì)算得，，，，其中分別為甲，乙兩生產(chǎn)線抽取的第個(gè)配件的值.（1）若規(guī)定的產(chǎn)品質(zhì)量等級(jí)為合格，否則為不合格.已知產(chǎn)品不合格率需低于，生產(chǎn)線才能通過驗(yàn)收，利用樣本估計(jì)總體，分析甲，乙兩條生產(chǎn)線是否可以通過驗(yàn)收；（2）若規(guī)定時(shí)，配件質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)等，否則為不優(yōu)等，試完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為“配件質(zhì)量等級(jí)與生產(chǎn)線有關(guān)”？產(chǎn)品質(zhì)量等級(jí)優(yōu)等產(chǎn)品質(zhì)量等級(jí)不優(yōu)等合計(jì)甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線合計(jì)附：0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

令，可得，設(shè)，求得導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到的單調(diào)性，可得的范圍，即可得到所求的范圍．【詳解】由題意，函數(shù)，令，可得，設(shè)，則，由的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)遞增，且，則在遞增，可得，則，故選D．本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和參數(shù)分離，考查構(gòu)造函數(shù)法，以及運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．2、B【解析】由可得：，故選B.3、C【解析】

由于恒成立，構(gòu)造函數(shù)，則方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在的值域即可解決問題?！驹斀狻坑捎诤愠闪ⅲ瑯?gòu)造函數(shù)，則方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則，（1）當(dāng)時(shí)，則在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，根據(jù)零點(diǎn)定理可得只有唯一零點(diǎn)，不滿足題意；（2）當(dāng)時(shí)，令，解得：，令，解得：或，故的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為，①當(dāng)，即時(shí)，則在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，根據(jù)零點(diǎn)定理可得只有唯一零點(diǎn)，不滿足題意；②當(dāng)，即時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，，，故要使函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則，解得：；綜上所述：方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為：故答案選C本題考查方程根的個(gè)數(shù)問題，可轉(zhuǎn)為函數(shù)的零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及最值即可解決問題，有一定的綜合性，屬于中檔題。4、C【解析】由于,則由正態(tài)分布圖形可知圖形關(guān)于對(duì)稱，故，則，故選C.5、B【解析】∵，且與垂直，∴，即，∴，∴，∴與的夾角為．故選．6、B【解析】

設(shè)連線的中點(diǎn)為,再表示出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),代入圓化簡即可.【詳解】設(shè)連線的中點(diǎn)為,則因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的中點(diǎn)為,故,又在圓上,故,即即故選：B本題主要考查了軌跡方程的一般方法,屬于基礎(chǔ)題型.7、B【解析】

將利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡即可得到答案.【詳解】由題意，，所以的虛部是.故選：B本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念和復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】若，則此時(shí)是偶函數(shù)，即若，則∵函數(shù)的周期是4，

即，作出函數(shù)在上圖象如圖，

若，則不等式等價(jià)為，此時(shí)

若，則不等式等價(jià)為，此時(shí)，

綜上不等式在上的解集為故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的求解，利用函數(shù)奇偶性和周期性求出對(duì)應(yīng)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．9、A【解析】分析：根據(jù)正態(tài)分布的意義可得即可得出結(jié)論.詳解：由題可得：又對(duì)稱軸為85，故，故成績小于分的樣本個(gè)數(shù)大約為100x0.04=4故選A.點(diǎn)睛：本題考查正態(tài)曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題關(guān)鍵是要知道.10、D【解析】

首先解出集合，，由集合基本運(yùn)算的定義依次對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判定?！驹斀狻坑深}可得，；所以，則選項(xiàng)正確；故答案選D本題考查一元二次方程、絕對(duì)值不等式的解法以及集合間基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。11、A【解析】

根據(jù)對(duì)立事件的概率公式，先求出，再依二項(xiàng)分布的期望公式求出結(jié)果【詳解】，即，所以，，故選A．本題主要考查二項(xiàng)分布的期望公式，記準(zhǔn)公式是解題的關(guān)鍵．12、A【解析】

由題意首先確定函數(shù)g(x)的解析式，然后結(jié)合函數(shù)的解析式即可確定函數(shù)的圖像.【詳解】∵函數(shù)(a>0,a≠1)在R上是奇函數(shù)，∴f(0)=0，∴k=2，經(jīng)檢驗(yàn)k=2滿足題意，又函數(shù)為減函數(shù)，所以，所以g(x)=loga(x+2)定義域?yàn)閤>?2，且單調(diào)遞減，故選A.本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程為，可知，由此可求出雙曲線的離心率。【詳解】由題可設(shè)焦點(diǎn)在軸上的雙曲線方程為，由于該雙曲線的漸近線方程為，則，在雙曲線中，所以雙曲線的離心率，故雙曲線的離心率為。本題考查雙曲線的離心率的求法，雙曲線漸近方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。14、【解析】

利用輔助角公式化簡，結(jié)合題意可得，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，兩邊平方得，解得.本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中根據(jù)輔助角公式把函數(shù)化簡為三角函數(shù)的形式是研究三角函數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的模的幾何意義，結(jié)合的幾何意義，設(shè)出圓上任意一點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式列式，化簡求得的取值范圍.【詳解】由于復(fù)數(shù)滿足，故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓心為原點(diǎn)，半徑為的圓上，設(shè)圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為.表示圓上的點(diǎn)到和兩點(diǎn)距離之和，即①，①式平方得，由于，所以，所以，所以，所以.故答案為：.本小題主要考查復(fù)數(shù)模的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.16、10【解析】

根據(jù)題意可知，隨機(jī)變量滿足二項(xiàng)分布，根據(jù)公式，即可求出隨機(jī)變量的方差，再利用公式即可求出?！驹斀狻浚蚀鸢笧椤１绢}主要考查滿足二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量方差的求解，解題時(shí)，利用公式將求的問題轉(zhuǎn)化為求的問題，根據(jù)兩者之間的關(guān)系列出等式，進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】

首先把極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)，進(jìn)一步求出圓的方程，再轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程．【詳解】點(diǎn)轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)為，圓心為，故圓的半徑為，圓的方程為．整理得，轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為，即.本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型．18、(1)（為參數(shù)）(2)【解析】

運(yùn)用消參求出直線的普通方程，解出曲線的普通方程，然后轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，運(yùn)用參數(shù)方程進(jìn)行求解【詳解】（1）由得，消元得設(shè)為圓上的點(diǎn)，在已知變換下變?yōu)樯系狞c(diǎn)，依題意得由，得∴化為參數(shù)方程為（為參數(shù)）（2）由題意，最小值即橢圓上點(diǎn)到直線距離的最小值設(shè)，（其中，）∴，此時(shí)，即（）∴，∴∴.本題考查了普通方程與參數(shù)方程之間的轉(zhuǎn)化，需要運(yùn)用公式熟練求解，在求最值問題時(shí)運(yùn)用參量來求解，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題。19、（1）證明見解析；（2）；（3）．【解析】

（1）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，將代入橢圓方程可得，即可得原點(diǎn)O到直線AB的距離為；當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，，，與橢圓方程聯(lián)立，可得，又，則，利用韋達(dá)定理代入化簡可得，則原點(diǎn)O到直線AB的距離，故原點(diǎn)O到直線AB的距離為定值；（2）由（1）可得，又且，即可得的最大值；（3）如圖所示，過點(diǎn)O，且分別以O(shè)A，OB為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)P的軌跡滿足：，，可得P，A，B三點(diǎn)共線.由（1）可知：原點(diǎn)O到直線AB的距離為定值，即可得點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】（1）證明：當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，由代入橢圓方程可得：，解得，此時(shí)原點(diǎn)O到直線AB的距離為．當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，，．聯(lián)立，化為，，則，，．，化為，化為，化為，原點(diǎn)O到直線AB的距離．綜上可得：原點(diǎn)O到直線AB的距離為定值．（2）解：由（1）可得，，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．的最大值為．（3）解：如圖所示，過點(diǎn)O，且分別以O(shè)A，OB為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)P的軌跡滿足：，．因此P，A，B三點(diǎn)共線．由（1）可知：原點(diǎn)O到直線AB的距離為定值．分別以O(shè)A，OB為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)P的軌跡方程為．本題主要考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，基本不等式的運(yùn)用，考查了邏輯推理和運(yùn)算求解能力，屬于難題.20、（1）；（2）2臺(tái).【解析】

（1）求出，，，由二項(xiàng)分布，未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率．（2）記水電站的總利潤為（單位，萬元），求出安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)、安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)、安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)時(shí)的分布列和數(shù)學(xué)期望，由此能求出欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)的臺(tái)數(shù)．【詳解】解：（1）依題意，，，，由二項(xiàng)分布，未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率為：．（2）記水電站的總利潤為Y（單位，萬元）安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形：由于水庫年入流總量大于40，故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，對(duì)應(yīng)的年利潤，，安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形：依題意，當(dāng)時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此，當(dāng)時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此，，由此得Y的分布列如下Y34008000P0.20.8所以．安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形：依題意，當(dāng)時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此，當(dāng)時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此，，當(dāng)時(shí)，三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此，，由此得Y的分布列如下Y2800740012000P0.20.70.1所以．綜上，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái)．本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)