機(jī)器人學(xué)導(dǎo)論 課件 第三章-3.4節(jié)-拉格朗日法

機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)

第3章機(jī)器人力學(xué)

3.4拉格朗日法

第1-15周，星期二，16:40-18:15，（五）10323.4.1一般質(zhì)點(diǎn)系的拉格朗日方程3.4.2兩自由度平面機(jī)械系統(tǒng)的拉格朗日方程3.4.3操作臂的拉格朗日方程本節(jié)目錄拉氏函數(shù)L=K-U自由度廣義坐標(biāo)廣義力廣義速度一般質(zhì)點(diǎn)系的拉格朗日方程以能量觀點(diǎn)來(lái)研究機(jī)械系統(tǒng)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)規(guī)律；屬于分析力學(xué)范疇；區(qū)別于牛頓矢量力學(xué)；求解步驟規(guī)范、統(tǒng)一（確定廣義坐標(biāo)，列出動(dòng)能、勢(shì)能和廣義力的表達(dá)式，代入上式即可）。有關(guān)拉氏方程的推導(dǎo)步驟，可以選修研究生階段的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)43.4.1一般質(zhì)點(diǎn)系的拉格朗日方程3.4.2兩自由度平面機(jī)械系統(tǒng)的拉格朗日方程3.4.3操作臂的拉格朗日方程本節(jié)目錄兩自由度機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析若機(jī)械臂在垂直平面上，考慮重力若機(jī)械臂在垂直平面上，無(wú)重力X0Y0系統(tǒng)動(dòng)能是各個(gè)連桿動(dòng)能之和式中，第j個(gè)連桿的動(dòng)能Kj可表示為

事實(shí)上，操作臂的動(dòng)能可以寫成一般形式是操作臂慣性矩陣，

n╳n維，二次型，正定的，動(dòng)能永遠(yuǎn)為正（1）系統(tǒng)的動(dòng)能兩自由度機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析（2）系統(tǒng)的勢(shì)能系統(tǒng)勢(shì)能是各個(gè)連桿勢(shì)能之和

第j個(gè)連桿的勢(shì)能Pj可表示為式中，

注意：需要為系統(tǒng)定義一個(gè)重力勢(shì)能參考平面，而不要為每個(gè)廣義坐標(biāo)定義一個(gè)重力勢(shì)能參考平面。兩自由度機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析例：平面2R機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)建模選取2個(gè)轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)。將兩個(gè)桿均看作是位于在各桿末端的集中質(zhì)量（即各桿的質(zhì)心在其末端）。桿1質(zhì)心的位置和速度：桿2質(zhì)心的位置和速度：還有其它廣義坐標(biāo)的選擇嗎？?jī)勺杂啥葯C(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析例：平面2R機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)建模兩桿的動(dòng)能項(xiàng)兩桿的勢(shì)能項(xiàng)兩自由度機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析例：平面2R機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)建模

兩自由度機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析113.4.1一般質(zhì)點(diǎn)系的拉格朗日方程3.4.2兩自由度平面機(jī)械系統(tǒng)的拉格朗日方程3.4.3操作臂的拉格朗日方程本節(jié)目錄操作臂的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程（LagrangianDynamics）122025/6/1關(guān)于機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的拉格朗日函數(shù)其中：

基于拉格朗日函數(shù)的動(dòng)力學(xué)方程其中：τ

d為僅考慮慣量和重力的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矢量132025/6/1機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)能其中：

構(gòu)件i

質(zhì)心線速度動(dòng)能構(gòu)件i

角速度動(dòng)能操作臂的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程142025/6/1對(duì)于構(gòu)件i的線速度和角速度項(xiàng)，根據(jù)速度雅可比矩陣可知：其中：

代入構(gòu)件動(dòng)能方程，得：Mi(Θ)為構(gòu)件i的廣義質(zhì)量矩陣，是Θ的函數(shù)操作臂的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程152025/6/1于是，機(jī)器人系統(tǒng)的總動(dòng)能可表達(dá)為：其中：M(Θ)為系統(tǒng)在關(guān)節(jié)空間中的廣義質(zhì)量矩陣，n×n維，是Θ的函數(shù)我們知道，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能表達(dá)式為：可見，機(jī)器人等多剛體機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)能表達(dá)式，在形式上與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能表達(dá)式類似操作臂的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程162025/6/1機(jī)器人系統(tǒng)勢(shì)能

構(gòu)件i重力勢(shì)能的構(gòu)造定義一個(gè)零勢(shì)能參考坐標(biāo)系{ref}勢(shì)能增量是重力做功的負(fù)值：其中：0gT=[0,0,-g]T為重力矢量

操作臂的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程172025/6/1機(jī)器人系統(tǒng)勢(shì)能

由于：于是，得：使參考面勢(shì)能為零的項(xiàng)urefi其中：

操作臂的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程182025/6/1完整的機(jī)器人拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程系統(tǒng)動(dòng)能：系統(tǒng)勢(shì)能：

操作臂的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程192025/6/1例：右圖所示兩自由度及機(jī)器人，關(guān)節(jié)1為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，關(guān)節(jié)2為移動(dòng)關(guān)節(jié)，l連桿1質(zhì)心與關(guān)節(jié)1軸線距離為l1，連桿2質(zhì)心與關(guān)節(jié)1軸線的距離為變量d2。兩連桿各自的慣性張量為：連桿1動(dòng)能：連桿2動(dòng)能：系統(tǒng)總動(dòng)能：X0Y0X1Y1操作臂的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程X0Y0X1Y1202025/6/1連桿1勢(shì)能：勢(shì)能參考點(diǎn)在θ1=－90°位置連桿2勢(shì)能：勢(shì)能參考點(diǎn)在θ1=－90°、d2=d2max（最大值）位置系統(tǒng)總勢(shì)能：根據(jù)拉格朗日方程：得：操作臂的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程212025/6/1系統(tǒng)總勢(shì)能：根據(jù)拉格朗日方程：首先，對(duì)θ1項(xiàng)求偏微分：系統(tǒng)總動(dòng)能：得到τ1的表達(dá)式：慣性力科氏力重力操作臂的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程222025/6/1系統(tǒng)總勢(shì)能：根據(jù)拉格朗日方程：系統(tǒng)總動(dòng)能：然后，對(duì)d2項(xiàng)求偏微分：得到τ2的表達(dá)式：慣性力向心力重力操作臂的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程232025/6/1把系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程寫成矩陣形式：慣性力項(xiàng)M(Θ)n×n—廣義質(zhì)量

向心力項(xiàng)C(Θ)n×n—向心系數(shù)重力項(xiàng)操作臂的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程242025/6/1于是，可寫出機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程通式：其中：慣性力項(xiàng)，反應(yīng)了關(guān)節(jié)加速度對(duì)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力的影響M(Θ)稱為廣義質(zhì)量矩陣，為n×n維矩陣，其各元素對(duì)于移動(dòng)關(guān)節(jié)而言表示質(zhì)量，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)是慣性矩/積其對(duì)角線元素稱為有效質(zhì)量，表示各關(guān)節(jié)加速度對(duì)本關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力的影響非對(duì)角線元素稱為耦合質(zhì)量，表示各關(guān)節(jié)加速度之間的耦合影響科氏力項(xiàng)，反應(yīng)了由于一對(duì)關(guān)節(jié)速度耦合對(duì)某關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力的影響

向心力項(xiàng)，反應(yīng)了角速度對(duì)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力的影響C(Θ)稱為向心系數(shù)，為n×n維矩陣重力項(xiàng)，反應(yīng)了各構(gòu)件重力關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力的影響，為n×1維矩陣有時(shí)，為了簡(jiǎn)潔，把第二、三兩項(xiàng)合并，表示為：操作臂的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程252025/6/1上式為無(wú)末端接觸力的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力通式如果末端與環(huán)境有接觸力F0則，關(guān)節(jié)總驅(qū)動(dòng)力為：則可根據(jù)靜力分析中的結(jié)論，計(jì)算末端接觸力引起的關(guān)節(jié)負(fù)載τ0計(jì)算末端負(fù)接觸力引起的關(guān)節(jié)負(fù)載τ0操作臂的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程262025/6/1假設(shè)質(zhì)量集中在桿末端點(diǎn)，質(zhì)量矩陣為假設(shè)質(zhì)量沿桿長(zhǎng)均布，質(zhì)量矩陣為3.在給定條件下，兩種假設(shè)下，比較質(zhì)量矩陣M(1,1)的相對(duì)誤差：討論：集中質(zhì)量假設(shè)vs均布質(zhì)量假設(shè)操作臂的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程牛頓-歐拉與拉格朗日方程的對(duì)比272025/6/1拉格朗日方程方便推導(dǎo)、利于理解可以直接得到封閉形式的動(dòng)力學(xué)方程，利于進(jìn)行動(dòng)力學(xué)特性分析封閉形式方程的計(jì)算機(jī)求解運(yùn)算量大僅能得出關(guān)節(jié)力/力矩，而沒有求出連桿間作用力，不能用于連桿受力分析、變形分析沒有給出各連桿速度、加速度的顯式解，不利于建立連桿上慣性傳感器與關(guān)節(jié)速度、加速度的關(guān)系牛頓-歐拉方程推導(dǎo)過(guò)程復(fù)雜、不利于理解