邵陽學(xué)院數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

邵陽學(xué)院數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=x^2$在$x=1$處的導(dǎo)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.42.方程$x^2-5x+6=0$的根為（）A.2，3B.-2，-3C.2，-3D.-2，33.等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$d=2$，則$a_5$等于（）A.7B.9C.11D.134.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.-1D.不存在5.若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(2,m)$，且$\vec{a}\parallel\vec$，則$m$為（）A.1B.2C.4D.86.拋物線$y^2=8x$的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.(2,0)B.(0,2)C.(4,0)D.(0,4)7.已知$\cos\alpha=\frac{1}{2}$，且$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$，則$\sin\alpha$等于（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$C.$-\frac{1}{2}$D.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$8.函數(shù)$y=\log_2x$的定義域是（）A.$(0,+\infty)$B.$[0,+\infty)$C.$(-\infty,0)$D.$(-\infty,0]$9.從5個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)是（）A.10B.20C.60D.12010.已知$f(x)=x^3+1$，則$f(-1)$的值為（）A.0B.1C.-1D.2二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是基本初等函數(shù)（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對(duì)數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)2.下列不等式中，解集為全體實(shí)數(shù)的有（）A.$x^2+2x+1\geq0$B.$x^2-2x+3>0$C.$x^2+1<0$D.$-x^2+2x-1\leq0$3.平面向量的運(yùn)算包括（）A.加法B.減法C.數(shù)乘D.數(shù)量積4.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有（）A.$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）B.$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）C.$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$D.$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$5.以下哪些是奇函數(shù)（）A.$y=x^3$B.$y=\sinx$C.$y=x+1$D.$y=\cosx$6.數(shù)列的表示方法有（）A.列表法B.圖象法C.通項(xiàng)公式法D.遞推公式法7.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用有（）A.求函數(shù)的單調(diào)性B.求函數(shù)的極值C.求函數(shù)的最值D.求曲線的切線方程8.空間中直線與平面的位置關(guān)系有（）A.直線在平面內(nèi)B.直線與平面平行C.直線與平面相交D.異面9.下列函數(shù)中，周期為$\pi$的函數(shù)有（）A.$y=\sin2x$B.$y=\cos2x$C.$y=\tanx$D.$y=\sin\frac{x}{2}$10.概率的基本性質(zhì)有（）A.非負(fù)性B.規(guī)范性C.可列可加性D.互斥性三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數(shù)$y=x^2$是奇函數(shù)。（）3.直線$y=2x+1$的斜率是2。（）4.若$a>b$，則$a^2>b^2$。（）5.圓$x^2+y^2=4$的半徑是2。（）6.對(duì)數(shù)函數(shù)$y=\log_ax$（$a>0$且$a\neq1$）在定義域上單調(diào)遞增。（）7.兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)向量。（）8.等比數(shù)列的公比不能為0。（）9.函數(shù)$y=\sinx$的值域是$[-1,1]$。（）10.三角形內(nèi)角和為$180^{\circ}$。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$y=3x^2-2x+1$的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。答案：對(duì)于二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$，對(duì)稱軸公式為$x=-\frac{2a}$，此函數(shù)中$a=3$，$b=-2$，則對(duì)稱軸$x=\frac{1}{3}$。把$x=\frac{1}{3}$代入函數(shù)得$y=\frac{2}{3}$，頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$。2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_3=5$，$a_7=13$，求通項(xiàng)公式$a_n$。答案：等差數(shù)列通項(xiàng)公式$a_n=a_1+(n-1)d$，$a_7-a_3=4d=13-5=8$，得$d=2$，$a_3=a_1+2d=5$，則$a_1=1$，所以$a_n=1+2(n-1)=2n-1$。3.求$\intx^2dx$。答案：根據(jù)積分公式$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$（$n\neq-1$），對(duì)于$\intx^2dx$，$n=2$，則$\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C$。4.簡(jiǎn)述正弦定理內(nèi)容。答案：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}$，其中$a,b,c$為三角形的三邊，$A,B,C$為三角形的三個(gè)內(nèi)角。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$y=\frac{1}{x}$的單調(diào)性。答案：函數(shù)$y=\frac{1}{x}$的定義域?yàn)?(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。在$(-\infty,0)$上，任取$x_1<x_2<0$，$y_1-y_2=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}>0$，即$y_1>y_2$，函數(shù)遞減；在$(0,+\infty)$上，同理可證函數(shù)也遞減。2.探討如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值點(diǎn)。答案：先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，求出駐點(diǎn)。再判斷駐點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，若左正右負(fù)，則該駐點(diǎn)為極大值點(diǎn)；若左負(fù)右正，則該駐點(diǎn)為極小值點(diǎn)；若兩側(cè)符號(hào)相同，則不是極值點(diǎn)。3.說說在實(shí)際生活中，概率有哪些應(yīng)用？答案：在保險(xiǎn)行業(yè)用于計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)概率制定保費(fèi)；在抽獎(jiǎng)活動(dòng)中計(jì)算中獎(jiǎng)概率；在質(zhì)量檢測(cè)中估計(jì)產(chǎn)品不合格概率等，幫助人們對(duì)事件發(fā)生可能性進(jìn)行評(píng)估和決策。4.討論線性規(guī)劃在實(shí)際問題中的作用。答案：線性規(guī)劃可在資源有限的條件下，求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。如生產(chǎn)安排中，在人力、物力等資源約束下，確定生產(chǎn)方案使利潤(rùn)最大；運(yùn)輸問題中，確定運(yùn)輸路線使成本最小，提高資源利用效率。答案一、單項(xiàng)選擇題1.B2.A3.B4.B5.C6.A7