第七章 平行線(xiàn)的證明（十大題型）（原卷版）-2025數(shù)學(xué)常考?jí)狠S題上冊(cè)八年級(jí)北師版VIP

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages157157頁(yè)第七章平行線(xiàn)的證明內(nèi)容導(dǎo)航知識(shí)點(diǎn)…………………2類(lèi)型一、真假命題的判定…………………4類(lèi)型二、邏輯與推理……………………9類(lèi)型三、平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用………………14類(lèi)型四、平面直角坐標(biāo)系背景下的平行線(xiàn)性質(zhì)與判定……39類(lèi)型五、動(dòng)態(tài)背景下平行線(xiàn)性質(zhì)與判定…………………58類(lèi)型六、平行線(xiàn)性質(zhì)與判定的實(shí)際應(yīng)用…………………76HYPERLINK類(lèi)型七、折疊背景下的平行線(xiàn)問(wèn)題………87HYPERLINK類(lèi)型八、與平行線(xiàn)有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題……………94類(lèi)型九、折疊背景下的三角形內(nèi)角和問(wèn)題………………115類(lèi)型十、與角平分線(xiàn)有關(guān)的平行線(xiàn)問(wèn)題…………………136知識(shí)點(diǎn)1．推理證明的必要性通過(guò)實(shí)驗(yàn)、觀(guān)察、歸納得到的數(shù)學(xué)結(jié)論不一定都是正確的，要判斷一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確，僅僅依靠實(shí)驗(yàn)、觀(guān)察、歸納是不夠的，還必須進(jìn)行有根有據(jù)的證明知識(shí)點(diǎn)2．檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的常用方法常用方法：（1）試驗(yàn)驗(yàn)證(2)舉出反例(3)推理論證知識(shí)點(diǎn)3．定義的概念定義：一般地，用來(lái)說(shuō)明一個(gè)名詞或者一個(gè)術(shù)語(yǔ)的意義的句子叫做定義.知識(shí)點(diǎn)4．命題的概念命題：判斷一件事情的句子，叫做命題.（1）每個(gè)命題都由題設(shè)、結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).（2）正確的命題稱(chēng)為真命題，不正確的命題稱(chēng)為假命題.（3）公認(rèn)的真命題叫做公理.(4)經(jīng)過(guò)證明的真命題稱(chēng)為定理.知識(shí)點(diǎn)5．命題的結(jié)構(gòu)命題的結(jié)構(gòu)：一般地，每個(gè)命題都由條件和結(jié)論兩部分組成．條件是已知的事項(xiàng)，結(jié)論是由己知事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng)。知識(shí)點(diǎn)6．真命題、假命題、反例1.命題分為真命題和假命題，正確的命題稱(chēng)為真命題,不正確的命題稱(chēng)為假命題。2.反例要說(shuō)明一個(gè)命題是假命題，常?？梢耘e出一個(gè)例子，使它具備命題的條件，而不具有命題的結(jié)論，這種例子稱(chēng)為反例.知識(shí)點(diǎn)7．公理、證明、定理名稱(chēng)概念作用公理公認(rèn)的真命題作為判斷其他命題真假的依據(jù)定理經(jīng)過(guò)證明的真命題證明演繹推理的過(guò)程判斷命題真假知識(shí)點(diǎn)7．平行線(xiàn)的判定基本事實(shí)：兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果同位角相等，那么這兩條直線(xiàn)平行．兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線(xiàn)平行．兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線(xiàn)平行知識(shí)點(diǎn)8．平行線(xiàn)的性質(zhì)性質(zhì)1：兩直線(xiàn)平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；性質(zhì)3：兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ).定理：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)相等知識(shí)點(diǎn)8．證明的一般步驟（1）根據(jù)題意，畫(huà)出圖形。（2）根據(jù)題設(shè)、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫(xiě)出已知、求證。（3）經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出求證的途徑，寫(xiě)出證明過(guò)程。知識(shí)點(diǎn)1.三角形內(nèi)角和定理（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)9．三角形的內(nèi)角和定理三角形的內(nèi)角和等于180°．知識(shí)點(diǎn)10．三角形的內(nèi)角和定理的推論推論：（1）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．（2）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角．類(lèi)型一、真假命題的判定1．定義：平面直角坐標(biāo)系中不重合兩點(diǎn)，，把稱(chēng)為，的“垂直距”，記為，把稱(chēng)為，的“水平距”，記為，例如，，，此時(shí)，．現(xiàn)有兩個(gè)命題：①；②對(duì)于三角形，若，，則不可能是銳角；以上命題中（

）A．①②都是真命題 B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題 D．①②都是假命題2．在多項(xiàng)式中，任選兩個(gè)字母，在兩側(cè)加括號(hào)，稱(chēng)為第一輪“加括號(hào)操作”．例如，選擇，進(jìn)行“加括號(hào)操作”，得到．在第一輪“加括號(hào)操作”后的式子中進(jìn)行同樣的操作，稱(chēng)為第二輪“加括號(hào)操作”，按此方法，進(jìn)行第輪“加括號(hào)操作”．以下說(shuō)法：存在某種第一輪“加括號(hào)操作”的結(jié)果與原多項(xiàng)式相等；總存在第輪“加括號(hào)操作”，使得結(jié)果與原多項(xiàng)式的和為；對(duì)原多項(xiàng)式進(jìn)行第一輪“加括號(hào)操作”后，共有種不同結(jié)果．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)3．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意兩點(diǎn)，規(guī)定運(yùn)算：（1）A⊕B=；（2）A⊙B=；（3）當(dāng)且時(shí)，A=B．有下列四個(gè)命題：①若有A(1，2)，B(2，﹣1)，則A⊕B=(3，1)，A⊙B=0；②若有A⊕B=B⊕C，則A=C；③若有A⊙B=B⊙C，則A=C；④（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）對(duì)任意點(diǎn)A、B、C均成立．其中正確的命題為（只填序號(hào)）4．定義：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，如果滿(mǎn)足，那么稱(chēng)，互為“好友數(shù)”，點(diǎn)為“好友點(diǎn)”．(1)若為“好友點(diǎn)”，則______；(2)判斷下列命題的真假，真命題在括號(hào)內(nèi)打“√”，假命題在括號(hào)內(nèi)打“×”．①與是互為“好友數(shù)”；(

)②若點(diǎn)為“好友點(diǎn)”，則點(diǎn)也一定為“好友點(diǎn)”；(

)③若與互為相反數(shù)，則一定不是“好友點(diǎn)”；(

)④存在與互為“好友數(shù)”的實(shí)數(shù)；(

)(3)已知是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，且它的橫、縱坐標(biāo)是關(guān)于，的二元一次方程組的解，請(qǐng)判斷點(diǎn)是否能成為“好友點(diǎn)”？若能，請(qǐng)求出的值和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．類(lèi)型二、邏輯與推理5．某屆世界杯的小組賽積分規(guī)則為：四支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽（每?jī)芍蜿?duì)比賽一場(chǎng)），勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分．已知某小組有甲、乙、丙、丁四支球隊(duì)參加比賽，下列對(duì)這個(gè)小組的積分情況描述不正確的是（

）A．丙隊(duì)不可能獲得8個(gè)積分B．四支球隊(duì)的積分不可能是四個(gè)連續(xù)的奇數(shù)C．四支球隊(duì)的積分不可能是四個(gè)連續(xù)的偶數(shù)D．若四支球隊(duì)的積分是四個(gè)連續(xù)的整數(shù)，則有兩支球隊(duì)沒(méi)有取得一場(chǎng)勝利6．有人數(shù)不相等的A，B兩隊(duì)同學(xué)，A隊(duì)男生的人數(shù)與B隊(duì)女生的人數(shù)相等，若對(duì)兩隊(duì)同學(xué)進(jìn)行調(diào)換，規(guī)則是調(diào)換的人數(shù)必須相等，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．可以調(diào)整至A隊(duì)全是男生而B(niǎo)隊(duì)全是女生B．可以調(diào)整至A隊(duì)男生的人數(shù)比B隊(duì)女生的人數(shù)多1個(gè)C．可以調(diào)整至A隊(duì)男生的人數(shù)比B隊(duì)女生的人數(shù)多1倍D．無(wú)論怎么調(diào)整，A隊(duì)男生人數(shù)與B隊(duì)中女生人數(shù)始終相等7．為了傳承中華文化，激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷，提高學(xué)生的文學(xué)素養(yǎng)，某學(xué)校初二（8）班舉辦了“樂(lè)知杯古詩(shī)詞”大賽．現(xiàn)有小璟、小樺、小花三位同學(xué)進(jìn)入了最后冠軍的角逐．決賽共分為六輪，規(guī)定：每輪分別決出第1，2，3名（不并列），對(duì)應(yīng)名次的得分都分別為a，b，c(a>b>c且a，b，c均為正整數(shù))；選手最后得分為各輪得分之和，得分最高者為冠軍．下表是三位選手在每輪比賽中的部分得分情況，第一輪第二輪第三輪第四輪第五輪第六輪最后得分小璟aa26小樺abc11小花bb11根據(jù)題中所給信息，下列說(shuō)法正確的是（

）A．小璟可能有一輪比賽獲得第二名 B．小樺有三輪比賽獲得第三名C．小花可能有一輪比賽獲得第一名 D．每輪比賽第一名得分a為58．容器中有A，B，C3種粒子，若相同種類(lèi)的兩顆粒子發(fā)生碰撞，則變成一顆B粒子；不同種類(lèi)的兩顆粒子發(fā)生碰撞，會(huì)變成另外一種粒子．例如，一顆A粒子和一顆B粒子發(fā)生碰撞則變成一顆C粒子．現(xiàn)有A粒子10顆，B粒子8顆，C粒子9顆，如果經(jīng)過(guò)各種兩兩碰撞后，只剩1顆粒子．給出下列結(jié)論：①最后一顆粒子可能是A粒子②最后一顆粒子一定是C粒子③最后一顆粒子一定不是B粒子④以上都不正確其中正確結(jié)論的序號(hào)是(

)．(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào))A．① B．②③ C．③ D．①③9．甲乙丙丁四人的車(chē)分別為白色、銀色、藍(lán)色和紅色．在問(wèn)到他們各自車(chē)的顏色時(shí)，甲說(shuō)：“乙的車(chē)不是白色．”乙說(shuō)：“丙的車(chē)是紅色的．”丙說(shuō)：“丁的車(chē)不是藍(lán)色的．”丁說(shuō)：“甲、乙、丙三人中有一個(gè)人的車(chē)是紅色的，而且只有這個(gè)人說(shuō)的是實(shí)話(huà)．”如果丁說(shuō)的是實(shí)話(huà)，那么以下說(shuō)法正確的是：（

）A．甲的車(chē)是白色的，乙的車(chē)是銀色的 B．乙的車(chē)是藍(lán)色的，丙的車(chē)是紅色的C．丙的車(chē)是白色的，丁的車(chē)是藍(lán)色的 D．丁的車(chē)是銀色的，甲的車(chē)是紅色的10．容器中有“O、P、Q”三種顆粒，若相同種類(lèi)的顆粒發(fā)生碰撞，則會(huì)變成1個(gè)“P顆粒；若不同種類(lèi)的顆粒發(fā)生碰撞，則會(huì)變成另一種顆粒，例如：一個(gè)“O”顆粒和一個(gè)“P”顆粒進(jìn)行碰撞，則會(huì)變成一個(gè)“Q”顆粒．現(xiàn)有“O”顆粒11個(gè)，“P”顆粒10個(gè)，“Q”顆粒12個(gè)，經(jīng)過(guò)兩兩碰撞后，最后一個(gè)顆粒一定不是顆粒．類(lèi)型三、平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用11．如圖，．(1)如圖1，請(qǐng)?zhí)剿?，，三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)已知．①如圖2，若，求的度數(shù)；②如圖3，若和的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系．12．已知：P、Q分別是線(xiàn)段上的點(diǎn)，點(diǎn)E在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接，且．(1)探究發(fā)現(xiàn)：探究與的位置關(guān)系．如圖1，過(guò)作，∴（①）∵（已知）∴∵∴（②）∴（③）又∵∴（④）(2)解決問(wèn)題：①如圖2，連接，若，且恰好平分，，試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；②如圖3，在（2）的條件下，在射線(xiàn)上找一點(diǎn)，連接，使，．補(bǔ)全圖形后，則的度數(shù)為（直接寫(xiě)出結(jié)果）．13．已知，過(guò)內(nèi)一點(diǎn)作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，射線(xiàn)，射線(xiàn)分別平分和，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)G，Q在線(xiàn)段上，連接，，，與交于點(diǎn)，反向延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如果，平分，，求的度數(shù)．14．已知，，點(diǎn)O為上方一點(diǎn)，E、F為上兩點(diǎn)，連接、，分別交于M、N兩點(diǎn)，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)G為上一點(diǎn)，連接，作垂足為H，，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)P，連接，若，，求的度數(shù)．15．如圖，點(diǎn)是三角形的邊上的一動(dòng)點(diǎn)，交邊于點(diǎn)．(1)如圖1，點(diǎn)在邊上，連接．若求證：；(2)在（1）的條件下，如圖2，分別是和延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，若與的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的交點(diǎn)在直線(xiàn)左側(cè)，請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系，給出結(jié)論并說(shuō)明理由；(3)如圖3，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，射線(xiàn)在的內(nèi)部，滿(mǎn)足．射線(xiàn)在的內(nèi)部，滿(mǎn)足．且射線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)．請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．16．已知，，直線(xiàn)與直線(xiàn)、分別交于點(diǎn)E、F．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，與的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，與交于點(diǎn)G，且．求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下．連接，K是上一點(diǎn)使，作平分，問(wèn)的大小是否發(fā)生變化，若不變，請(qǐng)求出其值；若變化，說(shuō)明理由．∴，∵，∴，∵，∴．17．如圖1，在中，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作，連接，若．(1)求證：；(2)若，點(diǎn)G是邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作，點(diǎn)H在左側(cè)，連接．①如圖2，當(dāng)時(shí)，與的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)M，求的度數(shù)；②若，請(qǐng)直接寫(xiě)出．18．已知∶平分(1)如圖①，試判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)如圖②，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(3)如圖②，請(qǐng)你直接寫(xiě)出之間滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)，．19．如圖1，，直線(xiàn)與分別交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．(1)求證：；(2)如圖2，若點(diǎn)在線(xiàn)段上（不與重合），連接，和的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，若，求出的度數(shù)；(3)若直線(xiàn)的位置如圖3所示，點(diǎn)在線(xiàn)段上（不與重合），連接，和的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，若，則（用含的代數(shù)式表示）20．經(jīng)過(guò)平行線(xiàn)中的拐點(diǎn)作平行線(xiàn)是解決與平行線(xiàn)有關(guān)問(wèn)題的常用思路．(1)如圖1，，則__________；(2)如圖2，，點(diǎn)P在直線(xiàn)AB上方，探究之間的數(shù)量關(guān)系，并證明：(3)如圖3，，點(diǎn)P在直線(xiàn)上方，的角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)和的角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)交于點(diǎn)G（點(diǎn)G在直線(xiàn)的下方），請(qǐng)寫(xiě)出和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明：(4)如圖4，，點(diǎn)P在直線(xiàn)上方，分別是的三等分線(xiàn)，且．直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)M，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)N（點(diǎn)N在直線(xiàn)的下方）．請(qǐng)直接寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系．（請(qǐng)自行畫(huà)圖分析）類(lèi)型四、平面直角坐標(biāo)系背景下的平行線(xiàn)性質(zhì)與判定21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Aa,0，，，且滿(mǎn)足，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿軸的正方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿軸的正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)．

備用圖(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____；點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____；和的位置關(guān)系是______．(2)當(dāng)點(diǎn)分別在線(xiàn)段上時(shí)，連接，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出和的數(shù)量關(guān)系．22．如圖，直線(xiàn)，一副直角三角板（）如圖1所示放置．

(1)°；(2)將三角板繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，探究當(dāng)ɑ為多少度時(shí)，的一條邊與平行，請(qǐng)畫(huà)出簡(jiǎn)單的示意圖，并直接寫(xiě)出答案；(3)如圖2，將三角板繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，若的邊所在的直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)E，探究與的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出答案．23．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、且、滿(mǎn)足(1)直接寫(xiě)出、兩點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如圖，直線(xiàn)軸，垂足為點(diǎn)點(diǎn)為上一點(diǎn)，且點(diǎn)在第四象限，若的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖，點(diǎn)為軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作CD//AB，E為線(xiàn)段AB上任意一點(diǎn)，以為頂點(diǎn)作，使交CD于點(diǎn)為線(xiàn)段AB與線(xiàn)段CD之間一點(diǎn)，連接，且當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，EG始終垂直于，試寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．24．如圖，以直角三角形的直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以、所在直線(xiàn)為軸和軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)，滿(mǎn)足．

(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______；點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．(2)如圖，已知坐標(biāo)軸上有兩動(dòng)點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿軸負(fù)方向以個(gè)單位長(zhǎng)度每秒的速度勻速移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以個(gè)單位長(zhǎng)度每秒的速度沿軸正方向移動(dòng)，點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束．的中點(diǎn)的坐標(biāo)是，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．問(wèn)：是否存在這樣的，使？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖，過(guò)作，作交于點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，連交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的值是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出它的值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，且，滿(mǎn)足，現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)，分別先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，分別得到，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，連接．此時(shí)．

(1)______，______．(2)在軸上有一動(dòng)點(diǎn)，使，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)分別是四邊形的邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如圖，連接，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上移動(dòng)（不與、重合）的值是否發(fā)生改變？若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)說(shuō)明理由并求出其值．26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，且滿(mǎn)足，過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)軸，點(diǎn)P是直線(xiàn)m上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合），連接AP，過(guò)點(diǎn)B作交y軸于C點(diǎn)，，分別平分，．

(1)填空：________，________．（直接寫(xiě)出答案）(2)若點(diǎn)E是x軸上的一點(diǎn)且，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為_(kāi)_______．（直接寫(xiě)出答案）(3)若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，①線(xiàn)段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．（直接寫(xiě)出答案）②在直線(xiàn)m上是否存在點(diǎn)Q，使得的面積等于16？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(4)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的值是不變的，則這個(gè)值是________．（直接寫(xiě)出答案）27．如圖，以直角三角形的直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)為軸和軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)、滿(mǎn)足．

(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____；點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)_____；(2)已知坐標(biāo)軸上有兩動(dòng)點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向左以個(gè)單位長(zhǎng)度每秒的速度勻速移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以個(gè)單位長(zhǎng)度每秒的速度向上移動(dòng)，的中點(diǎn)的坐標(biāo)是．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，問(wèn)：當(dāng)______時(shí)，；在滿(mǎn)足的前提下，當(dāng)點(diǎn)位于的延長(zhǎng)線(xiàn)上，此時(shí)在第二象限內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)點(diǎn)是線(xiàn)段上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，點(diǎn)是第二象限中一點(diǎn)，連接，使得，點(diǎn)是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否有這樣的實(shí)數(shù)使得總成立，若存在請(qǐng)求出的值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．類(lèi)型五、動(dòng)態(tài)背景下平行線(xiàn)性質(zhì)與判定28．已知：直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，點(diǎn)N、點(diǎn)E在直線(xiàn)上，點(diǎn)H、點(diǎn)M在直線(xiàn)上，，直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)P．(1)如圖1，求證：．(2)如圖2，以點(diǎn)N為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)G，以點(diǎn)M為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)F，，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．(3)在（2）的條件下，如圖3，直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)R，直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)S，的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)與的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)交于點(diǎn)K，若，當(dāng)點(diǎn)N在線(xiàn)段上移動(dòng)時(shí)，求的度數(shù)．29．在平面直角坐標(biāo)系中，，滿(mǎn)足，中，的邊與x軸分別交于O、G兩點(diǎn)，與直線(xiàn)分別交于E、F兩點(diǎn)．(1)求；．(2)將直角三角形如圖1位置擺放，求證：；(3)將直角三角形如圖2位置擺放，N為上一點(diǎn)，，請(qǐng)寫(xiě)與之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．；30．已知，如圖1，射線(xiàn)分別與直線(xiàn)，相交于，兩點(diǎn)，的平分線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，射線(xiàn)交于點(diǎn)，設(shè)，，且．(1)求α，β；(2)如圖2，若點(diǎn)G，H分別在射線(xiàn)和線(xiàn)段上，且，試找出與之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)若將圖中的射線(xiàn)繞著端點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖3），分別與，相交于點(diǎn)和點(diǎn)時(shí)，作的角平分線(xiàn)與射線(xiàn)相交于點(diǎn)，問(wèn)在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中的值是否改變？若不變，請(qǐng)求出其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．31．如圖1，，為之間任意一點(diǎn)．(1)若平分平分．求證：；(2)如圖2，若，且的延長(zhǎng)線(xiàn)交的角平分線(xiàn)于點(diǎn)的延長(zhǎng)線(xiàn)交的角平分線(xiàn)于點(diǎn)，猜想的運(yùn)算結(jié)果并且證明你的結(jié)論；(3)如圖3，若點(diǎn)是射線(xiàn)之間一動(dòng)點(diǎn)，平分平分，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，請(qǐng)猜想與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．32．已知，如圖，射線(xiàn)分別與直線(xiàn)，相交于，兩點(diǎn)，的平分線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，射線(xiàn)交于點(diǎn)，設(shè)，，且．(1)，；直線(xiàn)與的位置關(guān)系是．(2)如圖，若點(diǎn)，分別在射線(xiàn)和線(xiàn)段上，且，試找出與之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(3)若將圖中的射線(xiàn)繞著端點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖），分別與，相交于點(diǎn)和點(diǎn)時(shí)，作的角平分線(xiàn)與射線(xiàn)相交于點(diǎn)，問(wèn)在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中的值是否改變？若不變，請(qǐng)求出其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．33．如圖1，直線(xiàn)，直線(xiàn)與，分別交于點(diǎn)G，H，．將一個(gè)直角三角板按如圖1所示放置，使點(diǎn)N，M分別在直線(xiàn)，上，且在點(diǎn)G，H的右側(cè)，已知．(1)若，則的度數(shù)為；(2)若，對(duì)說(shuō)明理由；(3)如圖2，已知的平分線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)O．①當(dāng)，時(shí)，求的值；②現(xiàn)將三角板保持，并沿直線(xiàn)向左平移，在平移的過(guò)程中，直接寫(xiě)出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．34．如圖甲所示，已知點(diǎn)E在直線(xiàn)AB上，點(diǎn)F，G在直線(xiàn)CD上，且∠EFG=∠FEG，EF平分∠AEG．(1)判斷直線(xiàn)AB與直線(xiàn)CD是否平行，并說(shuō)明理由．(2)如圖2所示，H是AB上點(diǎn)E右側(cè)一動(dòng)點(diǎn)，∠EGH的平分線(xiàn)GQ交FE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q，設(shè)∠Q=a，∠EHG=β．①若∠HEG=40°，∠QGH=20°，求∠Q的度數(shù)．②判斷：點(diǎn)H在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，a和β的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?若不變，求出α和β的數(shù)量關(guān)系；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．35．如圖，已知，(1)如圖1，試說(shuō)明：；(2)如圖2，連接，若點(diǎn)E，F(xiàn)在線(xiàn)段上，且滿(mǎn)足平分，平分，，求的度數(shù)；(3)下列①-③的問(wèn)題，對(duì)應(yīng)分值分別為4分、5分、6分，請(qǐng)根據(jù)你的認(rèn)知水平，選擇其中一個(gè)問(wèn)題作答，解答對(duì)多個(gè)問(wèn)題，按分值最高的一個(gè)問(wèn)題記分．①如圖2，在（2）的條件下，若，求的度數(shù)；（用含x的代數(shù)式表示）．②如圖3，在（2）的條件下，將線(xiàn)段沿著射線(xiàn)的方向向右平移，當(dāng)平分時(shí)，若，求的度數(shù)；（用含x的代數(shù)式表示）③如圖3，在（2）的條件下，將線(xiàn)段沿著射線(xiàn)的方向向右平移，當(dāng)時(shí)，若，求的度數(shù)．（用含x的代數(shù)式表示）．類(lèi)型六、平行線(xiàn)性質(zhì)與判定的實(shí)際應(yīng)用36．光線(xiàn)照射到鏡面會(huì)產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學(xué)知識(shí)，當(dāng)光線(xiàn)經(jīng)過(guò)鏡面反射時(shí)，入射光線(xiàn)與鏡面的夾角、反射光線(xiàn)與鏡面的夾角對(duì)應(yīng)相等（如圖1，），小明同學(xué)用了兩塊鏡子和形成一個(gè)鏡子組合體（如圖2），鏡子與之間的角度為，他發(fā)現(xiàn)改變的大小，入射光線(xiàn)和反射光線(xiàn)位置關(guān)系會(huì)發(fā)生改變．(1)小明發(fā)現(xiàn)當(dāng)，入射光線(xiàn)與反射光線(xiàn)的是平行的，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)小明繼續(xù)改變，的大小，當(dāng)，求此時(shí)入射光線(xiàn)與反射光線(xiàn)形成的夾角，大?。?3)小明拿來(lái)了一塊新的鏡子和前面兩塊鏡子和組成一個(gè)新的鏡子組合體（如圖4），其中，入射光線(xiàn)從鏡面開(kāi)始反射，經(jīng)過(guò)3次反射后，反射光線(xiàn)為，小穎發(fā)現(xiàn)當(dāng)入射光線(xiàn)和鏡面的夾角和鏡子和形成的角，滿(mǎn)足一定數(shù)量關(guān)系時(shí)，入射光線(xiàn)和反射光線(xiàn)始終平行（即），設(shè)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出此時(shí)x和y之間滿(mǎn)足的關(guān)系式．37．（1）光線(xiàn)從空氣中射入水中會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時(shí)光線(xiàn)從水中射入空氣中也會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，如圖1，光線(xiàn)從空氣中射入水中，再?gòu)乃猩淙肟諝庵校纬晒饩€(xiàn)，根據(jù)光學(xué)知識(shí)有，，請(qǐng)判斷光線(xiàn)與光線(xiàn)是否平行，并說(shuō)明理由．（2）光線(xiàn)照射到鏡面會(huì)產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學(xué)知識(shí)，入射光線(xiàn)與鏡面的夾角與反射光線(xiàn)與鏡面的夾角相等，如圖2有一口井，已知入射光線(xiàn)與水平線(xiàn)的夾角為，現(xiàn)放置平面鏡，可使反射光線(xiàn)正好垂直照射到井底，則與水平線(xiàn)的夾角的度數(shù)．（3）如圖3，直線(xiàn)上有兩點(diǎn)、，分別引兩條射線(xiàn)、．，，射線(xiàn)繞點(diǎn)以度/秒順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)射線(xiàn)繞點(diǎn)以度/秒的速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為，在射線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，是否存在某時(shí)刻，使得與平行?若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的時(shí)間．

38．某市為了亮化某景點(diǎn)，在兩條筆直的景觀(guān)道上，分別放置了A、B兩盞激光燈，如圖所示．A燈發(fā)出的光束自逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立刻回轉(zhuǎn)，B燈發(fā)出的光束自逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立刻回轉(zhuǎn)，兩燈不間斷照射，A燈每秒轉(zhuǎn)動(dòng)，B燈每秒轉(zhuǎn)動(dòng)，若這兩條筆直的景觀(guān)道是平行的．(1)B燈先轉(zhuǎn)動(dòng)15秒，A燈才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)5秒時(shí)，兩燈的光束和到達(dá)如圖①所示的位置，和是否互相平行？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)在（1）的情況下，當(dāng)B燈的光束第一次到達(dá)之前，兩燈的光束是否還能互相平行？如果還能互相平行，那么此時(shí)A燈旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為多少秒？39．（1）光線(xiàn)從空氣中射入水中會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時(shí)光線(xiàn)從水中射入空氣中也會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，如圖1，光線(xiàn)a從空氣中射入水中，再?gòu)乃猩淙肟諝庵?，形成光線(xiàn)b，根據(jù)光學(xué)知識(shí)有∠1=∠2，∠3=∠4，請(qǐng)判斷光線(xiàn)a與光線(xiàn)b是否平行，并說(shuō)明理由．（2）光線(xiàn)照射到鏡面會(huì)產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學(xué)知識(shí)，入射光線(xiàn)與鏡面的夾角與反射光線(xiàn)與鏡面的夾角相等，如圖2有一口井，已知入射光線(xiàn)a與水平線(xiàn)OC的夾角為42°，問(wèn)如何放置平面鏡MN，可使反射光線(xiàn)b正好垂直照射到井底？（即求MN與水平線(xiàn)的夾角）（3）如圖3，直線(xiàn)EF上有兩點(diǎn)A、C，分別引兩條射線(xiàn)AB、CD．∠BAF=110°，∠DCF=60°，射線(xiàn)AB、CD分別繞A點(diǎn)，C點(diǎn)以1度/秒和3度/秒的速度同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為t，在射線(xiàn)CD轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，是否存在某時(shí)刻，使得CD與AB平行？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的時(shí)間t．類(lèi)型七、折疊背景下的平行線(xiàn)問(wèn)題40．如圖，已知四邊形紙片的邊，是邊上任意一點(diǎn)，沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置．

(1)觀(guān)察發(fā)現(xiàn)：如圖①所示：，，則______．(2)拓展探究：如圖②，點(diǎn)落在四邊形的內(nèi)部，探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)遷移應(yīng)用：如圖③，點(diǎn)落在邊的上方，則（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明：若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們的數(shù)量關(guān)系并證明．41．

如圖1，現(xiàn)有一張紙條，，將紙條沿折疊，點(diǎn)C落在處，點(diǎn)D落在處，交于點(diǎn)G．

(1)①若，則______；②若，則______；(2)如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上將紙條沿繼續(xù)折疊，點(diǎn)A落在處，點(diǎn)B落在處，已知，，求證：；(3)如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上將紙條沿繼續(xù)折疊，點(diǎn)落在處，點(diǎn)落在處，，設(shè)，求的度數(shù)．（用含x的式子表示）42．（1）學(xué)習(xí)了平行線(xiàn)以后，香橙同學(xué)想出了過(guò)一點(diǎn)畫(huà)一條直線(xiàn)的平行線(xiàn)的新方法，她是通過(guò)折紙做的，過(guò)程如（圖1）．①請(qǐng)你仿照以上過(guò)程，在圖2中畫(huà)出一條直線(xiàn)b，使直線(xiàn)b經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且，要求保留折紙痕跡，畫(huà)出所用到的直線(xiàn)，指明結(jié)果．無(wú)需寫(xiě)畫(huà)法：②在（1）中的步驟（b）中，折紙實(shí)際上是在尋找過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)a的線(xiàn)．（2）已知，如圖3，，BE平分，CF平分．求證：（寫(xiě)出每步的依據(jù)）．43．已知直線(xiàn)，M，N分別為直線(xiàn)，上的兩點(diǎn)且，P為直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．類(lèi)似于平面鏡成像，點(diǎn)N關(guān)于鏡面所成的鏡像為點(diǎn)Q，此時(shí)．（1）當(dāng)點(diǎn)P在N右側(cè)時(shí)：①若鏡像Q點(diǎn)剛好落在直線(xiàn)上（如圖1），判斷直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；②若鏡像Q點(diǎn)落在直線(xiàn)與之間（如圖2），直接寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系；（2）若鏡像，求的度數(shù)．類(lèi)型八、與平行線(xiàn)有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題44．將長(zhǎng)方形紙帶先沿折疊成圖1，再沿折疊成圖2，此時(shí)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若，則的度數(shù)為度．

45．如圖1，將一條兩邊互相平行的長(zhǎng)方形紙帶沿折疊，設(shè)度．圖1

圖2（1）若，則度．（2）將圖1紙帶繼續(xù)沿折疊成圖2，則度．（用含的代數(shù)式表示）46．如圖，，平分交于點(diǎn)，在射線(xiàn)上，平分交于點(diǎn)．

(1)如圖1，若，且，求的度數(shù)；(2)如圖2，在線(xiàn)段上，使得平分．①當(dāng)時(shí)，比較與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；②過(guò)作于點(diǎn)，若，且，，，求的長(zhǎng)．47．在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)課中，老師要求同學(xué)們把一塊直角三角板（圖中的，）擺放在畫(huà)有兩條平行直線(xiàn)的紙面上進(jìn)行操作探究．

(1)小明同學(xué)把三角板按如圖1擺放，請(qǐng)你直接寫(xiě)出與，之間的數(shù)量關(guān)系；(2)小明移動(dòng)三角板按如圖2擺放，當(dāng)平分時(shí)，發(fā)現(xiàn)和存在特殊的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；(3)小明繼續(xù)移動(dòng)三角板，使頂點(diǎn)A落在直線(xiàn)上，如圖3，分別畫(huà)出和的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)E，多次移動(dòng)三角板位置（保持頂點(diǎn)A在直線(xiàn)上），經(jīng)度量并計(jì)算發(fā)現(xiàn)都等于，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)等式是否一定成立？如果成立，請(qǐng)你說(shuō)明理由；如果不成立，請(qǐng)你畫(huà)出一個(gè)符合條件且又不等于的圖形．48．如圖，，是直線(xiàn)上一點(diǎn)，是直線(xiàn)上一點(diǎn)．問(wèn)題提出（1）如圖1，是直線(xiàn)上一點(diǎn)，是線(xiàn)段上一點(diǎn)，連接，若，，則問(wèn)題探究（2）如圖2，，平分，平分，請(qǐng)計(jì)算的度數(shù)．問(wèn)題解決（3）如圖3，平分，延長(zhǎng)到點(diǎn)，且平分，若，請(qǐng)你探究與之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由（用含的式子表示）．49．已知：，E、G是AB上的點(diǎn)，F(xiàn)、H是CD上的點(diǎn)，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)M在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，作、的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)P，設(shè)．①若，試判斷直線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)K使得，并說(shuō)明理由；②如圖3，作的角平分線(xiàn)交CD于點(diǎn)Q，若，請(qǐng)直接回答與的數(shù)量關(guān)系：______．50．綜合探究：如圖1，已知兩條直線(xiàn)被直線(xiàn)所截，分別交于點(diǎn)E，點(diǎn)平分交于點(diǎn)M，且．(1)直線(xiàn)與直線(xiàn)平行嗎？說(shuō)明你的理由；(2)點(diǎn)G是射線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，F(xiàn)重合），平分交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)N，設(shè)．①當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，請(qǐng)根據(jù)題意，在圖2中補(bǔ)全圖形，并求出當(dāng)時(shí)α的度數(shù)；②當(dāng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并簡(jiǎn)單說(shuō)明理由．51．已知，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作射線(xiàn)與相交于點(diǎn)B．(1)如圖1，若點(diǎn)P為直線(xiàn)上一點(diǎn)，，則的度數(shù)為；(2)如圖2，若點(diǎn)P為直線(xiàn)之間區(qū)域的一點(diǎn)，射線(xiàn)交于點(diǎn)E，和的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)F．請(qǐng)說(shuō)明：；(3)如圖3，若點(diǎn)P、H是直線(xiàn)上的點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的角平分線(xiàn)于點(diǎn)Q，射線(xiàn)交于點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，試猜想與之間的關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的答案．52．如圖1，已知，點(diǎn)F是線(xiàn)段上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，是內(nèi)的一條射線(xiàn)，滿(mǎn)足．(1)求證：；(2)如圖2，點(diǎn)P是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的值是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出k的值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖3，若，在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，①______；②將繞著點(diǎn)Q以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t，當(dāng)邊與射線(xiàn)重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)?shù)倪吪c的某一邊平行時(shí)，t的值為_(kāi)_____．53．我們定義：【概念理解】在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的4倍，那么這樣的三角形我們稱(chēng)之為“完美三角形”．如：三個(gè)內(nèi)角分別為、、的三角形是“完美三角形”．【簡(jiǎn)單應(yīng)用】如圖1，，在射線(xiàn)上找一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線(xiàn)，交線(xiàn)段于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與O、B重合）．

(1)______°，＝______°，______（填“是”或“不是”）“完美三角形”；(2)若，試說(shuō)明：是“完美三角形”；【應(yīng)用拓展】(3)如圖2，點(diǎn)D在的邊上，連接，作的平分線(xiàn)交于點(diǎn)E，在上取一點(diǎn)F，使，，若是“完美三角形”，求∠B的度數(shù)．類(lèi)型九、折疊背景下的三角形內(nèi)角和問(wèn)題54．如圖，于點(diǎn)，點(diǎn)、分別是射線(xiàn)、上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），延長(zhǎng)至點(diǎn)，的角平分線(xiàn)及其反向延長(zhǎng)線(xiàn)分別交、的角平分線(xiàn)于點(diǎn)、．若中有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，則為（

）．A．或 B．或 C．或 D．或55．如圖，在中，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是邊、的點(diǎn)，將和分別沿和折疊至．已知且，則為．56．綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：在綜合與實(shí)踐課上，老師要求同學(xué)們以“折紙中的數(shù)學(xué)”為主題開(kāi)展活動(dòng)．獨(dú)立思考：（1）如圖①，將三角形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在四邊形內(nèi)點(diǎn)的位置，則與之間的數(shù)量關(guān)系為，請(qǐng)說(shuō)明理由；深入探究：（2）如圖②，若點(diǎn)落在四邊形的邊下方時(shí)，試猜想此時(shí)與，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；結(jié)論運(yùn)用：（3）如圖③，在四邊形中，，，分別是，邊上的一點(diǎn)，沿將四邊形折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，且，．①的度數(shù)為；②若，，求點(diǎn)到的距離．57．綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師組織數(shù)學(xué)小組的同學(xué)們以“折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．(1)觀(guān)察發(fā)現(xiàn)：如圖1，將紙片沿折疊，使點(diǎn)落在四邊形內(nèi)點(diǎn)的位置．則、、之間的數(shù)量關(guān)系為：______；(2)探究遷移：如圖2，若將（1）中“點(diǎn)落在四邊形內(nèi)點(diǎn)的位置”變?yōu)椤包c(diǎn)落在四邊形外點(diǎn)的位置”，其他條件不變．請(qǐng)寫(xiě)出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)拓展應(yīng)用：如圖3，四邊形紙片，，與不平行，將四邊形紙片沿折疊成圖3的形狀，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)58．（1）如圖，把沿折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，試探究與的關(guān)系；（2）如圖2，若，作的平分線(xiàn)，與的外角平分線(xiàn)交于點(diǎn)N，求的度數(shù)；（3）如圖3，若點(diǎn)落在內(nèi)部，作，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，此時(shí),滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明過(guò)程．

59．在我們蘇科版義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)七下第42頁(yè)曾經(jīng)研究過(guò)雙內(nèi)角平分線(xiàn)的夾角和內(nèi)外角平分線(xiàn)夾角問(wèn)題．聰聰在研究完上面的問(wèn)題后，對(duì)這類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究，他的研究過(guò)程如下：

(1)【問(wèn)題再現(xiàn)】如圖1，在中，的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，若．則______；(2)【問(wèn)題推廣】如圖2，在中，的角平分線(xiàn)與的外角的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H，若，則______；(3)如圖3，如圖3，在中，、的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)，將沿DE折疊使得點(diǎn)與點(diǎn)重合．①若，則______；②若，求證：；(4)【拓展提升】在四邊形中，，點(diǎn)F在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)F不與E，D兩點(diǎn)重合），連接的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)Q，若，直接寫(xiě)出∠Q和α，β之間的數(shù)量關(guān)系．60．綜合與探究

(1)如圖1，將沿著第一次折疊，頂點(diǎn)落在的內(nèi)部點(diǎn)處，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)如圖2，將沿著第二次折疊，頂點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，若，，求的度數(shù)．(3)如圖3，將沿著第三次折疊，頂點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，若，，用含，的代數(shù)式表示．61．在中，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，P是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與重合），連接，將沿翻折得，記．

(1)如圖1，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，用含的式子表示；(2)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，①如圖2，若平分交于點(diǎn)，猜想之間存在的等量關(guān)系，并說(shuō)明你的理由；②若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?2．（1）如圖1，把三角形紙片折疊，使個(gè)頂點(diǎn)重合于點(diǎn)．這時(shí)，__________；

（2）如果三角形紙片折疊后，個(gè)頂點(diǎn)并不重合于同一點(diǎn)，如圖，那么(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）折疊后如圖所示，直接寫(xiě)出、、、、、之間的數(shù)量關(guān)系_______；（4）折疊后如圖，直接寫(xiě)出、、、、、之間的數(shù)量關(guān)系：_______；63．（1）如圖1，把沿折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的關(guān)系：．（2）如圖2，把分別沿、折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，使點(diǎn)B落在點(diǎn)處，若，則°（3）如