專題08 角度中的動態(tài)模型（解析版）-2025《幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練》七上(人教)

專題08角度中的動態(tài)模型角度的動態(tài)（旋轉）模型屬于七年級上期必考壓軸題型，是尖子生必須要攻克的一塊重要內容，對考生的綜合素養(yǎng)要求較高。絕大部分學生對角度旋轉問題信心不足，原因就是很多角度旋轉問題需要自己畫出圖形，與分類討論思想、數形結合思想等結合得很緊密，思考性強，難度大。本專題重點研究與角有關的旋轉模型（求值模型；定值模型；探究模型；分類討論模型）。【知識儲備】1、角度旋轉模型解題步驟：①找——根據題意找到目標角度；②表——表示出目標角度：1）角度一邊動另一邊不動，角度變大：目標角=起始角+速度×時間；2）角度一邊動另一邊不動，角度變?。耗繕私?起始角—速度×時間；3）角度一邊動另一邊不動，角度先變小后變大。變?。耗繕私?起始角—速度×時間；變大：目標角=速度×時間—起始角③列——根據題意列方程求解。注：①注意題中是否確定旋轉方向，未確定時要分順時針與逆時針分類討論；②注意旋轉角度取值范圍。2、常見的三角板旋轉模型：三角板有兩種，一種是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一種是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋轉中隱藏的條件就是上面所說的這幾個特殊角的角度?？傊还苓@個角如何旋轉，它的角度大小是不變的，旋轉的度數就是組成角的兩條射線旋轉的度數（角平分線也旋轉了同樣的度數）。抓住這些等量關系是解題的關鍵，三角板只是把具體的度數隱藏了起來。模型1、旋轉中的求值模型例1．（2023春·福建福州·七年級統(tǒng)考開學考試）如圖1，已知繞點在的內部轉動，平分，平分．

(1)如圖2，當與重合時，求的度數；(2)請判斷的大小是否隨的位置的變化發(fā)生改變？并說明理由；：(3)當時，求的度數．【答案】(1)(2)不會隨的運動而改變大小，理由見解析(3)的度數為或【分析】（1）如圖所示，，與重合，，平分，可求出，根據角平分線的性質可求出的度數，由此即可求解；（2）根據角平分線的性質分別求出的度數，根據即可求解；（3）根據題意分別求出與的關系，由此即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，，與OA重合，，平分，

，平分，，∵平分，，．（2）解：不會隨的運動而改變大小，理由如下：平分，，平分，，，不會隨的運動而改變大?。?）解：∵，由（2）可知，，，或，，或，解得或，或，∴的度數為或．【點睛】本題主要考查角平分線的性質，角的和差倍分的關系，理解圖示，掌握角的和差倍分的計算，角平分線的性質是解題的關鍵．例2．（2023·福建福州·七年級期末）在一次數學活動課上，李磊同學將一副宜角三角板、按如圖1放置，點A、C、D在同一直線上，（°、），并將三角板繞點A順時針旋轉一定角度，且始終保持．(1)在旋轉過程中，如圖2，當點A、C、E在同一直線上時，則____；(2)在旋轉過程中，如圖3，當時．請說明平分；(3)在旋轉過程中，如圖4，當時，求此時的度數．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據計算；（2）計算的度數，得到，得出結論；（3）設，表示出，根據，求出，得出答案；(1)解：點在同一直線上，，，故答案為：；(2)如圖3，，，∵，，∴，∵，，∴，∴平分；(3)如圖4，設，則，∵，∴，∵，∴，解得，∴．【點睛】本題考查角的和差，角的平分線，旋轉的性質，關鍵是結合圖形準確表示角的和差．模型2、旋轉中的定值模型例1．（2022·四川成都·七年級期末）已知，如圖1，，分別為定角（大小不會發(fā)生改變）內部的兩條動射線，，．（1）求的度數；（2）如圖2，射線分別為的平分線，當繞著點O旋轉時，的位置也會變化但大小保持不變，請求出的度數；（3）如圖3，是外部的兩條射線，且，平分，平分．當繞著點O旋轉時，的大小是否會發(fā)生變化？若不變，求出其度數；若變化，說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）的大小不變?yōu)椋痉治觥浚?）由，可得，從而可求解從而可得的大?。唬?）由射線，分別為，的平分線，求解，從而可得的度數為；（3）先求解，再證明，結合角平分線性質求解，從而可得．【詳解】解：（1）∵，∴∵，∴∴（2）∵射線，分別為，的平分線，∴，∴∴∴的度數為．（3）的大小不變?yōu)椋碛扇缦拢骸?，，∴，，∵∴∵平分，平分∴∴【點睛】本題考查的是角平分線的性質，角的和差運算，掌握以上知識是解題的關鍵．例2．（2022秋·河南南陽·七年級?？计谀⒁桓比浅呷鐖D①擺放，，，現將繞點C以/秒的速度逆時針方向旋轉，旋轉時間為秒．

(1)如圖②，當______時，恰好平分；(2)如圖③，當______時，恰好平分；(3)如圖④，當______時，恰好平分；(4)繞點C旋轉到如圖⑤的位置，平分，平分，求的度數；(5)若旋轉到如圖⑥的位置，（4）中結論是否發(fā)生變化？請說明理由．【答案】(1)4(2)7(3)10(4)(5)不變，，理由見解析；【分析】（1）如圖，由題意可得：，而，，再證明，而，再建立方程求解即可；（2）如圖，證明，，再建立方程求解即可；（3）如圖，證明，，同理：，而，可得，從而可得答案；（4）先表示，可得，同理可得，而，再利用角的和差可得答案；（5）先表示，可得，同理可得，而，再利用角的和差可得答案．【詳解】（1）解：如圖，由題意可得：，而，∴，

∵平分，∴，而，∴，解得：；（2）如圖，∵，平分，∴，

∵，，∴，∴，解得：；（3）如圖，∵，恰好平分，∴，，同理：，而，∴，解得：；（4）如圖，

∵，，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∵平分，∴，而，∴．（5）如圖，∵，，∴，

∵平分，∴，∵，，∴，∵平分，∴，而，∴．【點睛】本題考查的是角的動態(tài)定義，角的和差運算，角平分線的含義，一元一次方程的應用，熟練的畫出符合題意的圖形，再利用數形結合的方法解題是關鍵．模型3、旋轉中的探究類模型（判斷角的數量之間的關系）例1．（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在內部存在，平分，平分．(1)當在的內部，與不重合時．①如圖1若，求的角度．②如圖2，若，畫出圖形并探究與的數量關系．(2)如圖3，若旋轉到的外部，平分，平分，則______【答案】(1)①，②(2)或【分析】（1）①根據，，平分，平分，得到，，根據計算即可．②根據題意，得,，整理求和計算即可．（2）畫圖分類計算即可．【詳解】（1）∵，，平分，平分，∴，，∴．②與的數量關系是．根據題意，得，，∵平分，平分，∴，，∴，，∴，，∴，∴．（2）如圖，平分，平分，∴，，∴=，∵，，∴．如圖，平分，平分，∴，，∴==∵，，∴．故答案為：或．例2．（2023·上海·七年級專題練習）（1）已知：如圖1，P是直角三角板ABC斜邊AB上的一個動點，CD、CE分別是∠ACP和∠BCP的平分線．當點P在斜邊AB上移動時，∠DCE＝°；（2）把直角三角板的直角頂點C放在直尺的一邊MN上：①點A和點B在直線MN的上方（如圖2），此時∠ACM與∠BCN的數量關系是∠ACM+∠BCN＝；②當把這把直角三角板繞頂點C旋轉到點A在直線MN的下方、點B仍然在直線MN的上方時（如圖3），∠ACM與∠BCN的數量關系是；③當把這把直角三角板繞頂點C旋轉到點A和點B都在直線MN的下方時（如圖4），∠ACM與∠BCN的數量關系是．【答案】（1）45；（2）①90°；②∠BCN﹣∠ACM＝90°；③∠ACM+∠BCN＝270°【分析】（1）根據角平分線定義得出，，根據，計算求解即可；（2）①根據，計算求解即可；②由題意知，，進而可得，計算求解即可；③由題意知，，，，對計算求解即可．【詳解】（1）解：由題意知，，，∵，∴，故答案為：45．（2）①解：由題意知，，，∴，故答案為：90°．②解：由題意知，，，∴，∴，故答案為：．③解：由題意知，，，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線定義，與三角板有關的角的和差計算．明確角之間的數量關系是解題的關鍵．模型4、旋轉中的分類討論模型例1．（2023·重慶·西南大學附中七年級期中）如圖①，已知，在內部畫射線，得到三個角，分別為、、．若這三個角中有一個角是另外一個角的3倍，則稱射線為的“幸福線”．（本題中所研究的角都是大于而小于的角．）(1)角的三等分線________這個角的“幸福線”（填“是”或“不是”）；(2)如圖①，，射線為的“幸福線”，求的度數；(3)如圖②，已知，射線從出發(fā)，以每秒的速度繞點逆時針旋轉，同時，射線從出發(fā)，以每秒的速度繞點逆時針旋轉，設運動的時間為秒（）．若、、三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“幸福線”，求出所有可能的值．【答案】(1)是；(2)，，，；(3)或或．【分析】（1）若OC為∠AOB的三等分線，則有，符合“幸福線”的定義；（2）根據“幸福線”的定義可得當時，當時，當時，當時，然后根據角的和差關系進行求解即可；（3）由題意可分①當時在與重合之前，則有，，由是的“幸福線”可進行分類求解；②當時，在與重合之后，則有，，由是的“幸福線”可分類進行求解．（1）解：若OC為∠AOB的三等分線，則有，符合“幸福線”的定義，所以角的三等分線是這個角的“幸福線”；故答案為：是．（2）解：由題意得：∵，射線為的“幸福線”，∴①當時，則有：；②當時，則有；③當時，則有；④當時，則有：；；綜上所述：當射線為的“幸福線”時，∠AOC的度數為，，，；（3）解：∵，∴射線ON與OA重合的時間為（秒），∴當時在與重合之前，如圖所示：∴°，°，是的“幸福線”，則有以下三類情況：①，即，（舍去），②，即，，③，即，；④，即，（舍去）；當時，在與重合之后，如圖所示：∴°，°，是的“幸福線”，則有以下三類情況：①，即，（不符合題意，舍去），②，即，（不符合題意，舍去）；③，即，；④，即，不存在；綜上：或或．【點睛】本題主要考查角的三等分點的計算及角的動點問題，熟練掌握角的三等分點的計算及角之間的和差關系是解題的關鍵．例2．（2022·成都市七中育才學校七年級月考）一副三角板（直角三角板和直角三角板）如圖1所示放置，兩個頂點重合于點，與重合，且，，，．將三角板繞著點逆時針旋轉一周，旋轉過程中，平分，平分，（和均是指小于180°的角）探究的度數．（1）當三角板繞點旋轉至如圖2的位置時，與重合，______°，______°．（2）三角板繞點旋轉過程中，的度數還有其他可能嗎？如果有，請研究證明結論，若沒有，請說明理由．（3）類比拓展：當的度數為時，其他條件不變，在旋轉過程中，請直接寫出的度數．（用含的式子來表示）【答案】（1）150；75（2）有，105°（3）或【分析】（1）利用兩個角的和的定義,角的平分線的定義計算即可；（2）利用分類思想，確定不同方式計算即可；（3）利用特殊與一般的思想，分類將問題抽象即可．【詳解】（1）如圖，由與重合，∵，，∴．又∵平分，平分，∴，，∴．故答案為：150°；75°；（2）如圖，∵平分，平分，∴+30°+30°+30°．∴，∴．（3）如圖，∵平分，平分，∴，，∴=+60°-=；如圖，∵OE平分，平分，∴，∴．綜上所述，或．【點睛】本題考查了兩個角的和，角的平分線，周角的定義，靈活運用分類思想，角的平分線定義，角的和，差定義計算是解題的關鍵．課后專項訓練1．（2023·內蒙古鄂爾多斯·七年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，點在線段上，圖中共有3條線段：和，若其中有一條線段的長度是另一條線段長度的兩倍，則稱點是線段的“二倍點”．則線段上共有____________個“二倍點”．（2）類似的如圖1，射線在內部，圖中共有3個角：和，若其中一個角的度數是另一個角度數的兩倍，則稱射線是的“二倍線”．則內部共有_____________條“二倍線”．（3）如圖2，若線段，點從點的位置開始，以每秒的速度向點運動，當點到達點時停止運動，設運動的時間為秒．問為何值時，點是線段的“二倍點”．（4）如圖3，若，射線從射線的位置開始，繞點按逆時針方向以每秒5°的速度向射線旋轉，當射線到達射線的位置時停止旋轉，設射線旋轉的時間為秒，若射線是的“二倍線”，求的值．（5）在（4）的條件下，同時射線從射線的位置開始，繞點按順時針方向以每秒10°的速度向射線旋轉，當射線到達射線的位置時停止旋轉，同時射線也停止旋轉．請直接寫出當射線是的“二倍線”時的值．【答案】（1）3；（2）3；（3）5或10或；（4）10或15或20；（5）t的值為或或或或15【分析】（1）找到線段AB的中點、三等分點即可判斷；（2）根據角平分線的性質、三等分角的概念即可判斷；（3）根據（1）問結論即可判斷，即當運動10、20和30時，求出t即可；（4）根據（2）問結論列出方程即可，即當運動角50°，75°，100°時，求出t即可；（5）此時ON共運動210°，分為六種情況討論：、、，列出方程即可求解．【詳解】（1）當C為中點時：AB=2AC=2BC，當C為靠近B的三等分點時，AC=2BC，當C為靠近A的三等分點時，BC=2AC；（2）共有三種情況，當OC為角平分線時，，當OC為三等分角平分線時，或；（3）當C為中點時：AB=2AC=2BC，此時BM=15=2t，解得t=，當C為靠近B的三等分點時，AC=2BC，此時BM=10=2t，解得t=，當C為靠近A的三等分點時，BC=2AC，此時BM=20=2t，解得t=，綜上所述，t的值為5或10或；（4）當OC為角平分線時，，此時，即，解得，當OC為三等分角平分線時，當，此時，解得當，此時，解得；綜上所述，t的值為10或15或20；（5）此時ON共運動150°，ON共可運動15s，此時OM共運動150°，OM共可運動30s，∴t的取值范圍為，當OM在∠AON外部時，如圖：OM、ON重合時，，①∠AOM=∠AON，解得；②∠AOM=∠AON，解得；③∠AOM=∠AON，解得；當OM在∠AON內部時，如圖：①∠AOM=∠AON，解得；②∠AOM=∠AON，解得；③∠AOM=∠AON，解得(舍去)；綜上所述，t的值為或或或或15．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，角平分線的性質，線段中點的性質，找等量關系列出方程是解決問題的關鍵，屬于中考?？碱}型．2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級?？奸_學考試）如圖1，是直線上的一點，，平分．

(1)若，求的度數；(2)將圖1中的繞頂點順時針旋轉至圖2的位置．①探究和的度數之間的關系，并說明理由；②在的內部有一條射線，內部有一條射線，且，試確定與的度數之間的關系，并說明理由．【答案】(1)(2)①，理由見解析；②【分析】（1）由垂線的定義得，從而得到，由鄰補角的定義計算可得，最后由角平分線的性質即可得到答案（2）①先分別表示出和，再找出其中的關系即可；②根據題意得出，，代入得到，再將，代入進行計算即可．【詳解】（1）解：，，，，，平分，；（2）解：①，理由如下：根據題意可得：，，，平分，，，；②畫出圖如圖所示：

，則，，，整理得：，，，，，，．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質、垂線的定義、與余角和補角有關的計算、角的計算，熟練掌握角平分線的性質、垂線的定義，準確進行計算是解題的關鍵．3．（2022·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）已知150°．（1）如圖1，若60°，為內部的一條射線，，平分，求的度數．（2）如圖2，若、是內部的兩條射線，、分別平分，，且，求的值．（3）如圖3，為射線的反向延長線上一點，將射線繞點順時針以的速度旋轉，旋轉后OB對應射線為，旋轉時間為秒（），平分，為的三等分線，且，若，則的值為_______（直接填寫答案）．【答案】（1）；（2）；（3）或15【分析】（1）先根據角的和差倍分求出的度數，再根據角平分線的定義求出，然后根據角的和差即可得；（2）設，先根據角平分線的定義得出，再根據角的和差化簡所求式子的分子分母即可得；（3）先依題意，找到兩個臨界位置：在AO的反向延長線上；與重合；然后根據角平分線的定義、角的和差倍分求解即可得．【詳解】（1）如圖1，平分，故的度數為；（2）設則∴故的值為2；（3），旋轉速度為射線OB旋轉到OA即停止轉動,由題意得，平分因則有兩個臨界位置：在AO的反向延長線上，此時；與重合，此時因此，分以下三種情況分析：①如圖3-1，當時則解得，符合題設②如圖3-2，當時則解得，符合題設③如圖3-3，當時則解得或，均不符題設，舍去綜上，t的值為3或15故答案為：3或15．【點睛】本題考查了角平分線的定義、角的和差倍分，較難的是題（3），依據題意，找出兩個臨界位置，從而分三種情況討論是解題關鍵．4．（2022?江北區(qū)期末）將一副三角板疊放在一起，使直角頂點重合于點O．（1）如圖1，若∠AOD＝35°，求∠BOC的度數．（2）若三角板AOB保持不動，將三角板COD的邊OD與邊OA重合，然后將其繞點O旋轉．試猜想在旋轉過程中，∠AOC與∠BOD有何數量關系？請說明理由．【解題思路】（1）由于是兩直角三角形板重疊，根據∠AOD的度數可得∠BOD，再根據∠DOC＝90°可得∠BOC；（2）當分兩種情況：∠AOB與∠DOC有重疊部分時和當∠AOB與∠DOC沒有重疊部分時．【解答過程】解：（1）若∠AOD＝35°，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠BOD＝90°﹣35°＝55°，∴∠BOC＝90°﹣∠BOD＝90°﹣55°＝35°；（2）∠AOC與∠BOD互補．當∠AOB與∠DOC有重疊部分時，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°．∵∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC，∴∠AOC+∠BOD＝180°，當∠AOB與∠DOC沒有重疊部分時，∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD＝360°，又∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝180°．5．（2022?洪山區(qū)期末）將一副直角三角板ABC，ADE，按如圖1疊加放置，其中B與E重合，∠BAC＝45°，∠BAD＝30°．（1）如圖1，點F在直線AC上，且位于點A的左側，求∠FAD的度數；（2）將三角板ADE從圖1位置開始繞A點順時針旋轉，并記AM，AN分別為∠BAE，∠CAD的角平分線．①當三角板ADE旋轉至如圖2的位置時，求∠MAN的度數．②若三角板ADE的旋轉速度為每秒5°，且轉動到∠DAC＝180°時停止，運動時間記為t（單位：秒），試根據不同的t的值，求∠MAN的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y論）．【解題思路】（1）先根據三角板的度數得到∠DAC的度數，再用180°﹣∠DAC即可；（2）①由角平分線的定義可得∠MAE=12∠BAE，∠NAC=12∠CAD，再根據∠MAN＝∠MAE+NAC﹣∠CAE，整理可得∠MAN的度數；②當0＜t＜9，9＜【解答過程】解：（1）∵∠BAC＝45°，∠BAD＝30°，∴∠DAC＝45°﹣30°＝15°，∴∠FAD＝180°﹣15°＝165°．（2）①∵AM，AN分別為∠BAE，∠CAD的角平分線，∴∠MAE=12∠BAE，∠NAC=1∴∠MAN＝∠MAE+∠NAC﹣∠CAE=12（∠BAE+∠DAC=12（∠BAC+∠DAE+2∠CAE）﹣∠CAE②設∠CAE＝α，Ⅰ．當0＜t＜9時，AE在∠BAC內部，∠BAE＝45°﹣α，∠CAD＝30°﹣α，所以∠MAN=12（45°﹣α）Ⅱ．當9＜t＜39時，AE在∠BAC外部，∠MAN＝∠NAC+∠BAC﹣∠BAM=12（30°+α）+45°Ⅲ．當t＝39時，∠DAC＝180°，若M、N在直線DC同側，則∠BAE＝180°﹣45°+30°＝165°，∠BAM=1∠CAN=12×180°＝90°，∠NAB若M、N在直線DC異側，則∠BAE＝180°﹣45°+30°＝165°，∠EAM=1∠DAN=12×180°＝90°，∠NAE綜上所述，不論t為何值時，∠MAN的大小為37.5°或142.5°．6．（2022?綿陽七年級期中）如圖1，擺放一個三角形紙板ODE，邊OD在正東方向的射線上，點A，B分別在正西，正東方向上，∠COF＝30°，現將三角形紙板ODE從圖1位置開始繞點O以每秒5度的速度逆時針方向勻速旋轉，設旋轉的時間為t秒，在旋轉一周的過程中．（1）當t＝5時，求∠AOD的度數，并寫出點D的方向角；（2）如圖2，當三角形紙板ODE旋轉至△OD1E1時，邊OE1恰好落在射線OF上，且OF平分∠AOD1，OD1平分∠BOC，求t的值，并寫出點F的方向角；（3）當旋轉至△OD2E2時，OE2所在直線平分∠AOC，求t的值．【解題思路】（1）根據∠AOD＝180°﹣∠BOD，求出∠BOD即可．（2）如圖2中，設∠BOD1＝x°．想辦法構建方程求出x即可解決問題．（3）分兩種情形：當OE2線段平分∠AOC時，當線段OE2的反向延長線平分∠AOC時，分別求解即可．【解答過程】解：（1）因為三角形紙板ODE繞點O旋轉的速度為每秒5度，所以當t＝5時，∠BOD＝25°，此時，點D在北偏東65°方向上，又∠AOD+∠BOD＝180°，所以∠AOD＝180°﹣∠BOD，即∠AOD＝180°﹣25°＝155°．（2）如圖2中，設∠BOD1＝x°．因為OD1平分∠BOC，所以∠BOC＝2x°，∠COD1＝x°，因為∠COF＝30°，所以∠D1OF＝∠COD1+∠COF＝x°+30°＝（x+30）°，又OF平分∠AOD1，即∠AOF＝∠D1OF，因為∠AOF+∠D1OF+∠BOD1＝180°，即2∠D1OF+∠BOD1＝180°，所以2（x+30）°+x°＝180°，化解得3x°＝120°，解得x＝40，所以三角形紙板ODE運動的時間t=405=8（秒），所以∠AOF＝∠D由90°﹣70°＝20°，得點F的方向角為北偏西20°．（3）如圖3中，由（2）得∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2x°＝180°﹣2×40°＝100°，且∠D1OF＝∠DOE＝70°，又∠COE＝∠BOC﹣∠DOE＝80°﹣70°＝10°，當OE2線段平分∠AOC時，OE旋轉的角大小為12所以三角形紙板ODE旋轉的時間為t=60當線段OE2的反向延長線平分∠AOC時，OE旋轉的角大小為60°+180°＝240°，所以三角形紙板ODE旋轉的時間為t=240綜上，當OE所在直線平分∠AOC時，t＝12秒或48秒7．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)七年級期中）新定義問題如圖①，已知∠AOB，在∠AOB內部畫射線OC，得到三個角，分別為∠AOC、∠BOC、∠AOB．若這三個角中有一個角是另外一個角的2倍，則稱射線OC為∠AOB的“幸運線”．（本題中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）【閱讀理解】（1）角的平分線這個角的“幸運線”；（填“是”或“不是”）【初步應用】（2）如圖①，∠AOB＝45°，射線OC為∠AOB的“幸運線”，則∠AOC的度數為；【解決問題】（3）如圖②，已知∠AOB＝60°，射線OM從OA出發(fā)，以每秒20°的速度繞O點逆時針旋轉，同時，射線ON從OB出發(fā)，以每秒15°的速度繞O點逆時針旋轉，設運動的時間為t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“幸運線”，求出所有可能的t值．【解題思路】（1）根據幸運線定義即可求解；（2）分3種情況，根據幸運線定義得到方程求解即可；（3）分3種情況，根據幸運線定義得到方程求解即可．【解答過程】解：（1）一個角的平分線是這個角的“幸運線”；故答案為：是；（2）①設∠AOC＝x，則∠BOC＝2x，由題意得，x+2x＝45°，解得x＝15°，②設∠AOC＝x，則∠BOC＝x，由題意得，x+x＝45°，解得x＝22.5°，③設∠AOC＝x，則∠BOC=12x，由題意得，x+12故答案為：15°或22.5°或30°；（3）當0＜t≤4時，∠MON＝60+5t，∠AON＝60﹣15t，若OA是射線OM與ON的幸運線，則∠AON=12∠MON，即60﹣15t=12（60+5∠AON=13∠MON，即60﹣15t=13（60+5t∠AON=23∠MON，即60﹣15t=23（60+5t當4＜t＜9時，∠MOA＝20t，∠AON＝15t﹣60，若ON是射線OM與OA的幸運線，則∠AON=12∠MOA即15t﹣60=12×∠AON=13∠MOA，即15t﹣60=13×20∠AON=23∠MOA，即15t﹣60=23×故t的值是127或125或12118．（2022·湖北武漢·七年級期末）【學習概念】如圖1，在∠AOB的內部引一條射線OC，則圖中共有3個角，分別是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一個角的度數是另一個角度數的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“好好線”．【理解運用】（1）①如圖2，若∠MPQ＝∠NPQ，則射線PQ∠MPN的“好好線”（填“是”或“不是”）；②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射線PQ是∠MPN的“好好線”，請用含α的代數式表示∠MPN；【拓展提升】（2）如圖3，若∠MPN＝120°，射線PQ繞點P從PN位置開始，以每秒12°的速度逆時針旋轉，旋轉的時間為t秒．當PQ與PN成110°時停止旋轉．同時射線PM繞點P以每秒6°的速度順時針旋轉，并與PQ同時停止．當PQ、PM其中一條射線是另一條射線與射線PN的夾角的“好好線”時，則t＝秒．【答案】（1）①是；②∠MPN=α，3α；（2）t=，4，5秒．【分析】（1）①根據新定義的理解，即可得到答案；②根據題意，可分為兩種情況：當∠MPQ=2∠QPN時；當∠QPN=2∠MPQ時；分別求出∠MPN即可；（2）根據題意，設運用的時間為t秒，則PM運用后有，，然后對PM和PQ的運動情況進行分析，可分為四種情況進行分析，分別求出每一種情況的運動時間，即可得到答案．【詳解】解：（1）①如圖，若∠MPQ＝∠NPQ，∴∠MPN=2∠NPQ=2∠MPQ，∴射線PQ是∠MPN的“好好線”；②∵射線PQ是∠MPN的“好好線”又∵∠MPQ≠∠NPQ∴此題有兩種情況Ⅰ．如圖1，當∠MPQ=2∠QPN時∵∠MPQ=α∴∠QPN=α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=α；Ⅱ．如圖2，當∠QPN=2∠MPQ時∵∠MPQ=α∴∠QPN=2α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=3α綜上所述：∠MPN=α或∠MPN=3α．（2）根據題意，PM運動前∠MPN＝120°，設運用的時間為t秒，則PM運用后有，，①當時，如圖：∴，解得：；②當，即時，如圖：∴，解得：；③當，如圖：∴，解得：；④當，如圖：∵，，∴，解得：；∵的最大值為：，∴不符合題意，舍去；綜合上述，t=，4，5秒．【點睛】本題考查了新定義的角度運算，角度的和差關系，以及一元一次方程的應用，解題的關鍵是熟練掌握題意，正確掌握運動狀態(tài)，運用分類討論的思想進行分析．9．（2022·河北·泊頭市教師發(fā)展中心七年級期中）【實踐操作】三角尺中的數學．(1)如圖1，將兩塊直角三角尺的直角頂點C疊放在一起，．①若，則_________；若，則______；②猜想與的大小有何特殊關系，并說明理由；(2)如圖2，若是兩個同樣的直角三角尺銳角的頂，點A重合在一起，，則與的大小又有何關系，請說明理由；(3)已知，（都是銳角），如圖3，若把它們的頂點O重合在一起，請直接寫出與的大小關系：________．【答案】(1)①，；②，理由見解析(2)，理由見解析(3)【分析】(1)①先計算∠ACE的大小，再根據∠ACB=∠ACE+∠BCE計算即可；先根∠ACB=∠ACE+∠BCE計算∠ACE的大小，再根據∠DCE=∠ACD-∠ACE計算即可；②根據∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠DCE=∠ACD-∠ACE，可得∠ACB+∠DCE=∠BCE+∠ACD；（2）根據∠GAC=∠CAD+∠GAD，∠DAF=∠FAG-∠GAD，可得∠GAC+∠DAF=∠CAD+∠FAG．（3）根據∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠BOC=∠COD-∠BOD，計算∠AOD+∠BOC即可．（1）解：①∵，∴∠ACE=∠ACD-＝90°-35°＝55°，∴∠ACB=∠ACE+∠ECB=90°+55°＝145°，故答案為：145°；∵∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠ACB＝140°，∴∠ACE=140°-90°=50°，∵∠DCE=∠ACD-∠ACE，∴∠DCE=90°-50°=40°，故答案為：50°．②∠ACB與∠DCE數量關系為∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：∵∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠DCE=∠ACD-∠ACE，∴∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠BCE+∠ACD-∠ACE=∠BCE+∠ACD=180°．（2）∠GAC與∠DAF的數量關系，∠GAC+∠DAF=120°，理由如下：∵∠GAC=∠CAD+∠GAD，∠DAF=∠FAG-∠GAD，∴∠GAC+∠DAF=∠CAD+∠GAD+∠FAG-∠GAD=∠CAD+∠FAG=60°+60°=120°．（3）∠AOD+∠BOC=α+β.理由如下：∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠BOC=∠COD-∠BOD，∠AOB=α，∠COD＝β（α，β都是銳角），∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠COD-∠BOD，=∠AOB+∠COD＝α+β．【點睛】本題考查了角和差關系，一般與特殊的思想，熟練掌握角的運算，理解角的和與差的關系是解題的關鍵．10．（2022·河南·鄭州市第四初級中學七年級期末）【閱讀理解】如圖①，射線OC在∠AOB內部，圖中共有三個角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有兩個角的度數之比為1：2，則稱射線OC為∠AOB的“幸運線”．(1)∠AOB的角平分線這個角的“幸運線”；（填“是”或“不是”）(2)若∠AOB＝120°，射線OC為∠AOB的“幸運線”，則∠AOC＝．【問題解決】(3)如圖②，已知∠AOB=150°，射線OP從OA出發(fā)，以20°/s的速度順時針方向旋轉，射線OQ從OB出發(fā)，以10°/s的速度逆時針方向旋轉，兩條射線同時旋轉，當其中一條射線旋轉到與∠AOB的邊重合時，運動停止，設旋轉的時間為t（s），當t為何值時，射線OP是以射線OA、OQ為邊構成角的幸運線？試說明理由．【答案】(1)是；(2)40°或60°或80°；(3)或或3．【分析】（1）由角平分線的定義可得；（2）分三種情況討論，即∠AOC=2∠BOC，2∠AOC=∠BOC，∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC三種情況，結合∠AOC+∠BOC=∠AOB=120°可以求出∠AOC．（3）分三種情況討論，由“幸運線”的定義，列出方程可求t的值．（1）解：∵一個角的平分線平分這個角，且這個角是所分兩個角的兩倍，∴一個角的角平分線是這個角的“幸運線”，故答案為：是．（2）解：∵射線OC在∠AOB內部，∴∠AOC+∠BOC=∠AOB=120°．①當∠AOC=2∠BOC時，∠AOC+∠BOC=3∠BOC=120°，∴∠BOC=40°，∴∠AOC=80°．②當2∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=3∠AOC=120°，∴∠AOC=40°．③當∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC時，OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠AOB=60°．綜上所述：∠AOC=40°或60°或80°．故答案為：40°或60°或80°．（3）解：∵射線OP是以射線OA、OQ為邊構成角的“幸運線”，∴射線OP在以射線OA、OQ為邊構成角的內部．如下圖所示：∴∠AOP=20t°，∠BOQ=10t°，∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ=(150-20t-10t)°=(150-30t)°,∠AOQ=∠AOB-∠BOQ==(150-10t)°．①當∠AOP=2∠POQ時，則20t=2×(150-30t)，∴t=．②若∠POQ=2∠AOP，則150-30t=2×20t，∴t=．③若2∠AOP=∠AOQ或2∠POQ=∠AOQ，則2×20t=150-10t，∴t=3．綜上所述：t=或或3．【點睛】本題考查一元一次方程的應用，角平分線的性質，找等量關系列出方程是解決問題的關鍵，屬于中考?？碱}型．11．（2022·陜西·西安七年級期末）如圖所示，OA，OB，OC是以直線EF上一點O為端點的三條射線，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射線OP從OF處開始出發(fā)，繞點O逆時針勻速旋轉，旋轉速度為每秒5度：射線OQ從OC處開始出發(fā)，繞點O順時針勻速旋轉，兩條射線同時開始旋轉（當射線OQ旋轉至與射線OF重合時，OP、OQ同時停止運動），旋轉時間為t秒.（旋轉速度÷旋轉角度：旋轉時間）(1)當t＝秒，射線OP平分∠AOB時；(2)若射線OQ的旋轉速度為每秒4度時，請求出當∠POQ=60°時，射線OP旋轉的時間；(3)若射線OQ的旋轉速度為每秒3度時，是否存在某個時刻，使得射線OQ，OP，OB中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請直接寫出所有滿足題意的的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)10；(2)或秒；(3)或；【分析】（1）作出角平分線，求出OP運動到OG時的時間即可．（2）動點問題需要分類討論，第一種OP、OQ還沒有相遇時，第二種OP、OQ相遇之后，畫圖利用角度列出等式．（3）分別一其中一條作為角平分線來分析，畫出圖像之后列等式求時間．（1）解：作∠AOB的角平分線OG∵∠AOB=60°，∴∠AOG=∠AOB=30°，∴∠FOG=∠FOA+∠AOG=20°+30°=50°，此時OP的運動時間t=（秒）；故答案為：10；（2）解：∵∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，∴∠FOC=90°由題意可得，∠FOP=5t°，∠COQ=4t°①如圖所示：∴4t+60+5t=90，∴t=；②如圖所示：此時4t+5t-60=90，∴t=∵OQ停止運動時間t=，∴以上兩種情況均符合∴當∠POQ=60°時，OP的旋轉時間為或秒；（3）解：存在；①當OQ平分∠BOP時，則∠BOQ=∠POQ，如圖：則，解得：；②當OP平分∠BOQ時，則∠BOP=∠POQ，如圖：則，解得：；綜合上述，或；【點睛】主要考查角平分線的計算，角度的和差倍分問題，解題的關鍵是掌握所學的知識，運用分類討論的思想，利用圖象找關系．12．（2022成都市七中育才學校七年級期末）如圖1，在表盤上12：00時，時針、分針都指向數字12，我們將這一位置稱為“標準位置”(圖中)．小文同學為研究12點分()時，時針與分針的指針位置，將時針記為，分針記為．如：12：30時，時針、分針的位置如圖2所示，試解決下列問題：（1）分針每分鐘轉動°；時針每分鐘轉動°；（2）當與在同一直線上時，求的值；（3）當、、兩兩所夾的三個角、、中有兩個角相等時，試求出所有符合條件的的值．(本小題中所有角的度數均不超過180°)【答案】（1）6，0.5；（2）的值為；（3）的值為或【分析】（1）由題意根據分針每60分鐘轉動一圈，時針每12小時轉動一圈進行分析計算；（2）由題意與在同一直線上即與所圍成的角為180°，據此進行分析計算；（3）根據題意分當時以及當時兩種情況進行分析求解.【詳解】解：（1）由題意得分針每分鐘轉動：；時針每分鐘轉動：.故答案為：6，0．5.（2）當與在同一直線上時，時針轉了度，即;分針轉了度，即∴解得，∴的值為．（3）①當時，∵;∴∴；②當時，∵;∴∴；∴綜上所述，符合條件的的值為或.【點睛】本題考查鐘表角的實際應用，根據題意熟練掌握并運用方程思維進行分析是解答此題的關鍵.13．（2022·江西蓮花縣·七年級期末）樂樂對幾何中角平分線的興趣濃厚，請你和樂樂一起探究下面問題吧．已知°，射線分別是和的平分線；（1）如圖1，若射線在的內部，且，求的度數；（2）如圖2，若射線在的內部繞點旋轉，則的度數為；（3）若射線在的外部繞點旋轉(旋轉中，均指小于的角)，其余條件不變，請借助圖3探究的大小，請直接寫出的度數(不寫探究過程)【答案】（1）50°；（2）50°；（3）50°或130°【分析】（1）先求出∠BOC度數，根據角平分線定義求出∠EOC和∠FOC度數，求和即可得出答案；（2）根據角平分線定義得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB，代入求出即可；（3）分兩種情況：①射線OE，OF只有1個在∠AOB外面，根據角平分線定義得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠FOC-∠COE=∠AOB；②射線OE，OF，2個都在∠AOB外面，根據角平分線定義得出∠EOF=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠COF=（360°-∠AOB），代入求出即可．【詳解】解：（1）∵∠AOB=100°，∠AOC=30°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=70°，∵OE，OF分別是∠AOC和∠COB的角平分線，∴∠EOC=∠AOC=15°，∠FOC=∠BOC=35°，∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=15°+35°=50°；（2）∵OE，OF分別是∠AOC和∠COB的角平分線，∴∠EOC=∠AOC，∠FOC=∠BOC，∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB=×100°=50°；故答案為：50°．（3）①射線OE，OF只有1個在∠AOB外面，如圖3①，∴∠EOF=∠FOC-∠COE=∠BOC-∠AOC=（∠BOC-∠AOC）=∠AOB=×100°=50°；②射線OE，OF2個都在∠AOB外面，如圖3②，∴∠EOF=∠EOC+∠COF=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=（360°-∠AOB）=×260°=130°．∴∠EOF的度數是50°或130°．【點睛】本題考查的是角的計算，角平分線的定義，熟知從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線是解答此題的關鍵．注意分類思想的運用．14．（2022·福建·福州時代中學七年級期末）已知，OC、OD是過點O的射線，射線OM、ON分別平分∠AOC和∠DOB．(1)如圖①，若OC、OD是∠AOB的三等分線，則______°(2)如圖②，若，，則______°(3)如圖③，在∠AOB內，若，則______°(4)將（3）中的∠COD繞著點O逆時針旋轉到∠AOB的外部（，），求此時∠MON的度數．【答案】(1)80(2)80(3)(4)或【分析】（1）根據角平分線的定義得到，，，則；（2）根據角平分線的定義得到，，而，則，所以；（3）與（2）一樣得到，，則；（4）反向延長、得到、，然后分類討論：當、在內部；當、在內部，可計算得到；當、在內部，可計算得到；當、在內部，可計算得到．（1）解：、是的三等分線，，射線、分別平分和，，，；故答案為80；（2）解：射線、分別平分和，，，，，，，；故答案為80；（3）解：射線、分別平分和，，，，，，，，；故答案為；（4）解：反向延長、得到、，如圖，當、在內部，，設，則，，，；當、在內部，可計算得到；當、在內部，可計算得到；當、在內部，可計算得到．【點睛】本題考查了角度的計算，也考查了角平分線的定義，熟練掌握角的和差關系是解題的關鍵．15．（2022·福建泉州·七年級期末）如圖，射線OC在的內部，圖中共有3個角：，和，若其中有一個角的度數是另一個角的度數的兩倍，則稱射線OC是的“倍分線”．(1)如圖，若，射線OC繞點O從OB位置開始，以每秒15°的速度逆時針旋轉t秒，且．①當秒時，OC______的“倍分線”；（填“是”或“不是”）②若射線OA是的“倍分線”，求t的值；(2)如圖，射線AF繞點A從AB位置開始逆時針旋轉，同時射線BG繞點B從BA的位置開始順時針旋轉，且，兩條射線相交于點C．CD、CE分別是的高和角平線，是否存在CE是的“倍分線”的情況？若存在，請求出與應滿足的數量關系；若不存在，請說明理由．【答案】(1)①是；②6或12或8(2)存在是的“倍分線”的情況，理由見解析，與應滿足的數量關系為：或或【分析】（1）①設∠BOC=15t，當t=2時，∠BOC=30°，且∠AOB=60°=2∠BOC，符合題意．②設∠BOC=15t，則OA分成的三個角為∠AOB=60°，∠BOC=15t，∠AOC=15t-∠AOB，分類計算即可．（2）運用定義和分類思想計算即可．（1）①當時，在內部，且，，是的“倍分線”，故答案為：是；②（Ⅰ）當在內部且時，，，；（Ⅱ）當在內部且時，如圖：，，；（Ⅲ）當在內部且時，如圖：，，綜上所述，的值為6或12或8；（2）存在是的“倍分線”的情況，理由如下：（2）存在是的“倍分線”的情況，理由如下：如圖：由已知可得：，，，當時，如圖：，，當時，如圖：，整理得：，當時，如圖：，整理得，綜上所述，與應滿足的數量關系為：或或．【點睛】本題考查了新定義角的計算問題，正確理解定義，熟練掌握分類計算的標準是解題的關鍵．16．（2022·貴州銅仁·七年級期末）沿河縣某初中七年級的數學老師在課外活動中組織學生進行實踐探究，用一副三角尺（分別含，，和，，的角）按如圖所示擺放在量角器上，邊PD與量角器刻度線重合，邊AP與量角器刻度線重合，將三角尺ABP繞量角器中心點P以每秒的速度順時針旋轉，當邊PB與刻度線重合時停止運動，設三角尺ABP的運動時間為t秒．(1)當時，__________；(2)若在三角尺ABP開始旋轉的同時，三角尺PCD也繞點P以每秒的速度逆時針旋轉，當三角尺ABP停止旋轉時，三角尺PCD也停止旋轉．①當t為何值時，邊PB平分；②在旋轉過程中，是否存在某一時刻使，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)85(2)①當t=時，邊PB平分∠CPD；②當t=或t=時，∠BPD=2∠APC．【分析】（1）當t=5秒時，計算出邊BP旋轉的角度的大小即可得出結論；（2）①如圖1，根據PB平分∠CPD，利用角平分線的定義可得∠CPB=∠BPD=∠CPD=30°，利用含t的代數式分別表示出∠MPB和∠BPD的度數，列出關于t的方程，解方程即可求解；②設時間為t秒，則∠APM=10°t，∠DPN=2°t，分兩種情況說明：Ⅰ）當PA在PC左側時，如圖2所示：Ⅱ）當PA在PC右側時，如圖3，根據旋轉過程得出的角度的大小列出方程即可求得結論．（1）解：當t=5秒時，由旋轉知，邊BP旋轉的角度為：10°×5=50°，∴∠BPD=180°-（45°+50°）=85°，故答案為：85；（2）解：①如圖1所示：由題意得：∠MPB=10°t+45°，∠DPN=2°t．∵PB平分∠CPD；∴∠CPB=∠BPD=∠CPD=30°，由∠MPN=∠MPB+∠BPD+∠DPN=180°得：10°t+45°+30°+2°t=180°，解得，t=，∴當t=時，邊PB平分∠CPD；②在旋轉過程中，存在某一時刻使∠BPD=2∠APC．∵運動時間為t秒，則∠APM=10°t，∠DPN=2°t，Ⅰ）當PA在PC左側時，如圖2所示：此時，∠APC=180°-10°t-60°-2°t=120°-12°t，∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t，∵∠BPD=2∠APC，∴135°-12°t=2（120°-12°t），解得：t=，因為當t=時，運動的情況剛好同解答圖的圖1，此時∠BPD=30°，∠APC=15°，∠BPD=2∠APC．是成立的；Ⅱ）當PA在PC右側時，如圖3所示：此時，∠APC=10°t+2°t+60°-180°=12°t-120°，∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t，∵∠BPD=2∠APC，∴135°-12°t=2（12°t-120°），解得：t=．當PB在PD的右側時，∠APC=12°t-120°，∠BPD=12°t-135°，則12°t-135°=2（12°t-120°），解得：t=，此時PB在PD的左側，所以和假設情況矛盾，不符合題意，舍去．綜上所述，當t=或t=時，∠BPD=2∠APC．【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉的變化，量角器的識別，角平分線的定義，角的計算，一元一次方程的應用，設運動的時間為t，用含t的代數式表示出∠APC與∠BPD的值是解本題的關鍵．17．（2022·湖北孝感·七年級期末）如圖，直線與相交于點O，將一直用三角尺AOB的直角頂點與點O重合．(1)如圖1，若°，試說明；(2)小學時我們學習過，把一個圖形繞著一個固定的點旋轉某一角度，這個圖形的形狀和大小都不會發(fā)生改變．如圖2，若°，OB平分，將三角尺AOB以每秒5°的速度繞點O順時針旋轉，設運動時間為秒．如果，0≤≤42，當為何值時，直線EF平分？【答案】(1)見解析(2)3或39【分析】（1）利用同角的余角相等即可得到結論；（2）根據角平分線定義求出∠BOE=30°，分兩種情況①當OE平分時，②當OF平分時，列方程解答即可．（1）解：∵，

∴，∴；（2）∵OB平分，，

∴，①當OE平分時，則旋轉之后，∠BOE=∠AOB=45°，∴OB旋轉的度數為，

∴，解得t=3；②當OF平分時，OB旋轉的度數為45°+150°=195°，∴，

解得t=39，綜上所述，t=3或39．【點睛】此題考查了同角的余角相等的性質，角平分線的定義，旋轉角的計算，列一元一次方程解決幾何問題，正確掌握各知識點并熟練應用是解題的關鍵．18．（2022·四川成都·七年級期末）點O直線AB上一點，過點O作射線OC，使得∠BOC＝65°，將一直角三角板的直角頂點放在點O處．（1）如圖1，將三角板MON的一邊ON與射線OB重合時，求∠MOC的度數；（2）如圖2，將三角板MON繞點O逆時針旋轉一定角度，此時OC是∠MOB的平分線，求∠BON和∠CON的度數；（3）將三角板MON繞點O逆時針旋轉至圖3時，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度數．【答案】（1）∠MOC＝25°；（2）∠BON＝40°，∠CON＝25°；（3）∠NOB＝70°．【分析】（1）根據∠MON和∠BOC的度數可以得到∠MON的度數．（2）根據OC是∠MOB的角平分線，∠BOC=65°可以求得∠BOM的度數，由∠NOM=90°，可得∠BON的度數，從而可得∠CON的度數．（3）由∠BOC=65°，∠NOM=90°，∠NOC