空間向量的數(shù)量積運算（原卷版）

1.1.2空間向量的數(shù)量積運算【劃重點】1．會識別空間向量的夾角.2．熟記數(shù)量積公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉及其變形.3．能用空間向量數(shù)量積解決簡單的立體幾何問題．4．理解并熟記向量a在向量b上的投影向量：|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)【知識梳理】知識點一空間向量的夾角1．定義：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．2．范圍：0≤〈a，b〉≤π.特別地，當〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，a⊥b.知識點二空間向量的數(shù)量積定義已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.性質(zhì)①a⊥b?a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2運算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交換律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).知識點三向量a的投影1．如圖(1)，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內(nèi)，進而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖(2))．2．如圖(3)，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))稱為向量a在平面β上的投影向量．這時，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．【例題詳解】一、數(shù)量積的計算例1(1)如圖，已知四棱錐的各棱長均為，則（

）A． B． C．1 D．2(2)如圖所示，已知空間四邊形ABDC的對角線和每條邊長都等于1，點E、F分別是AB、AD的中點．計算：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④．跟蹤訓練1(1)已知空間四面體D-ABC的每條棱長都等于1，點E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則等于（

）A． B． C． D．(2)如圖，在直三棱柱中，，E，F(xiàn)分別為棱的中點，則_____________．二、利用數(shù)量積證明垂直問題例2(1)如圖，四面體OABC各棱的棱長都是1，D，E分別是OC，AB的中點，記，，.(=1\*romani)用向量表示向量；(=2\*romanii)求證.(2)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點，G為CC1的中點，求證：A1O⊥平面GBD.跟蹤訓練2(1)已知：如圖，OB是平面α的斜線，O為斜足，，A為垂足，，且．求證：．三、用數(shù)量積求解夾角和模例3(1)如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為1的菱形，，.(=1\*romani)求線段的長；(=2\*romanii)求異面直線與所成角的大小.(2)如圖，正四面體（四個面都是正三角形）OABC的棱長為1，M是棱BC的中點，點N滿足，點P滿足．(=1\*romani)用向量表示；(=2\*romanii)求．跟蹤訓練3棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是，DB的中點，G在棱CD上，且，H是的中點．(1)求．(2)求FH的長．四、投影向量例4(1)四棱錐中，底面，底面是矩形，則在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．(2)如圖，在三棱錐中，平面，，，．試確定在上的投影向量，并求．跟蹤訓練4如圖，已知平面，，，則向量在上的投影向量等于____.【課堂鞏固】1．已知，均為空間單位向量，它們的夾角為60°，那么等于（

）A． B． C． D．42．空間四邊形中，，，則的值是（

）A．0 B． C． D．3．已知正四面體的棱長為為棱的中點，則（

）A． B． C． D．4．四面體中，，，，則（

）A． B． C． D．5．（多選）已知四面體中，，，兩兩垂直，則以下結(jié)論中一定成立的是（

）A． B．C． D．6．（多選）在棱長均為1的四面體中，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．7．在棱長為1的正方體中，為棱上任意一點，則=_______.8．若ABCD為空間四邊形，則______．9．已知在三棱錐中，，則___________.10．已知向量，向量與的夾角都是，且，試求(1)；(2)．11．如圖所示，在棱長為2的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，求：(1)·；(2)·；(3)·.12．如圖,在直三棱柱(即平面),,,求13．如圖，在平行六面體中，，，，M，N分別為，中點．(1)求的長；(2)證明：．14．如圖，空間四邊形的各邊及對角線長為，是的中點，在上，且，設，，，(1)用，，表示；(2)求向量與向量所成角的余弦值.【課時作業(yè)】1．在空間四邊形中，等于（

）A． B．0 C．1 D．不確定2．已知，，均為空間單位向量，它們之間的夾角均為，那么（

）A．2B．C．D．63．空間有一四面體ABCD，滿足，，則所有正確的選項為（

）①；②若∠BAC是直角，則∠BDC是銳角；③若∠BAC是鈍角，則∠BDC是鈍角；④若且，則∠BDC是銳角A．② B．①③ C．②④ D．②③④4．已知正四面體ABCD的棱長為a，點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則的值為（

）A． B． C． D．5．如圖，二面角的平面角為，，，，，，，若，則長為（

）A． B． C．2 D．6．已知直三棱柱中，，，則的值為（

）A． B． C． D．7．（多選）如圖，已知四面體的所有棱長都等于，分別是的中點，則（

）A． B．C． D．8．（多選）已知四面體A－BCD的所有棱長均為2，E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．9．如圖，在平行六面體中，，且，，則的長為____________．10．如圖，正四面體的長為1，，則______．11．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，且，分別為上的點，且，__________.12．平行六面體，，，若，則______.13．如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條邊的長度都為1，且兩兩夾角為.求的長.