專題05圓錐的體積（學(xué)生版）

20232024學(xué)年蘇教版數(shù)學(xué)六年級寒假學(xué)習(xí)精講練講義專題05圓錐的體積1.推導(dǎo)出圓錐體積的計算公式。2.會運用圓錐的體積計算公式計算圓錐的體積。3.培養(yǎng)觀察、比較、分析、綜合的能力以及初步的空間觀念。知識點：圓錐體積的計算方法根據(jù)書本上的實驗可以得到結(jié)論：等底等高的圓柱和圓錐，圓柱的體積是圓錐的3倍，或者說圓錐的體積是圓柱的三分之一。用字母表示為V圓柱=3V圓錐或者V圓錐=1/3V圓柱。相關(guān)公式：只需要在圓柱的相關(guān)公式前面乘以三分之一。①已知半徑和高，V圓錐=1/3πr2h②已知直徑和高，V圓錐=1/3π(d÷2)2h③已知周長和高，V圓錐=1/3π(C÷2π)2h知識點2：圓柱和圓錐的橫截面理解掌握：★圓柱橫截面的分割方法：①按底面的直徑分割，這樣分割的橫截面是長方形或者是正方形，如果橫截面是正方形說明圓柱的底面直徑和高相等。②按平行于底面分割，這樣分割的橫截面是圓。圓錐橫截面的分割方法：①按圓錐的高分割，這樣分割的橫截面是等腰三角形。②按平行于底面分割，這樣分割的橫截面是圓。知識點01：圓錐的體積【典例講解】（2023?成華區(qū)）如圖，長方形硬紙片長15cm，寬5cm。以長邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，請你想象旋轉(zhuǎn)后所形成的圖形，再從下面兩個問題中任選一個問題解答：①旋轉(zhuǎn)后形成的圖形，它的底面周長是多少？②把旋轉(zhuǎn)后形成的圖形，削成一個最大的圓錐，削去部分的體積是多少？【思路點撥】①旋轉(zhuǎn)后形成的圖形是圓柱，圓柱底面半徑是5cm，高是15cm，底面周長是2×3.14×5＝31.4（5cm），據(jù)此解答。【規(guī)范解答】解：我選擇①題解答。（答案不唯一）2×3.14×5＝3.14×10＝31.4（cm）答：它的底面周長是31.4cm。【考點評析】本題考查的是圓柱和圓錐的底面周長和體積，熟記公式是解答關(guān)鍵?！咀兪接?xùn)練11】（2023秋?哈爾濱期末）下列說法：①把化成百分數(shù)是1.25%。②比的前項和后項同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），比值不變。③等底等高的圓錐和圓柱，圓錐的體積等于圓柱體積的。④一件商品進價600元，商場先按進價提價10%，然后再降價10%銷售，商場不賠不賺。其中結(jié)論正確的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④【變式訓(xùn)練12】（2023?錦州）一個圓錐體和一個圓柱體的底面半徑之比是3：2，高之比是2：3，則它們體積之比是（）A．1：2 B．4：9 C．2：1 D．3：2【變式訓(xùn)練13】（2023?湘陰縣）麗麗在家中找到一個底面直徑為20厘米的圓柱形玻璃杯，在杯中裝了一部分水，然后在水中放入一個底面直徑為8厘米、高為12厘米的圓錐形鉛錘，之后又將鉛錘從水中取出。她運用學(xué)習(xí)過的知識算出了取出鉛錘后水下降的高度，你知道水下降了多少厘米嗎？【變式訓(xùn)練14】（2023?昆明）計算下圖的體積。知識點02：組合圖形的體積【典例講解】（2023春?寧鄉(xiāng)市月考）如圖所示，在密閉的玻璃容器（圓柱部分的高大于10厘米）中裝有一些水，水面到底部的高度是10厘米，如果把這個容器倒過來，那么水面到底部的高度是（）厘米。A．4 B．6 C．8 D．10【思路點撥】因為等底等高的圓柱的體積是圓錐體積的3倍，所以當(dāng)圓柱與圓錐的體積相等，底面積也相等時，圓柱的高是圓錐高的，據(jù)此可以求出圓錐容器中的水倒入圓柱形容器中的水深，再加上原來圓柱形容器的水深即可?！疽?guī)范解答】解：10﹣6＝4（厘米）4+6×＝4+2＝6（厘米）答：如果把這個容器倒過來，那么水面到底部的高度是6厘米。故選：B。【考點評析】此題考查的目的是理解掌握等底等高的圓柱與圓錐體積之間的關(guān)系及應(yīng)用。【變式訓(xùn)練21】（2023春?雁江區(qū)期中）如圖①是一個直立于水平面的幾何體（下底面是圓，單位：cm），將這樣三個相同幾何體拼成圖②所示的新幾何體，則該幾何體體積是cm3？【變式訓(xùn)練22】（2023?棗強縣）求如圖形的體積?！咀兪接?xùn)練23】（2023?市南區(qū)）陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，圖1是一種木制玩具陀螺，可以看作是一個近似的圓錐和圓柱組合起來的立體圖形。玩具陀螺中底面直徑和總高度的比約是1：1.2，這樣的陀螺轉(zhuǎn)起來更穩(wěn)定。圖2是這個玩具陀螺的直觀圖，其中B、C分別是上、下底面的圓心，并且AC：AB＝3：1。制作這個陀螺需要多少立方厘米的木料？【變式訓(xùn)練24】（2023?黃州區(qū)）把一個棱長是6分米的正方體木料削成一個最大的圓錐，這個圓錐的體積是多少立方分米？一．選擇題（共4小題）1．（2023?北票市）一個圓錐的體積是24dm3，它的底面積是12dm2，它的高是（）dm。A． B．96 C．6 D．182．（2023?莆田）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載的圓錐體積計算方法是：“下周自乘，以高乘之，三十六而一?！币簿褪怯玫酌嬷荛L的平方乘高，再除以36。這種計算方法，圓周率近似值取3。一個圓錐形的沙堆，底面周長30米，高2米。用這種方法算出的沙堆體積是（）立方米。A．50 B．25 C． D．3．（2023?播州區(qū)）一個圓錐和一個圓柱的體積和底面積都相等，圓錐的高是24厘米，那么圓柱的高是（）厘米。A．24 B．72 C．8 D．124．（2023?德宏州）圓錐的底面半徑擴大到原來的2倍，它的體積（）A．不變 B．?dāng)U大到原來的2倍 C．縮小到原來的一半 D．?dāng)U大到原來的4倍二．填空題（共5小題）5．（2023?昆都侖區(qū)）淘氣用一個邊長分別是3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形像如圖這樣快速旋轉(zhuǎn)，這個三角形掃過的空間是立方厘米。6．（2023?錦州）一個圓柱形橡皮泥，底面積是12cm2，高是5cm，如果把它捏成同樣底面大小的圓錐，這個圓錐的高是厘米。7．（2023?武進區(qū)）如圖，將直角三角形以直角邊AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得立體圖形的體積是立方厘米，如果以直角邊BC為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所得立體圖形的體積是立方厘米。8．（2023?永川區(qū)）有一張長方形硬紙板（如圖），如果將它沿圖中虛線剪開，把其中一個直角三角形繞它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周，能夠形成一個立體圖形，這個立體圖形的體積最小是立方厘米。9．（2023?朝陽區(qū)模擬）如圖所示是一個扇形，這個扇形的弧長是18.84厘米；把這個扇形圍成圓錐后，它的體積是31.4立方厘米，圍成的這個圓錐的高是厘米。（π取3.14）三．判斷題（共4小題）10．（2023?遵化市）一個圓錐體高不變，底面半徑擴大原來的2倍，這個圓錐的體積也擴大到原來的2倍．（判斷對錯）11．（2023?開州區(qū)）圓錐的高是圓柱的3倍，它們的體積一定相等．．（判斷對錯）12．（2023春?瑞金市期中）圓錐的底面半徑擴大到原來的3倍，高不變，體積就擴大到原來的9倍．．（判斷對錯）13．（2023?石河子）一個圓錐底面周長是31.4厘米，高是4厘米，它的體積是314立方厘米。（判斷對錯）四．計算題（共3小題）14．（2023?蕭山區(qū)模擬）計算體積。（單位：米）15．（2023?潼南區(qū)）求出下面組合體的體積。（單位：cm）。16．（2023春?沙河市期中）求如圖所示圖形的體積。（單位：cm）五．應(yīng)用題（共10小題）17．（2023?洛龍區(qū)）積木是一種常見的兒童玩具，一套積木中通常有不同的顏色和形狀。其中圓錐形積木是在圓柱形積木的基礎(chǔ)上加工制作而成的。將一個底面半徑是3cm、高是6cm的圓柱形積木加工制作成一個等底等高的圓錐形積木，加工制作過程中削去木料的體積是多少？（π取3.14）（2023?孟津縣）一桶16升的溶液，要分裝在開口直徑8厘米、高15厘米的圓錐形杯子里。至少需要幾個這樣的杯子？19．（2023?隨州）一個裝滿稻谷的糧囤，如圖，上面是圓錐，下面是圓柱。已知圓柱的底面周長是6.28米，圓柱的高是3米，圓錐的高是0.6米，如果每立方米稻谷重100千克，那么這囤稻谷有多少千克？（π取3.14）20．（2023?洞頭區(qū)）一個圓錐形金屬鑄件的底面半徑2厘米，高3厘米，把它完全浸沒在底面半徑是4厘米的圓柱形玻璃槽內(nèi)（玻璃槽足夠高），水面上升多少厘米？（2023?萊陽市）從古代一直到近代，匠人們打鐵時，用火將鐵燒紅變軟，然后用錘子擊打成想要的形狀，最后放到?jīng)鏊镅杆倮鋮s，以增加鐵的硬度，這就是“淬火”。一鐵匠將底面半徑為10厘米的圓柱形鐵塊燒紅，擊打成與它底面大小相同的圓錐形狀，然后完全沒入一底面積為31.4平方分米的長方體容器里淬火，水面上升了1.5厘米。求這個圓錐的高是多少厘米。（損耗忽略不計）（2023?新榮區(qū)）一個底面周長是36厘米的正方體容器中，盛有6厘米深的水。把一個高是6厘米的圓錐形鐵塊完全沒入容器里的水中，現(xiàn)在容器里的水深7厘米。這個圓錐形鐵塊的底面積是多少平方厘米？23．（2023?溫江區(qū)）2023年5月30日9時31分，搭載神舟十六號載人飛船的長征二號F遙十六運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，整流罩是運載火箭的重要組成部分，外形通常由近似的圓柱和圓錐組成。右圖是實驗小學(xué)科學(xué)小組制作的火箭整流罩的模型，如果整流罩本身的厚度忽略不計，該整流罩的容積是多少立方分米？24．（2023春?襄汾縣校級月考）求如圖物體的體積。（單位：厘米）25．（2023?江寧區(qū)）長征二號F遙十三運載火箭整流罩的底面直徑為3.2米?？萍拣^存放著按一定比例制作的長征二號F遙十三運載火箭的整流罩模型（如圖）。（1）科技館制作整流罩模型的比例是多少？（2）該整流罩模型的