第06講圓錐的體積-六年級下冊數(shù)學(xué)寒假自學(xué)課（蘇教版）

第06講

圓錐的體積【知識梳理】1、圓錐的體積計(jì)算公式。圓錐的體積=底面積×高×13，圓錐的體積計(jì)算公式用字母表示是V=12、圓柱和圓錐的關(guān)系。（1）等底等高的圓柱與圓錐的體積比是3∶1，即圓柱的體積比圓錐的體積多2倍，也可以說圓錐的體積比圓柱的體積少23（2）等體積等高的圓柱與圓錐的底面積的比是1∶3。（3）等體積等底面積的圓柱與圓錐的高的比是1∶3。掌握好圓柱體積和圓錐體積的關(guān)系，能夠相互運(yùn)用求其中一個(gè)?！镜淅v】例1一個(gè)圓柱底面直徑為2厘米，高是5厘米，把它浸沒在一個(gè)盛有水的圓柱形玻璃容器中，量得水面上升了3厘米。再把一個(gè)底面直徑為6厘米的圓錐浸沒在水中，量得水面又上升了9厘米。求圓錐的體積。（容器中兩次水都沒有溢出）【答案】3.14×（2÷2）2×5÷3×9＝3.14×1×5÷3×9＝3.14×5×3＝3.14×15＝47.1（立方厘米）答：圓錐的體積是47.1立方厘米。例2糧倉里有一圓錐形小麥堆。淘氣想估計(jì)這堆小麥有多重，他量出小麥堆的底面周長大約為18米，高大約為2米。網(wǎng)上查找資料得知，每立方米小麥的質(zhì)量大約為800千克，請幫淘氣估一估，這堆小麥的質(zhì)量大約多重？【分析】先利用圓的周長公式r＝C÷2π求出小麥堆的底面半徑，進(jìn)而利用圓錐的體積V＝Sh即可求出這堆小麥的體積，用這堆小麥的體積乘每立方米小麥的質(zhì)量，就是這堆小麥的總質(zhì)量?！驹斀狻康酌姘霃剑?8÷（2×3.14）＝18÷6.28≈3（米）這堆小麥的總重量：×3.14×32×2×800＝3.14×6×800＝18.84×800＝15072（千克）答：這堆小麥質(zhì)量大約是15072千克?！军c(diǎn)睛】此題主要考查圓錐的體積計(jì)算在實(shí)際生活中的應(yīng)用，關(guān)鍵是先求出小麥堆的底面半徑，進(jìn)而逐步得解?！具^關(guān)檢測】一、選擇題1．一個(gè)底面半徑為12厘米的圓柱形杯中裝有水，里面有一個(gè)底面直徑是12厘米，高是18厘米的圓錐形鐵塊（完全浸沒在水中），當(dāng)鐵塊從杯中取出后，杯中的水面會下降（

）厘米。A．2 B．1.5 C．1 D．0.52．將下圖中的直角三角形ABC以直角邊AB所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，求所得圖形的體積，列式正確的是（

）。A． B．C． D．3．下圖中3個(gè)圖形的體積比是（

）。A．3∶9∶1 B．1∶9∶1 C．1∶3∶1 D．3∶1∶14．一個(gè)圓錐的體積是113.04cm3，底面積是28.26cm2，它的高是（

）。A．4cm B．8cm C．12cm5．把一個(gè)圓柱削成一個(gè)最大的圓錐，削去的體積是圓錐體積的（

）倍。A．3 B．2 C．9二、填空題6．一個(gè)圓柱體鐵塊的側(cè)面積是75.36cm2，底面半徑是2cm，把它鑄成一個(gè)體積和底面積都不變的圓錐，這個(gè)圓錐的高是()cm。7．將一個(gè)兩條直角邊分別是3厘米和4厘米的直角三角形繞其中一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)()，所得立體圖形的高是()厘米，底面半徑是()厘米，體積是()立方厘米。8．如圖，先將甲容器注滿水，再將水倒入乙容器，這時(shí)乙容器中的水高()厘米。9．一輛貨車車廂是一個(gè)長方體，它的長是4米，寬是1.5米，高是4分米，裝滿一車沙，卸后堆成一個(gè)高是5分米的圓錐形，它的底面積是()平方米。10．把一個(gè)高為的圓柱截成兩個(gè)相等的小圓柱后，表面積增加，把這樣的一個(gè)小圓柱削成最大的圓錐，圓錐的體積是()。三、計(jì)算題11．計(jì)算下面組合圖形的體積。四、解答題12．繞一個(gè)直角三角形（如圖）的長直角邊旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)立體圖形。（1）這個(gè)立體圖形是什么？（2）這個(gè)立體圖形的體積是多少？（單位：厘米，π≈3.14）13．一輛長6米，寬1.5米，高3米的長方體貨車車廂，裝滿一車廂沙子卸下后堆成一個(gè)高為2米的圓錐體沙堆，這個(gè)沙堆的底面積是多少平方米？參考答案1．B【分析】根據(jù)題意，水面下降的部分的體積等于這個(gè)圓錐形鐵塊的體積，根據(jù)圓錐的體積公式：體積＝底面積×高×，代入數(shù)據(jù)，求出鐵塊的體積；再根據(jù)圓柱的體積公式：體積＝底面積×高，高＝體積÷底面積；代入數(shù)據(jù)，即可求出杯中的水面會下降多少厘米?！驹斀狻?.14×（12÷2）2×18×÷（3.14×122）＝3.14×36×18×÷（3.14×144）＝113.04×18×÷452.16＝2034.72×÷452.16＝678.24÷452.16＝1.5（厘米）一個(gè)底面半徑為12厘米的圓柱形杯中裝有水，里面有一個(gè)底面直徑是12厘米，高是18厘米的圓錐形鐵塊（完全浸沒在水中），當(dāng)鐵塊從杯中取出后，杯中的水面會下降1.5厘米。故答案為：B【點(diǎn)睛】熟練掌握和利用圓柱的體積公式和圓錐的體積公式是解答本題的關(guān)鍵。2．C【分析】根據(jù)題意可知，以直角三角形AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得圖形是底面半徑是5，高是6的圓錐體，根據(jù)圓錐的體積公式：體積＝底面積×高×，代入數(shù)據(jù)，即可解答?！驹斀狻扛鶕?jù)分析可知，旋轉(zhuǎn)后的體積是：3.14×52×6×。故答案為：C【點(diǎn)睛】明確旋轉(zhuǎn)后的圖形是圓錐體，圓錐的底面半徑和高的確定是解答本題的關(guān)鍵。3．C【分析】等積等底的圓錐的高是圓柱高的3倍，由此將圓錐轉(zhuǎn)化為與它等底等高的圓柱，再比較即可。【詳解】觀察發(fā)現(xiàn)：圓柱、圓錐的底面積相等，圓錐的體積相當(dāng)于高是12÷3＝4，底面直徑是9的圓柱的體積；由于底面積相等，體積比等于高的比，由此可得體積比為：4∶12∶4＝1∶3∶1。故答案為：C【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐、圓柱的體積關(guān)系，也可分別計(jì)算出體積，再求出比。4．C【分析】根據(jù)圓錐的體積公式：，那么，由此代入數(shù)據(jù)計(jì)算解答即可?！驹斀狻浚ɡ迕祝┕蚀鸢笧椋篊?！军c(diǎn)睛】此題主要根據(jù)圓錐的體積計(jì)算方法解決問題，注意不要漏除以或乘3。5．B【分析】把一個(gè)圓柱削成一個(gè)最大的圓錐，這個(gè)圓錐與圓柱底面積和高都是相等的，所以圓柱的體積是圓錐體積的3倍，據(jù)此解答。【詳解】由分析可知，圓柱的體積是圓錐體積的3倍，那么削去的體積就是圓錐體積的3－1＝2倍。故答案為：B【點(diǎn)睛】此題考查了圓柱和圓錐體積之間的關(guān)系，明確圓柱和削下來的圓錐底面積和高都相等是解題關(guān)鍵。6．18【分析】由圓柱的側(cè)面積75.36cm、底面半徑2cm，可以求出圓柱的高是75.36÷（3.14×2×2）＝6（cm）。當(dāng)把這個(gè)圓柱鑄成體積和底面積都不變的圓錐時(shí)，利用、，從而推導(dǎo)出圓錐的高是圓柱高的3倍，即18cm?！驹斀狻浚?5.36÷（3.14×2×2）＝75.36÷12.56＝6（cm），＝6×3＝18（cm）?！军c(diǎn)睛】理解體積相等、底面積相等的圓柱和圓錐，圓錐的高是是圓柱高的3倍，是解答本題有關(guān)鍵。7．圓錐體

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50.24【分析】根據(jù)題意，如果以3厘米長的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)底面半徑是4厘米，高3厘米的圓錐；如果以4厘米長的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)底面半徑是3厘米，高4厘米的圓錐；根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式求出兩個(gè)圓錐的體積?！驹斀狻俊?.14×42×3＝3.14×16＝50.24（立方厘米）×3.14×32×4＝9.42×4＝37.68（立方厘米）【點(diǎn)睛】此題主要考查圓錐體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。8．4【分析】根據(jù)圓錐的體積公式：體積＝底面積×高×，代入數(shù)據(jù)，求出甲容器的體積，甲容器的水倒入乙容器，體積不變，再根據(jù)圓柱的體積公式：體積＝底面積×高，高＝體積÷底面積，代入數(shù)據(jù)，即可解答?！驹斀狻?.14×（10÷2）2×12×÷[3.14×（10÷2）2]＝3.14×25×12×÷[3.14×25]＝12×＝4（厘米）【點(diǎn)睛】利用圓柱的體積公式和圓錐的體積公式進(jìn)行解答，關(guān)鍵是熟記公式，靈活運(yùn)用。9．14.4【分析】根據(jù)長方體體積公式：長×寬×高，代入數(shù)據(jù)，求出這車沙子的體積；由于沙子體積不變，即長方體體積等于圓錐的體積；根據(jù)圓錐體的體積公式：底面積×高×，底面積＝圓柱體積÷高×3，代入數(shù)據(jù)，即可解答?！驹斀狻?分米＝0.4米；5分米＝0.5米4×1.5×0.4÷0.5×3＝6×0.4÷0.5×3＝2.4÷0.5×3＝4.8×3＝14.4（平方米）【點(diǎn)睛】熟練掌握和靈活運(yùn)用長方體體積公式和圓錐體體積公式是解答本題的關(guān)鍵，注意單位名數(shù)的統(tǒng)一。10．15【分析】把一個(gè)高是的圓柱截成兩個(gè)相等的小圓柱后，增加的表面積為圓柱底面積的2倍，根據(jù)圓柱的體積公式，算出大圓柱的體積；小圓柱的底面積不變，高為原來圓柱高的，根據(jù)圓柱的體積公式，先算出小圓柱的體積，再乘即為圓錐的體積，由此即可解答?！驹斀狻?×（30÷2）××＝6×15××＝15（）【點(diǎn)睛】此題考查了圓柱和圓錐的體積公式的靈活應(yīng)用，抓住圓柱的切割特點(diǎn)得出圓柱的底面積是解決本題的關(guān)鍵。11．21980cm3【分析】組合圖形的體積＝底面直徑是20cm，高是60cm的圓柱的體積＋底面直徑是20cm，高是30cm的圓錐的體積；根據(jù)圓柱的體積公式：底面積×高；圓錐的體積公式：底面積×高×，代入數(shù)據(jù)，即可解答?！驹斀狻?.14×（20÷2）2×60＋3.14×（20÷2）2×30×＝3.14×100×60＋3.14×100×30×＝314×60＋314×30×＝18840＋9420×＝18840＋3140＝21980（cm3）12．（1）圓錐體；（2）37.68立方厘米【分析】（1）直角三角形旋轉(zhuǎn)后得到一個(gè)底面半徑是3厘米，高是4厘米的圓錐體；（2）圓錐體底面半徑是3厘米，高是4厘米，根據(jù)圓錐體體積＝，代數(shù)解答即可。【詳解】（1）答：繞一個(gè)直角三角形（如圖）的長直角邊旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)圓錐體。（2）3.14×32×4×＝28.26×4×＝37