四川省南充市示范名校2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

四川省南充市示范名校2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則直線的傾斜角為()A． B． C． D．2．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)()A． B． C． D．3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，則△ABC的外接圓的直徑為（）A．5 B． C． D．4．小趙、小錢、小孫、小李到個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件“個(gè)人去的景點(diǎn)彼此互不相同”，事件“小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則（）A． B． C． D．5．在中，為邊上一點(diǎn)，且，向量與向量共線，若，，，則（）A．3 B． C．2 D．6．如圖,陰影部分的面積是（）A． B． C． D．7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1：經(jīng)過伸縮變換后得到線C2，則曲線C2的方程為（）A．4x2+y2＝1 B．x2+4y2＝1 C．1 D．x218．的展開式中只有第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是（）A． B． C． D．9．已知復(fù)平面內(nèi)的圓：，若為純虛數(shù)，則與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（）A．必在圓外 B．必在上 C．必在圓內(nèi) D．不能確定10．設(shè)a，b均為正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為,一條漸近線的斜率為,則該雙曲線的方程為（）A． B． C． D．12．甲、乙等五個(gè)人排成一排，要求甲和乙不能相鄰，則不同的排法種數(shù)為（）A．48 B．60 C．72 D．120二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，則恰有兩個(gè)空盒的不同放法共有__________種.14．已知地球的半徑約為6371千米，上海的位置約為東經(jīng)、北緯，開羅的位置約為東經(jīng)、北緯，兩個(gè)城市之間的距離為______．（結(jié)果精確到1千米）15．一臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)出一件甲等品可獲利50元，生產(chǎn)出一件乙等品可獲利30元，生產(chǎn)出一件次品，要賠20元，已知這臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)出甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6，0.3，和0.1，則這臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預(yù)期可獲利________元．16．設(shè)隨機(jī)變量的分布列為為常數(shù)，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知冪函數(shù)f（x）=（m∈N*），經(jīng)過點(diǎn)（2，），試確定m的值，并求滿足條件f（2﹣a）＞f（a﹣1）的實(shí)數(shù)a的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知，且恒成立，求的最大值；19．（12分）已知函數(shù)（為常數(shù)）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)，（）恰為的零點(diǎn)，求的最小值.20．（12分）（12分）某同學(xué)參加3門課程的考試。假設(shè)該同學(xué)第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為45，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為p，q(p＞qξ

0

1

2

3

p

6125a

b

24125(Ⅰ)求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率；(Ⅱ)求p，q的值；(Ⅲ)求數(shù)學(xué)期望Eξ。21．（12分）如圖，在底面為正方形的四棱錐中，平面，點(diǎn)，分別在棱，上，且滿足，.（1）證明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.22．（10分）設(shè)是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上三個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，直線過點(diǎn)，，直線與交于點(diǎn).記點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）證明：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

將直線的參數(shù)方程化為普通方程，求出斜率，進(jìn)而得到傾斜角。【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）消去參數(shù)可得，即，所以直線的斜率所以直線的傾斜角，故選D.本題考查參數(shù)方程和普通方程的互化以及直線的傾斜角，屬于簡單題。2、A【解析】由，得，故選A.3、C【解析】分析：由三角形面積公式可得，再由余弦定理可得，最后結(jié)合正弦定理即可得結(jié)果.詳解：根據(jù)三角形面積公式得，，得，則，即，，故正確答案為C.點(diǎn)睛：此題主要考三角形面積公式的應(yīng)用，以及余弦定理、正弦定理在計(jì)算三角形外接圓半徑的應(yīng)用等有關(guān)方面的知識(shí)與技能，屬于中低檔題型，也是?？伎键c(diǎn).此類題的題型一般有：1.已知兩邊和任一邊，求其他兩邊和一角，此時(shí)三角形形狀唯一；2.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，此時(shí)三角形形狀不一定唯一.4、D【解析】分析：這是求小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)的前提下，4

個(gè)人去的景點(diǎn)不相同的概率，求出相應(yīng)基本事件的個(gè)數(shù)，即可得出結(jié)論．詳解：小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)，則有3個(gè)景點(diǎn)可選，其余3人只能在小趙剩下的3個(gè)景點(diǎn)中選擇，可能性為種

所以小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)的可能性為種

因?yàn)?

個(gè)人去的景點(diǎn)不相同的可能性為種，

所以．

故選：D．點(diǎn)睛：本題考查條件概率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定基本事件的個(gè)數(shù)是關(guān)鍵．5、B【解析】取BC的中點(diǎn)E，則與向量共線，所以A、D、E三點(diǎn)共線，即中邊上的中線與高線重合，則.因?yàn)?，所以G為的重心，則所以本題選擇B選項(xiàng).6、C【解析】由定積分的定義可得，陰影部分的面積為.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：利用定積分求曲線圍成圖形的面積的步驟：(1)畫出圖形；(2)確定被積函數(shù)；(3)確定積分的上、下限，并求出交點(diǎn)坐標(biāo)；(4)運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分，求出平面圖形的面積．求解時(shí)，注意要把定積分與利用定積分計(jì)算的曲線圍成圖形的面積區(qū)別開：定積分是一個(gè)數(shù)值(極限值)，可為正，可為負(fù)，也可為零，而平面圖形的面積在一般意義上總為正．7、C【解析】

根據(jù)條件所給的伸縮變換，反解出和的表達(dá)式，然后代入到中，從而得到曲線.【詳解】因?yàn)閳A，經(jīng)過伸縮變換所以可得，代入圓得到整理得，即故選C項(xiàng).本題考查通過坐標(biāo)伸縮變換求曲線方程，屬于簡單題.8、C【解析】

根據(jù)只有第5項(xiàng)系數(shù)最大計(jì)算出，再計(jì)算展開式中含項(xiàng)的系數(shù)【詳解】只有第5項(xiàng)系數(shù)最大,展開式中含項(xiàng)的系數(shù),系數(shù)為故答案選C本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.9、A【解析】

設(shè)復(fù)數(shù),再利用為純虛數(shù)求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程,再與圓：比較即可.【詳解】由題,復(fù)平面內(nèi)圓：對(duì)應(yīng)的圓是以為圓心,1為半徑的圓.若為純虛數(shù),則設(shè),則因?yàn)闉榧兲摂?shù),可設(shè),.故故,因?yàn)?故.當(dāng)有.當(dāng)時(shí),兩式相除有,化簡得.故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是.則所有的點(diǎn)都在為圓心,1為半徑的圓外.故選：A本題主要考查復(fù)數(shù)的軌跡問題,根據(jù)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的關(guān)系求解軌跡方程即可.屬于中等題型.10、A【解析】

確定兩個(gè)命題和的真假可得．【詳解】∵a，b均為正實(shí)數(shù)，若，則，命題為真；若，滿足，但，故為假命題．因此“”是“”的充分不必要條件．故選：A.本題考查充分必要條件的判斷．解題時(shí)必須根據(jù)定義確定命題和的真假．也可與集合包含關(guān)系聯(lián)系．11、C【解析】

根據(jù)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)可以求出,再根據(jù)一條漸近線的斜率為,可求出的關(guān)系,最后聯(lián)立,解方程求出,求出方程即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,一條漸近線的斜率為,所以有,而,所以,因此有.故選：C本題考查了求雙曲線方程,考查了雙曲線的漸近線方程,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.12、C【解析】

因?yàn)榧缀鸵也荒芟噜?，利用插空法列出不同的排法的算式，得到答?【詳解】甲、乙等五個(gè)人排成一排，要求甲和乙不能相鄰，故先安排除甲、乙外的3人，然后安排甲、乙在這3人之間的4個(gè)空里，所以不同的排法種數(shù)為，故選C項(xiàng).本題考查排列問題，利用插空法解決不相鄰問題，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、84【解析】分析：先選兩個(gè)空盒子，再把4個(gè)小球分為，兩組，分到其余兩個(gè)盒子里，即可得到答案.詳解：先選兩個(gè)空盒子，再把4個(gè)小球分為，兩組，故有.故答案為84.點(diǎn)睛：本題考查的是排列、組合的實(shí)際應(yīng)用，考查了計(jì)數(shù)原理，注意這種有條件的排列要分兩步走，先選元素再排列.14、千米【解析】

設(shè)上海為點(diǎn),開羅為點(diǎn).求兩個(gè)城市之間的距離,即求兩城市在地球上的球面距離.由題意可知上海和開羅都在北緯的位置,即在同一緯度的圓上,計(jì)算出此圓的半徑,即可求.在三角形由余弦定理可求得,結(jié)合扇形弧長公式,即可求得兩個(gè)城市之間的距離.【詳解】設(shè)上海為點(diǎn),開羅為點(diǎn),地球半徑為根據(jù)緯度定義,設(shè)北緯所在圓的半徑為,可得:上海的位置約為東經(jīng),開羅的位置約為東經(jīng),故在北緯所在圓上的圓心角為:.在中得中,根據(jù)余弦定理可得:根據(jù)扇形弧長公式可得:劣弧故答案為:千米.本題由經(jīng)度,緯度求球面上兩點(diǎn)距離,根據(jù)題意畫出空間圖形,理解經(jīng)度和緯度的定義是解本題關(guān)鍵,考查空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.15、37(元)【解析】

由已知條件直接求出數(shù)學(xué)期望，即可求得結(jié)果【詳解】一臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)出一件甲等品可獲利50元，生產(chǎn)出一件乙等品可獲利30元，生產(chǎn)出一件次品，要賠20元，已知這臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)出甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6，0.3，和0.1，則這臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預(yù)期可獲利：50×0.6＋30×0.3－20×0.1＝37(元)．故答案為37(元)本題主要考查了期望的實(shí)際運(yùn)用，由已知條件，結(jié)合公式即可計(jì)算出結(jié)果，本題較為簡單。16、【解析】

由已知得=1，解得c=，由此能求出P（0.5＜ξ＜2.5）=P（ξ=1）+P（ξ=2）==．【詳解】隨機(jī)變量ξ的分布列為P（ξ=k）=，k=1，2，3，∴=1，即，解得c=，∴P（0.5＜ξ＜2.5）=P（ξ=1）+P（ξ=2）===．故答案為．本題考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分布列的合理運(yùn)用．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、.【解析】

先根據(jù)冪函數(shù)的定義求出m的值，再根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性得到不等式組，解得即可【詳解】∵冪函數(shù)f（x）經(jīng)過點(diǎn)（2，），∴=，即=∴m2+m=2．解得m=2或m=﹣2．又∵m∈N*，∴m=2．∴f（x）=，則函數(shù)的定義域?yàn)閇0，+∞），并且在定義域上為增函數(shù)．由f（2﹣a）＞f（a﹣2）得解得2≤a＜．∴a的取值范圍為[2，）．本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì)，以及不等式組的解法，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.【解析】

（1）函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.（2）設(shè)，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，得到，再設(shè)函數(shù)根據(jù)函數(shù)的最值計(jì)算的最大值.【詳解】（1）由已知得，令，則由得，由，得所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）若恒成立，即恒成立當(dāng)時(shí)，恒成立，則；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，由得，故，.當(dāng)時(shí)，取最小值.依題意有，即，，令，則，，所以當(dāng)，取最大值，故當(dāng)時(shí)，取最大值.綜上，若，則的最大值為.本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)最值，恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，綜合性大，技巧強(qiáng)，計(jì)算量大，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.19、（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律：當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)不變號(hào)，故的單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)符號(hào)由正變負(fù)，即單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間減區(qū)間為，（2）先求導(dǎo)數(shù)得為方程的兩根，再求導(dǎo)數(shù)得，因此，而由為的零點(diǎn)，得,兩式相減得,即得，因此，從而，其中根據(jù)韋達(dá)定理確定自變量范圍：因?yàn)橛?，所以試題解析：（1），當(dāng)時(shí)，由解得,即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，由解得,即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí)，,即在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí)，故，即在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）,則,所以的兩根即為方程的兩根.因?yàn)?所以,又因?yàn)闉榈牧泓c(diǎn)，所以,兩式相減得,得,而,所以令,由得因?yàn)?兩邊同時(shí)除以，得，因?yàn)?，故，解得或，所以，設(shè)，所以，則在上是減函數(shù)，所以，即的最小值為.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值【思路點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(1)函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)y＝f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f′(x)＞0，則y＝f(x)在該區(qū)間為增函數(shù)；如果f′(x)＜0，則y＝f(x)在該區(qū)間為減函數(shù).(2)函數(shù)單調(diào)性問題包括：①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，常常通過求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為解方程或不等式，常用到分類討論思想；②利用單調(diào)性證明不等式或比較大小，常用構(gòu)造函數(shù)法.20、（I）1-P(ξ=0)=1-6125=119125，（II）【解析】(1)可根據(jù)其對(duì)立事件來求：其對(duì)立事件為：沒有一門課程取得優(yōu)秀成績.(2)P(ξ=0)=P(P(ξ=3)=P(建立關(guān)于p、q的方程，解方程組即可求解.(3)先算出a,b的值，然后利用期望公式求解即可.事件Ai表示“該生第i門課程取得優(yōu)秀成績”，iP(A1)=4（I）由于事件“該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績”與事件“ξ=0”是對(duì)立的，所以該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率是1-P(ξ=0)=1-6（II）由題意知P(ξ=0)=P(P(ξ=3)=P(整理得pq=6125，p+q=1由p>q，可得p=3（III）由題意知a=P(ξ=1)=P(=45(1-p)(1-q)+b=P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=58Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2P(ξ=2)+3P(ξ=3)=921、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）在棱上取一點(diǎn)，使得，連接，，可證明是平行四邊形，可得，由線面平行的判定定理可得結(jié)果；（2）