陜西省西安市蓮湖區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題含解析

陜西省西安市蓮湖區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖所示，圓為正三角形的內(nèi)切圓，為切點(diǎn)，將一顆豆子隨機(jī)地扔到該正三角形內(nèi)，在已知豆子落在圓內(nèi)的條件下，豆子落在（陰影部分）內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．2．已知，則（）A． B． C． D．或3．若是兩個(gè)非零向量，且，則與的夾角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°4．設(shè)，，則A． B．， C． D．，5．用反證法證明命題“若，則全為”，其反設(shè)正確的是（）A．至少有一個(gè)不為 B．至少有一個(gè)為C．全不為 D．中只有一個(gè)為6．根據(jù)下表樣本數(shù)據(jù)689101265432用最小二乘法求得線性回歸方程為則當(dāng)時(shí)，的估計(jì)值為A．6.5 B．7 C．7.5 D．87．已知復(fù)數(shù)，，.在復(fù)平面上，設(shè)復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，若，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，則函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．8．函數(shù)（）A． B．C． D．9．已知函數(shù)，則()A． B．e C． D．110．在三棱柱面，，，，則三棱柱的外接球的表面積為（）A． B． C． D．11．在平面直角坐標(biāo)系中，，，，，若，，則的最小值是（）A.B.C.D.12．在上可導(dǎo)的函數(shù)的圖像如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是_____.14．已知函數(shù)f(x)＝是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．15．若，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____。16．從集合的子集中選出個(gè)不同的子集，需同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①、都至少屬于其中一個(gè)集合；②對(duì)選出的兩個(gè)子集、，必有或．那么，共有______種不同的選法．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)為0，已知曲線與曲線交于不同的兩點(diǎn).求：(1)的值；(2)過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線的極坐標(biāo)方程．18．（12分）一次數(shù)學(xué)考試有4道填空題，共20分，每道題完全答對(duì)得5分，否則得0分．在試卷命題時(shí)，設(shè)計(jì)第一道題使考生都能完全答對(duì)，后三道題能得出正確答案的概率分別為p、、，且每題答對(duì)與否相互獨(dú)立．(1)當(dāng)時(shí)，求考生填空題得滿分的概率；(2)若考生填空題得10分與得15分的概率相等，求的p值．19．（12分）已知函數(shù)，，（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值．（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，有，求證：．20．（12分）已知拋物線，過(guò)定點(diǎn)作不垂直于x軸的直線，交拋物線于A，B兩點(diǎn).（1）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值；（2）設(shè)線段的垂直分線與x軸交于點(diǎn)，求n的取值范圍；（3）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).21．（12分）隨著生活水平的提高，越來(lái)越多的人參與了潛水這項(xiàng)活動(dòng).某潛水中心調(diào)查了100名男性與100女性下潛至距離水面5米時(shí)是否耳鳴，下圖為其等高條形圖：①繪出列聯(lián)表；②根據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為耳鳴與性別有關(guān)系？附：，其中.0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.82822．（10分）小王每天自己開(kāi)車(chē)上班，他在路上所用的時(shí)間（分鐘）與道路的擁堵情況有關(guān).小王在一年中隨機(jī)記錄了200次上班在路上所用的時(shí)間，其頻數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表，用頻率近似代替概率.（分鐘）15202530頻數(shù)（次）50506040（Ⅰ）求小王上班在路上所用時(shí)間的數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）若小王一周上班5天，每天的道路擁堵情況彼此獨(dú)立，設(shè)一周內(nèi)上班在路上所用時(shí)間不超過(guò)的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為，內(nèi)切圓半徑為，求得內(nèi)切圓半徑，即可得陰影部分的面積；再求得三角形的面積，結(jié)合幾何概型的求法即可得解.【詳解】設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為，內(nèi)切圓半徑為，則由三角形面積公式可得，解得，則，所以由幾何概型概率可得落在陰影部分的概率為,故選：A.本題考查了等邊三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)應(yīng)用，幾何概型概率求法，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】分析：根據(jù)角的范圍利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cos（α）的值，再根據(jù)sinα=sin[（α）+]，利用兩角差的正弦公式計(jì)算求得結(jié)果．詳解：∵，，∴∈（，π），∴cos（）=﹣，或（舍）∴sinα=sin[（）+]=sin（）cos+cos（）sin=-=，故選B．點(diǎn)睛：本題主要考查兩角和差的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，解題關(guān)鍵根據(jù)角的取值范圍對(duì)cos（）的值進(jìn)行取舍，屬于中檔題．3、A【解析】

畫(huà)出圖像：根據(jù)計(jì)算夾角為，再通過(guò)夾角公式計(jì)算與的夾角.【詳解】形成一個(gè)等邊三角形，如圖形成一個(gè)菱形.與的夾角為故答案選A本題考查了向量的加減和夾角，通過(guò)圖形可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.4、A【解析】

利用一元二次不等式的解法以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求出集合，，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可?！驹斀狻浚?；，故選．本題主要考查區(qū)間表示集合的定義，一元二次不等式的解法，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性，以及交集的運(yùn)算．5、A【解析】由反證法的定義：證明命題“若，則全為”，其反設(shè)為至少有一個(gè)不為.本題選擇A選項(xiàng).6、C【解析】

先根據(jù)回歸直線方程過(guò)樣本點(diǎn)的中點(diǎn)求解出，然后再代入求的值.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以回歸直線方程為：，代入，則，故選：C.本題考查依據(jù)回歸直線方程求估計(jì)值，難度較易.回歸直線方程一定過(guò)樣本點(diǎn)的中心，也就是，這一點(diǎn)要注意.7、B【解析】

根據(jù)向量垂直關(guān)系的坐標(biāo)運(yùn)算和三角函數(shù)的最值求解.【詳解】據(jù)條件，，，且，所以，，化簡(jiǎn)得，，當(dāng)時(shí)，取得最大值為.本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

由于函數(shù)為偶函數(shù)又過(guò)（0，0）,排除Ｂ，Ｃ，Ｄ，所以直接選A.【考點(diǎn)定位】對(duì)圖像的考查其實(shí)是對(duì)性質(zhì)的考查，注意函數(shù)的特征即可，屬于簡(jiǎn)單題.9、C【解析】

先求導(dǎo)，再計(jì)算出，再求.【詳解】由題得，所以.故選：C.本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和基本的計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題.10、C【解析】

利用余弦定理可求得，再根據(jù)正弦定理可求得外接圓半徑；由三棱柱特點(diǎn)可知外接球半徑，求得后代入球的表面積公式即可得到結(jié)果.【詳解】且由正弦定理可得外接圓半徑：三棱柱的外接球半徑：外接球表面積：本題正確選項(xiàng)：本題考查多面體外接球表面積的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠明確外接球球心的位置，從而利用底面三角形外接圓半徑和三棱柱的高，通過(guò)勾股定理求得外接球半徑.11、A【解析】試題分析：設(shè)P（x,y）,則，，所以，所以P點(diǎn)軌跡為，根據(jù)條件，可以整理得到：，所以M,Q,N三點(diǎn)共線，即Q點(diǎn)在直線MN上，由M（8，0），N（0，8）可知Q點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，所以的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上點(diǎn)到直線的最小距離，即圓心到直線的距離減去圓的半徑，?？键c(diǎn)：1.平面向量的應(yīng)用；2.直線與圓的位置關(guān)系。12、B【解析】

分別討論三種情況，然后求并集得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)：函數(shù)單調(diào)遞增，根據(jù)圖形知：或當(dāng)時(shí)：不成立當(dāng)時(shí)：函數(shù)單調(diào)遞減根據(jù)圖形知：綜上所述：故答案選B本題考查了根據(jù)圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生的讀圖能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】

先求事件的總數(shù)，再求選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式得出答案.【詳解】從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿服務(wù)，共有種情況.若選出的2名學(xué)生恰有1名女生，有種情況，若選出的2名學(xué)生都是女生，有種情況，所以所求的概率為.計(jì)數(shù)原理是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，考查的形式有兩種，一是獨(dú)立考查，二是與古典概型結(jié)合考查，由于古典概型概率的計(jì)算比較明確，所以，計(jì)算正確基本事件總數(shù)是解題的重要一環(huán).在處理問(wèn)題的過(guò)程中，應(yīng)注意審清題意，明確“分類”“分步”，根據(jù)順序有無(wú)，明確“排列”“組合”.14、【解析】由題意可知，故答案為.15、-1【解析】

根據(jù)定積分求出a的值，再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出常數(shù)項(xiàng)的值．【詳解】若，

則，即a=2，

∴展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：令6-2r=0，解得r=3；

∴展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為：

故答案為：-1．本題考查了二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式與定積分的計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．16、【解析】

由題意可知，集合和可以互換，只需考查，由題意可知，分為二元集、三元集和四元集三種情況，利用真子集的個(gè)數(shù)公式可得出對(duì)應(yīng)的集合的個(gè)數(shù)，然后利用分類計(jì)數(shù)原理可得出答案.【詳解】由于或，集合和可以互換，現(xiàn)考查，且，則，由題意知，.①當(dāng)為二元集時(shí)，，，則集合的個(gè)數(shù)為；②當(dāng)為三元集時(shí)，若，，則集合的個(gè)數(shù)為；若，同理可知符合條件的集合也有個(gè)；③若為四元集時(shí)，，，則集合的個(gè)數(shù)為.綜上所述，共有種.故答案為：.本題考查了集合的化簡(jiǎn)與運(yùn)算以及集合真子集個(gè)數(shù)的求法，同時(shí)也考查了分類討論思想的應(yīng)用，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

試題分析：（1）把曲線C1和曲線C2的方程化為直角坐標(biāo)方程，它們分別表示一個(gè)圓和一條直線．利用點(diǎn)到直線的距離公式求得圓心到直線的距離為d的值，再利用弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)|AB|的值．

（2）用待定系數(shù)法求得直線l的方程，再根據(jù)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式求得l的極坐標(biāo)方程試題解析：（1）∵，∴，又∵，可得,∴，圓心(0,0)到直線的距離為∴．（2）∵曲線的斜率為1，∴過(guò)點(diǎn)且與曲線平行的直線的直角坐標(biāo)方程為，∴直線的極坐標(biāo)為，即．18、（1）；（2）【解析】

（1）設(shè)考生填空題得滿分為事件A，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出考生填空題得滿分的概率．（2）設(shè)考生填空題得15分為事件B，得10分為事件C，由考生填空題得10分與得15分的概率相等，利用互斥事件概率加法公式能求出．【詳解】設(shè)考生填空題得滿分、15分、10分為事件A、B、C（1）（2）因?yàn)?，所以得本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．19、（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）先由得，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方法研究其單調(diào)性，即可求出最值；（2）先由，得到，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到其單調(diào)區(qū)間，再設(shè)，令，用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可證明結(jié)論成立.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，∴，由得；由得；∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴.（2）當(dāng)時(shí)，，對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，有，∵，由得；由得；∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，令，∴，當(dāng)時(shí)，，，，∴，∴在單調(diào)遞減，∴，即，因?yàn)椋瑒t，由以上可知，∵在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，又，，在上單調(diào)遞減，所以，因此.本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，最值等，屬于常考題型.20、（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）定點(diǎn)為?！窘馕觥?/p>

（1）設(shè)直線的方程為，直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元得的二次方程，判別式，設(shè)，由韋達(dá)定理得，計(jì)算并代入即得；（2）寫(xiě)出線段的垂直平分線方程，令求出，利用可得的范圍．（3）求出點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線方程，把分別用代入并化簡(jiǎn)，然后再代入(1)中的，整理后可知直線過(guò)定點(diǎn)．【詳解】（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，由得，設(shè)，則，∴為定值；（2）由（1）知的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的中垂線方程為：，令得，又，即，∴。（3）點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則直線方程為：，整理得，而，∴直線方程為，∴直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)為。本題考查直線與拋物線相交問(wèn)題，方法是“設(shè)而不求”的思想方法，即設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，用直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元后用韋達(dá)定理得，題中其他關(guān)系都向靠攏，最后代入可得結(jié)論．21、①答案見(jiàn)解析；②能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為耳鳴與性別有關(guān)系.【解析】分析：①.由題意結(jié)合等高條形圖求得相應(yīng)的人數(shù)，然后繪制列聯(lián)表即可；②.結(jié)合①中的列聯(lián)表計(jì)算的觀測(cè)值：，則能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為耳鳴與性別有關(guān)系.詳解：①由男女生各100人及等高條形圖可知耳鳴的男生有人，耳鳴的女生有人，∴無(wú)耳鳴的男生有100-30=70人，無(wú)耳鳴的女生有100-50=50人，所以列聯(lián)表如下：有耳鳴無(wú)耳鳴總計(jì)男3070100女5050100總計(jì)80120200②公式計(jì)算的觀測(cè)值：，能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為耳鳴與性別有關(guān)系.點(diǎn)睛：獨(dú)立性檢驗(yàn)得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說(shuō)結(jié)論成立的概率有多大，而不能完全肯定一個(gè)結(jié)論，因此才出現(xiàn)了臨界值表，在分析