2026版《優(yōu)化設(shè)計(jì)大一輪》高考數(shù)學(xué)（優(yōu)化設(shè)計(jì)新高考版）第1節(jié)集合

第1節(jié)集合高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破目錄索引0102領(lǐng)航備考路徑新課標(biāo)核心考點(diǎn)20202021202220232024Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.集合的關(guān)系與運(yùn)算T1T1T1T2T1T1T1T2T1

2.充分條件與必要條件

T7

3.全稱量詞與存在量詞

T24.不等式的性質(zhì)T11T12

T7

5.基本不等式T11T12

T12

6.一元二次方程、不等式

T1

優(yōu)化備考策略考情分析:從近5年全國(guó)高考試卷來(lái)看,對(duì)本章知識(shí)的考查多為1至2道小題,集合幾乎每年必考,常與一元二次不等式、分式不等式、絕對(duì)值不等式以及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等結(jié)合命題.其余知識(shí)點(diǎn)較少單獨(dú)命題,常與其他知識(shí)交匯考查,也可能在解答題中作為條件涉及,總體屬于中低檔難度,是高考試卷中的保分題.復(fù)習(xí)策略:1.明晰重要概念:元素、子集、真子集、空集、交集、并集、補(bǔ)集、充要條件等,掌握不等式的性質(zhì)、基本不等式等,這是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.2.重視本章內(nèi)容的工具性作用,如充要條件、不等式性質(zhì)、解不等式等貫穿高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程,是解決其他數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具.3.善于列舉反例.涉及充分必要條件以及命題真假的判斷等問(wèn)題時(shí),常需要舉反例或舉特例.4.重視知識(shí)的交匯與聯(lián)系.集合與函數(shù)、不等式、方程、解析幾何等都有密切的聯(lián)系,函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系及它們的相互轉(zhuǎn)化也是解題的常用思想.課標(biāo)解讀1.了解集合的含義,了解全集、空集的含義.2.理解元素與集合的屬于關(guān)系,理解集合間的包含和相等關(guān)系.3.會(huì)求兩個(gè)集合的并集、交集與補(bǔ)集.4.能用自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言描述不同的具體問(wèn)題,能使用Venn圖表示集合間的基本關(guān)系和基本運(yùn)算.強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分知識(shí)梳理1.集合的有關(guān)概念

求解集合參數(shù)問(wèn)題時(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)的重要依據(jù)(1)集合元素的三個(gè)特性:

、互異性、

.

(2)元素與集合的關(guān)系:屬于或不屬于,表示符號(hào)分別為

或

.

(3)常見(jiàn)集合的符號(hào)表示.數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*或N+ZQR(4)集合的表示方法:

、

、

.

(5)集合的分類:

和

.

確定性無(wú)序性∈?列舉法描述法圖示法有限集無(wú)限集2.集合間的關(guān)系

關(guān)系自然語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言Venn圖子集集合A中

都是集合B中的元素

真子集集合A?B,但

x∈B,且x?A

集合相等集合A的

都是集合B的元素,同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素

集合A,B中的元素相同或集合A,B互為子集

任意一個(gè)元素A?B(或B?A)存在元素A?B(或B?A)任何一個(gè)元素A=B[教材知識(shí)深化]1.一般地,我們把不含任何元素的集合叫做空集,記為?.并規(guī)定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.3.任何一個(gè)集合是它本身的子集,即A?A.4.對(duì)于集合A,B,C,如果A?B,B?C,那么A?C.3.集合的基本運(yùn)算

運(yùn)算自然語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言Venn圖交集由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合A∩B=

并集由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合A∪B=

補(bǔ)集對(duì)于一個(gè)集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合根據(jù)“補(bǔ)集思想”可以得到“正難則反”的思維方法?UA=

{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈A,或x∈B}{x|x∈U,且x?A}[教材知識(shí)深化]集合的運(yùn)算性質(zhì)(1)并集的性質(zhì):A∪?=?∪A=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A.(2)交集的性質(zhì):A∩?=?∩A=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B.(3)補(bǔ)集的性質(zhì):A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?;?U(?UA)=A;?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB);?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).自主診斷一、基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)若1∈{x,x2},則x=1或x=-1.(

)(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.(

)(3)若A∩B=A∩C,則B=C.(

)(4)對(duì)于任意兩個(gè)集合A,B,(A∩B)?(A∪B)恒成立.(

)×××√2.(人教A版必修第一冊(cè)習(xí)題1.3第1題改編)已知集合A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},則A∪B=(

)A.{x|3≤x<4} B.{x|x≥2}C.{x|2≤x<4} D.{x|2≤x≤3}B解析

化簡(jiǎn)集合B,得B={x|x≥3},由集合A={x|2≤x<4},可得A∪B={x|x≥2}.3.(人教A版必修第一冊(cè)1.3節(jié)例6改編)設(shè)全集U={x|x是三角形},A={x|x是銳角三角形},B={x|x是鈍角三角形},則?U(A∪B)=

.

{x|x是直角三角形}解析

根據(jù)三角形的分類可知A∪B={x|x是銳角三角形或鈍角三角形},∴?U(A∪B)={x|x是直角三角形}.4.(人教B版必修第一冊(cè)習(xí)題1-1C第2題改編)已知集合P={x|x2≤1},M={a},若P∪M=P,則a的取值范圍是

.

[-1,1]解析

∵P∪M=P,∴M?P.又P={x|-1≤x≤1},M={a},∴-1≤a≤1.∴a的取值范圍為[-1,1].二、連線高考5.(2024·新高考Ⅰ,1)已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},則A∩B=(

)A.{-1,0} B.{2,3}C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2}A

B解析

∵A?B,∴a-2=0或2a-2=0.若a-2=0,則a=2,A={0,-2},B={1,0,2},顯然A?B;若2a-2=0,則a=1,A={0,-1},B={1,-1,0},A?B成立.故選B.研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一集合的基本概念

B

B

5

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1](1)(2024·天津和平模擬)若集合A={1,2,3},B={(x,y)|x+y-4>0,x,y∈A},則集合B的真子集個(gè)數(shù)為(

)A.5 B.6

C.7

D.8C解析

由題意可知B={(2,3),(3,2),(3,3)},所以集合B的真子集個(gè)數(shù)為23-1=7.(2)(2024·湖南長(zhǎng)沙模擬)集合P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},M={x|x=4k+1,k∈Z},且a∈P,b∈Q,則下列說(shuō)法一定正確的是(

)A.a+b∈PB.a+b∈QC.a+b∈MD.a+b不屬于P,Q,M中的任意一個(gè)B解析

因?yàn)閍∈P,所以a=2k1(k1∈Z),因?yàn)閎∈Q,所以b=2k2+1(k2∈Z),所以a+b=2(k1+k2)+1=2k+1∈Q(k∈Z).故選B.考點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系例2(1)(2024·浙江諸暨模擬)如果集合S={x|x=3n+1,n∈N},T={x|x=3k-2,k∈Z},則(

)A.S?T

B.T?S

C.S=T

D.S∈TA解析

由S={x|x=3n+1,n∈N},T={x|x=3k-2,k∈Z}={x|x=3(k-1)+1,k∈Z},令t=k-1,則t∈Z,所以T={x|x=3t+1,t∈Z},由于N?Z,故S?T.(2)(2024·江蘇蘇州模擬)已知集合A={1,2},B={x∈N|x2-5x<0},則滿足條件A?C?B的集合C的個(gè)數(shù)為(

)A.1 B.2C.3 D.4D解析

由x2-5x<0,得0<x<5,所以B={x∈N|x2-5x<0}={1,2,3,4}.因?yàn)锳={1,2},A?C?B,所以C={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4},所以集合C的個(gè)數(shù)為4.(3)已知集合A={x|-1<x<3},B={x|-m<x<m},若B?A,則m的取值范圍是

.

(-∞,1]

變式探究1若本例(3)中,把條件“B?A”變?yōu)椤癇?A”,其他條件不變,則m的取值范圍是

.

(-∞,1]解析

解法與例2(3)完全相同(因?yàn)?m≥-1和m≤3,兩個(gè)不等式的等號(hào)不會(huì)同時(shí)成立).變式探究2若本例(3)中,把條件“B?A”變?yōu)椤癆?B”,其他條件不變,則m的取值范圍是

.

[3,+∞)

2.根據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)的方法(1)已知兩個(gè)集合之間的關(guān)系求參數(shù)時(shí),要明確集合中的元素,對(duì)含參數(shù)的集合是否為空集進(jìn)行分類討論,做到不漏解.(2)若集合中的元素是一一列舉的,依據(jù)集合間的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為解方程(組)求解,此時(shí)注意集合中元素的互異性.(3)若集合表示的是不等式的解集,常依據(jù)數(shù)軸轉(zhuǎn)化為方程(組)或不等式(組)求解,此時(shí)注意檢驗(yàn)端點(diǎn)值能否取到.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2](1)(2024·福建漳州模擬)已知U是全集,集合A,B滿足(?UA)∩B=?UA,則下列關(guān)系一定成立的是(

)A.A?B

B.B?AC.?UB?A D.A∩B=?C解析

由(?UA)∩B=?UA可得(?UA)?B,于是?UB?A,故C正確,ABD錯(cuò)誤,故選C.(2)(2024·山東聊城三模)已知集合A={1,5,a2},B={1,3+2a},且A∪B=A,則實(shí)數(shù)a的值為

.

3解析

由A∪B=A,得B?A,有3+2a=5或3+2a=a2,解得a=1或a=-1或a=3,其中a=±1時(shí),與集合中元素的互異性矛盾,舍去,a=3時(shí)符合題意,所以實(shí)數(shù)a的值為3.考點(diǎn)三集合的運(yùn)算(多考向探究預(yù)測(cè))

D

(2)(2023·全國(guó)乙,理2)設(shè)全集U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},則{x|x≥2}=(

)A.?U(M∪N) B.N∪?UMC.?U(M∩N) D.M∪?UNA解析

M∪N={x|x<2},故?U(M∪N)={x|x≥2}.故選A.其他選項(xiàng)均不符合題意.(3)(2023·全國(guó)甲,理1)設(shè)全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},則?U(M∪N)=(

)A.{x|x=3k,k∈Z} B.{x|x=3k-1,k∈Z}C.{x|x=3k-2,k∈Z} D.?A解析

由題意知集合M表示除以3余1的整數(shù)構(gòu)成的集合,集合N表示除以3余2的整數(shù)構(gòu)成的集合,因?yàn)閁為整數(shù)集,所以?U(M∪N)表示能被3整除的整數(shù)構(gòu)成的集合,即?U(M∪N)={x|x=3k,k∈Z}.故選A.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3](1)(2022·全國(guó)甲,理3)設(shè)全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2},B={x|x2-4x+3=0},則?U(A∪B)=(

)A.{1,3} B.{0,3}C.{-2,1} D.{-2,0}D解析

由題意知B={1,3},則A∪B={-1,1,2,3},所以?U(A∪B)={-2,0},故選D.(2)(2024·河北衡水模擬)已知集合A={x|x+1≤0},B={x|log2(x+2)<2},C={x|x2+2x-3<0},則(?RA)∩(B∩C)=(

)A.{x|-3<x≤-1} B.{x|-2<x≤-1}C.{x|-1<x<1} D.{x|-1<x<2}C

考向2

利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值或范圍例4(1)(2024·河北保定二模)設(shè)集合A={x|-3≤x≤3},B={x|2x2+(a-8)x-4a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤3},則a=(

)A.2 B.3C.4 D.5C解析

因?yàn)锳∩B={x|-2≤x≤3},所以-2是關(guān)于x的方程2x2+(a-8)x-4a=0的一個(gè)根,即8-2(a-8)-4a=0,得a=4.當(dāng)a=4時(shí),令2x2-4x-16≤0,解得-2≤x≤4,此時(shí)B={x|-2≤x≤4},滿足A∩B={x|-2≤x≤3},所以a=4.(2)設(shè)常數(shù)a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1},若A∪B=R,則a的取值范圍是(

)A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞)B解析

當(dāng)a≥1時(shí),由(x-1)(x-a)≥0,得x≤1或x≥a,所以A={x|x≤1或x≥a}.因?yàn)锽={x|x≥a-1},且A∪B=R,所以a-1≤1,解得1≤a≤2.當(dāng)a<1時(shí),由(x-1)(x-a)≥0,得x≤a或x≥1,所以A={x|x≤a或x≥1}.因?yàn)锽={x|x≥a-1},且A∪B=R,所以a-1≤a,即-1≤0恒成立,所以a<1.綜上,a≤2,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,2].[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4](1)(2024·云南曲靖模擬)已知集合A={-1,0,1,2,3},B={x|9x>3m,m∈R,x∈R},若A∩B有且僅有3個(gè)不同的元素,則m的值可以為(

)A.1 B.2

C.3

D.4A

(2)(2024·江蘇無(wú)錫模擬)已知集合A={x∈Z|-1<x<3},B={x|3x-a<0},且A∩(?RB)={1,2},則a的取值范圍為(

)A.(0,4) B.(0,4]C.(0,3] D.(0,3)C

考點(diǎn)四集合的新定義問(wèn)題例5(多選題)(2024·江蘇泰州模擬)對(duì)任意A,B?R,記A⊕B={x|x∈(A∪B),x?(A∩B)},并稱A⊕B為集合A,B的對(duì)稱差.例如:若A={1,2,3},B={2,3,4},則A⊕B={1,4}.下列命題中,為真命題的是(

)A.若A,B?R且A⊕B=B,則