2026版《優(yōu)化設(shè)計(jì)大一輪》高考數(shù)學(xué)（優(yōu)化設(shè)計(jì)新高考版）第2節(jié)常用邏輯用語(yǔ)

第2節(jié)常用邏輯用語(yǔ)高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破目錄索引0102課標(biāo)解讀1.理解必要條件、充分條件、充要條件的意義.2.通過(guò)已知的數(shù)學(xué)實(shí)例,理解全稱量詞與存在量詞的意義.3.能正確對(duì)全稱量詞命題與存在量詞命題進(jìn)行否定.強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分知識(shí)梳理1.充分條件、必要條件與充要條件的概念

[教材知識(shí)深化]1.若p,q中所涉及的問(wèn)題與變量有關(guān),記p,q成立時(shí)相應(yīng)變量的取值集合分別為A,B,那么有以下結(jié)論:集合關(guān)系結(jié)論A?Bp是q的充分不必要條件A?Bp是q的充分條件A?Bp是q的必要不充分條件A?Bp是q的必要條件A=Bp是q的充要條件2.充分條件與必要條件的兩個(gè)特征(1)對(duì)稱性:“p?q”?“q?p”.(2)傳遞性:若p是q的充分(必要)條件,q是r的充分(必要)條件,則p是r的充分(必要)條件,即“p?q且q?r”?“p?r”(“p?q且q?r”?“p?r”).誤區(qū)警示“A是B的充分不必要條件”與“A的充分不必要條件是B”含義不相同.“A是B的充分不必要條件”是指A?B但BA;“A的充分不必要條件是B”是指B?A但AB.2.全稱量詞命題與存在量詞命題(1)全稱量詞與存在量詞①短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做

,并用符號(hào)“?”表示.

②短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做

,并用符號(hào)“?”表示.

全稱量詞存在量詞(2)全稱量詞命題與存在量詞命題及其否定有些命題中省略了量詞,在進(jìn)行否定時(shí)先改寫(xiě)為完整形式,再進(jìn)行否定命題類型全稱量詞命題存在量詞命題形式?x∈M,p(x)?x∈M,p(x)否定

結(jié)論全稱量詞命題的否定是

命題

存在量詞命題的否定是

命題

?x∈M,?p(x)?x∈M,?p(x)存在量詞全稱量詞[教材知識(shí)深化]1.含有一個(gè)量詞的命題與它的否定真假性相反.2.在對(duì)“含有一個(gè)量詞的命題”進(jìn)行否定時(shí),首先要改變量詞符號(hào),其次要將結(jié)論否定,二者缺一不可.自主診斷一、基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)如果p的充分條件是q,那么q的必要條件是p.(

)(2)命題“?α∈R,使sin2α=2sinα”是假命題.(

)(3)對(duì)全稱量詞命題進(jìn)行否定時(shí),全稱量詞可以不改為存在量詞.(

)(4)若p是q的充分不必要條件,q是r的充分不必要條件,則r是p的必要不充分條件.(

)√××√2.(人教A版必修第一冊(cè)習(xí)題1.4第2題改編)已知p:a∈(P∩Q),q:a∈P,則p是q的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A解析

由a∈(P∩Q)得a∈P且a∈Q;當(dāng)a∈P時(shí),a∈Q不一定成立.故p是q的充分不必要條件.3.(人教B版必修第一冊(cè)習(xí)題1-2B第5題)已知A=(-∞,a],B=(-∞,3),且x∈A是x∈B的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解

依題意集合A是集合B的真子集,所以a<3,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,3).4.(人教A版必修第一冊(cè)1.5.2節(jié)例5)寫(xiě)出下列命題的否定,并判斷真假:(1)任意兩個(gè)等邊三角形都相似;(2)?x∈R,x2-x+1=0.

C

6.(2024·新高考Ⅱ,2)已知命題p:?x∈R,|x+1|>1,命題q:?x>0,x3=x,則(

)A.p和q都是真命題B.?p和q都是真命題C.p和?q都是真命題D.?p和?q都是真命題B解析

當(dāng)x=0時(shí),p不成立,當(dāng)x=1時(shí),q成立,故p假q真,故選B.研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一充分條件、必要條件的判斷與探求(多考向探究預(yù)測(cè))考向1

充分條件、必要條件的判斷例1(1)(2024·北京,5)已知向量a,b,則“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b或a=-b”的(

)A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A解析

若“a=b或a=-b”,則a+b=0或a-b=0,故“(a+b)·(a-b)=0”,必要性成立,反之不一定成立.故選A.(2)(2024·江西南昌二模)已知集合A={x|lnx≤0},B={x|2x≤2},則“x∈A”是“x∈B”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A解析

解不等式ln

x≤0,得0<x≤1,則A=(0,1];解不等式2x≤2,得x≤1,則B=(-∞,1].因?yàn)?0,1]?(-∞,1],所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1](1)(2024·天津,2)設(shè)a,b∈R,則“a3=b3”是“3a=3b”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件C解析

由題意,知a3=b3?a=b,3a=3b?a=b,則a3=b3?3a=3b,即二者互為充要條件.故選C.(2)(多選題)已知p是r的充分不必要條件,q是r的充分條件,s是r的必要條件,q是s的必要條件,下列說(shuō)法正確的是(

)A.r是q的充要條件B.p是q的充分不必要條件C.r是q的必要不充分條件D.r是s的充分不必要條件解析

依題意p是r的充分不必要條件,則p?r,r

p,q是r的充分條件,則q?r,s是r的必要條件,r?s,q是s的必要條件,則s?q,即r?q?s,p?r,r

p.所以r是q的充要條件,A正確;p是q的充分不必要條件,B正確;r是q的充要條件,C錯(cuò)誤;r是s的充要條件,D錯(cuò)誤.故選AB.AB考向2

充分條件、必要條件的探求例2(1)(多選題)已知p:x2-4x<0,則p成立的一個(gè)充分不必要條件是(

)A.-2<x<0 B.0<x<2C.0<x<4 D.1<x<3BD解析

由x2-4x<0,解得0<x<4,所以“0<x<2”和“1<x<3”都是“0<x<4”的充分不必要條件.故選BD.(2)(多選題)(2024·廣東梅州一模)已知直線m,n和平面α,β,若n?α,則下列條件中,p是q的充分不必要條件的是(

)A.p:m∥α,q:m∥n B.p:m⊥α,q:m⊥nC.p:α∥β,q:n∥β D.p:n⊥β,q:α⊥βBCD解析

若m∥α,n?α,則直線m,n可能平行或異面,所以p不能推出q,故A錯(cuò)誤;若m⊥α,則直線m垂直于平面α內(nèi)的每一條直線,又n?α,所以m⊥n成立,但若m⊥n,根據(jù)直線與平面垂直的判定定理,還需在平面α內(nèi)找一條與n相交的直線,讓此直線與m垂直,故q不能推出p,故B正確;若α∥β,且n?α,則n∥β;反之,當(dāng)n∥β時(shí),不能推出α∥β,故C正確;若n⊥β,且n?α,由平面與平面垂直的判定定理可知α⊥β;反之,若α⊥β,且n?α,則直線n與平面β可能成任意角度,故D正確.故選BCD.

CD

(2)(2024·遼寧沈陽(yáng)檢測(cè))設(shè)x∈R,則lgx>lnx的充要條件是(

)A.x>0 B.x>1

C.x>10

D.0<x<1D

考點(diǎn)二充分條件、必要條件的應(yīng)用

{0}

變式探究1本例中,其他條件不變,若改為“x∈A是x∈B的充分不必要條件”,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

.

[2,+∞)

變式探究2本例中,其他條件不變,試探究是否存在實(shí)數(shù)m,使得x∈A是x∈B的充要條件?

A

考點(diǎn)三全稱量詞與存在量詞(多考向探究預(yù)測(cè))考向1

含有一個(gè)量詞的命題的否定例4(1)(2024·湖北武漢模擬)命題“有些三角形是直角三角形”的否定為(

)A.所有三角形都是直角三角形B.所有三角形都不是直角三角形C.有些三角形不是直角三角形D.有些三角形不是銳角三角形B解析

由命題否定的概念可知,命題“有些三角形是直角三角形”的否定為“所有三角形都不是直角三角形”.(2)(2024·河北邯鄲模擬)命題“?x∈(1,+∞),x3-2x+1>0”的否定是(

)A.?x∈(-∞,1],x3-2x+1>0B.?x∈(1,+∞),x3-2x+1≤0C.?x∈(-∞,1],x3-2x+1>0D.?x∈(1,+∞),x3-2x+1≤0D解析

因?yàn)槿Q量詞命題的否定為存在量詞命題,所以命題“?x∈(1,+∞),x3-2x+1>0”的否定是“?x∈(1,+∞),x3-2x+1≤0”.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4](2024·山東青島模擬)17世紀(jì),數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出猜想:“對(duì)任意正整數(shù)n>2,關(guān)于x,y,z的方程xn+yn=zn沒(méi)有正整數(shù)解”,經(jīng)歷三百多年,1995年數(shù)學(xué)家安德魯懷爾斯給出了證明,使它終成費(fèi)馬大定理,則費(fèi)馬大定理的否定為(

)A.對(duì)任意正整數(shù)n>2,關(guān)于x,y,z的方程xn+yn=zn都沒(méi)有正整數(shù)解B.對(duì)任意正整數(shù)n>2,關(guān)于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一組正整數(shù)解C.存在正整數(shù)n≤2,關(guān)于x,y,z