2026版《優(yōu)化設計大一輪》高考數(shù)學（優(yōu)化設計新高考版）第2節(jié)用樣本估計總體

第2節(jié)用樣本估計總體高考總復習優(yōu)化設計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強基礎?固本增分研考點?精準突破目錄索引0102課標解讀1.能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)),理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義.2.能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)(標準差、方差、極差),理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義.3.能用樣本估計總體的取值規(guī)律.4.能用樣本估計百分位數(shù),理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義.5.會計算簡單隨機抽樣的樣本均值和樣本方差.掌握分層隨機抽樣的樣本均值和樣本方差的計算.強基礎?固本增分知識梳理1.總體百分位數(shù)的估計(1)第p百分位數(shù)的定義一般地,一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值,它使得這組數(shù)據(jù)中

的數(shù)據(jù)小于或等于這個值,且至少有

的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.(2)計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步,按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步,計算i=n×p%.第3步,若i不是整數(shù),而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù);若i是整數(shù),則第p百分位數(shù)為第i項與第(i+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).至少有p%(100-p)%[教材知識深化]1.第0百分位數(shù)為數(shù)據(jù)中的最小數(shù),第100百分位數(shù)為數(shù)據(jù)中的最大數(shù);2.一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)既可能是這組數(shù)據(jù)中的數(shù),也可能不是這組數(shù)據(jù)中的數(shù);3.一組數(shù)據(jù)的某些百分位數(shù)可能是同一個數(shù).2.總體集中趨勢的估計

數(shù)字特征概念眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)

的數(shù)

不一定唯一,一定是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)中位數(shù)把一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排列,處在

位置的一個數(shù)據(jù)(或兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))

唯一,不一定是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)平均數(shù)唯一,不一定是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)最多中間

自主診斷一、基礎自測1.思考辨析(判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)對一組數(shù)據(jù)來說,平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近.(

)(2)在頻率分布直方圖中,最高的小矩形底邊中點的橫坐標是眾數(shù).(

)(3)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個或幾個,那么中位數(shù)也具有相同的結論.(

)(4)如果一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù),則這組數(shù)的平均數(shù)改變,方差不變.(

)×√×√2.(人教A版必修第二冊9.2.2節(jié)例2改編)某機構調查了解10種食品的卡路里含量,結果如下:107,135,138,140,146,175,179,182,191,195.則這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)和中位數(shù)分別是(

)A.138,160.5 B.138,146C.138,175 D.135,160.5A

3.(人教A版必修第二冊習題9.2第3題改編)(多選題)在去年的足球聯(lián)賽上,一隊每場比賽平均失球數(shù)是1.5,全年比賽失球個數(shù)的標準差是1.1;二隊每場比賽平均失球數(shù)是2.1,全年比賽失球個數(shù)的標準差是0.4.則下列說法正確的有(

)A.平均來說一隊比二隊防守技術好B.二隊很少失球C.一隊有時表現(xiàn)差,有時表現(xiàn)又非常好D.二隊比一隊技術水平更不穩(wěn)定AC解析

對于A,因為一隊每場比賽平均失球數(shù)是1.5,二隊每場比賽平均失球數(shù)是2.1,所以平均來說一隊比二隊防守技術好,故A正確;對于B,因為二隊每場比賽平均失球數(shù)是2.1,全年比賽失球個數(shù)的標準差為0.4,所以二隊經(jīng)常失球,故B錯誤;對于C,因為一隊全年比賽失球個數(shù)的標準差為1.1,二隊全年比賽失球個數(shù)的標準差為0.4,所以一隊有時表現(xiàn)很差,有時表現(xiàn)又非常好,故C正確;對于D,因為一隊全年比賽失球個數(shù)的標準差為1.1,二隊全年比賽失球個數(shù)的標準差為0.4,所以二隊比一隊技術水平更穩(wěn)定,故D不正確.二、連線高考4.(2024·新高考Ⅱ,4)某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻,得到各塊稻田的畝產(chǎn)量(單位:kg)并整理下表:畝產(chǎn)量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)生產(chǎn)數(shù)61218302410據(jù)表中數(shù)據(jù),結論中正確的是(

)A.100塊稻田畝產(chǎn)量中位數(shù)小于1050kgB.100塊稻田中的畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間C

5.(2020·全國Ⅲ,文3)設一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差為0.01,則數(shù)據(jù)10x1,10x2,…,10xn的方差為(

)A.0.01 B.0.1

C.1

D.10C

研考點?精準突破考點一總體百分位數(shù)的估計例1(1)(2024·吉林白山模擬)某學習小組共有20人,在一次數(shù)學測試中,得100分的有2人,得95分的有4人,得90分的有5人,得85分的有3人,得80分的有5人,得75分的有1人,則這個學習小組成員該次數(shù)學測試成績的第70百分位數(shù)是(

)A.82.5 B.85

C.90

D.92.5D

(2)(2024·天津模擬)為了加深師生對黨史的了解,激發(fā)廣大師生知史愛黨、知史愛國的熱情,某校舉辦了“學黨史、育文化”的黨史知識競賽,并將1000名師生的競賽成績(滿分100分,成績取整數(shù))整理成如圖所示的頻率分布直方圖,估計這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為(

)A.84 B.85

C.86

D.87C解析

由10×(2a+3a+3a+6a+5a+a)=1,解得a=0.005,所以前4組頻率之和為14×0.005×10=0.7,前5組頻率之和為19×0.005×10=0.95,所以第85百分位數(shù)位于第5組內,設這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為x,則0.7+(x-80)×0.025=0.85,解得x=86.變式探究例1(1)的條件下,求該次數(shù)學測試成績的第66百分位數(shù).解

根據(jù)題意,20×66%=13.2,該次數(shù)學測試成績的第14項為90,故第66百分位數(shù)為90.[對點訓練1](2024·廣東江門模擬)某校從高一新生中隨機抽取了一個容量為10的身高樣本,數(shù)據(jù)(單位:cm)從小到大排序如下:158,165,165,167,168,169,x,172,173,175,若樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是170,則x=(

)A.169 B.170

C.171

D.172C

考點二用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征(多考向探究預測)考向1

總體集中趨勢的估計(中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù))例2(1)(多選題)(2024·河南洛陽模擬)某校運動會,一位射擊運動員10次射擊射中的環(huán)數(shù)依次為7,7,10,9,7,6,9,10,7,8,則下列說法正確的是(

)A.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8B.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7C.這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為9D.這組數(shù)據(jù)的極差為4ABD

(2)(多選題)某城市在創(chuàng)建文明城市的活動中,為了解居民對“創(chuàng)建文明城市”的滿意程度,組織居民給活動打分(分數(shù)為整數(shù),滿分100分),從中隨機抽取一個容量為100的樣本,發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)均在[40,100]內.現(xiàn)將這些分數(shù)分成6組并畫出樣本的頻率分布直方圖,但不小心污損了部分圖形,如圖所示.觀察圖形,則下列說法正確的有(

)A.頻率分布直方圖中第三組的頻數(shù)為10B.根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的眾數(shù)為75C.根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的中位數(shù)為75D.根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的平均數(shù)為75ABC解析

分數(shù)在[60,70)內的頻率為1-10×(0.005+0.020+0.030+0.025+0.010)

=0.10,所以第三組的頻數(shù)為100×0.10=10,故A正確;因為眾數(shù)的估計值是頻率分布直方圖中最高矩形底邊的中點的橫坐標,從圖中可看出眾數(shù)的估計值為75,故B正確;因為(0.005+0.020+0.010)×10=0.35<0.5,

(0.005+0.020+0.010+0.030)×10=0.65>0.5,所以中位數(shù)位于[70,80)內,設中位數(shù)為x,則0.35+0.03(x-70)=0.5,解得x=75,所以中位數(shù)的估計值為75,故C正確;樣本平均數(shù)的估計值為45×(10×0.005)+55×(10×0.020)+65×(10×0.010)+75×(10×0.030)+85×(10×0.025)+95×(10×0.010)=73,故D錯誤.考向2

總體離散程度的估計(方差與標準差)例3(2023·全國乙,理17,文17)某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應,進行10次配對試驗,每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產(chǎn)品,隨機地選其中一個用甲工藝處理,另一個用乙工藝處理,測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率,甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi,yi(i=1,2,…,10),試驗結果如下:試驗序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536

[對點訓練2]一組數(shù)據(jù)由8個數(shù)組成,將其中一個數(shù)由4改為2,另一個數(shù)由6改為8,其余數(shù)不變,得到新的一組數(shù)據(jù),則新的一組數(shù)的方差相比原一組數(shù)的方差的增加值為

.2

考向3

分層隨機抽樣的方差與標準差例4(2024·河北滄州模擬)為了解某中學學生假期中每天自主學習的時間,采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣,現(xiàn)抽取高一學生40人,其每天學習時間均值為8小時,方差為0.5,抽取高二學生60人,其每天學習時間均值為9小時,方差為0.8,抽取高三學生100人,其每天學習時間均值為10小時,方差為1,則估計該校學生每天學習時間的方差為(

)A.1.4 B.1.45

C.1.5

D.1.55B

[對點訓練3](2024·福建泉州模擬)隨著老年人消費需求從“生存型”向“發(fā)展型”轉變,消費層次不斷提升,“銀發(fā)經(jīng)濟”成為社會熱門話題之一,被各企業(yè)持續(xù)關注.某企業(yè)為了解該地老年人消費能力情況,對該地年齡在[60,80)的老年人的年收入按年齡[60,70),[70,80)分成兩組進行分層抽樣調查,已知抽取了年齡在[60,70)的老年人500人.年齡在[70,80)的老年人300人.現(xiàn)作出年齡在[60,70)的老年人年收入的頻率分布直方圖(如下圖所示).(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計該地年齡在[60,70)的老年人年收入的平均數(shù)及第95百分位數(shù);(2)已知年齡在[60,70)的老年人年收入的方差為3,年齡在[70,80)的老年人年收入的平均數(shù)和方差分別為3.75和1.4,試估計年齡在[60,80)的老年人年收入的方差.

考點三均值與方差的應用例5(2024·安徽亳州模擬)某企業(yè)有A,B兩個車間生產(chǎn)同一種型號的產(chǎn)品,檢驗小組對兩個車間各生產(chǎn)的100件產(chǎn)品均隨機抽取6件檢測、獲得質量指標值(滿分值為10,8分及以上為合格品),如下表所示:A車間產(chǎn)品質量指標109781010B車間產(chǎn)品質量指標106101099(1)以頻率作為概率,估計A,B兩車間生產(chǎn)該批次產(chǎn)品的合格率;(2)分別求出6件產(chǎn)品的平均數(shù)與方差,以此為依據(jù),判斷哪個車