浙江省高中發(fā)展共同體2025年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

浙江省高中發(fā)展共同體2025年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，平面與平面所成的二面角是，是平面內(nèi)的一條動(dòng)直線，，則直線與所成角的正弦值的取值范圍是（）A． B．C． D．2．若函數(shù)為奇函數(shù)，則A． B． C． D．3．是第四象限角，,，則（）A． B． C． D．4．在的展開式中，的系數(shù)是（）A． B． C．5 D．405．“”是“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．集合，則等于（）A． B． C． D．7．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）A． B．C． D．8．設(shè)非零向量滿足，，則向量間的夾角為()A．150° B．60°C．120° D．30°9．若三角形的兩內(nèi)角α，β滿足sinαcosβ＜0，則此三角形必為()A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．以上三種情況都可能10．已知，其中、是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．對(duì)于平面上點(diǎn)和曲線，任取上一點(diǎn)，若線段的長度存在最小值，則稱該值為點(diǎn)到曲線的距離，記作，若曲線是邊長為的等邊三角形，則點(diǎn)集所表示的圖形的面積為（）A． B． C． D．12．已知兩個(gè)不同的平面α，β和兩條不同的直線a，b滿足a?α,b?β，則“a∥b”是“α∥β”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從集合隨機(jī)取一個(gè)為,從集合隨機(jī)取一個(gè)為,則方程可以表示___個(gè)不同的雙曲線.14．已知直線的一個(gè)法向量，則直線的傾斜角是_________（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）；15．執(zhí)行如圖所示的偽代碼,則輸出的S的值是_______.16．已知復(fù)數(shù)z和ω滿足|z|-z=41-i，且ω三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，其中.（1）若，，求的值；（2）若，化簡：.18．（12分）從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下圖頻率分布直方圖：（I）求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均值和樣本方差（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（II）由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.（i）利用該正態(tài)分布，求；（ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù).利用（i）的結(jié)果，求.附：若則，．19．（12分）如圖，已知四邊形ABCD與四邊形BDEF均為菱形，，且求證：平面BDEF；求二面角的余弦值．20．（12分）設(shè)命題p:函數(shù)f(x)=x2-ax命題q:方程x2+ay2命題“p∨q”為真命題,“p∧q”為假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21．（12分）已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是復(fù)平面上的四個(gè)點(diǎn),且向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1,z2.(1)若z1+z2=1+i,求z1,z2;(2)若|z1+z2|=2,z1-z2為實(shí)數(shù),求a,b的值.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，過點(diǎn)的直線交橢圓交于，兩點(diǎn)．①若直線的斜率為，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②設(shè)直線，，的斜率分別為，，，是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

假定ABCD和BCEF均為正方形，過D作，可證平面BCEF，進(jìn)而可得直線BD與平面BCEF所成的角正弦值，即直線與所成角的正弦值的最小值，當(dāng)直線與異面垂直時(shí)，所成角的正弦值最大.【詳解】過D作，垂足為G，假定ABCD和BCEF均為正方形，且邊長為1則平面CDG，故又，平面BCEF故直線BD在平面BCEF內(nèi)的射影為BG，由已知可得，則以直線BD與平面BCEF所成的角正弦值，所以直線BD與平面BCEF內(nèi)直線所成的角正弦值最小為，而直線與所成角最大為（異面垂直），即最大正弦值為1.故選：B本題考查了立體幾何中線面角，面面角找法，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.2、A【解析】分析：運(yùn)用奇函數(shù)的定義，可得，再計(jì)算即可詳解：函數(shù)為奇函數(shù)，故選點(diǎn)睛：本題主要考查的是奇函數(shù)的定義，分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵3、D【解析】

根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系，得到，求解，再根據(jù)題意，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，由同角三角函?shù)基本關(guān)系可得：，解得：，又是第四象限角，所以.故選：D.本題主要考查已知正切求正弦，熟記同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可，屬于?？碱}型.4、A【解析】

由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，可直接得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)為，令，則的系數(shù)是.故選A本題主要考查二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)的系數(shù)，熟記二項(xiàng)式定理即可，屬于基礎(chǔ)題型.5、C【解析】

根據(jù)充分必要條件的定義結(jié)合復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而得到答案．【詳解】若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則解得，故“”是“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限”的充要條件.故選C.本題考查了充分必要條件，考查了復(fù)數(shù)的與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題．6、B【解析】試題分析：集合，,，，故選B.考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及集合的運(yùn)算.7、D【解析】

先求出函數(shù)的定義域，然后求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，接著求當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于零時(shí)，的取值范圍，結(jié)合函數(shù)的定義域，最后寫出單調(diào)增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以有或，而函數(shù)的定義域?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故本題選D.本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)增區(qū)間問題，解題的關(guān)系是結(jié)合定義域，正確求解導(dǎo)函數(shù)大于零這個(gè)不等式.8、C【解析】

利用平方運(yùn)算得到夾角和模長的關(guān)系，從而求得夾角的余弦值，進(jìn)而得到夾角.【詳解】即本題正確選項(xiàng)：本題考查向量夾角的求解，關(guān)鍵是利用平方運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算將問題變?yōu)槟ｉL之間的關(guān)系，求得夾角的余弦值，從而得到所求角.9、B【解析】

由于為三角形內(nèi)角，故，所以，即為鈍角，三角形為鈍角三角形，故選B.10、D【解析】

由得，根據(jù)復(fù)數(shù)相等求出的值，從而可得復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，得到答案.【詳解】由有，其中、是實(shí)數(shù).所以，解得，所以則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為.所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和根據(jù)復(fù)數(shù)相等求參數(shù)，考查復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

根據(jù)可畫出滿足題意的點(diǎn)所構(gòu)成的平面區(qū)域；分別求解區(qū)域各個(gè)構(gòu)成部分的面積，加和得到結(jié)果.【詳解】由定義可知，若曲線為邊長為的等邊三角形，則滿足題意的點(diǎn)構(gòu)成如下圖所示的陰影區(qū)域其中，，，，，，又又陰影區(qū)域面積為：即點(diǎn)集所表示的圖形的面積為：本題正確選項(xiàng)：本題考查新定義運(yùn)算的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)定義，找到距離等邊三角形三邊和頂點(diǎn)的最小距離小于等于的點(diǎn)所構(gòu)成的區(qū)域，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略三角形內(nèi)部的點(diǎn)，造成區(qū)域缺失的情況.12、D【解析】

分別判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】如圖所示：既不充分也不必要條件.故答案選D本題考查了充分必要條件，舉出反例可以簡化運(yùn)算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】

根據(jù)雙曲線方程的特點(diǎn),結(jié)合分類和分步計(jì)數(shù)原理直接求解即可.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線,所以.因此可以分成兩類：第一類：從集合中取一個(gè)正數(shù),從集合取一個(gè)負(fù)數(shù),有種不同的取法；第二類：從集合中取一個(gè)負(fù)數(shù),從集合取一個(gè)正數(shù),有種不同的取法.所以一共有種不同的方法.故答案為：8本題考查了雙曲線方程的特點(diǎn),考查了分類和分步計(jì)數(shù)原理,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.14、【解析】

由法向量與方向向量垂直，求出方向向量，得直線的斜率，從而得傾斜角。【詳解】直線的一個(gè)法向量，則直線的一個(gè)方向向量為，其斜率為，∴傾斜角為。故答案為：。本題考查求直線的傾斜角，由方向向量與法向量的垂直關(guān)系可求得直線斜率，從而求得傾斜角，注意傾斜角范圍是，而反正切函數(shù)值域是。15、110【解析】

分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)順序，可知：該程序的作用是累加并輸出的值，利用等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即可得解.【詳解】分析程序中各變量、各語句的作用，根據(jù)順序，可知：該程序的作用是累加并輸出滿足條件的值，由于，故輸出的的值為：，故答案是：.該題考查的用偽代碼表示的循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序的相關(guān)計(jì)算，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于簡單題目.16、1+i或-1-i【解析】

本題首先可以設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，由|z|-z=41-i，可得a=0、b=22，則【詳解】設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，由|z|-z=4所以a2+b所以z=2i。令ω=m+ni(m,n∈R)，由ω2=z，得所以2mn=2m2-n2所以ω=1+i或-1-i。故答案為：1+i或-1-i。本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)相等的條件，是中檔題。復(fù)數(shù)的運(yùn)算，難點(diǎn)是乘除法法則，設(shè)z1則z1z1三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

（1）分別令，，利用二項(xiàng)展開式展開和，將兩式相減可得出的值；（2）將代入，求得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，利用組合數(shù)公式可得，化簡可得結(jié)果.【詳解】（1），時(shí)，令得，令得可得；（2）若，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，·····綜上，.該題考查的是有關(guān)二項(xiàng)式定理的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用賦值法求對(duì)應(yīng)系數(shù)的和，利用組合數(shù)公式化簡相應(yīng)的式子，屬于中檔題目.18、（I）；（II）（i）；（ii）．【解析】試題分析：（I）由頻率分布直方圖可估計(jì)樣本特征數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、均值、方差．若同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，則眾數(shù)為最高矩形中點(diǎn)橫坐標(biāo)．中位數(shù)為面積等分為的點(diǎn)．均值為每個(gè)矩形中點(diǎn)橫坐標(biāo)與該矩形面積積的累加值．方差是矩形橫坐標(biāo)與均值差的平方的加權(quán)平均值．（II）（i）由已知得，，故；（ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，相當(dāng)于100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù)，故期望．試題分析：（I）抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均值和樣本方差分別為，．（II）（i）由（I）知，服從正態(tài)分布，從而．（ii）由（i）可知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的概率為，依題意知，所以．【考點(diǎn)定位】1、頻率分布直方圖；2、正態(tài)分布的原則；3、二項(xiàng)分布的期望．19、（1）見證明；（2）.【解析】

設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OF、DF，推導(dǎo)出，，，由此能證明平面BDEF．以O(shè)A為x軸，OB為y軸，OF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【詳解】設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OF、DF，四邊形ABCD與四邊形BDEF均為菱形，，且，，，，四邊形ABCD與四邊形BDEF均為菱形，，，平面BDEF．，，平面ABCD，以O(shè)A為x軸，OB為y軸，OF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則0，，0，，1，，0，，，1，，，設(shè)平面ABF的法向量y，，則，取，得，設(shè)平面BCF的法向量y，，則，取，得，設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為鈍角則．二面角的余弦值為．本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查二面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．20、a<1【解析】分析：化簡命題p可得a≤0，化簡命題q可得0<a<1，由p∨q為真命題，p∧q為假命題，可得p,q一真一假，分兩種情況討論，對(duì)于p真q假以及p假q真分別列不等式組，分別解不等式組，然后求并集即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.詳解：由于命題p:函數(shù)f(x)=x2-ax所以a≤0命題q:方程x2+ay2所以2a命題“p∨q”為真命題,“p∧q”為假命題，則p、①p真q假時(shí)：a≤0a≤0②p假q真綜上所述：a的取值范圍為：a<1點(diǎn)睛：本題通過判斷或命題、且命題的真假，綜合考查二次函數(shù)的單調(diào)性以及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，屬于中檔題.解答非命題、且命題與或命題真假有關(guān)的題型時(shí)，應(yīng)注意：（1）原命題與其非命題真假相反；（2）或命題“一真則真”；（3）且命題“一假則假”.21、（1）；（2）【解析】

（1）向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，，利用，即可得出；