典型例題：高考中的“邏輯”

1/4高考中“邏輯”常用邏輯用語是研究高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)工具，也是歷年高考考查的重點(diǎn)。高考中主要以選擇題和填空題的形式，對常用邏輯用語的基本概念、性質(zhì)及與其他知識的結(jié)合進(jìn)行考查。下面就走進(jìn)高考題，來體味高考對常用邏輯用語的考查特點(diǎn)和命題趨勢。一、考查命題真假的判斷例1.（陜西卷）關(guān)于平面向量a,b,①若a?b=a?c，則b=c。②若a=(1，k)，b=(-2，6)，a//b，則k=-3。③非零向量a和b滿足解析：對于①，向量在等式兩邊不能相消，故①不正確；對于②，有1-2=k6，得k=-3，故②正確；對于③，根據(jù)平行四邊形法則，可得a與a+b點(diǎn)評：本題以平面向量的概念和運(yùn)算為載體，考查了命題真假的判斷。二、考查四種命題的關(guān)系例2.（廣東卷）命題“若函數(shù)f(x)=logax(a>0，a≠1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則loga2A.若loga2<0，則函數(shù)f(x)=logaB.若loga2≥0，則函數(shù)f(x)=logC.若loga2<0，則函數(shù)f(x)=logaD.若loga2≥0，則函數(shù)f(x)=log解析：注意到命題“若函數(shù)f(x)=logax(a>0，a≠1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則loga2<0”的條件與結(jié)論，可知逆否命題為“若loga2≥0，則函數(shù)點(diǎn)評：四種命題的關(guān)系是?？疾凰サ慕?jīng)典內(nèi)容，利用互為逆否命題的兩個(gè)命題的等價(jià)性是常用的解題手段，本題主要考查四種命題的關(guān)系，“新”在與對數(shù)函數(shù)的整合上。三、考查充要條件例3.（重慶卷）設(shè)m,n是整數(shù),則“m,n均為偶數(shù)”是“m+n是偶數(shù)”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：兩偶數(shù)之和必為偶數(shù)，但兩個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)，這兩個(gè)數(shù)未必都是偶數(shù)，如1+3=4，3+5=8等等，故選A。點(diǎn)評：充要條件是歷年高考?？疾凰サ慕?jīng)典內(nèi)容。本題以偶數(shù)的性質(zhì)為載體對此作了考查。例4.（陜西卷）“a=18”是“對任意的正數(shù)x，2x+axA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件解析：一方面，當(dāng)a=18時(shí)，對任意的正數(shù)x，有2x+ax=2x+18x≥22x?點(diǎn)評：本題以基本不等式的應(yīng)用為背景，考查了對充要條件的理解和應(yīng)用。四、考查邏輯聯(lián)結(jié)詞例5.（廣東卷）已知命題p：所有有理數(shù)都是實(shí)數(shù)，命題q：正數(shù)的對數(shù)都是負(fù)數(shù)，則下列命題中為真命題的是（）A.(﹁p)或qB.p∧且qC.(﹁p)且(﹁q)D.(﹁p)或(﹁q)解析：對于命題p是真命題，命題q是假命題，因此，命題﹁q是真命題，于是(﹁p)∨(﹁q)是真命題，故選D。點(diǎn)評：本題考查了含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷，掌握這類命題的判斷規(guī)律是關(guān)鍵。五、“邏輯”創(chuàng)新命題例6.（福建卷）設(shè)P是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，若對任意a，b∈P，都有a+b、a-b、ab、ab∈P（除數(shù)b≠0），則稱P是一個(gè)數(shù)域。例如有理數(shù)集Q①整數(shù)集是數(shù)域；②若有理數(shù)集Q?M，則數(shù)集M必為數(shù)域；③數(shù)域必為無限集；④存在無窮多個(gè)數(shù)域。其中正確的命題的序號是。（把你認(rèn)為正確的命題的序號都填上）解析：對于整數(shù)集Z，a=1，b=2時(shí)，ab=12?Z，故整數(shù)集不是數(shù)域，①錯(cuò)；對于滿足Q?M的集合M=Q∪2，1+2?M，M不是數(shù)域，②錯(cuò)；若P是數(shù)域，則存在a∈P且a≠0，依定義2a，3a，4a，?，均是P中元素，故P有無數(shù)元素，③正確；類似數(shù)集F點(diǎn)評：本題定義了一個(gè)新概念——數(shù)域，并將此概念遷移到命題的判斷中，成為08高考題中首選的亮點(diǎn)。例7.（全國卷Ⅱ（理））平面內(nèi)的一個(gè)四邊形的充要條件有多個(gè)，如兩組對邊分別平行。類似地，寫出空間中的一個(gè)四棱柱為平行六面體的兩個(gè)充要條件：充要條件①；充要條件②。解析：要判定一個(gè)四棱錐是否為平行六面體，只要緊緊圍繞著定義來判定即可，即判定其底面是否是平行四邊形即可。因此利用平面幾何中判定一個(gè)四邊形