高數(shù)b2期末考試試題及答案

高數(shù)b2期末考試試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}$的定義域是（）A.$x\geq1$B.$x\gt1$C.$x\neq1$D.$x\lt1$2.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)$存在，則（）A.$f(x)$在$x=a$處連續(xù)B.$f(a)$有定義C.$\lim\limits_{x\toa^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\toa^{+}}f(x)$D.以上都不對3.函數(shù)$y=x^3$的導(dǎo)數(shù)是（）A.$3x^2$B.$x^2$C.$3x$D.$3$4.$\intx^2dx$=（）A.$\frac{1}{3}x^3+C$B.$3x^3+C$C.$\frac{1}{2}x^3+C$D.$x^3+C$5.曲線$y=x^2$在點(diǎn)$(1,1)$處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.46.設(shè)$z=xy$，則$\frac{\partialz}{\partialx}$=（）A.$x$B.$y$C.$xy$D.17.級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$是（）A.收斂B.發(fā)散C.條件收斂D.絕對收斂8.函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上滿足羅爾定理的條件，則在$(a,b)$內(nèi)至少存在一點(diǎn)$\xi$，使得（）A.$f'(\xi)=0$B.$f(\xi)=0$C.$f'(\xi)=f(b)-f(a)$D.$f(\xi)=f(b)-f(a)$9.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(3,4)$，則$\vec{a}\cdot\vec$=（）A.5B.11C.10D.1410.微分方程$y'=2x$的通解是（）A.$y=x^2+C$B.$y=2x^2+C$C.$y=x^2$D.$y=2x^2$二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.$y=x^2$B.$y=\cosx$C.$y=\sinx$D.$y=e^x$2.函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)的充分必要條件是（）A.左導(dǎo)數(shù)存在B.右導(dǎo)數(shù)存在C.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)D.函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)3.下列積分中，值為0的有（）A.$\int_{-1}^{1}x\sinxdx$B.$\int_{-1}^{1}x\cosxdx$C.$\int_{-1}^{1}x^3dx$D.$\int_{-1}^{1}e^xdx$4.多元函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處可微的必要條件有（）A.偏導(dǎo)數(shù)存在B.函數(shù)連續(xù)C.偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)D.全增量$\Deltaz=A\Deltax+B\Deltay+o(\rho)$5.下列級數(shù)中，收斂的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}$6.曲線$y=f(x)$的拐點(diǎn)可能出現(xiàn)在（）A.$f''(x)=0$的點(diǎn)B.$f''(x)$不存在的點(diǎn)C.$f'(x)=0$的點(diǎn)D.$f(x)$的間斷點(diǎn)7.設(shè)向量$\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec=(x_2,y_2)$，則下列說法正確的有（）A.$\vec{a}+\vec=(x_1+x_2,y_1+y_2)$B.$\vec{a}-\vec=(x_1-x_2,y_1-y_2)$C.$\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2$D.$\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$8.一階線性非齊次微分方程$y'+P(x)y=Q(x)$的通解結(jié)構(gòu)包括（）A.對應(yīng)的齊次方程的通解B.非齊次方程的一個(gè)特解C.任意常數(shù)D.零解9.下列極限中，值為1的有（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x$C.$\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$D.$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$10.函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可積的充分條件有（）A.$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)B.$f(x)$在$[a,b]$上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)C.$f(x)$在$[a,b]$上單調(diào)D.$f(x)$在$[a,b]$上無界三、判斷題（每題2分，共10題）1.若函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處極限存在，則函數(shù)在該點(diǎn)一定連續(xù)。（）2.函數(shù)$y=x^3$在$R$上是單調(diào)遞增的。（）3.$\intf'(x)dx=f(x)$。（）4.二元函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，則函數(shù)在該點(diǎn)可微。（）5.級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收斂，則$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$。（）6.函數(shù)$y=\sinx$的周期是$2\pi$。（）7.向量$\vec{a}=(1,0)$與向量$\vec=(0,1)$垂直。（）8.微分方程的通解包含了該方程的所有解。（）9.若$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，則存在$\xi\in(a,b)$，使得$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。（）10.函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處的導(dǎo)數(shù)$f'(x_0)$表示函數(shù)在該點(diǎn)處切線的斜率。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$y=x^3-3x^2+5$的極值。答：先求導(dǎo)$y'=3x^2-6x$，令$y'=0$，即$3x(x-2)=0$，得$x=0$或$x=2$。當(dāng)$x\lt0$，$y'\gt0$；$0\ltx\lt2$，$y'\lt0$；$x\gt2$，$y'\gt0$。所以極大值$y(0)=5$，極小值$y(2)=1$。2.計(jì)算定積分$\int_{0}^{1}x^2dx$。答：根據(jù)定積分公式$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(n\neq-1)$，則$\int_{0}^{1}x^2dx=[\frac{1}{3}x^3]_{0}^{1}=\frac{1}{3}(1^3-0^3)=\frac{1}{3}$。3.求函數(shù)$z=x^2+y^2$在點(diǎn)$(1,2)$處的偏導(dǎo)數(shù)。答：對$x$求偏導(dǎo)，把$y$看成常數(shù)，$\frac{\partialz}{\partialx}=2x$，將$(1,2)$代入得$\frac{\partialz}{\partialx}\vert_{(1,2)}=2$；對$y$求偏導(dǎo)，把$x$看成常數(shù)，$\frac{\partialz}{\partialy}=2y$，將$(1,2)$代入得$\frac{\partialz}{\partialy}\vert_{(1,2)}=4$。4.求微分方程$y'-2y=0$的通解。答：這是一階線性齊次微分方程，其通解公式為$y=Ce^{\intP(x)dx}$，這里$P(x)=-2$，則$\intP(x)dx=\int(-2)dx=-2x$，所以通解為$y=Ce^{2x}$，$C$為任意常數(shù)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$處的連續(xù)性。答：$f(x)$在$x=1$處無定義。但$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2$。因?yàn)楹瘮?shù)在該點(diǎn)無定義，所以不連續(xù)，屬于可去間斷點(diǎn)，補(bǔ)充定義$f(1)=2$可使其連續(xù)。2.討論級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$的斂散性與$p$的關(guān)系。答：當(dāng)$p\gt1$時(shí)，根據(jù)$p-$級數(shù)性質(zhì)，$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$收斂；當(dāng)$p=1$時(shí)，級數(shù)為調(diào)和級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$，發(fā)散；當(dāng)$p\lt1$時(shí)，通過比較判別法可知$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$發(fā)散。3.討論多元函數(shù)$z=f(x,y)$在某點(diǎn)處連續(xù)、可偏導(dǎo)、可微之間的關(guān)系。答：可微能推出連續(xù)且可偏導(dǎo)，但連續(xù)不一定可偏導(dǎo)，可偏導(dǎo)也不一定可微。即可微是最強(qiáng)條件，連續(xù)和可偏導(dǎo)是較弱條件，可偏導(dǎo)與連續(xù)之間沒有必然的推出關(guān)系。4.討論利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值的一般步驟。答：先求函數(shù)定義域，再求導(dǎo)數(shù)$f'(x)$。令$f'(x)=0$找駐點(diǎn)，用駐點(diǎn)劃分定義域區(qū)間，根據(jù)$f'(x)$在各區(qū)間正負(fù)判斷單調(diào)性，$f'(x)$正負(fù)改變處為極值點(diǎn)，結(jié)合單調(diào)性確定極大值或極小