第27講圖形的相似

第27講圖形的相似考試-目標(biāo)鎖定考綱要求備考指津1.了解比例線段的有關(guān)概念及其性質(zhì)，并會(huì)用比例的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題．2.了解相似多邊形，相似三角形的概念，掌握其性質(zhì)和判定并會(huì)運(yùn)用．3.了解位似變換和位似圖形的概念，掌握并運(yùn)用其性質(zhì).相似多邊形的性質(zhì)是中考考查的熱點(diǎn)，其中以相似多邊形的相似比、面積比、周長(zhǎng)比的關(guān)系考查較多．相似三角形的判定、性質(zhì)及應(yīng)用是考查的重點(diǎn)，常與方程、圓、四邊形、三角函數(shù)等相結(jié)合，進(jìn)行有關(guān)計(jì)算或證明．根底自主導(dǎo)學(xué)考點(diǎn)一比例線段1．比例線段的定義：在四條線段a，b，c，d中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，即(或a∶b＝c∶d)，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．2．比例線段的性質(zhì)：(1)根本性質(zhì)：eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)ad＝bc；(2)合比性質(zhì)：eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)eq\f(a＋b,b)＝eq\f(c＋d,d)；(3)等比性質(zhì)：假設(shè)eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)＝…＝eq\f(m,n)(b＋d＋…＋n≠0)，那么eq\f(a＋c＋…＋m,b＋d＋…＋n)＝eq\f(a,b).3．黃金分割：點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)，那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比．考點(diǎn)二相似多邊形1．定義：對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比，相似比為1的兩個(gè)多邊形全等．2．性質(zhì)：(1)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；(2)相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比；(3)相似多邊形面積的比等于相似比的平方．考點(diǎn)三相似三角形1．定義：各角對(duì)應(yīng)相等，各邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形．2．判定：(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；(2)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；(3)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；(4)三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似；(5)斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似．3．性質(zhì)：(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；(2)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比；(3)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方考點(diǎn)四圖形的位似1．定義：如果兩個(gè)圖形僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，那么這兩個(gè)圖形叫位似圖形．這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比稱為位似比．2．性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比．3．畫位似圖形的步驟(1)確定位似中心點(diǎn)；(2)連接圖形各頂點(diǎn)與位似中心的線段(或延長(zhǎng)線)；(3)按位似比進(jìn)行取點(diǎn)；(4)順次連接各點(diǎn)，所得的圖形就是所求圖形．1．假設(shè)eq\f(a－b,b)＝eq\f(2,3)，那么eq\f(a,b)＝()．A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3) C．eq\f(4,3) D．eq\f(5,3)2．如下圖的兩個(gè)四邊形相似，那么∠α的度數(shù)是()．A．87°B．60° C．75° D．120°3．如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，滿足∠ACD＝∠ABC，假設(shè)AC＝2，AD＝1，那么DB＝__________.4．如圖，圖中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的小正方形，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，假設(shè)△ABC與△A1B1C15．如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．△ACB和△DCE的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，ED的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F.(1)求證：△ACB∽△DCE；(2)求證：EF⊥AB．規(guī)律-方法探究一、相似圖形的性質(zhì)【例1】如圖，在長(zhǎng)為8cm、寬為4cm的矩形中，截去一個(gè)矩形，使得留下的矩形(圖中陰影局部)與原矩形相似，那么留下矩形的面積是()．A．2cm2B．4cm2C．8cm2D．解析：根據(jù)相似多邊形面積的比等于相似比的平方，得eq\f(S陰影,S原矩形)＝(eq\f(4,8))2，eq\f(S陰影,4×8)＝eq\f(1,4)，S陰影＝8(cm2)．答案：C相似多邊形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等，周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方，利用相似多邊形的性質(zhì)可求多邊形的邊長(zhǎng)、角、周長(zhǎng)或面積．二、相似三角形的性質(zhì)與判定【例2】如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE.(1)寫出圖中兩對(duì)相似三角形(不得添加字母和線)；(2)請(qǐng)分別說(shuō)明兩對(duì)三角形相似的理由．解：(1)△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE.(2)①證明△ABC∽△ADE.∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC．即∠BAC＝∠DAE.又∵∠ABC＝∠ADE.∴△ABC∽△ADE.②證明△ABD∽△ACE.∵△ABC∽△ADE，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(AC,AE)又∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE.判斷兩三角形相似時(shí)，首先看是否存在兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等；假設(shè)只有一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，再看夾這個(gè)角的兩邊是否成比例；假設(shè)無(wú)內(nèi)角相等，就考慮三組對(duì)應(yīng)邊是否成比例．如圖，△ABC是等邊三角形，CE是外角平分線，點(diǎn)D在AC上，連結(jié)BD并延長(zhǎng)與CE交于點(diǎn)E.(1)求證：△ABD∽△CED．(2)假設(shè)AB＝6，AD＝2CD，求BE的長(zhǎng)．三、位似圖形【例3】如圖，△ABC與△A′B′C′是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，假設(shè)OA＝2AA′，S△ABC＝8，那么S△A′B′C′＝__________.解析：位似圖形一定是相似圖形，并且對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比．∵OA＝2AA′，∴eq\f(OA,OA′)＝eq\f(2,3).∴△ABC與△A′B′C′的位似比是2∶3.∴eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)＝(eq\f(2,3))2.∵S△ABC＝8，∴S△A′B′C′＝18.答案：18位似圖形一定是相似圖形，利用相似多邊形的性質(zhì)解決所要求的問(wèn)題．四、相似三角形的應(yīng)用【例4】問(wèn)題背景：在某次活動(dòng)課中，甲、乙、丙三個(gè)學(xué)習(xí)小組于同一時(shí)刻在陽(yáng)光下對(duì)校園中的一些物體進(jìn)行了測(cè)量，下面是他們通過(guò)測(cè)量得到的一些信息：甲組：如圖(1)，測(cè)得一根直立于平地，長(zhǎng)為80cm的竹竿的影長(zhǎng)為60cm.乙組：如圖(2)，測(cè)得學(xué)校旗桿的影長(zhǎng)為900cm.丙組：如圖(3)，測(cè)得校園景燈(燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細(xì)忽略不計(jì))的高度為200cm，影長(zhǎng)為156cm.任務(wù)要求：(1)請(qǐng)根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計(jì)算出學(xué)校旗桿的高度；(2)如圖(3)，設(shè)太陽(yáng)光線NH與⊙O相切于點(diǎn)M.請(qǐng)根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑．(友情提示：如圖(3)，景燈的影長(zhǎng)等于線段NG的影長(zhǎng)；需要時(shí)可采用等式1562＋2082＝2602)解：(1)如題圖，△ABC∽△DEF，∴eq\f(AB,DE)＝eq\f(AC,DF)，∵AB＝80cm，AC＝60cm，DF＝900cm，∴eq\f(80,DE)＝eq\f(60,900).∴DE＝1200(cm)，即DE＝12m.故學(xué)校旗桿的高度是12m.(2)如題圖(3)，連接OM，設(shè)⊙O的半徑為rcm.與(1)類似得eq\f(AB,GN)＝eq\f(AC,GH)，即eq\f(80,GN)＝eq\f(60,156).∴GN＝208.在Rt△NGH中，根據(jù)勾股定理得NH2＝1562＋2082＝2602，∴NH＝260.∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH.那么∠OMN＝∠HGN＝90°，又∠ONM＝∠HNG.∴△OMN∽△HGN.∴eq\f(OM,HG)＝eq\f(ON,HN).又∵ON＝OI＋I(xiàn)N＝OI＋(GN－GI)＝r＋8，∴eq\f(r,156)＝eq\f(r＋8,260)，解得r＝12.∴景燈燈罩的半徑是12cm.應(yīng)用相似三角形解決實(shí)際問(wèn)題，首先要建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例或相似三角形的性質(zhì)建立等量關(guān)系求解．知能優(yōu)化訓(xùn)練1．(2021貴州銅仁)如圖，六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2∶1，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是()．A．∠E＝2∠KB．BC＝2HIC．六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)＝六邊形GHIJKL的周長(zhǎng)D．S六邊形ABCDEF＝2S六邊形GHIJKL2．(2021重慶)，△ABC∽△DEF，△ABC的周長(zhǎng)為3，△DEF的周長(zhǎng)為1，那么△ABC與△DEF的面積之比為__________．3．(2021浙江湖州)如圖，梯形ABCD，AD∥BC，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，△AOD與△BOC的面積之比為1∶9，假設(shè)AD＝1，那么BC的長(zhǎng)是__________．4．(2021山東菏澤)如圖，BD為⊙O的直徑，AB＝AC，AD交BC于點(diǎn)E，AE＝2，ED＝4，(1)求證：△ABE∽△ADB；(2)求AB的長(zhǎng)；(3)延長(zhǎng)DB到F，使得BF＝BO，連接FA，試判斷直線FA與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．1．如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，那么以下圖中的三角形(陰影局部)與△ABC相似的是()．2．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，那么以下結(jié)論：①BC＝2DE；②△ADE∽△ABC；③eq\f(AD,AE)＝eq\f(AB,AC)，其中正確的有()．A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC邊上，DE∥BC，假設(shè)AD∶AB＝3∶4，AE＝6，那么AC等于()．A．3 B．4 C．6 D．84．一張等腰三角形紙片，底邊長(zhǎng)15cm，底邊上的高長(zhǎng)22.5cm.現(xiàn)沿底邊依次從下往上裁剪寬度均為3cm的矩形紙條，如下圖．剪得的紙條中有一張是正方形，那么這張正方形紙條是()．A．第4張 B．第5張 C．第6張 D．第7張5．△ABC與△DEF相似且對(duì)應(yīng)中線的比為2∶3，那么△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比為__________．6．如圖，∠1＝∠2，添加一個(gè)條件：__________，使得△ADE∽△ACB．7．如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，G，F(xiàn)分別為AD，BC邊上的點(diǎn)，假設(shè)AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，那么GF的長(zhǎng)為__________．8．張明同學(xué)想利用樹影測(cè)量校園內(nèi)的樹高．他在某一時(shí)刻測(cè)得小樹高為1.5m時(shí)，其影長(zhǎng)為1.2m．當(dāng)他測(cè)量教學(xué)樓旁的一棵大樹影長(zhǎng)時(shí)，因大樹靠近教學(xué)樓，有一局部影子在墻上．經(jīng)測(cè)量，地面局部影長(zhǎng)為6.4m，墻上影長(zhǎng)為1.4m，那么這棵大樹高約為__________m.9．如圖，直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，AD∥BC，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AC上，∠DFC＝∠AEB．(1)求證：△ADF∽△CAE；(2)當(dāng)AD＝8，DC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)時(shí)，求直角梯形ABCD的面積．參考答案根底自主導(dǎo)學(xué)自主測(cè)試1．D2.A3．34.(9,0)5．證明：(1)∵eq\f(AC,DC)＝eq\f(3,2)，eq\f(BC,CE)＝eq\f(6,4)＝eq\f(3,2)，∴eq\f(AC,DC)＝eq\f(BC,CE).又∠ACB＝∠DCE＝90°，∴△ACB∽△DCE.(2)∵△ACB∽△DCE，∴∠ABC＝∠DEC.又∠ABC＋∠A＝90°，∴∠DEC＋∠A＝90°.∴∠EFA＝90°，∴EF⊥AB.規(guī)律方法探究變式訓(xùn)練解：(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°，∵CE是外角平分線，∴∠ACE＝60°，∴∠BAC＝∠ACE.又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED.(2)作BM⊥AC于點(diǎn)M(如圖)，AC＝AB＝6，∴AM＝CM＝3，BM＝AB·sin60°＝3eq\r(3).∵AD＝2CD，∴CD＝2，AD＝4，MD＝1.在Rt△BDM中，BD＝eq\r(BM2＋MD2)＝2eq\r(7).由(1)△ABD∽△CED得，eq\f(BD,ED)＝eq\f(AD,CD)，即eq\f(2\r(7),ED)＝2，∴ED＝eq\r(7)，∴BE＝BD＋ED＝3eq\r(7).知能優(yōu)化訓(xùn)練中考回憶1．B2.9∶13.34．解：(1)證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠C＝∠D.∴∠ABC＝∠D.又∵∠BAE＝∠EAB.∴△ABE∽△ADB.(2)∵△ABE∽△ADB，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(AE,AB)，∴AB2＝AD·AE＝(AE＋ED)·AE＝(2＋4)×2＝12.∴AB＝2eq\r(3).(3)直線FA與⊙O相切．理由如下：連接OA，∵BD為⊙O的直徑，∴∠BAD＝90°，∴BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝eq\r(12＋(2＋4)2)＝4eq\r(3)，BF＝BO＝eq\f(1,2)BD＝2eq\r(3)，∵AB＝2eq\r(3)，∴BF＝BO＝AB，∴∠OAF＝90°，∴直線FA與⊙O相切．模擬預(yù)測(cè)1．A2.A3.D4.C5．2∶36．∠D＝∠C(答案不唯一)7．38．9.49．解：(1)證明：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAF＝∠ACE.∵∠DF