南京數(shù)學(xué)高考試題及答案

南京數(shù)學(xué)高考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=x^2\)在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)是（）A.0B.1C.2D.32.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d\)為（）A.1B.2C.3D.43.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-1,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(m\)的值為（）A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)4.圓\((x-1)^2+(y+2)^2=4\)的圓心坐標(biāo)是（）A.\((1,-2)\)B.\((-1,2)\)C.\((1,2)\)D.\((-1,-2)\)5.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)6.不等式\(x^2-3x+2\lt0\)的解集是（）A.\(\{x|x\lt1\)或\(x\gt2\}\)B.\(\{x|1\ltx\lt2\}\)C.\(\{x|x\lt1\}\)D.\(\{x|x\gt2\}\)7.函數(shù)\(y=\log_2x\)的定義域是（）A.\((0,+\infty)\)B.\([0,+\infty)\)C.\((-\infty,0)\)D.\((-\infty,0]\)8.已知\(a\gtb\gt0\)，則下列不等式成立的是（）A.\(\frac{1}{a}\gt\frac{1}\)B.\(a^2\ltb^2\)C.\(\lna\gt\lnb\)D.\(2^a\lt2^b\)9.正方體的棱長為\(2\)，則其表面積為（）A.24B.36C.48D.9610.從\(5\)名男生和\(3\)名女生中選\(2\)人參加活動，恰好選到一男一女的概率是（）A.\(\frac{15}{28}\)B.\(\frac{5}{14}\)C.\(\frac{3}{14}\)D.\(\frac{1}{2}\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=|x|\)D.\(y=2^x\)2.以下哪些是直線的方程形式（）A.點斜式B.斜截式C.兩點式D.截距式3.對于橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)，以下說法正確的有（）A.長軸長為\(2a\)B.短軸長為\(2b\)C.焦距為\(2c\)（\(c^2=a^2-b^2\)）D.離心率\(e=\frac{c}{a}\)4.已知\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則下列向量運算正確的有（）A.\(\vec{a}+\vec=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)B.\(\vec{a}-\vec=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)C.\(\lambda\vec{a}=(\lambdax_1,\lambday_1)\)（\(\lambda\)為實數(shù)）D.\(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2\)5.下列數(shù)列中，是等比數(shù)列的有（）A.\(2,4,8,16,\cdots\)B.\(1,-1,1,-1,\cdots\)C.\(2,0,2,0,\cdots\)D.\(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\cdots\)6.關(guān)于函數(shù)\(y=\sinx\)，下列說法正確的是（）A.最小正周期是\(2\pi\)B.值域是\([-1,1]\)C.圖象關(guān)于原點對稱D.在\([0,\frac{\pi}{2}]\)上單調(diào)遞增7.下列函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=3^x\)C.\(y=\log_3x\)D.\(y=\tanx\)8.已知直線\(l_1:y=k_1x+b_1\)，\(l_2:y=k_2x+b_2\)，則\(l_1\parallell_2\)的條件有（）A.\(k_1=k_2\)B.\(b_1\neqb_2\)C.\(k_1k_2=-1\)D.\(k_1\neqk_2\)9.對于雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)，以下說法正確的是（）A.實軸長為\(2a\)B.虛軸長為\(2b\)C.漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)D.離心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c^2=a^2+b^2\)）10.以下哪些事件是隨機事件（）A.明天會下雨B.拋一枚硬幣正面朝上C.三角形內(nèi)角和為\(180^{\circ}\)D.從一副撲克牌中抽出一張是大王三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）3.若\(a^2=b^2\)，則\(a=b\)。（）4.直線\(x=1\)的斜率不存在。（）5.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta\)。（）6.等差數(shù)列的前\(n\)項和公式為\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)。（）7.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，圓心為\((a,b)\)，半徑為\(r\)。（）8.若向量\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}\perp\vec\)。（）9.指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的圖象恒過點\((0,1)\)。（）10.從\(n\)個不同元素中取出\(m\)（\(m\leqn\)）個元素的組合數(shù)公式為\(C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=3x^2-2x+1\)的對稱軸和頂點坐標(biāo)。答案：對于二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)，對稱軸\(x=-\frac{2a}\)，此函數(shù)\(a=3\)，\(b=-2\)，對稱軸\(x=\frac{1}{3}\)。把\(x=\frac{1}{3}\)代入得\(y=3\times(\frac{1}{3})^2-2\times\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}\)，頂點坐標(biāo)\((\frac{1}{3},\frac{2}{3})\)。2.已知\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(3,-1)\)，求\(\vec{a}+\vec\)與\(\vec{a}-\vec\)的坐標(biāo)。答案：\(\vec{a}+\vec=(1+3,2+(-1))=(4,1)\)；\(\vec{a}-\vec=(1-3,2-(-1))=(-2,3)\)。3.求等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=3\)，\(d=2\)，前\(10\)項的和\(S_{10}\)。答案：根據(jù)等差數(shù)列求和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)，\(n=10\)，\(a_1=3\)，\(d=2\)，則\(S_{10}=10\times3+\frac{10\times9}{2}\times2=30+90=120\)。4.求過點\((1,2)\)且斜率為\(3\)的直線方程。答案：根據(jù)點斜式方程\(y-y_0=k(x-x_0)\)（\((x_0,y_0)\)為直線所過點，\(k\)為斜率），這里\(x_0=1\)，\(y_0=2\)，\(k=3\)，則直線方程為\(y-2=3(x-1)\)，即\(y=3x-1\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)和\((-\infty,0)\)上的單調(diào)性，并說明理由。答案：在\((0,+\infty)\)上，任取\(x_1\ltx_2\)，\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\gt0\)，即\(f(x_1)\gtf(x_2)\)，所以單調(diào)遞減；同理在\((-\infty,0)\)上也單調(diào)遞減。2.已知直線\(l\)與圓\(C\)，討論直線與圓的位置關(guān)系有哪些判斷方法。答案：一是幾何法，計算圓心到直線的距離\(d\)，與圓半徑\(r\)比較，\(d\gtr\)相離，\(d=r\)相切，\(d\ltr\)相交；二是代數(shù)法，聯(lián)立直線與圓方程，消元得一元二次方程，根據(jù)判別式\(\Delta\)判斷，\(\Delta\lt0\)相離，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\gt0\)相交。3.討論等比數(shù)列與等差數(shù)列在通項公式、性質(zhì)等方面的區(qū)別與聯(lián)系。答案：通項公式上，等差數(shù)列\(zhòng)(a_n=a_1+(n-1)d\)，等比數(shù)列\(zhòng)(a_n=a_1q^{n-1}\)。性質(zhì)方面，等差數(shù)列有等差中項，等比數(shù)列有等比中項。聯(lián)系在于都是有規(guī)律的數(shù)列，在實際問題中都有廣泛應(yīng)用。4.討論在解三角形問題中，正弦定理和余弦定理的適用情況。答案：正弦定理適用于已知兩角一邊求其他邊和角，或已知兩邊和其中一邊的對角求其他邊和角；余弦定理適用于已知三邊求角，或已知兩邊及其夾角求第三邊，根據(jù)已知條