函授高等數(shù)學(xué)試題及答案

函授高等數(shù)學(xué)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=\sinx$的最小正周期是（）A.$\pi$B.$2\pi$C.$3\pi$D.$4\pi$2.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$的值為（）A.0B.1C.$\infty$D.不存在3.函數(shù)$y=x^2$在$x=1$處的導(dǎo)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.44.不定積分$\intxdx$等于（）A.$\frac{1}{2}x^2+C$B.$x^2+C$C.$\frac{1}{3}x^3+C$D.05.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(2,m)$，若$\vec{a}\parallel\vec$，則$m$的值為（）A.1B.4C.2D.-46.直線(xiàn)$y=2x+1$的斜率是（）A.1B.2C.-2D.$\frac{1}{2}$7.拋物線(xiàn)$y=x^2$的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.$(0,\frac{1}{4})$B.$(0,-\frac{1}{4})$C.$(\frac{1}{4},0)$D.$(-\frac{1}{4},0)$8.$\int_{0}^{1}x^2dx$的值為（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.1D.29.函數(shù)$y=e^x$的導(dǎo)數(shù)是（）A.$e^x$B.$-e^x$C.$xe^x$D.$\frac{1}{x}e^x$10.設(shè)$z=x+iy$（$i$為虛數(shù)單位），則$|z|$等于（）A.$\sqrt{x^2+y^2}$B.$x+y$C.$\sqrt{x^2-y^2}$D.$x-y$二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中是偶函數(shù)的有（）A.$y=x^2$B.$y=\cosx$C.$y=e^x+e^{-x}$D.$y=\sinx$2.下列極限存在的是（）A.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}$C.$\lim_{x\to1}(x^2+2x-3)$D.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$3.關(guān)于導(dǎo)數(shù)，以下說(shuō)法正確的是（）A.導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)的變化率B.可導(dǎo)函數(shù)一定連續(xù)C.連續(xù)函數(shù)一定可導(dǎo)D.函數(shù)在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為0則該點(diǎn)是極值點(diǎn)4.下列積分計(jì)算正確的是（）A.$\intx^3dx=\frac{1}{4}x^4+C$B.$\int\cosxdx=\sinx+C$C.$\int\sinxdx=-\cosx+C$D.$\inte^xdx=e^x+C$5.向量$\vec{a}=(1,-1)$，$\vec=(2,k)$，下列使$\vec{a}$與$\vec$垂直的$k$值有（）A.2B.-2C.-1D.16.下列方程表示圓的有（）A.$x^2+y^2=1$B.$x^2+y^2-2x+4y=0$C.$x^2+2y^2=1$D.$(x+1)^2+(y-3)^2=5$7.對(duì)于二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），當(dāng)（）時(shí)，函數(shù)有最小值。A.$a\gt0$B.$a\lt0$C.對(duì)稱(chēng)軸$x=-\frac{2a}$D.判別式$\Delta=b^2-4ac\leq0$8.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）A.$y=x^3$B.$y=e^x$C.$y=\lnx$（$x\gt0$）D.$y=-x^2$9.下列關(guān)于數(shù)列極限說(shuō)法正確的是（）A.收斂數(shù)列極限唯一B.有界數(shù)列一定收斂C.無(wú)界數(shù)列一定發(fā)散D.單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列一定收斂10.已知函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可積，則（）A.$\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx$B.$\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx$（$k$為常數(shù)）C.$\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx$D.$\int_{a}^f(x)dx=f(b)-f(a)$三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。（）2.$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$。（）3.函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處的導(dǎo)數(shù)$f^\prime(x_0)$就是曲線(xiàn)$y=f(x)$在點(diǎn)$(x_0,f(x_0))$處的切線(xiàn)斜率。（）4.不定積分$\intf^\prime(x)dx=f(x)$。（）5.向量$\vec{a}=(1,2)$與向量$\vec=(2,4)$是共線(xiàn)向量。（）6.直線(xiàn)$Ax+By+C=0$（$A,B$不同時(shí)為0）的斜率為$-\frac{A}{B}$。（）7.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a\gtb\gt0$）的離心率$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$。（）8.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，那么$\int_{a}^f(x)dx$一定存在。（）9.函數(shù)$y=\sin^2x$的導(dǎo)數(shù)$y^\prime=2\sinx$。（）10.數(shù)列$\{(-1)^n\}$的極限不存在。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$y=x^3-3x^2+1$的導(dǎo)數(shù)。答：根據(jù)求導(dǎo)公式$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$，對(duì)$y=x^3-3x^2+1$求導(dǎo)，$y^\prime=(x^3)^\prime-(3x^2)^\prime+(1)^\prime=3x^2-6x$。2.計(jì)算定積分$\int_{0}^{2}(x+1)dx$。答：先求原函數(shù)，$\int(x+1)dx=\frac{1}{2}x^2+x+C$。再根據(jù)牛頓-萊布尼茨公式，$\int_{0}^{2}(x+1)dx=(\frac{1}{2}\times2^2+2)-(\frac{1}{2}\times0^2+0)=4$。3.求過(guò)點(diǎn)$(1,2)$且斜率為3的直線(xiàn)方程。答：由直線(xiàn)點(diǎn)斜式方程$y-y_0=k(x-x_0)$（其中$(x_0,y_0)$為直線(xiàn)上一點(diǎn)，$k$為斜率），已知點(diǎn)$(1,2)$，斜率$k=3$，則直線(xiàn)方程為$y-2=3(x-1)$，整理得$y=3x-1$。4.判斷函數(shù)$f(x)=x^3-x$的奇偶性。答：函數(shù)$f(x)$定義域?yàn)?R$關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且$f(-x)=(-x)^3-(-x)=-x^3+x=-(x^3-x)=-f(x)$，所以$f(x)$是奇函數(shù)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$的定義域、值域和單調(diào)性。答：定義域?yàn)?x\neq1$。當(dāng)$x\to\pm\infty$，$y\to0$；$x\to1^+$，$y\to+\infty$，$x\to1^-$，$y\to-\infty$，值域?yàn)?y\neq0$。在$(-\infty,1)$和$(1,+\infty)$上，隨著$x$增大，$y$減小，函數(shù)在這兩個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減。2.請(qǐng)闡述導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，并舉例說(shuō)明。答：導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中用于求最值問(wèn)題。如在成本控制、優(yōu)化生產(chǎn)等方面。例如在生產(chǎn)杯子的問(wèn)題中，已知成本與杯子產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)求導(dǎo)找到導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，即成本變化率為0的點(diǎn)，可確定生產(chǎn)多少杯子成本最低。3.論述直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系有哪些判定方法。答：①幾何法：計(jì)算圓心到直線(xiàn)的距離$d$，與圓半徑$r$比較。$d\gtr$時(shí)，直線(xiàn)與圓相離；$d=r$時(shí)，相切；$d\ltr$時(shí)，相交。②代數(shù)法：聯(lián)立直線(xiàn)與圓的方程，得一元二次方程，根據(jù)判別式$\Delta$判斷。$\Delta\lt0$相離；$\Delta=0$相切；$\Delta\gt0$相交。4.結(jié)合實(shí)例，談?wù)剬?duì)極限概念的理解。答：例如，考慮通過(guò)不斷增加正多邊形的邊數(shù)來(lái)逼近圓形。當(dāng)邊數(shù)$n$無(wú)限增大時(shí)，正多邊形的周長(zhǎng)與圓的周長(zhǎng)越來(lái)越接近，其面積也越來(lái)越接近圓的面積。這里$n$趨于無(wú)窮就是極限概念的體現(xiàn)，反映了從有限到無(wú)限、從近似到精確的演變過(guò)程。答案單項(xiàng)選