浙江省杭州地區(qū)七校2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末調(diào)研模擬試題含解析

浙江省杭州地區(qū)七校2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末調(diào)研模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知實(shí)數(shù)，滿足，則與的關(guān)系是（）A． B． C． D．2．設(shè)，向量，若，則等于()A． B． C．－4 D．43．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由變成時，左邊增加了（）A．1項 B．項 C．項 D．項4．在等比數(shù)列中，“是方程的兩根”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．設(shè)F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點(diǎn)．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A． B．C．2 D．6．復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．7．函數(shù)f(x)=3A． B． C． D．8．若某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的值是（）A． B． C． D．9．點(diǎn)是雙曲線在第一象限的某點(diǎn)，、為雙曲線的焦點(diǎn).若在以為直徑的圓上且滿足，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.10．已知集合，，則（）A． B． C． D．11．已知復(fù)數(shù),則的共軛復(fù)數(shù)()A． B． C． D．12．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位），則等于（）A．2 B．-2 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，則t的取值范圍為________.14．兩根相距的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，則燈與兩端距離都大于的概率是__________．15．已知，在某一個最小正周期內(nèi)，函數(shù)圖象的一個最高點(diǎn)和最低點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)分別為和，則______________.16．若，滿足不等式，則的取值范圍是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小值；（2）當(dāng)時，記函數(shù)的所有單調(diào)遞增區(qū)間的長度為，所有單調(diào)遞減區(qū)間的長度為，證明：．（注：區(qū)間長度指該區(qū)間在軸上所占位置的長度，與區(qū)間的開閉無關(guān)．）18．（12分）某中學(xué)開設(shè)了足球、籃球、乒乓球、排球四門體育課程供學(xué)生選學(xué)，每個學(xué)生必須且只能選學(xué)其中門課程.假設(shè)每個學(xué)生選學(xué)每門課程的概率均為，對于該校的甲、乙、丙名學(xué)生，回答下面的問題.（1）求這名學(xué)生選學(xué)課程互不相同的概率；（2）設(shè)名學(xué)生中選學(xué)乒乓球的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.19．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)為何值時，軸為曲線的切線;（2）若存在（是自然對數(shù)的底數(shù)），使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）[選修4-5：不等式選講]已知函數(shù)的最小值為.（1）求的值；（2）若不等式恒成立，求的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若在上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．（10分）已知數(shù)列的前項和為，且，.（Ⅰ）試計算，，，，并猜想的表達(dá)式；（Ⅱ）求出的表達(dá)式，并證明（Ⅰ）中你的猜想.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

設(shè)，，則，對進(jìn)行平方展開化簡得，代入得，兩式相加即可.【詳解】設(shè)，，則且，等式兩邊同時平方展開得：，即令等式中，化簡后可得：兩式相加可得故選：C本題考查了代數(shù)式的計算化簡求值，考查了換元法，屬于中檔題2、D【解析】

直接利用向量垂直的充要條件列方程求解即可.【詳解】因?yàn)?，且，所以，化為，解得，故選D.利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是命題的熱點(diǎn)，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.3、D【解析】

分別寫出、時，不等式左邊的式子，從而可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，不等式左邊為，當(dāng)時，不等式左邊為，則增加了項，故選D.項數(shù)的變化規(guī)律，是利用數(shù)學(xué)歸納法解答問題的基礎(chǔ)，也是易錯點(diǎn)，要使問題順利得到解決，關(guān)鍵是注意兩點(diǎn)：一是首尾兩項的變化規(guī)律；二是相鄰兩項之間的變化規(guī)律.4、A【解析】

由韋達(dá)定理可得a4+a12＝﹣3，a4?a12＝1，得a4和a12均為負(fù)值，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得．【詳解】∵a4，a12是方程x2+3x+1＝0的兩根，∴a4+a12＝﹣3，a4?a12＝1，∴a4和a12均為負(fù)值，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a8為負(fù)值，且a82＝a4?a12＝1，∴a8＝﹣1，故“a4，a12是方程x2+3x+1＝0的兩根”是“a8＝±1”的充分不必要條件.故選A．本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)和韋達(dá)定理，注意等比數(shù)列隔項同號，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解析】

準(zhǔn)確畫圖，由圖形對稱性得出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率．【詳解】設(shè)與軸交于點(diǎn)，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心．，又點(diǎn)在圓上，，即．，故選A．本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運(yùn)算繁瑣，準(zhǔn)確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點(diǎn)問題，需強(qiáng)化練習(xí)，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來．6、D【解析】

化簡，由共軛復(fù)數(shù)的定義即可得到答案。【詳解】由于，所以的共軛復(fù)數(shù)是，故答案選D.本題考查復(fù)數(shù)乘除法公式以及共軛復(fù)數(shù)的定義。7、B【解析】

取特殊值排除得到答案.【詳解】f(x)=3x故答案選B本題考查了函數(shù)圖像的判斷，特殊值可以簡化運(yùn)算.8、C【解析】

運(yùn)行程序，當(dāng)時退出程序，輸出的值.【詳解】運(yùn)行程序，，判斷否，，判斷否，，……，以此類推，，判斷是，退出循環(huán)，輸出，故選C.本小題主要考查計算循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖輸出的結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】試題分析：根據(jù)題畫圖，可知P為圓與雙曲線的交點(diǎn)，根據(jù)雙曲線定義可知：，所以，又，即，所以，，雙曲線離心率，所以?？键c(diǎn)：雙曲線的綜合應(yīng)用。10、A【解析】分析：根據(jù)題意，求得集合，再利用集合的運(yùn)算，即可求解．詳解：由題意，，所以，故選A．點(diǎn)睛：本題主要考查了集合的運(yùn)算問題，其中正確求解集合是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．11、A【解析】

對復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡，然后得到，再求出共軛復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)?，所以，所以的共軛?fù)數(shù)故選A項.本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于簡單題.12、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后再利用純虛數(shù)的定義即可得出．【詳解】∵復(fù)數(shù)（1+ai）（1﹣i）＝1+a+（1a﹣1）i是純虛數(shù)，∴，解得a＝﹣1．故選B．本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算、純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)二次函數(shù)的圖象以及基本不等式的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】由于當(dāng)x＞0時，f（x）=x++t在x=1時取得最小值為2+t，由題意當(dāng)x≤0時，f（x）=（x﹣t）2，若t≥0，此時最小值為f（0）=t2，故t2≤t+2，即t2﹣t﹣2≤0，解得﹣1≤t≤2，此時0≤t≤2，若t＜0，則f（t）＜f（0），條件不成立．故答案為：[0，2]．本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．14、【解析】在距繩子兩段兩米處分別取A，B兩點(diǎn)，當(dāng)繩子在線段AB上時（不含端點(diǎn)），符合要求，所以燈與兩端距離都大于2m的概率為，故填．15、1【解析】

由函數(shù)圖象的一個最高點(diǎn)和最低點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)分別為和求得周期，再由周期公式求解即可.【詳解】由函數(shù)圖象的一個最高點(diǎn)和最低點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)分別為和，得，所以，所以，即.故答案為：1本題主要考查正弦型函數(shù)周期的求法和周期公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【詳解】解：由，滿足不等式作出可行域如圖，

令，目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過A點(diǎn)時取的最小值，

聯(lián)立，解得時得最小值，．

目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過B點(diǎn)時取的最大值，

聯(lián)立，解得，此時取得最大值，．

所以，z＝2x＋y的取值范圍是．

故答案為：本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析【解析】

（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后求最值；（2）根據(jù)（1）首先求函數(shù)的零點(diǎn)，從而去掉的絕對值，分段求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后再比較單調(diào)區(qū)間的長度.【詳解】解（1）因?yàn)椋栽趩握{(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以.（2）由（1）可知，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增又，，所以存在，使得，則當(dāng)時，，當(dāng)時，所以，記，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.當(dāng)或時，當(dāng)時即在單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以則當(dāng)時，令，有所以當(dāng)時，，在單調(diào)遞減綜上，在與單調(diào)遞減，在與單調(diào)遞增.所以，又所以，即本題考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題型，本題的一個難點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)，其中一個是，另一個不確定，只能估算其范圍，設(shè)為，所以再求當(dāng)或時，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，也需估算比較的范圍，確定時函數(shù)的減區(qū)間，這種估算零點(diǎn)存在性問題，是導(dǎo)數(shù)?？碱}型.18、（1）；（2）分布列見解析，期望為．【解析】分析：（1）每個學(xué)生必須且只能選學(xué)其中門課程，每一個人都有4種選擇，共有，名學(xué)生選學(xué)課程互不相同，則有種，從而求解；（2）的所有可能取值為，，，，分別算出對應(yīng)的概率，再利用期望公式求解.詳解：（1）名學(xué)生選學(xué)的課程互不相同的概率.（2）的所有可能取值為，，，，，，，，∴的分布列為：.點(diǎn)睛：求隨機(jī)變量及其分布列的一般步驟(1)明確隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義．(2)利用排列、組合知識或互斥事件、獨(dú)立事件的概率公式求出隨機(jī)變量取每個可能值的概率；(3)按規(guī)范形式寫出隨機(jī)變量的分布列，并用分布列的性質(zhì)驗(yàn)證．19、（1）（2）【解析】

（1）設(shè)曲線與軸相切于點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，列出方程組，即可求解；（2）把不等式成立，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解．【詳解】（1）設(shè)曲線與軸相切于點(diǎn)，則，，即，解得，即當(dāng)時，軸為曲線的切線．（2）由題意知，即，設(shè)，則，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減;當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增.存在，使成立，等價于，即，又，，故，所以.本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及恒成立問題的求解，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．20、（1）（2）【解析】分析：（1）分類討論的取值情況，去絕對值；根據(jù)最小值確定的值．（2）代入的值，由絕對值不等式確定表達(dá)式；去絕對值解不等式即可得到最后取值范圍．詳解：（1），所以最小值為，即.（2）由（1）知，恒成立，由于，等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立，故，解得或.所以的取值范圍為.點(diǎn)睛：本題綜合考查了分類討論解絕對值不等式，根據(jù)絕對值不等式成立條件確定參數(shù)的范圍，屬于中檔題．21、（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，極小值是（2）【解析】

易知，函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)時，當(dāng)x變化時，和的值的變化情況如下表：x10遞減極小值遞增由上表可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，極小值是由，得又函數(shù)為上單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)為上的單調(diào)增函數(shù)，則在上恒成立，即不等式在上恒成立．也即在上恒成立，而在上的最大值為，所以若函數(shù)為上的單調(diào)減函數(shù)，根據(jù)，在上，沒有最小值所以在上是不可能恒成立的綜上，a的取值范圍為本