浙江省麗水、湖州、衢州市2025屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題含解析

浙江省麗水、湖州、衢州市2025屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．現(xiàn)有8個(gè)人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法的種數(shù)為（）A． B． C． D．2．在等差數(shù)列中，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則的前10項(xiàng)和等于（）A． B．15 C．30 D．3．函數(shù)的定義域?yàn)?)A． B． C． D．4．用秦九韶算法求次多項(xiàng)式，當(dāng)時(shí)，求需要算乘方、乘法、加法的次數(shù)分別為（）A． B． C． D．5．將點(diǎn)的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)是(

)A． B． C． D．6．下列四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）①命題“若，則”；②命題“且為真，則有且只有一個(gè)為真命題”；③命題“所有冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)”；④命題“已知是的充分不必要條件”.A．1 B．2 C．3 D．47．已知函數(shù)圖象如圖，是的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（）A．B．C．D．8．若正數(shù)滿足，則當(dāng)取最小值時(shí)，的值為（）A． B． C． D．9．在一次期中考試中，數(shù)學(xué)不及格的人數(shù)占，語(yǔ)文不及格占，兩門(mén)都不及格占，若一名學(xué)生語(yǔ)文及格，則該生數(shù)學(xué)不及格的概率為（）A． B． C． D．10．從混有4張假鈔的10張一百元紙幣中任意抽取3張，若其中一張是假幣的條件下，另外兩張都是真幣的概率為（）A． B． C． D．11．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A．64 B．30 C．15 D．1612．若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，則的離心率為（）A．2 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復(fù)數(shù)z和ω滿足|z|-z=41-i，且ω14．用數(shù)學(xué)歸納法證明，在第二步證明從到成立時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)是_____項(xiàng)．15．某學(xué)校食堂早餐只有花卷、包子、面條和蛋炒飯四種主食可供食用，有5名同學(xué)前去就餐，每人只選擇其中一種，且每種主食都至少有一名同學(xué)選擇．已知包子數(shù)量不足僅夠一人食用，甲同學(xué)腸胃不好不會(huì)選擇蛋炒飯，則這5名同學(xué)不同的主食選擇方案種數(shù)為_(kāi)_______．（用數(shù)字作答）16．己知矩陣，若矩陣C滿足，則矩陣C的所有特征值之和為_(kāi)___.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）寫(xiě)出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程：（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，求的最小值及此時(shí)的直角坐標(biāo).18．（12分）已知為正實(shí)數(shù)，函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值；（2）若函數(shù)的最大值是，求的最小值.19．（12分）從裝有2只紅球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同.(Ⅰ)若抽取后又放回，抽3次.(ⅰ)分別求恰2次為紅球的概率及抽全三種顏色球的概率；(ⅱ)求抽到紅球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望及方差.(Ⅱ)若抽取后不放回，寫(xiě)出抽完紅球所需次數(shù)的分布列.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，是的中點(diǎn).（1）求三棱錐的體積；（2）求異面直線和所成的角（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）21．（12分）在中，已知.（1）求角的余弦值；（2）若，邊上的中線，求的面積.22．（10分）把6本不同的書(shū)，全部分給甲，乙，丙三人，在下列不同情形下，各有多少種分法？（用數(shù)字作答）(Ⅰ)甲得2本；(Ⅱ)每人2本；(Ⅲ)有1人4本，其余兩人各1本．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】先排剩下5人，再?gòu)漠a(chǎn)生的6個(gè)空格中選3個(gè)位置排甲、乙、丙三人，即，選C.2、B【解析】由題意得是方程的兩根，∴，∴．選B．3、D【解析】

分析每個(gè)根號(hào)下的范圍，取交集后得到定義域.【詳解】因?yàn)?，所以，則定義域?yàn)?故選：D.本題考查函數(shù)含根號(hào)的函數(shù)定義問(wèn)題，難度較易.注意根號(hào)下大于等于零即可.4、D【解析】求多項(xiàng)式的值時(shí)，首先計(jì)算最內(nèi)層括號(hào)內(nèi)一次多項(xiàng)式的值，即然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，即..….這樣,求n次多項(xiàng)式f(x)的值就轉(zhuǎn)化為求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值．∴對(duì)于一個(gè)n次多項(xiàng)式，至多做n次乘法和n次加法故選D.5、A【解析】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化由點(diǎn)M的極坐標(biāo)，知極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為，所以的直角坐標(biāo)為即故正確答案為A6、C【解析】

①令，研究其單調(diào)性判斷.②根據(jù)“且”構(gòu)成的復(fù)合命題定義判斷.③根據(jù)冪函數(shù)的圖象判斷.④由，判斷充分性，取特殊值判斷必要性.【詳解】①令，，所以在上遞增所以，所以，故正確.②若且為真，則都為真命題，故錯(cuò)誤.③因?yàn)樗袃绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故正確.④因?yàn)?，所以，故充分性成立，?dāng)時(shí)，推不出，所以不必要，故正確.故選：C本題主要考查命題的真假判斷，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】結(jié)合函數(shù)的圖像可知過(guò)點(diǎn)的切線的傾斜角最大，過(guò)點(diǎn)的切線的傾斜角最小，又因?yàn)辄c(diǎn)的切線的斜率，點(diǎn)的切線斜率，直線的斜率，故，應(yīng)選答案C．點(diǎn)睛：本題旨在考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義與函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．求解時(shí)充分借助題設(shè)中所提供的函數(shù)圖形的直觀，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解答．先將經(jīng)過(guò)兩切點(diǎn)的直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與函數(shù)的圖像相切，再將經(jīng)過(guò)兩切點(diǎn)的直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與函數(shù)的圖像相切，這個(gè)過(guò)程很容易發(fā)現(xiàn)，從而將問(wèn)題化為直觀圖形的問(wèn)題來(lái)求解．8、A【解析】

根據(jù)正數(shù)滿足，利用基本不等式有，再研究等號(hào)成立的條件即可.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)滿足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：A本題主要考查基本不等式取等號(hào)的條件，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

記“一名學(xué)生語(yǔ)文及格”為事件A，“該生數(shù)學(xué)不及格”為事件B，所求即為，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，和題設(shè)數(shù)據(jù)，即得解.【詳解】記“一名學(xué)生語(yǔ)文及格”為事件A，“該生數(shù)學(xué)不及格”為事件B，所求即為：故選：A本題考查了條件概率的計(jì)算，考查了學(xué)生概念理解，實(shí)際應(yīng)用，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】分析:直接利用條件概率公式求解.詳解：由條件概率公式得.故答案為A點(diǎn)睛：（1）本題主要考查條件概率，意在考查學(xué)生對(duì)條件概率的掌握水平.(2)條件概率一般有“在已發(fā)生的條件下”這樣的關(guān)鍵詞，表明這個(gè)條件已經(jīng)發(fā)生，發(fā)生了才能稱為條件概率.但是有時(shí)也沒(méi)有，要靠自己利用條件概率的定義識(shí)別.11、C【解析】

求出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，由此求得常數(shù)項(xiàng).【詳解】依題意，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)，故常數(shù)項(xiàng)為，故選C.本小題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】由幾何關(guān)系可得，雙曲線的漸近線方程為，圓心到漸近線距離為，則點(diǎn)到直線的距離為，即，整理可得，雙曲線的離心率．故選A．點(diǎn)睛:雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1+i或-1-i【解析】

本題首先可以設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，由|z|-z=41-i，可得a=0、b=22，則【詳解】設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，由|z|-z=4所以a2+b所以z=2i。令ω=m+ni(m,n∈R)，由ω2=z，得所以2mn=2m2-n2所以ω=1+i或-1-i。故答案為：1+i或-1-i。本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)相等的條件，是中檔題。復(fù)數(shù)的運(yùn)算，難點(diǎn)是乘除法法則，設(shè)z1則z1z114、【解析】

根據(jù)等式時(shí)，考慮和時(shí)，等式左邊的項(xiàng)，再把時(shí)等式的左端減去時(shí)等式的左端，即可得到答案．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，等式左端，當(dāng)時(shí)，等式左端，所以增加的項(xiàng)數(shù)為：即增加了項(xiàng)．故答案為：．此題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的問(wèn)題，解答的關(guān)鍵是明白等式左邊項(xiàng)的特點(diǎn)，再把時(shí)等式的左端減去時(shí)等式的左端，屬于基礎(chǔ)題．15、1【解析】

分類(lèi)討論：甲選包子，則有2人選同一種主食，剩下2人選其余主食；甲不選包子，其余4人中1人選包子，方法為4種，甲花卷或面條，方法為2種，其余3人，有1人選甲選的主食，剩下2人選其余主食，或沒(méi)有人選甲選的主食，相加后得到結(jié)果．【詳解】分類(lèi)討論：甲選包子，則有2人選同一種主食，方法為=18，剩下2人選其余主食，方法為=2，共有方法18×2=36種；甲不選包子，其余4人中1人選包子，方法為4種，甲花卷或面條，方法為2種，其余3人，若有1人選甲選的主食，剩下2人選其余主食，方法為3=6；若沒(méi)有人選甲選的主食，方法為=6，共有4×2×（6+6）=96種，故共有36+96=1種，故答案為：1．(1)解排列組合問(wèn)題要遵循兩個(gè)原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)；二是按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步．具體地說(shuō)，解排列組合問(wèn)題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配問(wèn)題，往往是先分組再分配．在分組時(shí)，通常有三種類(lèi)型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類(lèi)型中，不同分組方法的求法．16、2【解析】

本題根據(jù)矩陣乘法運(yùn)算解出矩陣C，再依據(jù)特征多項(xiàng)式求出特征值，即可得到所有特征值之和．【詳解】解：由題意，可設(shè)C＝，則有?＝．即，解得．∴C＝．∵f（λ）＝＝（λ﹣1）（λ﹣4）+2＝λ2﹣2λ+6＝（λ﹣2）（λ﹣1）＝0，∴特征值λ1＝2，λ2＝1．∴λ1+λ2＝2+1＝2．故答案為：2．本題主要考查矩陣乘法運(yùn)算及依據(jù)特征多項(xiàng)式求出特征值，本題不難，但有一定綜合性．本題屬基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為；（Ⅱ）最小值為，此時(shí)的直角坐標(biāo)為.【解析】

（Ⅰ）曲線，利用消掉參數(shù)即可，曲線，利用化簡(jiǎn)即可。（Ⅱ）利用點(diǎn)到直線的距離公式，代入化簡(jiǎn)即可求出最小值。【詳解】解：（I）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為.（II）由題意，可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.因?yàn)槭侵本€，所以的最小值即為到的距離的最小值，，當(dāng)且僅當(dāng)（）時(shí)，取得最小值，最小值為，此時(shí)的直角坐標(biāo)為.本題考查直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，掌握互化公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。18、（1）.（2）【解析】

（1）利用絕對(duì)值三角不等式即可求得結(jié)果；（2）由（1）可得，利用柯西不等式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由絕對(duì)值三角不等式得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.為正實(shí)數(shù)，，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），的最大值為.（2）由（1）知：，即.，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)取等號(hào)）.的最小值為.本題考查利用絕對(duì)值三角不等式和柯西不等式求解最值的問(wèn)題；利用柯西不等式的關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知等式的形式，配湊出符合柯西不等式形式的式子，屬于?？碱}型.19、(1)①;②見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析.【解析】分析：（1）(ⅰ)放回事件是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式求結(jié)果，(ⅱ)抽到紅球次數(shù)服從二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布期望與方差公式求結(jié)果，（2）先確定隨機(jī)變量取法，再根據(jù)組合數(shù)求對(duì)應(yīng)概率，列表可得分布列.詳解：（1）抽1次得到紅球的概率為，得白球的概率為得黑球的概率為①所以恰2次為紅色球的概率為抽全三種顏色的概率②～B(3,),則，（2）的可能取值為2，3，4，5,,，即分布列為：2345P點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見(jiàn)的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式，以及對(duì)立事件的概率公式等)，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步是“寫(xiě)分布列”，即按規(guī)范形式寫(xiě)出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見(jiàn)的典型分布(如二項(xiàng)分布)，則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得.因此，應(yīng)熟記常見(jiàn)的典型分布的期望公式，可加快解題速度.20、（1）；（2）.【解析】

（1）利用三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出；（2）由于，可得或其補(bǔ)角為異面直線和所成的角，由平面，可得，再利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出【詳解】（1）平面，底面ABCD是矩形，高，，，，故（2），或其補(bǔ)角為異面直線和所成的角，又平面ABCD，，又，平面PAB，，于是在中，，，，異面直線和所成的角是本題考查三棱錐體積公式的計(jì)算，異面直線所成的夾角，屬于基礎(chǔ)題21、(1)(2)1【解析】

（1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式可得，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值．（2）由已知，兩邊平方，利用平面向量的運(yùn)算可求CA的值，根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，由三角函?shù)的基本關(guān)系式，可得，解得．（2）因?yàn)?，?/p>