2026版步步高大一輪數(shù)學(xué)江蘇基礎(chǔ)第九章§9.3一元線性回歸模型及其應(yīng)用（含答案或解析）

§9.3一元線性回歸模型及其應(yīng)用課標(biāo)要求1.了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.2.了解最小二乘法原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法.3.針對(duì)實(shí)際問(wèn)題，會(huì)用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè).1.變量的相關(guān)關(guān)系(1)相關(guān)關(guān)系：兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.(2)相關(guān)關(guān)系的分類：和.(3)線性相關(guān)：一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在附近，我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān).2.樣本相關(guān)系數(shù)(1)r＝nΣ(2)當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)；當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù).(3)|r|≤1；當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越；當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越.3.一元線性回歸模型(1)我們將y^＝b^x+a^其中b(2)殘差：減去所得的差稱為殘差.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.()(2)散點(diǎn)圖是判斷兩個(gè)變量相關(guān)關(guān)系的一種重要方法和手段.()(3)經(jīng)驗(yàn)回歸直線y^＝b^x+a^至少經(jīng)過(guò)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x(4)樣本相關(guān)系數(shù)越小，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.()2.(多選)下列說(shuō)法正確的是()A.若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則樣本相關(guān)系數(shù)r的值越接近于1B.當(dāng)r＝1時(shí)，兩變量呈函數(shù)關(guān)系C.當(dāng)經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^＝0.3－0.7x時(shí)，變量x和yD.在經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^＝0.4+0.5x中，當(dāng)x每增加1個(gè)單位時(shí)，相應(yīng)觀測(cè)值y3.(2024·茂名模擬)已知變量x和y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：x12345y66788根據(jù)上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^＝0.6x+a^，據(jù)此可以預(yù)測(cè)當(dāng)x＝8時(shí)，A.8.5 B.9 C.9.5 D.104.色差和色度是衡量毛絨玩具質(zhì)量?jī)?yōu)劣的重要指標(biāo)，現(xiàn)抽檢一批產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的色度y和色差x之間滿足線性相關(guān)關(guān)系，且y^＝0.8x－1.8，現(xiàn)有一對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)為(33，25.2)，則該數(shù)據(jù)的殘差為1.經(jīng)驗(yàn)回歸直線過(guò)點(diǎn)(x，y).2.求b^時(shí)，常用公式b3.回歸分析是基于成對(duì)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)或推斷，得出的結(jié)論都可能犯錯(cuò)誤.題型一成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性例1(1)對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于其樣本相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是()A.r4<r2<0<r1<r3 B.r2<r4<0<r3<r1C.r2<r4<0<r1<r3 D.r4<r2<0<r3<r1(2)(2024·石家莊模擬)某校為了解本校高一男生身高和體重的相關(guān)關(guān)系，在該校高一年級(jí)隨機(jī)抽取了7名男生，測(cè)量了他們的身高和體重得下表：身高x(單位：cm)167173175177178180181體重y(單位：kg)90545964677276由表格制作成如圖所示的散點(diǎn)圖：由最小二乘法計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線l1的方程為y^＝b^1x+a^1，其樣本相關(guān)系數(shù)為r1；經(jīng)過(guò)殘差分析，點(diǎn)(167，90)對(duì)應(yīng)殘差過(guò)大，把它去掉后，再用剩下的6組數(shù)據(jù)計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線l2的方程為yA.b^1<b^2，a^1>aB.b^1<b^2，a^1<aC.b^1>b^2，a^1<aD.b^1>b^2，a^1>a思維升華判定兩個(gè)變量相關(guān)性的方法(1)畫(huà)散點(diǎn)圖：若點(diǎn)的分布從左下角到右上角，則兩個(gè)變量正相關(guān)；若點(diǎn)的分布從左上角到右下角，則兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).(2)樣本相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，負(fù)相關(guān)；|r|越接近1，線性相關(guān)性越強(qiáng).(3)經(jīng)驗(yàn)回歸方程：當(dāng)b^>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)b跟蹤訓(xùn)練1(多選)下列有關(guān)回歸分析的結(jié)論中，正確的有()A.若經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^＝5+2x，則變量y與xB.運(yùn)用最小二乘法求得的經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)(x，y)C.若r1表示變量x與y之間的樣本相關(guān)系數(shù)，r2表示變量u與v之間的樣本相關(guān)系數(shù)，且r1＝0.837，r2＝－0.957，則x與y之間的線性相關(guān)性強(qiáng)于u與v之間的線性相關(guān)性D.若散點(diǎn)圖中所有點(diǎn)都在直線y＝0.93x－3.6上，則樣本相關(guān)系數(shù)r＝0.93題型二回歸模型命題點(diǎn)1一元線性回歸模型例2根據(jù)統(tǒng)計(jì)，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y(百千克)與某種液體肥料每畝的使用量x(千克)之間對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示.(1)從散點(diǎn)圖可以看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)r并判斷它們的相關(guān)程度；(2)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^＝b^附：r＝nΣb^＝n命題點(diǎn)2非線性回歸模型例3某大型現(xiàn)代化農(nóng)場(chǎng)在種植某種大棚有機(jī)無(wú)公害的蔬菜時(shí)，為創(chuàng)造更大價(jià)值，提高畝產(chǎn)量，積極開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng).該農(nóng)場(chǎng)采用了延長(zhǎng)光照時(shí)間的方案，該農(nóng)場(chǎng)選取了20間大棚(每間一畝)進(jìn)行試點(diǎn)，得到各間大棚產(chǎn)量數(shù)據(jù)并繪制成散點(diǎn)圖.光照時(shí)長(zhǎng)為x(單位：小時(shí))，大棚蔬菜產(chǎn)量為y(單位：噸/畝)，記w＝lnx.參考數(shù)據(jù)：20Σi=120Σi=120Σi=120202020Σi=1xi20Σi=1wi290102.4524870540.281371578.2272.1參考公式：y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^＝b^x+a^(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝a+bx與y＝c+dlnx哪一個(gè)適宜作為大棚蔬菜產(chǎn)量y關(guān)于光照時(shí)長(zhǎng)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)；(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)；(3)根據(jù)實(shí)際種植情況，發(fā)現(xiàn)上述回歸方程在光照時(shí)長(zhǎng)位于6~14小時(shí)內(nèi)擬合程度良好，利用(2)中所求方程估計(jì)當(dāng)光照時(shí)長(zhǎng)為e2小時(shí)時(shí)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，大棚蔬菜的畝產(chǎn)量.思維升華求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟跟蹤訓(xùn)練2(1)現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)如表所示，x12345yee3e4e6e7已知變量y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^＝eb^x?0.3，若對(duì)y^＝A.8.7 B.8 C.e8.7 D.e8(2)(2024·新鄉(xiāng)模擬)氮氧化物是一種常見(jiàn)的大氣污染物，如圖為我國(guó)2014年至2022年氮氧化物排放量(單位：萬(wàn)噸)的折線圖，其中年份代碼1~9分別對(duì)應(yīng)年份2014~2022.已知9Σi=1yi≈12000，9Σi=1(yi?y①可否用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系？請(qǐng)分別根據(jù)折線圖和樣本相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；②若根據(jù)所給數(shù)據(jù)建立經(jīng)驗(yàn)回歸模型y^＝－138t附：樣本相關(guān)系數(shù)r＝nΣ題型三殘差分析例4某公司為了解年研發(fā)資金x(單位：億元)對(duì)年產(chǎn)值y(單位：億元)的影響，對(duì)公司近8年的年研發(fā)資金xi和年產(chǎn)值yi(i∈N，1≤i≤8)的數(shù)據(jù)對(duì)比分析中，選用了兩個(gè)回歸模型，并利用最小二乘法求得相應(yīng)的y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程：①y^＝13.05x－48.4；②y^＝0.76x已知①中的殘差平方和S1≈3610，②中的殘差平方和S2≈658，請(qǐng)根據(jù)決定系數(shù)選擇擬合效果更好的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并利用該經(jīng)驗(yàn)回歸方程預(yù)測(cè)年研發(fā)資金為20億元時(shí)的年產(chǎn)值.參考數(shù)據(jù)：8Σi=1(參考公式：刻畫(huà)回歸模型擬合效果的決定系數(shù)R2＝1－nΣ思維升華檢驗(yàn)回歸模型的擬合效果的兩種方法(1)殘差分析：通過(guò)殘差分析發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)，判斷所建立模型的擬合效果.(2)R2分析：通過(guò)公式計(jì)算R2，R2越大，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好；R2越小，殘差平方和越大，模型的擬合效果越差.跟蹤訓(xùn)練3(1)(多選)下列命題中，說(shuō)法正確的有()A.在經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^＝－0.3xB.經(jīng)驗(yàn)回歸直線y^＝b^x+a^C.殘差圖是一種散點(diǎn)圖，若殘差點(diǎn)比較均勻地落在以取值為0的橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域中，說(shuō)明模型選擇比較合適，而且?guī)顓^(qū)域的寬度越窄，模型擬合的精度越高D.決定系數(shù)R2越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好(2)(2024·呂梁模擬)某市2018年至2022年新能源汽車的年銷量y(單位：百臺(tái))與年份代號(hào)x的數(shù)據(jù)如表：年份20182019202020212022年份代號(hào)x01234年銷量y1015203035若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得y關(guān)于x的回歸直線方程為y^＝6.5x+a^，據(jù)此可得x＝1時(shí)，殘差為

答案精析落實(shí)主干知識(shí)1.(2)正相關(guān)負(fù)相關(guān)(3)一條直線2.(2)正相關(guān)負(fù)相關(guān)(3)強(qiáng)弱3.(2)觀測(cè)值預(yù)測(cè)值自主診斷1.(1)√(2)√(3)×(4)×2.BC[若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，故A錯(cuò)誤；當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)r＝1時(shí)，兩變量呈確定的函數(shù)關(guān)系，故B正確；因?yàn)樾甭市∮?，所以變量x和y負(fù)相關(guān)，故C正確；在經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^＝0.4+0.5x中，當(dāng)x每增加1個(gè)單位時(shí)，相應(yīng)觀測(cè)值y約增加0.5個(gè)單位，故D錯(cuò)誤.3.D[依題意知，x＝1+2+3+4+5y＝6+6+7+8+8于是7＝0.6×3+a^，解得a^＝5即y^＝0.6x+5.當(dāng)x＝8時(shí)，y^＝0.6×8+5.2＝10.4.0.6解析將x＝33代入y^＝0.8x－1.可得y^＝0.8×33－1.8＝24.故數(shù)據(jù)(33，25.2)的殘差為25.2－24.6＝0.6.探究核心題型例1(1)B[由散點(diǎn)圖可知，樣本相關(guān)系數(shù)r2，r4所在散點(diǎn)圖的兩個(gè)變量呈負(fù)相關(guān)，r1，r3所在散點(diǎn)圖的兩個(gè)變量呈正相關(guān)，所以r1，r3都為正數(shù)，r2，r4都為負(fù)數(shù).r1，r2所在散點(diǎn)圖點(diǎn)的分布近似在一條直線上，線性相關(guān)性比較強(qiáng)，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值接近1，而r3，r4所在散點(diǎn)圖點(diǎn)的分布比較分散，線性相關(guān)性比較弱，則r2<r4，r1>r3，綜上所得，r2<r4<0<r3<r1.](2)A[身高的平均數(shù)為167+173+175+177+178+180+181＝12317≈176因?yàn)辄c(diǎn)(167，90)的橫坐標(biāo)167小于平均值176，縱坐標(biāo)90相對(duì)過(guò)大，所以去掉點(diǎn)(167，90)后經(jīng)驗(yàn)回歸直線的縱截距變小而斜率變大，故b^1<b^2，去掉點(diǎn)(167，90)后相關(guān)性更強(qiáng)，擬合效果也更好，且還是正相關(guān)，所以r1<r2.]跟蹤訓(xùn)練1AB[因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程為y^＝5+2x，可知2>0，所以變量y與x由經(jīng)驗(yàn)回歸方程的性質(zhì)可知，經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)(x，y)，故B正確；樣本相關(guān)系數(shù)|r|越大，說(shuō)明線性相關(guān)性越強(qiáng)，反之，則越弱，|r1|<|r2|，所以u(píng)與v之間的線性相關(guān)性更強(qiáng)，故C錯(cuò)誤；散點(diǎn)圖中所有點(diǎn)都在直線y＝0.93x－3.6上，則|r|＝1，且0.93>0，所以變量y與x正相關(guān)，即r>0，可知r＝1，故D錯(cuò)誤.]例2解(1)由題意知，x＝2+4+5+6+8y＝3+4+5+6+7所以5Σi=1(xi－x)(yi－y)5Σi=1(xi所以r＝5＝14＝7210≈0.所以y與x呈正相關(guān)，且線性相關(guān)程度很強(qiáng).(2)因?yàn)閎＝1420＝0.a^＝y(tǒng)－b^x所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^＝0.7x+1.當(dāng)x＝12時(shí)，y^＝0.7×12+1.5＝9.9所以預(yù)測(cè)液體肥料每畝的使用量為12千克時(shí)，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量為9.9百千克.例3解(1)根據(jù)散點(diǎn)圖，開(kāi)始的點(diǎn)在某條直線旁，但后面的點(diǎn)會(huì)越來(lái)越偏離這條直線，因此y＝c+dlnx更適宜作為大棚蔬菜產(chǎn)量y關(guān)于光照時(shí)長(zhǎng)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型.(2)w＝lnx，則y＝c+dlnx，即y＝c+dw，y＝20Σi=1w＝20Σi=1d^＝272.1?20×2.6×5.12137?20×2.62c^＝y(tǒng)－d^w≈5.≈－3.36，所以y^＝3.26w－3.即y^＝3.26lnx－3.36(3)當(dāng)x＝e2時(shí)，y^＝3.26lne2－3.36＝3.16即大棚蔬菜畝產(chǎn)量約為3.16噸.跟蹤訓(xùn)練2(1)C[對(duì)y^得lny^＝b^令z＝lny，則z^＝b^x－0x12345yee3e4e6e7z13467x＝z＝1+3+4+6+75代入z＝b^得4.2＝3b^－0.故b^＝1.5故z^＝1.5x－0.3，y^＝e1.5x－0.當(dāng)x＝6時(shí)，y^＝e1.5×6－0.3＝e8.7.(2)①?gòu)恼劬€圖看，各點(diǎn)落在一條直線附近，因而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，由題意知t＝1樣本相關(guān)系數(shù)r＝9≈51800?5×120007.7×1100＝－≈－0.97.故可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.②可以預(yù)測(cè)2025年的氮氧化物排放量，但不可以預(yù)測(cè)2035年的氮氧化物排放量.理由如下：2025年與所給數(shù)據(jù)的年份較接近，因而可以認(rèn)為短期內(nèi)氮氧化物排放量將延續(xù)該趨勢(shì)，故可以用此模型進(jìn)行預(yù)測(cè)；2035年與所給數(shù)據(jù)的年份相距過(guò)遠(yuǎn)，而影響氮氧化物排放量的因素有很多，這些因素在短期內(nèi)可能保持不變，但從長(zhǎng)期看很有可能會(huì)變化，因而用此模型預(yù)測(cè)可能是不準(zhǔn)確的.例4解設(shè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程①的決定系數(shù)為R12，由S1≈3得R12≈1－361032900≈0設(shè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的決定系數(shù)為R22，由S2得R22≈1－65832900＝0因?yàn)镽12<R22當(dāng)x＝20時(shí)，y^＝0.76×202－8.98＝295.所以年研發(fā)資金為20億元時(shí)的年產(chǎn)值約為295.02億元.跟蹤訓(xùn)練3(1)ACD[在經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^＝－0.3x+10中，當(dāng)解釋變量每增加1個(gè)單位時(shí)，響應(yīng)變量的預(yù)測(cè)值將減少0.經(jīng)驗(yàn)回歸直線y^＝b^x+a^殘差帶狀圖區(qū)域越窄，模型擬合的精度越高，故C正確；決定系數(shù)R2＝1－nΣi=1(yi?y^(2)－0.5解析依題意，x＝0+1+2+3+4y＝10+15+20+30+35將(2，22)代入回歸直線方程y^＝6.5x+a解得a^所以回歸直線方程為y^＝6.5x當(dāng)x＝1時(shí)，y^＝6.5×1+9＝15.因此殘差為15－15.5＝－0.5.

9.3一元線性回歸模型及其應(yīng)用課標(biāo)要求1.了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.2.了解最小二乘法原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法.3.針對(duì)實(shí)際問(wèn)題，會(huì)用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè).1.變量的相關(guān)關(guān)系(1)相關(guān)關(guān)系：兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.(2)相關(guān)關(guān)系的分類：正相關(guān)和負(fù)相關(guān).(3)線性相關(guān)：一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān).2.樣本相關(guān)系數(shù)(1)r=nΣ(2)當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).(3)|r|≤1；當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.3.一元線性回歸模型(1)我們將y^=b^x+a^稱為Y其中b(2)殘差：觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值所得的差稱為殘差.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.(√)(2)散點(diǎn)圖是判斷兩個(gè)變量相關(guān)關(guān)系的一種重要方法和手段.(√)(3)經(jīng)驗(yàn)回歸直線y^=b^x+a^至少經(jīng)過(guò)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一個(gè)點(diǎn).((4)樣本相關(guān)系數(shù)越小，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.(×)2.(多選)下列說(shuō)法正確的是()A.若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則樣本相關(guān)系數(shù)r的值越接近于1B.當(dāng)r=1時(shí)，兩變量呈函數(shù)關(guān)系C.當(dāng)經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=0.3-0.7x時(shí)，變量x和yD.在經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^=0.4+0.5x中，當(dāng)x每增加1個(gè)單位時(shí)，相應(yīng)觀測(cè)值y答案BC解析若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，故A錯(cuò)誤；當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)r=1時(shí)，兩變量呈確定的函數(shù)關(guān)系，故B正確；因?yàn)樾甭市∮?，所以變量x和y負(fù)相關(guān)，故C正確；在經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^=0.4+0.5x中，當(dāng)x每增加1個(gè)單位時(shí)，相應(yīng)觀測(cè)值y3.(2024·茂名模擬)已知變量x和y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：x12345y66788根據(jù)上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^=0.6x+a^，據(jù)此可以預(yù)測(cè)當(dāng)x=8時(shí)，A.8.5 B.9 C.9.5 D.10答案D解析依題意知，x=1+2+3+4+55=3y=6+6+7+8+85=7于是7=0.6×3+a^，解得a即y^=0.6x當(dāng)x=8時(shí)，y^=0.6×4.色差和色度是衡量毛絨玩具質(zhì)量?jī)?yōu)劣的重要指標(biāo)，現(xiàn)抽檢一批產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的色度y和色差x之間滿足線性相關(guān)關(guān)系，且y^=0.8x-1.8，現(xiàn)有一對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)為(33，25.2)，則該數(shù)據(jù)的殘差為.答案0.6解析將x=33代入y^=0.8x可得y^=0.8×故數(shù)據(jù)(33，25.2)的殘差為25.2-24.6=0.6.1.經(jīng)驗(yàn)回歸直線過(guò)點(diǎn)(x，y).2.求b^時(shí)，常用公式b^=3.回歸分析是基于成對(duì)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)或推斷，得出的結(jié)論都可能犯錯(cuò)誤.題型一成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性例1(1)對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于其樣本相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是()A.r4<r2<0<r1<r3B.r2<r4<0<r3<r1C.r2<r4<0<r1<r3D.r4<r2<0<r3<r1答案B解析由散點(diǎn)圖可知，樣本相關(guān)系數(shù)r2，r4所在散點(diǎn)圖的兩個(gè)變量呈負(fù)相關(guān)，r1，r3所在散點(diǎn)圖的兩個(gè)變量呈正相關(guān)，所以r1，r3都為正數(shù)，r2，r4都為負(fù)數(shù).r1，r2所在散點(diǎn)圖點(diǎn)的分布近似在一條直線上，線性相關(guān)性比較強(qiáng)，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值接近1，而r3，r4所在散點(diǎn)圖點(diǎn)的分布比較分散，線性相關(guān)性比較弱，則r2<r4，r1>r3，綜上所得，r2<r4<0<r3<r1.(2)(2024·石家莊模擬)某校為了解本校高一男生身高和體重的相關(guān)關(guān)系，在該校高一年級(jí)隨機(jī)抽取了7名男生，測(cè)量了他們的身高和體重得下表：身高x(單位：cm)167173175177178180181體重y(單位：kg)90545964677276由表格制作成如圖所示的散點(diǎn)圖：由最小二乘法計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線l1的方程為y^=b^1x+a^1，其樣本相關(guān)系數(shù)為r1；經(jīng)過(guò)殘差分析，點(diǎn)(167，90)對(duì)應(yīng)殘差過(guò)大，把它去掉后，再用剩下的6組數(shù)據(jù)計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線l2的方程為y^=b^A.b^1<b^2，a^1>aB.b^1<b^2，a^1<aC.b^1>b^2，a^1<aD.b^1>b^2，a^1>a答案A解析身高的平均數(shù)為167+173+175+177+178+180+1817=12317因?yàn)辄c(diǎn)(167，90)的橫坐標(biāo)167小于平均值176，縱坐標(biāo)90相對(duì)過(guò)大，所以去掉點(diǎn)(167，90)后經(jīng)驗(yàn)回歸直線的縱截距變小而斜率變大，故b^1<b^2，去掉點(diǎn)(167，90)后相關(guān)性更強(qiáng)，擬合效果也更好，且還是正相關(guān)，所以r1<r2.思維升華判定兩個(gè)變量相關(guān)性的方法(1)畫(huà)散點(diǎn)圖：若點(diǎn)的分布從左下角到右上角，則兩個(gè)變量正相關(guān)；若點(diǎn)的分布從左上角到右下角，則兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).(2)樣本相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，負(fù)相關(guān)；|r|越接近1，線性相關(guān)性越強(qiáng).(3)經(jīng)驗(yàn)回歸方程：當(dāng)b^>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)b跟蹤訓(xùn)練1(多選)下列有關(guān)回歸分析的結(jié)論中，正確的有()A.若經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=5+2x，則變量y與xB.運(yùn)用最小二乘法求得的經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)(x，y)C.若r1表示變量x與y之間的樣本相關(guān)系數(shù)，r2表示變量u與v之間的樣本相關(guān)系數(shù)，且r1=0.837，r2=-0.957，則x與y之間的線性相關(guān)性強(qiáng)于u與v之間的線性相關(guān)性D.若散點(diǎn)圖中所有點(diǎn)都在直線y=0.93x-3.6上，則樣本相關(guān)系數(shù)r=0.93答案AB解析因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=5+2x，可知2>0，所以變量y與x由經(jīng)驗(yàn)回歸方程的性質(zhì)可知，經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)(x，y)，故B正確；樣本相關(guān)系數(shù)|r|越大，說(shuō)明線性相關(guān)性越強(qiáng)，反之，則越弱，|r1|<|r2|，所以u(píng)與v之間的線性相關(guān)性更強(qiáng)，故C錯(cuò)誤；散點(diǎn)圖中所有點(diǎn)都在直線y=0.93x-3.6上，則|r|=1，且0.93>0，所以變量y與x正相關(guān)，即r>0，可知r=1，故D錯(cuò)誤.題型二回歸模型命題點(diǎn)1一元線性回歸模型例2根據(jù)統(tǒng)計(jì)，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y(百千克)與某種液體肥料每畝的使用量x(千克)之間對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示.(1)從散點(diǎn)圖可以看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)r并判斷它們的相關(guān)程度；(2)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^=b^x+附：r=nΣi=1(xi?x)(yi?解(1)由題意知，x=2+4+5+6+85=5y=3+4+5+6+75=5所以5Σi=1(xi-x)(yi-y)5Σi=1(xi所以r=5Σi=1=7210所以y與x呈正相關(guān)，且線性相關(guān)程度很強(qiáng).(2)因?yàn)閎^=5Σi=1a^=y-b^x所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=0.7x當(dāng)x=12時(shí)，y^=0.7×所以預(yù)測(cè)液體肥料每畝的使用量為12千克時(shí)，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量為9.9百千克.命題點(diǎn)2非線性回歸模型例3某大型現(xiàn)代化農(nóng)場(chǎng)在種植某種大棚有機(jī)無(wú)公害的蔬菜時(shí)，為創(chuàng)造更大價(jià)值，提高畝產(chǎn)量，積極開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng).該農(nóng)場(chǎng)采用了延長(zhǎng)光照時(shí)間的方案，該農(nóng)場(chǎng)選取了20間大棚(每間一畝)進(jìn)行試點(diǎn)，得到各間大棚產(chǎn)量數(shù)據(jù)并繪制成散點(diǎn)圖.光照時(shí)長(zhǎng)為x(單位：小時(shí))，大棚蔬菜產(chǎn)量為y(單位：噸/畝)，記w=lnx.參考數(shù)據(jù)：20Σi=120Σi=120Σi=120202020Σi=1xi20Σi=1wi290102.4524870540.281371578.2272.1參考公式：y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^=b^x+a^中，b^=nΣi=1x(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與y=c+dlnx哪一個(gè)適宜作為大棚蔬菜產(chǎn)量y關(guān)于光照時(shí)長(zhǎng)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)；(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)；(3)根據(jù)實(shí)際種植情況，發(fā)現(xiàn)上述回歸方程在光照時(shí)長(zhǎng)位于6~14小時(shí)內(nèi)擬合程度良好，利用(2)中所求方程估計(jì)當(dāng)光照時(shí)長(zhǎng)為e2小時(shí)時(shí)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，大棚蔬菜的畝產(chǎn)量.解(1)根據(jù)散點(diǎn)圖，開(kāi)始的點(diǎn)在某條直線旁，但后面的點(diǎn)會(huì)越來(lái)越偏離這條直線，因此y=c+dlnx更適宜作為大棚蔬菜產(chǎn)量y關(guān)于光照時(shí)長(zhǎng)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型.(2)w=lnx，則y=c+dlnx，即y=c+dw，y=20Σi=1yi20=102.420=5.12，d^=20Σi=1c^=y-d^w所以y^=3.26w即y^=3.26lnx(3)當(dāng)x=e2時(shí)，y^=3.26lne2即大棚蔬菜畝產(chǎn)量約為3.16噸.思維升華求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟跟蹤訓(xùn)練2(1)現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)如表所示，x12345yee3e4e6e7已知變量y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=eb^x?0.3，若對(duì)y^=eb^xA.8.7 B.8 C.e8.7 D.e8答案C解析對(duì)y^=e得lny^=b^令z=lny，則z^=b^x-0.3，x12345yee3e4e6e7z13467x=1+2+3+4+55=3，z=1+3+4+6+75代入z=b^x-0.3，得4.2=3故b^故z^=1.5x-0.3，y^=e1.5x當(dāng)x=6時(shí)，y^=e1.5×6-0.3=e8.7(2)(2024·新鄉(xiāng)模擬)氮氧化物是一種常見(jiàn)的大氣污染物，如圖為我國(guó)2014年至2022年氮氧化物排放量(單位：萬(wàn)噸)的折線圖，其中年份代碼1~9分別對(duì)應(yīng)年份2014~2022.已知9Σi=1yi≈12000，9Σi=1(yi?y①可否用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系？請(qǐng)分別根據(jù)折線圖和樣本相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；②若根據(jù)所給數(shù)據(jù)建立經(jīng)驗(yàn)回歸模型y^=-138t附：樣本相關(guān)系數(shù)r=nΣ解①?gòu)恼劬€圖看，各點(diǎn)落在一條直線附近，因而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，由題意知t=19×(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=5樣本相關(guān)系數(shù)r=9Σi=1tiy故可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.②可以預(yù)測(cè)2025年的氮氧化物排放量，但不可以預(yù)測(cè)2035年的氮氧化物排放量.理由如下：2025年與所給數(shù)據(jù)的年份較接近，因而可以認(rèn)為短期內(nèi)氮氧化物排放量將延續(xù)該趨勢(shì)，故可以用此模型進(jìn)行預(yù)測(cè)；2035年與所給數(shù)據(jù)的年份相距過(guò)遠(yuǎn)，而影響氮氧化物排放量的因素有很多，這些因素在短期內(nèi)可能保持不變，但從長(zhǎng)期看很有可能會(huì)變化，因而用此模型預(yù)測(cè)可能是不準(zhǔn)確的.題型三殘差分析例4某公司為了解年研發(fā)資金x(單位：億元)對(duì)年產(chǎn)值y(單位：億元)的影響，對(duì)公司近8年的年研發(fā)資金xi和年產(chǎn)值yi(i∈N，1≤i≤8)的數(shù)據(jù)對(duì)比分析中，選用了兩個(gè)回歸模型，并利用最小二乘法求得相應(yīng)的y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程：①y^=13.05x-48.4；②y^=0.76x已知①中的殘差平方和S1≈3610，②中的殘差平方和S2≈658，請(qǐng)根據(jù)決定系數(shù)選擇擬合效果更好的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并利用該經(jīng)驗(yàn)回歸方程預(yù)測(cè)年研發(fā)資金為20億元時(shí)的年產(chǎn)值.參考數(shù)據(jù)：8Σi=1(參考公式：刻畫(huà)回歸模型擬合效果的決定系數(shù)R2=1-nΣ解設(shè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程①的決定系數(shù)為R12，由S1≈3得R12≈1-3610設(shè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的決定系數(shù)為R22，由S2得R22≈1-658因?yàn)镽12<R22當(dāng)x=20時(shí)，y^=0.76×202所以年研發(fā)資金為20億元時(shí)的年產(chǎn)值約為295.02億元.思維升華檢驗(yàn)回歸模型的擬合效果的兩種方法(1)殘差分析：通過(guò)殘差分析發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)，判斷所建立模型的擬合效果.(2)R2分析：通過(guò)公式計(jì)算R2，R2越大，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好；R2越小，殘差平方和越大，模型的擬合效果越差.跟蹤訓(xùn)練3(1)(多選)下列命題中，說(shuō)法正確的有()A.在經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^=-0.3xB.經(jīng)驗(yàn)回歸直線y^=b^x+a^恒過(guò)點(diǎn)(xC.殘差圖是一種散點(diǎn)圖，若殘差點(diǎn)比較均勻地落在以取值為0的橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域中，說(shuō)明模型選擇比較合適，而且?guī)顓^(qū)域的寬度越窄，模型擬合的精度越高D.決定系數(shù)R2越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好答案ACD解析在經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^=-0.3x經(jīng)驗(yàn)回歸直線y^=b^x+a^恒過(guò)點(diǎn)(x殘差帶狀圖區(qū)域越窄，模型擬合的精度越高，故C正確；決定系數(shù)R2=1-nΣi=1(yi?(2)(2024·呂梁模擬)某市2018年至2022年新能源汽車的年銷量y(單位：百臺(tái))與年份代號(hào)x的數(shù)據(jù)如表：年份20182019202020212022年份代號(hào)x01234年銷量y1015203035若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得y關(guān)于x的回歸直線方程為y^=6.5x+a^，據(jù)此可得x=1時(shí)，殘差為答案-0.5解析依題意，x=0+1+2+3+45y=10+15+20+30+355將(2，22)代入回歸直線方程y^=6.5x+a解得a^所以回歸直線方程為y^=6.5x當(dāng)x=1時(shí)，y^=6.5×因此殘差為15-15.5=-0.5.課時(shí)精練(分值：80分)一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共20分)1.下列兩個(gè)變量中，成正相關(guān)的兩個(gè)變量是()A.汽車自身的重量與行駛每公里的耗油量B.正方形的面積與邊長(zhǎng)C.花費(fèi)在體育活動(dòng)上的時(shí)間與期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)D.期末考試隨機(jī)編排的準(zhǔn)考證號(hào)與期末考試成績(jī)總分答案A解析一般情況下，汽車越重，則每公里耗油量越多，成正相關(guān)，故A正確；正方形的面積與邊長(zhǎng)是函數(shù)關(guān)系，故B錯(cuò)誤；一般情況下，若花費(fèi)在體育活動(dòng)上的時(shí)間越長(zhǎng)，則期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)可能會(huì)降低，故不為正相關(guān)，故C錯(cuò)誤；期末考試隨機(jī)編排的準(zhǔn)考證號(hào)與期末考試成績(jī)總分沒(méi)有相關(guān)關(guān)系，故D錯(cuò)誤.2.某校課外學(xué)習(xí)小組研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關(guān)系，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到如圖所示的散點(diǎn)圖.由此散點(diǎn)圖判斷，最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸模型的是()A.y=a+bx B.y=a+bx2(b>0)C.y=a+bex D.y=a+blnx答案D解析由散點(diǎn)圖可見(jiàn)，數(shù)據(jù)分布成遞增趨勢(shì)，但是呈現(xiàn)上凸效果，即增長(zhǎng)緩慢.A中，y=a+bx是直線型，均勻增長(zhǎng)，不符合要求；B中，y=a+bx2(b>0)是二次函數(shù)型，圖象呈現(xiàn)下凸，增長(zhǎng)也較快，不符合要求；C中，y=a+bex是指數(shù)型，爆炸式增長(zhǎng)，增長(zhǎng)快，不符合要求；D中，y=a+blnx是對(duì)數(shù)型，增長(zhǎng)緩慢，符合要求.故對(duì)數(shù)型最適宜該回歸模型.3.已知變量y關(guān)于變量x的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=b^lnxee3e4e6e7y12345若x=e10，則y的值大約為()A.4.94 B.5.74 C.6.81 D.8.04答案C解析由y^=b^lnx+0.24，令t=lnx，則y^=b^t+0.24，由題意易得t=1+3+4+6+75=4.2，y=1+2+3+4+55=3，所以3=b^×4.2+0.24，解得b^≈0.657，所以y^4.為了研究y關(guān)于x的線性相關(guān)關(guān)系，收集了5組樣本數(shù)據(jù)(如表所示)：x12345y0.50.911.11.5若已求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=b^附：樣本相關(guān)系數(shù)r=nΣA.b^B.當(dāng)x=8時(shí)，y的預(yù)測(cè)值為2.2C.兩變量y與x負(fù)相關(guān)D.去掉樣本點(diǎn)(3，1)后，x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r不會(huì)改變答案D解析x=1+2+3+4+55=3，y=0.5+0.9+1+1.1+1.55=1，將(3，1)代入y^=b^x+0.34得3當(dāng)x=8時(shí)，y的預(yù)測(cè)值為y^=0.22×因?yàn)閎^=0.22>0，所以兩變量y與x去掉樣本點(diǎn)(3，1)后，新樣本數(shù)據(jù)的平均值沒(méi)有變化，即x=3，y=1仍然成立，不妨設(shè)(3，1)為第5組數(shù)據(jù)，即x5=3，y5=1，則x5-x=0，y5-y=0，其余數(shù)據(jù)沒(méi)有變化，則由樣本相關(guān)系數(shù)公式r=nΣi=1(xi?x)(yi?二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)5.(2025·南昌模擬)如圖對(duì)兩組數(shù)據(jù)x，y和v，u分別進(jìn)行回歸分析，得到散點(diǎn)圖如圖，并求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程分別是y=b^1x+a^1和u=b^2v+a^2，并對(duì)變量x，y進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得到樣本相關(guān)系數(shù)r1A.b^1<0 B.C.r1<r2 D.r1+r答案ABD解析由散點(diǎn)圖可知，x與y負(fù)相關(guān)，v與u正相關(guān)，則b^1<0，b^2>0，故A，B正確；圖形中點(diǎn)(x，y)比(則r1>r2，又r1<0，r2>0，則r1+r6.(2024·武漢模擬)某科技公司統(tǒng)計(jì)了一款A(yù)PP，最近5個(gè)月的下載量如表所示，若y與x線性相關(guān)，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=-0.6x+a月份編號(hào)x12345下載量y(萬(wàn)次)54.543.52.5A.y與x負(fù)相關(guān)B.a^C.預(yù)測(cè)第6個(gè)月的下載量約為2.1萬(wàn)次D.殘差絕對(duì)值的最大值為0.2答案ACD解析因?yàn)?0.6<0，所以變量y與x負(fù)相關(guān)，故A正確；x=15×(1+2+3+4+5)=3，y=15×(5+4.5+4+3.5+2.5)=3.9，y^=-0.6x+a^，則-0.6×3+當(dāng)x=6時(shí)，y^=-0.6×當(dāng)x=1時(shí)，y^1=-0.6×1+5.7=5.1，|y1-y^1|=0.1；當(dāng)x=2時(shí)，y^2=-0.6×2+5.7=4.5，|y2-y^2|=0；當(dāng)x=3時(shí)，y^3=-0.6×3+5.7=3.9，|y3-y^3|=0.1；當(dāng)x=4時(shí)，y^4=-0.6×4+5.7=3.3，|y4三、填空題(每小題5分，共10分)7.甲、乙、丙、丁各自研究?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)，若甲、乙、丙、丁計(jì)算得到各自研究的兩個(gè)隨機(jī)變量的樣本相關(guān)系數(shù)分別為r1=0.66，r2=-0.97，r3=0.92，r4=0.89，則這四人中，研究的兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)程度最高.答案乙解析因?yàn)閨r2|=0.97>|r3|>|r4|>|r1|，所以這四人中，乙研究的兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)程度最高.8.新能源汽車的核心部件是動(dòng)力電池，電池成本占了新能源整車成本的大部分，而其中的原材料碳酸鋰又是電池的主要成分.從2020年底開(kāi)始，碳酸鋰的價(jià)格一路水漲船高，下表是2022年某企業(yè)的前5個(gè)月碳酸鋰的價(jià)格與月份的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：月份代碼x12345碳酸鋰價(jià)格y(萬(wàn)元/kg)0.50.61m1.5根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=0.28x+a^，根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算出在樣本點(diǎn)(5，1.5)處的殘差為-0.06，則表中m=答案1.4解析由題設(shè)，1.5-y^=1.5-(0.28×5+a^)=-0.06，可得又x=1+2+3+4+55y=0.5+0.6+1+m+1.55所以0.28×3+0.16=3.6+m5，可得四、解答題(共27分)9.(13分)(2024·曲靖模擬)某地區(qū)2019-2023年的充電樁數(shù)量及新能源汽車的年銷量如表所示：年份20192020202120222023充電樁數(shù)量x/萬(wàn)臺(tái)13579新能源汽車的年銷量y/萬(wàn)輛2537485872(1)已知可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)用樣本相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明(結(jié)果精確到0.001)；(6分)(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程，預(yù)測(cè)當(dāng)該地區(qū)充電樁數(shù)量為24萬(wàn)臺(tái)時(shí)，新能源汽車的年銷量是多少萬(wàn)輛？(7分)參考公式：樣本相關(guān)系數(shù)r=nΣ經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^=a^+b^x中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為b^=nΣi=1(參考數(shù)據(jù)：5Σi=1(xi?x)2=40，5解(1)由題可知，x=15×(1+3+5+7+9)=5y=15×(25+37+48+58+72)=48所以r=5=5=1430?5×5×因?yàn)閥與x的樣本相關(guān)系數(shù)近似為0.999，非常接近1，所以y與x的線性相關(guān)程度很高，可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.(2)b^=5Σi=1a^=y-b^x所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y^=5.75x當(dāng)x=24時(shí)，y^=5.75×所以當(dāng)充電樁數(shù)量為24萬(wàn)臺(tái)時(shí)，該地區(qū)新能源汽車的年銷量為157.25萬(wàn)輛.10.(14分)某科技公司為加大高科技研發(fā)投入，現(xiàn)對(duì)近十年來(lái)高科技研發(fā)