2026版步步高大一輪數(shù)學(xué)江蘇基礎(chǔ)第十章§10.6離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征（含答案或解析）

§10.6離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征課標(biāo)要求1.理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念.2.理解并會求離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征.1.離散型隨機(jī)變量一般地，對于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個樣本點(diǎn)ω，都有的實(shí)數(shù)X(ω)與之對應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量；可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量.2.離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列.3.離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)(1)pi≥0，i＝1，2，…，n；(2)p1+p2+…+pn＝.4.離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望)與方差一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值(數(shù)學(xué)期望)稱E(X)＝＝nΣi=1xipi為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱期望.它反映了隨機(jī)變量取值的(2)方差稱D(X)＝(x1－E(X))2p1+(x2－E(X))2p2+…+(xn－E(X))2pn＝為隨機(jī)變量X的方差，并稱D(X)為隨機(jī)變量X的，記為σ(X5.均值(數(shù)學(xué)期望)與方差的性質(zhì)(1)E(aX+b)＝.(2)D(aX+b)＝(a，b為常數(shù)).1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)在離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個值的概率之和可以小于1.()(2)離散型隨機(jī)變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的.()(3)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與隨機(jī)變量是對應(yīng)關(guān)系，即每一個試驗(yàn)結(jié)果都有唯一的隨機(jī)變量的值與之對應(yīng).()(4)方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量的偏離程度越小.()2.甲、乙兩人下象棋，共下三局，每局贏了得3分，平得1分，輸了得0分，用ξ表示甲的得分，則{ξ＝3}表示()A.甲贏三局B.甲贏一局輸兩局C.甲、乙平局二次D.甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次3.已知隨機(jī)變量X的分布列如表，則E(5X+4)等于()X124P0.4a0.3A.1 B.2.2 C.11 D.154.甲、乙兩人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個隨機(jī)變量X，Y，分布列分別為X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是.1.(1)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均數(shù)是隨機(jī)變量，它不確定.(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量的平均程度越小.(3)求出分布列后，注意運(yùn)用分布列的兩條性質(zhì)檢驗(yàn)所求分布列是否正確.2.(1)E(X1+X2)＝E(X1)+E(X2).(2)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.(3)若X1，X2相互獨(dú)立，則E(X1X2)＝E(X1)·E(X2).題型一分布列的性質(zhì)例1(1)若隨機(jī)變量X的分布列為X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1則當(dāng)P(X<a)＝0.8時，實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.[1，2) B.[1，2] C.(1，2] D.(1，2)(2)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝m4k2?1(k＝1，2，3，4，5)，則PA.235 B.325 C.2225思維升華離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用“概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的值.(2)利用“在某個范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概率.(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列的結(jié)果是否正確.跟蹤訓(xùn)練1已知隨機(jī)變量ξ的分布列如表：ξ－202Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|ξ|＝2)的值是()A.23 B.12 C.14題型二離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征命題點(diǎn)1求離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征例2隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若E(X)＝13，則D(XX－101P16abA.1 B.23 C.59 均值、方差的大小比較、單調(diào)性、最值(范圍)問題關(guān)于隨機(jī)變量的均值與方差，近幾年均以選擇題的形式考查，除考查均值、方差的直接計算外，還經(jīng)常從下列幾個角度進(jìn)行考查：(1)均值、方差及概率的大小比較；(2)均值、方差的增減性分析；(3)均值、方差的最值；(4)解均值、方差的不等式求字母的范圍.典例(1)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下(其中0<p<1)，D(X)表示X的方差，則當(dāng)p從0增大到1時()X012P1?1pA.D(X)增大 B.D(X)減小C.D(X)先減后增 D.D(X)先增后減(2)(多選)已知某商場銷售一種商品的單件銷售利潤為X＝0，a，2，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)可得0<a<2，隨機(jī)變量X的分布列為X0a2P1b1下列結(jié)論正確的是()A.b＝1B.若該商場銷售該商品5件，其中3件銷售利潤為0的概率為5C.D(X)min＝1D.當(dāng)D(X)最小時，E(X)＝1命題點(diǎn)2均值與方差的性質(zhì)應(yīng)用例3(多選)已知隨機(jī)變量X的分布列為X－1012Pabc0.25且a，b，c成等差數(shù)列，下列結(jié)論正確的是()A.D(bX+1)＝116D(XB.P(|X|＝1)＝0.5C.若E(aX)＝0.08，則a＝0.1D.a－c可能等于0.1思維升華求離散型隨機(jī)變量ξ的均值與方差的步驟(1)理解ξ的意義，寫出ξ的所有可能取值.(2)求ξ取每個值的概率.(3)寫出ξ的分布列.(4)由均值、方差的定義求E(ξ)，D(ξ).跟蹤訓(xùn)練2(多選)已知隨機(jī)變量X的分布列如下，則下列說法正確的是()X－2－112P1mn2A.m+n＝2B.P(X<2)＝7C.若m＝19，Y＝3X+2，則E(YD.D(X2)＝2題型三均值與方差中的決策問題例4為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對500位顧客進(jìn)行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為45元，其余3個均為15元，求顧客所獲的獎勵額為60元的概率；(2)商場對獎勵總額的預(yù)算是30000元，為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請從如下兩種方案中選擇一種，并說明理由.方案一：袋中的4個球由2個標(biāo)有面值15元和2個標(biāo)有面值45元的兩種球組成；方案二：袋中的4個球由2個標(biāo)有面值20元和2個標(biāo)有面值40元的兩種球組成.思維升華隨機(jī)變量的均值和方差從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定.跟蹤訓(xùn)練3(2021·新高考全國Ⅰ)某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；(2)為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

答案精析落實(shí)主干知識1.唯一3.(2)14.(1)x1p1+x2p2+…+xnpn平均水平(2)nΣi=1(xi－E(X))2標(biāo)準(zhǔn)差偏離程度5.(1)aE(X)+b(2)a2D(X)自主診斷1.(1)×(2)√(3)√(4)√2.D[因?yàn)榧?、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，故{ξ＝3}表示兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次.]3.D[依題意，0.4+a+0.3＝1，解得a＝0.3，則E(X)＝1×0.4+2×0.3+4×0.3＝2.2，所以E(5X+4)＝5E(X)+4＝5×2.2+4＝15.]4.乙解析E(X)＝0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1＝1，E(Y)＝0×0.3+1×0.5+2×0.2＝0.9，∵E(Y)<E(X)，∴乙技術(shù)較好.探究核心題型例1(1)C[由隨機(jī)變量X的分布列知，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，故當(dāng)P(X<a)＝0.8時，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，2].](2)A[P(X＝k)＝m＝m＝m2∵5Σk=1P(X＝k)∴m2×＝m2×1?1則m＝115∴P(X≥4)＝1110×17跟蹤訓(xùn)練1A[因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以b＝a+根據(jù)隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)得a+b+c＝1，所以3(a+c)2＝1，即a所以P(|ξ|＝2)＝P(ξ＝2)+P(ξ＝－2)＝23.例2C[依題意可得a解得a所以D(X)＝?1?132×16+0?132×微拓展典例(1)D[由分布列可得E(X)＝0×1?p2+1×12+2×p則D(X)＝1?p212+p2+121＝－p?12因?yàn)?<p<1，所以D(X)先增后減.](2)ABC[由題意12+b+16＝1，∴b＝13，故選項(xiàng)A正確；該商場銷售該商品5件，其中3件銷售利潤為0的概率為C53×123×122＝516，故選項(xiàng)B正確；隨機(jī)變量X的均值E(X)＝0×可知方差D(X)＝0?13(a×13+2?1＝19×(2a2－2a+5＝19×2當(dāng)a＝12D(X)min＝12，故選項(xiàng)C當(dāng)D(X)最小時，a＝12，此時E(X)＝13×12+1＝例3ABD[依題意，a+b+c＝3b＝0.75，解得b＝0.25，a+c＝0.5.D14X+1＝116P(|X|＝1)＝P(X＝－1)+P(X＝1)＝a+c＝0.5，B正確；E(X)＝－a+c+0.5＝1－2a，則E(aX)＝aE(X)＝a(1－2a)＝0.08，解得a＝0.1或a＝0.4，C錯誤；當(dāng)a＝0.3，c＝0.2時，a－c＝0.1，D正確.]跟蹤訓(xùn)練2ABD[因?yàn)?9+m+n+29＝1，所以m+n＝故A正確；P(X<2)＝1－P(X≥2)＝1－29＝7因?yàn)閙＝19，所以n＝5所以E(X)＝－2×19+(－1)×19+1×59+2所以E(Y)＝E(3X+2)＝3E(X)+2＝4，故C錯誤；P(X2＝1)＝P(X＝－1)+P(X＝1)＝m+n＝23P(X2＝4)＝P(X＝－2)+P(X＝2)＝13則X2的分布列為X214P21所以E(X2)＝1×23+4×13＝2，則D(X2)＝23×(1－2)2+13×(4－2)2＝2，故例4解(1)設(shè)顧客所獲的獎勵額為X，依題意得P(X＝60)＝C1(2)根據(jù)方案一，設(shè)顧客所獲的獎勵額為X1，其所有可能取值為30，60，90，則P(X1＝30)＝C2P(X1＝60)＝C2P(X1＝90)＝C2所以E(X1)＝30×16+60×23+90×1D(X1)＝(30－60)2×16+(60－60)2×23+(90－60)2＝300；根據(jù)方案二，設(shè)顧客所獲的獎勵額為X2，其所有可能取值為40，60，80，則P(X2＝40)＝C2P(X2＝60)＝C2P(X2＝80)＝C2所以E(X2)＝40×16+60×23+80×1D(X2)＝(40－60)2×16+(60－60)2×23+(80－60)2×商場對獎勵總額的預(yù)算是30000元，故每個顧客平均獎勵額最多為60元，兩方案均符合要求，但方案二獎勵額的方差比方案一小，所以為了使每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，應(yīng)選擇方案二.跟蹤訓(xùn)練3解(1)由題意得，X的所有可能取值為0，20，100，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列為X020100P0.20.320.48(2)當(dāng)小明先回答A類問題時，由(1)可得E(X)＝0×0.2+20×0.32+100×0.48＝54.4.當(dāng)小明先回答B(yǎng)類問題時，記Y為小明的累計得分，則Y的所有可能取值為0，80，100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以Y的分布列為Y080100P0.40.120.48E(Y)＝0×0.4+80×0.12+100×0.48＝57.6.因?yàn)?7.6>54.4，即E(Y)>E(X)，所以為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題.

10.6離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征課標(biāo)要求1.理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念.2.理解并會求離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征.1.離散型隨機(jī)變量一般地，對于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量；可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量.2.離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，稱X取每一個值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列.3.離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)(1)pi≥0，i=1，2，…，n；(2)p1+p2+…+pn=1.4.離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望)與方差一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值(數(shù)學(xué)期望)稱E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=nΣi=1xipi為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱期望.它反映了隨機(jī)變量取值的(2)方差稱D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=nΣi=1(xi-E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，并稱D(X)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ5.均值(數(shù)學(xué)期望)與方差的性質(zhì)(1)E(aX+b)=aE(X)+b.(2)D(aX+b)=a2D(X)(a，b為常數(shù)).1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)在離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個值的概率之和可以小于1.(×)(2)離散型隨機(jī)變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的.(√)(3)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與隨機(jī)變量是對應(yīng)關(guān)系，即每一個試驗(yàn)結(jié)果都有唯一的隨機(jī)變量的值與之對應(yīng).(√)(4)方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量的偏離程度越小.(√)2.甲、乙兩人下象棋，共下三局，每局贏了得3分，平得1分，輸了得0分，用ξ表示甲的得分，則{ξ=3}表示()A.甲贏三局B.甲贏一局輸兩局C.甲、乙平局二次D.甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次答案D解析因?yàn)榧?、乙兩人下象棋，贏了得3分，平得1分，輸了得0分，故{ξ=3}表示兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次.3.已知隨機(jī)變量X的分布列如表，則E(5X+4)等于()X124P0.4a0.3A.1 B.2.2 C.11 D.15答案D解析依題意，0.4+a+0.3=1，解得a=0.3，則E(X)=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2，所以E(5X+4)=5E(X)+4=5×2.2+4=15.4.甲、乙兩人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個隨機(jī)變量X，Y，分布列分別為X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是.

答案乙解析E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1，E(Y)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9，∵E(Y)<E(X)，∴乙技術(shù)較好.1.(1)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均數(shù)是隨機(jī)變量，它不確定.(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量的平均程度越小.(3)求出分布列后，注意運(yùn)用分布列的兩條性質(zhì)檢驗(yàn)所求分布列是否正確.2.(1)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).(2)D(X)=E(X2)-(E(X))2.(3)若X1，X2相互獨(dú)立，則E(X1X2)=E(X1)·E(X2).題型一分布列的性質(zhì)例1(1)若隨機(jī)變量X的分布列為X-2-10123P0.10.20.20.30.10.1則當(dāng)P(X<a)=0.8時，實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.[1，2) B.[1，2]C.(1，2] D.(1，2)答案C解析由隨機(jī)變量X的分布列知，P(X<1)=0.5，P(X<2)=0.8，故當(dāng)P(X<a)=0.8時，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，2].(2)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=m4k2?1(k=1，2，3，4，5)，則PA.235 B.325 C.2225答案A解析P(X=k)=m4k2?1=∵5Σk=1P(X=k)=1，∴m=m2×1?111=5m11=1.∴P(X≥4)=1110×17?思維升華離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用“概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的值.(2)利用“在某個范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概率.(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列的結(jié)果是否正確.跟蹤訓(xùn)練1已知隨機(jī)變量ξ的分布列如表：ξ-202Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|ξ|=2)的值是()A.23 B.12 C.14答案A解析因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以b=a+根據(jù)隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)得a+b+c=1，所以3(a+c)2=1，即a所以P(|ξ|=2)=P(ξ=2)+P(ξ=-2)=23題型二離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征命題點(diǎn)1求離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征例2隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若E(X)=13，則D(XX-101P1abA.1 B.23 C.59 答案C解析依題意可得a+b所以D(X)=?1?132×16+0?132×1均值、方差的大小比較、單調(diào)性、最值(范圍)問題關(guān)于隨機(jī)變量的均值與方差，近幾年均以選擇題的形式考查，除考查均值、方差的直接計算外，還經(jīng)常從下列幾個角度進(jìn)行考查：(1)均值、方差及概率的大小比較；(2)均值、方差的增減性分析；(3)均值、方差的最值；(4)解均值、方差的不等式求字母的范圍.典例(1)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下(其中0<p<1)，D(X)表示X的方差，則當(dāng)p從0增大到1時 ()X012P1?1pA.D(X)增大 B.D(X)減小C.D(X)先減后增 D.D(X)先增后減答案D解析由分布列可得E(X)=0×1?p2+1×12+2×p2=則D(X)=1?p21p212+p?22=-p2+p因?yàn)?<p<1，所以D(X)先增后減.(2)(多選)已知某商場銷售一種商品的單件銷售利潤為X=0，a，2，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)可得0<a<2，隨機(jī)變量X的分布列為X0a2P1b1下列結(jié)論正確的是 ()A.b=1B.若該商場銷售該商品5件，其中3件銷售利潤為0的概率為5C.D(X)min=1D.當(dāng)D(X)最小時，E(X)=1答案ABC解析由題意12+b+16=1，∴b=13，故選項(xiàng)A正確；該商場銷售該商品5件，其中3件銷售利潤為0的概率為C53×123×122=516，故選項(xiàng)B正確；隨機(jī)變量X的均值E(X)=0×12+a×13+2×16=13(a+1)，可知方差D(X)=0?13(a+1)2×12+a?13(a+1)2×13+2?13(a+1)2×16=19×(2a2-2a+5)=19×命題點(diǎn)2均值與方差的性質(zhì)應(yīng)用例3(多選)已知隨機(jī)變量X的分布列為X-1012Pabc0.25且a，b，c成等差數(shù)列，下列結(jié)論正確的是()A.D(bX+1)=116D(XB.P(|X|=1)=0.5C.若E(aX)=0.08，則a=0.1D.a-c可能等于0.1答案ABD解析依題意，a+b+c=3b=0.75，解得b=0.25，a+c=0.5.D14X+1=116D(P(|X|=1)=P(X=-1)+P(X=1)=a+c=0.5，B正確；E(X)=-a+c+0.5=1-2a，則E(aX)=aE(X)=a(1-2a)=0.08，解得a=0.1或a=0.4，C錯誤；當(dāng)a=0.3，c=0.2時，a-c=0.1，D正確.思維升華求離散型隨機(jī)變量ξ的均值與方差的步驟(1)理解ξ的意義，寫出ξ的所有可能取值.(2)求ξ取每個值的概率.(3)寫出ξ的分布列.(4)由均值、方差的定義求E(ξ)，D(ξ).跟蹤訓(xùn)練2(多選)已知隨機(jī)變量X的分布列如下，則下列說法正確的是()X-2-112P1mn2A.m+n=2B.P(X<2)=7C.若m=19，Y=3X+2，則E(YD.D(X2)=2答案ABD解析因?yàn)?9+m+n+29=1，所以m+n=23P(X<2)=1-P(X≥2)=1-29=79，故因?yàn)閙=19，所以n=59，所以E(X)=-2×19+(-1)×19+1×59+2×29=23，所以E(Y)=E(3X+2)=3EP(X2=1)=P(X=-1)+P(X=1)=m+n=23，P(X2=4)=P(X=-2)+P(X=2)=1則X2的分布列為X214P21所以E(X2)=1×23+4×13=2，則D(X2)=23×(1-2)2+13×(4-2)2=2題型三均值與方差中的決策問題例4為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對500位顧客進(jìn)行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為45元，其余3個均為15元，求顧客所獲的獎勵額為60元的概率；(2)商場對獎勵總額的預(yù)算是30000元，為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請從如下兩種方案中選擇一種，并說明理由.方案一：袋中的4個球由2個標(biāo)有面值15元和2個標(biāo)有面值45元的兩種球組成；方案二：袋中的4個球由2個標(biāo)有面值20元和2個標(biāo)有面值40元的兩種球組成.解(1)設(shè)顧客所獲的獎勵額為X，依題意得P(X=60)=C11C(2)根據(jù)方案一，設(shè)顧客所獲的獎勵額為X1，其所有可能取值為30，60，90，則P(X1=30)=C22CP(X1=60)=C21C21P(X1=90)=C22C所以E(X1)=30×16+60×23+90×1D(X1)=(30-60)2×16+(60-60)2×23+(90-60)2×1根據(jù)方案二，設(shè)顧客所獲的獎勵額為X2，其所有可能取值為40，60，80，則P(X2=40)=C22CP(X2=60)=C21C21P(X2=80)=C22C所以E(X2)=40×16+60×23+80×1D(X2)=(40-60)2×16+(60-60)2×23+(80-60)2×16商場對獎勵總額的預(yù)算是30000元，故每個顧客平均獎勵額最多為60元，兩方案均符合要求，但方案二獎勵額的方差比方案一小，所以為了使每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，應(yīng)選擇方案二.思維升華隨機(jī)變量的均值和方差從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定.跟蹤訓(xùn)練3(2021·新高考全國Ⅰ)某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；(2)為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.解(1)由題意得，X的所有可能取值為0，20，100，P(X=0)=1-0.8=0.2，P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32，P(X=100)=0.8×0.6=0.48，所以X的分布列為X020100P0.20.320.48(2)當(dāng)小明先回答A類問題時，由(1)可得E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.當(dāng)小明先回答B(yǎng)類問題時，記Y為小明的累計得分，則Y的所有可能取值為0，80，100，P(Y=0)=1-0.6=0.4，P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12，P(Y=100)=0.6×0.8=0.48，所以Y的分布列為Y080100P0.40.120.48E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6.因?yàn)?7.6>54.4，即E(Y)>E(X)，所以為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題.課時精練(分值：80分)一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共20分)1.在籃球比賽中，規(guī)定一次中距離投籃投中得2分，投不中得0分，則選手甲在三次中距離投籃中的總得分ξ的所有可能取值的和是()A.8 B.10 C.12 D.14答案C解析選手甲在三次中距離投籃中可能都不中，得0分，中一次，得2分，中兩次，得4分，中三次，得6分，故總得分ξ的所有可能取值為0，2，4，6，所以總得分ξ的所有可能取值的和為12.2.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列PX=k5=ak(k=1，2，3，4，5)，則A.15 B.13 C.35答案A解析由已知離散型隨機(jī)變量X的分布列PX=k5=ak(k=1，2，3，4則a+2a+3a+4a+5a=1，解得a=115由110<X<35可得X=15或X故P110<X<35=PX=15+3.小林從A地出發(fā)去往B地，1小時內(nèi)到達(dá)的概率為0.4，1小時10分到達(dá)的概率為0.3，1小時20分到達(dá)的概率為0.3.現(xiàn)規(guī)定1小時內(nèi)到達(dá)的獎勵200元，若超過1小時到達(dá)，則每超過1分鐘獎勵少2元.設(shè)小林最后獲得的獎勵為X元，則E(X)等于()A.176 B.182 C.184 D.186答案B解析依題意可得X的可能取值為200，180，160.P(X=200)=0.4，P(X=180)=0.3，P(X=160)=0.3，則X的分布列為X200180160P0.40.30.3所以E(X)=200×0.4+(180+160)×0.3=182.4.隨機(jī)變量ξ的分布列如表：ξ012P2a-baa+b則D(ξ)的取值范圍是()A.34，13C.316，11答案D解析因?yàn)?a-b+a+a+b=1，所以a=14又因?yàn)?<12?b<34,所以E(ξ)=a+2a+2b=34+2bD(ξ)=34+2b?0212?b+34+2=-4b?18因?yàn)?14<b<1所以D(ξ)的取值范圍是316二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)5.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X0125Pa2a+0.2a+0.22a則下列說法正確的是()A.a=0.1 B.D(X)=1.84C.E(X)=2 D.E(2X+6)=9答案AC解析由分布列的性質(zhì)知6a+0.4=1，解得a=0.1，故A正確；故E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.3+5×0.2=2，D(X)=0.1×22+0.4×12+0.3×02+0.2×32=2.6，故B錯誤，C正確；由離散型隨機(jī)變量期望的性質(zhì)可得，E(2X+6)=2E(X)+6=10，故D錯誤.6.一個袋子中裝有除顏色外完全相同的10個球，其中有6個黑球，4個白球，現(xiàn)從中任取4個球，記隨機(jī)變量X為取出白球的個數(shù)，隨機(jī)變量Y為取出黑球的個數(shù)，若取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分，隨機(jī)變量Z為取出4個球的總得分，則下列結(jié)論中不正確的是()A.P(X=1)=12 B.X+YC.E(X)>E(Y) D.E(Z)=28答案AC解析由條件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4個球，所以X+Y=4，故B正確；又X的可能取值為0，1，2，3，4，所以P(X=0)=C40C64P(X=1)=C41C63P(X=2)=C42C62P(X=3)=C43C61P(X=4)=C44C60Y的可能取值為0，1，2，3，4，且P(Y=0)=P(X=4)=1210，P(Y=1)=P(X=3)=4P(Y=2)=P(X=2)=37，P(Y=3)=P(X=1)=821，P(Y=4)=P(X=0)=則E(X)=80+180+72+4210=8E(Y)=24+180+240+60210=12所以E(X)<E(Y)，故C錯誤；因?yàn)閆=2X+Y=2X+(4-X)=X+4，所以E(Z)=E(X+4)=E(X)+4=85+4=285，故D三、填空題(每小題5分，共10分)7.隨機(jī)變量Y的分布列如表，且E(Y)=3，則D(3Y-5)=.

Y02aP1m1答案45解析由題意得16+m+13=1，解得m=所以E(Y)=0×16+2×12+13a=3，解得所以D(Y)=(0-3)2×16+(2-3)2×12+(6-3)2×1所以D(3Y-5)=32D(Y)=9×5=45.8.根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如表所示：降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延誤天數(shù)Y02610歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9，則工期延誤天數(shù)Y的均值為.

答案3解析由題意可知P(X<300)=0.3，P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4，P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2，P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.所以隨機(jī)變量Y的分布列為Y02610P0.30.40.20.1所以E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3，所以工期延誤天數(shù)Y的均值為3.四、解答題(共28分)9.(13分)(2024·重慶模擬)甲、乙兩名圍棋手對弈，比賽實(shí)行五局三勝制，第一局通過猜子確定甲執(zhí)黑先行，其后每局交換先行者，直至比賽結(jié)束，已知甲先行時他贏下該局的概率為0.6，乙先行時他贏下該局的概率為0.5.(1)求比賽只進(jìn)行了三局就結(jié)束的概率；(5分)(2)已知甲勝了第一局，求比賽進(jìn)行局?jǐn)?shù)的期望.(8分)解(1)比賽只進(jìn)行三局，則都是甲贏或都是乙贏，所以概率為0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.4=0.18+0.08=0.26.(2)設(shè)比賽進(jìn)行的局?jǐn)?shù)為X，則X所有可能的取值為3，4，5.當(dāng)X=3時，則前三局都是甲贏，P(X=3)=0.5×0.6=0.3，當(dāng)X=4時，則可能的情況是甲乙甲乙乙勝甲乙乙乙甲勝甲甲乙甲甲勝甲乙甲甲P(X=4)=0.5×0.4×0.5+0.5×0.4×0.5+0.5×0.6×0.5=0.35，P(X=5)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-0.3-0.35=0.35，故E(X)=3×0.3+4×0.35+5×0.35=4.05.10.(15分)猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名，該游戲中有A，B，C三首歌曲.嘉賓甲參加猜歌名游戲，自主選擇猜歌順序，只有猜對當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首，并且獲得本歌曲對應(yīng)的獎勵基金.假設(shè)甲猜對每首歌曲的歌名相互獨(dú)立，猜對三首歌曲歌名的概率及猜對時獲得相應(yīng)的獎勵基金如表：歌曲ABC猜對的概率0.80.50.5獲得的獎勵基金金額/元100020003000(1)若甲按“A，B，C”的順序猜歌名，求至少猜對兩首歌曲歌名的概率；(5分)(2)甲決定按“A，B，C”或者“C，B，A”兩種順序猜歌名，請你計算兩種猜歌順序嘉賓甲獲得獎勵基金的期望；為了得到更多的獎勵基金，請你給出合理的選擇建議，并說明理由.(10分)解(1)由題意可知甲按“A，B，C”的順序猜歌名，至少猜對兩首歌曲的歌名分兩種情況：猜對A，B；猜對A，B，C，這兩種情況不會同時發(fā)生.設(shè)“甲按‘A，B，C’的順序猜歌名至少猜對兩首歌曲的歌名”為事件E，由甲猜對每首歌曲的歌名相互獨(dú)立可得P(E)=P(ABC+ABC)=0.8×0.5×(1-0.5)+0.8×0.5×0.5=0.4.(