高數(shù)難題試題庫及答案

高數(shù)難題試題庫及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$的定義域是（）A.$x\neq0$B.$x\neq1$C.$x\gt1$D.$x\lt1$2.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.-1D.不存在3.函數(shù)$y=x^3$的導數(shù)是（）A.$3x$B.$3x^2$C.$x^2$D.$x$4.不定積分$\intx^2dx=$（）A.$\frac{1}{3}x^3+C$B.$\frac{1}{2}x^2+C$C.$x^3+C$D.$3x^3+C$5.定積分$\int_{0}^{1}xdx=$（）A.$\frac{1}{2}$B.1C.2D.06.函數(shù)$z=x^2+y^2$在點$(1,1)$處對$x$的偏導數(shù)為（）A.1B.2C.3D.47.曲線$y=x^2$在點$(1,1)$處的切線方程是（）A.$y=2x-1$B.$y=x$C.$y=3x-2$D.$y=2x+1$8.級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$是（）A.收斂B.發(fā)散C.條件收斂D.絕對收斂9.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(2,k)$，若$\vec{a}\parallel\vec$，則$k=$（）A.1B.2C.3D.410.函數(shù)$y=\lnx$的二階導數(shù)是（）A.$\frac{1}{x}$B.$-\frac{1}{x^2}$C.$\frac{1}{x^2}$D.$-\frac{1}{x}$多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.$y=x^3$B.$y=\sinx$C.$y=e^x$D.$y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$2.下列極限存在的有（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}$B.$\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}$C.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}$D.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}$3.下列函數(shù)在其定義域內(nèi)可導的有（）A.$y=|x|$B.$y=\sqrt{x}$C.$y=e^x$D.$y=\lnx$4.計算定積分可能用到的方法有（）A.牛頓-萊布尼茨公式B.換元積分法C.分部積分法D.湊微分法5.關(guān)于多元函數(shù)的偏導數(shù)，下列說法正確的有（）A.偏導數(shù)是將其他變量看作常數(shù)對某一個變量求導B.連續(xù)函數(shù)一定有偏導數(shù)C.偏導數(shù)存在函數(shù)不一定連續(xù)D.偏導數(shù)的幾何意義是曲面上的切線斜率6.下列曲線中，漸近線存在的有（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=x+\frac{1}{x}$C.$y=e^x$D.$y=\lnx$7.下列級數(shù)中，收斂的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$8.向量運算中，正確的有（）A.$\vec{a}+\vec=\vec+\vec{a}$B.$(\vec{a}+\vec)+\vec{c}=\vec{a}+(\vec+\vec{c})$C.$\lambda(\vec{a}+\vec)=\lambda\vec{a}+\lambda\vec$D.$\vec{a}\cdot\vec=\vec\cdot\vec{a}$9.函數(shù)$y=f(x)$在某點$x_0$處取得極值的必要條件可能是（）A.$f^\prime(x_0)=0$B.$f^\prime(x_0)$不存在C.$f^{\prime\prime}(x_0)=0$D.$f(x)$在$x_0$處連續(xù)10.下列積分中，屬于廣義積分的有（）A.$\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx$B.$\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}dx$C.$\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x}}dx$D.$\int_{1}^{2}\frac{1}{(x-1)^2}dx$判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=x^2$與$y=\sqrt{x^4}$是同一個函數(shù)。（）2.若$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)$存在，則$f(x)$在$x_0$處一定連續(xù)。（）3.函數(shù)的導數(shù)為零的點一定是極值點。（）4.定積分的值與積分變量用什么字母表示無關(guān)。（）5.二元函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處的兩個偏導數(shù)都存在，則函數(shù)在該點可微。（）6.級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收斂，則$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$。（）7.向量$\vec{a}=(1,0)$與向量$\vec=(0,1)$垂直。（）8.函數(shù)$y=\cosx$的周期是$2\pi$。（）9.若$f(x)$是偶函數(shù)，則$\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$。（）10.函數(shù)$y=e^x$的反函數(shù)是$y=\lnx$。（）簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$y=\frac{x^2-1}{x-1}$的極限，當$x\to1$時。答案：先化簡函數(shù)，$y=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$（$x\neq1$），當$x\to1$時，極限為$1+1=2$。2.求函數(shù)$y=x^3-3x^2+2$的極值。答案：求導得$y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$y^\prime=0$，得$x=0$或$x=2$。$y^{\prime\prime}=6x-6$，$y^{\prime\prime}(0)\lt0$，極大值為$y(0)=2$；$y^{\prime\prime}(2)\gt0$，極小值為$y(2)=-2$。3.計算定積分$\int_{0}^{\pi}\sinxdx$。答案：根據(jù)牛頓-萊布尼茨公式，$\int_{0}^{\pi}\sinxdx=-\cosx\big|_{0}^{\pi}=-(\cos\pi-\cos0)=-(-1-1)=2$。4.求函數(shù)$z=x^2y+xy^2$對$x$和$y$的偏導數(shù)。答案：對$x$求偏導，把$y$看作常數(shù)，$z_x=2xy+y^2$；對$y$求偏導，把$x$看作常數(shù)，$z_y=x^2+2xy$。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$y=\frac{1}{x}$的單調(diào)性和凹凸性。答案：求導得$y^\prime=-\frac{1}{x^2}\lt0$，在定義域$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減。再求二階導$y^{\prime\prime}=\frac{2}{x^3}$，在$(-\infty,0)$上$y^{\prime\prime}\lt0$為凸，在$(0,+\infty)$上$y^{\prime\prime}\gt0$為凹。2.討論級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$的斂散性與$p$的關(guān)系。答案：當$p\gt1$時，根據(jù)$p-$級數(shù)性質(zhì)，級數(shù)收斂；當$p=1$時，為調(diào)和級數(shù)，發(fā)散；當$0\ltp\lt1$時，通過比較判別法可知級數(shù)發(fā)散；當$p\leq0$時，$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^p}\neq0$，級數(shù)發(fā)散。3.討論多元