河南省五市2025屆高三下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省五市2025屆高三下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1已知集合，，則（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榧?，且，則．所以，，，.故選：C.2.設(shè)復(fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以，其虛部為，故選：A.3.已知向量，，若，則的值為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)橄蛄?，，，則，可得，所以.故選：D.4.函數(shù)過(guò)定點(diǎn)A，若，則的最小值為（）．A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】當(dāng)，即時(shí)，恒有，即過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)在上，則，且，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”，由且得：，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值8．故選：C5.有6個(gè)相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球．用表示第一次取到的小球的標(biāo)號(hào)，用y表示第二次取到的小球的標(biāo)號(hào)，記事件為偶數(shù)，為偶數(shù)，，則下列不正確的是（）A. B.與相互獨(dú)立C.與相互獨(dú)立 D.與相互獨(dú)立【答案】B【解析】由題意事件A包含兩種情況，兩次取出的標(biāo)號(hào)都是奇數(shù)和都是偶數(shù)，所以，類(lèi)似可得，，故A正確;事件表示兩次取到的標(biāo)號(hào)都是偶數(shù)，所以，而，所以與不獨(dú)立，故B錯(cuò)誤；有放回地取球兩次，共有基本事件為個(gè)，事件表示的基本事件有個(gè)，所以，由于，所以與相互獨(dú)立，故C正確；事件表示的基本事件有個(gè)，所以，由于，所以與相互獨(dú)立，故D正確；故選：B.6.“方斗”常作為盛米的一種容器，其形狀是一個(gè)上大下小的正四棱臺(tái)，現(xiàn)有“方斗”容器如圖所示，已知，，現(xiàn)往容器里加米，當(dāng)米的高度是“方斗”高度的一半時(shí)，用米，則該“方斗”可盛米的總質(zhì)量為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)線段、、、的中點(diǎn)分別為、、、，如下圖所示：易知四邊形為等腰梯形，因?yàn)榫€段、的中點(diǎn)分別為、，則，設(shè)棱臺(tái)的高為，體積為，則棱臺(tái)的高為，設(shè)其體積為，則，則，所以，，所以，該“方斗”可盛米的總質(zhì)量為.故選：D7.在中，內(nèi)角、、所對(duì)邊分別為、、，若，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由余弦定理可得，所以，所以，故，由正弦定理可得，可得，故.故選：B.8.“曼哈頓距離”是人臉識(shí)別中的一種重要測(cè)距方式，其定義如下：設(shè)，則兩點(diǎn)間的曼哈頓距離，已知，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)滿足，則的最大值為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如圖所示，由圓，可得，則圓心，半徑，設(shè)，則，可得點(diǎn)的軌跡為如下所示的正方形，其中，則，則，所以的最大值為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題正確的是（）．A.若兩組成對(duì)數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為，，則組數(shù)據(jù)比組數(shù)據(jù)的相關(guān)性較強(qiáng)B.若樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為8C.已知互不相同的30個(gè)樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，則剩下28個(gè)數(shù)據(jù)的分位數(shù)小于原樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)D.某人解答5個(gè)問(wèn)題，答對(duì)題數(shù)為，若，則【答案】BD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，即組數(shù)據(jù)比組數(shù)據(jù)的相關(guān)性較弱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若樣本數(shù)據(jù)的方差，則數(shù)據(jù)的方差，故B正確；對(duì)于C，將這原來(lái)的30個(gè)數(shù)從小到大排列為，則，所以原來(lái)的分位數(shù)為，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，剩下28個(gè)數(shù)據(jù)為，則，所以剩下28個(gè)數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，由于互不相同，則，所以，即剩下28個(gè)數(shù)據(jù)的分位數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，某人解答5個(gè)問(wèn)題，答對(duì)題數(shù)為，若，則，故D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)，則（）．A.任意，總有 B.任意，總有C.不存在，使得 D.若，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，函?shù)為偶函數(shù)，故A正確，對(duì)于B，由余弦函數(shù)的值域?yàn)?，可知B正確，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，可得：，此時(shí)，滿足，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，易知在上單調(diào)遞增，且，由在上單調(diào)遞減，可得：在單調(diào)遞減，又，，所以，D正確，故選：ABD11.如圖，多面體容器，底面水平放置，，，所在的平面均與底面垂直，且四個(gè)三角形均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，下列選項(xiàng)正確的是（）.AB.平面平面C.經(jīng)過(guò)直線的平面截該幾何體，截面的最大面積為D.從上面往該容器注水，當(dāng)水面是正多邊形時(shí)（未注滿），注入的水的容積為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，分別取線段的中點(diǎn)，連接，因?yàn)檫呴L(zhǎng)為的等邊三角形，則，，因平面平面，平面平面，平面，則平面，同理可得平面，，則，，則四邊形為平行四邊形，則，又因，所以，故A正確；對(duì)于B，若平面平面，又平面平面，平面平面，則可得平面，又顯然不垂直于平面，故假設(shè)錯(cuò)誤，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)過(guò)直線的平面為，平面與多面體的表面交線為，則平面由平面到平面的轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，截面的可能性有：若截面為或，則截面面積為；若平面與平面或平面相交，由A選項(xiàng)可知，，平面，平面，則平面，又平面平面，平面，則，則，由于對(duì)稱(chēng)性可知，此時(shí)截面為等腰梯形，顯然當(dāng)與重合時(shí)截面面積最大，因等腰梯形的上底，下底，腰，則等腰梯形的面積為，故此時(shí)截面面積的最大值為；因，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，由A選項(xiàng)可知，，又平面，平面，則平面，同理可得平面，又，平面，則平面平面，欲使水面是正多邊形，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性可知，只需，，即可，因，則，則，則，則，則，又因平面，且，則多面體的高為，過(guò)點(diǎn)分別作，則四邊形是面積為的矩形，由平面，平面，則平面平面，過(guò)點(diǎn)作，又平面平面，平面，則平面，則為四棱錐的高，又等邊的邊長(zhǎng)為，則，則四棱錐的體積為，因多面體去掉三個(gè)體積相等的四棱錐后，剩余的部分為直六棱柱，則該部分體積為，故多面體的體積為，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為_(kāi)_________．【答案】4【解析】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可知由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，不妨取上焦點(diǎn)與其中一條漸近線，即，再由點(diǎn)到直線的距離公式可知焦點(diǎn)到其漸近線的距離，故答案為：.13.已知扇形的半徑，，點(diǎn)C在（不含端點(diǎn)）上，點(diǎn)D，E分別在半徑，上，且，，則的面積的最大值為_(kāi)_________．【答案】【解析】如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，設(shè)，則可知為矩形，有又因?yàn)?，，所以，由二倍角公式可知，，故，由輔助角公式可知又點(diǎn)C在（不含端點(diǎn)）上，所以，故當(dāng)時(shí)，的面積的最大值為，故答案為：或.14.有9張卡片反面朝上一字排開(kāi)放在桌面上，現(xiàn)在進(jìn)行如下操作：第一輪選擇其中的任意k張進(jìn)行翻動(dòng)，使其正面朝上，以后每輪都選擇k張翻動(dòng)，使其朝上面發(fā)生改變．若使其正面全部朝上的最少翻動(dòng)輪數(shù)是3，則k的取值集合為_(kāi)_________．【答案】【解析】由題意，每張卡片需要翻動(dòng)奇數(shù)次才能最終正面朝上，則總翻動(dòng)的次數(shù)之和為9個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，所以總翻動(dòng)次數(shù)為為奇數(shù)，即為奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，可分三組翻動(dòng)前三張、中間三張、后三張，每張被翻動(dòng)1次，此時(shí)9張卡片的正面全部朝上，符合題意；當(dāng)時(shí)，合理選擇三輪翻動(dòng)的5張卡片組合（如：第一輪翻動(dòng)15，第二輪翻動(dòng)37，第三輪翻動(dòng)3、4、5、8、9），此時(shí)9張卡片的正面全部朝上，符合題意；當(dāng)時(shí)，合理選擇三輪翻動(dòng)的5張卡片組合（如：第一輪翻動(dòng)17，第二輪翻動(dòng)39，第三輪翻動(dòng)37），此時(shí)9張卡片的正面全部朝上，符合題意；當(dāng)時(shí)，三輪翻動(dòng)后，此時(shí)9張卡片的正面全部朝下，不符合題意，所以的取值集合為.故答案為：.四、解答題：本大題共5個(gè)小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若．求b．解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意知：當(dāng)時(shí)：①當(dāng)時(shí)：②聯(lián)立①②，解得，．因?yàn)?，所以?shù)列的通項(xiàng)公式．（2）由（1）知．方法一：故當(dāng)，時(shí)，原式可化為．因?yàn)椋?；所以．同理?dāng)，即時(shí)，原式可化為，所以．所以，解得．方法二：原式可化為．即．即，．所以，解得．16.如圖，在三棱柱中，平面，四邊形為菱形．（1）證明：；（2）若，，二面角的余弦值為，求三棱柱的體積．（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以．因?yàn)槠矫妫矫?，所以．又因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．?）解：方法一：因?yàn)椋允堑冗吶切?，取中點(diǎn)M，連接，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．設(shè)，則，，．所以，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得．由條件知為平面的一個(gè)法向量．設(shè)二面角的平面角為，易知為銳角．則，解得．因?yàn)槿庵母邽椋?，所以其體積．方法二：因?yàn)椋裕^(guò)B做交的延長(zhǎng)線于O，連接，因?yàn)?，所以面，所以，所以是二面角的平面角．所以，所以，即，因?yàn)?，所以．在中，解得．又平面，所以三棱柱的高為，所以其體積．17.已知拋物線，焦點(diǎn)F在直線上，又動(dòng)直線l與C的交點(diǎn)為A，B兩點(diǎn)，A，B在x軸同側(cè)，且．（1）求拋物線C的方程；（2）證明直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；（3）直線與直線，分別交于M，N，若恒成立，求t的值．（1）解：對(duì)于拋物線，其焦點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)榻裹c(diǎn)F在直線上，所以，解得．所以拋物線C方程為．（2）證明：設(shè)直線l的方程為，，．聯(lián)立，把代入得，所以，，．因?yàn)锳，B在x軸同側(cè)，所以，所以．方法一：因?yàn)椋瑒t，，，所以，即．又因?yàn)?，，則，即，解得或（舍去），所以．所以直線l的方程為，恒過(guò)定點(diǎn)．方法二：因?yàn)?，所以，所以．又因?yàn)?，，則，即，解得或（舍去），所以．所以直線l的方程為，恒過(guò)定點(diǎn)．（3）解：方法一：直線方程為，直線的方程為，則，，因?yàn)?，所以直線與直線的斜率相等，即，可得，即，因?yàn)?，則．整理可得，即，所以；方法二：直線方程為，直線的方程為，所以于，，因?yàn)?，所以有∽，則．又因?yàn)?，，則．可得．即．由（2）知，所以，所以．18.已知函數(shù)，，其中．（1）求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）．（?。┯帽硎緈，n的最大值，證明：；（ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，使得，恒成立？若存在，求a取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以函數(shù)在上為減函數(shù)．又因?yàn)椋屎瘮?shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)0.（2）（?。┖瘮?shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.（ⅱ）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，所以等價(jià)于當(dāng)時(shí)，恒成立，又，若，當(dāng)時(shí)，由，所以在上遞增，所以此時(shí)恒成立.若，當(dāng)時(shí)，由，解得為，在上遞減，此時(shí)，不符合題意．綜上可知，存在實(shí)數(shù)a滿足題意，a的取值范圍是.19.某校在90周年校慶到來(lái)之際，為了豐富教師的學(xué)習(xí)和生活，特舉行了答題競(jìng)賽．在競(jìng)賽中，每位參賽教師答題若干次，每一次答題的賦分方法如下：第1次答題，答對(duì)得20分，答錯(cuò)得10分，從第2次答題開(kāi)始，答對(duì)則獲得上一次答題所得分?jǐn)?shù)兩倍的得分，答錯(cuò)得10分，教師甲參加答題競(jìng)賽，每次答對(duì)的概率均為，每次答題是否答對(duì)互不影響.（1）求甲前3次答題的得分之和為70分的概率．（2）記甲第i次答題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為．（?。┣?，，，并猜想當(dāng)時(shí)，與之間的關(guān)系式；（ⅱ）若，求n的最小值．解：（1）由題意，前3次的得分分別為20（對(duì)），40（對(duì)），10（錯(cuò)）或10