河南省鄭州市2025屆高三下學期第三次質(zhì)量預測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省鄭州市2025屆高三下學期第三次質(zhì)量預測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知集合，，則（）A B.C. D.【答案】B【解析】，故，，故，故.故選：B2.若復數(shù)z滿足，則（）A. B.2 C. D.3【答案】C【解析】因為，所以，所以，故選：C.3.記等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】等差數(shù)列的前n項和為，因為，，所以，故選：A.4.在△ABC中，已知，，，則角C為（）A.45° B.105° C.45°或135° D.15°或105°【答案】D【解析】由正弦定理得，即，所以，故或，當時，，當時，.故選：D5.河南具有悠久的歷史和豐富的文化底蘊，其美食也獨具特色．現(xiàn)有一名游客計劃在三天內(nèi)品嘗完以下六種河南特色美食：燴面、胡辣湯、灌湯包、道口燒雞、燜餅、黃河鯉魚．該游客每天從這六種美食中選擇1到3種進行品嘗（每天必須選擇且不能重復選擇已品嘗過的美食）．若三天后恰好品嘗完所有美食，則不同的選法種數(shù)為（）A.450 B.360 C.180 D.90【答案】A【解析】①計算按照分配的選法種數(shù).根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，按分配的選法種數(shù)為：種.②按照分配的選法種數(shù)為：種.最后將兩種選法種數(shù)相加得到總的選法種數(shù)為種.故選：A.6.4月23日是“世界讀書日”，全社會都參與到閱讀中來，形成愛讀書，讀好書，善讀書的濃厚氛圍．某中學共有3000名學生，為了了解學生書籍閱讀量情況，該校從全校學生中隨機抽取200名，統(tǒng)計他們2024年閱讀的書籍數(shù)量，由此來估計該校學生當年閱讀書籍數(shù)量的情況，下列估計中正確的是（）（注：同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表）A.閱讀量的眾數(shù)估值為8 B.閱讀量的中位數(shù)估值為6.5C.閱讀量的平均數(shù)估值為6.76 D.閱讀量的第70百分位數(shù)估值為8.86【答案】D【解析】眾數(shù)估值為，A錯誤；中位數(shù)在內(nèi)，所以，解得，B錯誤；平均數(shù)，C錯誤；第70百分位數(shù)在內(nèi)，所以，解得，D正確故選：D.7.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，若，則（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】因為，所以，因為是奇函數(shù)，，所以，因為函數(shù)圖象關(guān)于對稱，所以，即.故選：D.8.已知點坐標為，直線與圓交于兩點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，所以圓心，半徑由得，由得，所以直線過定點，即為圓心，所以是圓的直徑的兩端點，所以，且，，因為，所以，令，則，所以當時，取得最小值；當時，取得最大值，所以，故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.函數(shù)，則下列關(guān)于的說法中正確的是（）A.最小正周期是 B.最大值是2C.是區(qū)間上的增函數(shù) D.圖象關(guān)于點中心對稱【答案】AC【解析】，所以的最小正周期，A正確；最大值是，B錯誤；當時，，是的單調(diào)遞增區(qū)間，C正確；因為，，，所以圖象不關(guān)于中心對稱，D錯誤.故選：AC.10.如圖，在棱長為6的正四面體中，點O是頂點P在底面ABC內(nèi)的射影，N為PO的中點，則（）A.B.點C到平面的距離為C.如果在此正四面體中放入一個小球（全部進入），則小球半徑的最大值為D.動點Q在平面ABC內(nèi)，且滿足，則動點的軌跡表示圖形的面積為【答案】BD【解析】取的中點，連接，則且為靠近的一個三等分點，過點作交于點，則，又平面，如圖建立空間直角坐標系，因為，所以，則，，，，，所以，，所以，所以與不垂直，故A錯誤；因為，所以，又，所以，設(shè)點到平面的距離為，則，解得，即點C到平面的距離為，故B正確；對于C：因為，設(shè)正四面體的內(nèi)切球的半徑為，則，即，解得，所以在此正四面體中放入一個小球（全部進入），則小球半徑的最大值為，故C錯誤；對于D：連接，因為，平面，平面，所以，所以，所以，則點在平面所表示的圖形為以為圓心，為半徑的圓面，所以動點的軌跡表示圖形的面積為，故D正確.故選：BD11.群論，是代數(shù)學的分支學科，群的定義如下：設(shè)G是一個非空集合，“?”是G上的一個代數(shù)運算，如果該運算滿足以下條件：①對任意的，有；②對任意的，有；③存在，使得對任意的，有，稱為單位元；④對任意的，存在，使，稱a與b互為逆元．則稱G關(guān)于“?”新構(gòu)成一個群．則下列說法正確的有（）A.（為虛數(shù)單位）關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群B.有理數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群C.關(guān)于數(shù)的除法構(gòu)成群D.正實數(shù)集關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群【答案】ABD【解析】對于A選項：因為，可以計算里面任意兩個元素的乘積結(jié)果都屬于集合.因為數(shù)的乘法滿足結(jié)合律，對于復數(shù)也不例外.存在，對于，當時，.當時，;當時，.集合也滿足逆元，關(guān)于數(shù)的乘法能夠構(gòu)成群，所以A選項正確.對于B選項：對于任意兩個有理數(shù)，它們的和仍為有理數(shù)；有理數(shù)的加法也滿足結(jié)合律.存在，對于，有.對于任意的，存在，使得.所以有理數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群，B選項正確.對于C選項：取，無意義，不滿足對任意的，有，所以不滿足封閉性，C選項錯誤.對于D選項：任意兩個正實數(shù)的乘積仍然是正實數(shù)；實數(shù)的乘法滿足結(jié)合律.對于任意的，存在使得.滿足.所以D選項正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分．12.若直線經(jīng)過橢圓的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的離心率為________．【答案】或【解析】直線與坐標軸的交點為和，若是橢圓的焦點，是橢圓的一個頂點，此時橢圓的焦點在軸且，所以，離心率，若是橢圓的焦點，是橢圓的一個頂點，此時橢圓的焦點在軸且，所以，離心率，所以橢圓的離心率為或，故答案為：或.13.已知，，則________．【答案】【解析】，，故，所以，解得，故，所以.故答案為：14.若直線為曲線的一條切線，則的最小值為________．【答案】【解析】，設(shè)直線與曲線相切于點，則且，解得，所以，從而得，所以，設(shè)，，令得，令得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某云計算平臺部署了多臺同型號服務(wù)器，運維系統(tǒng)會檢測服務(wù)器是否觸發(fā)“高溫異?！本瘓螅畾v史數(shù)據(jù)表明，警報與服務(wù)器狀態(tài)（正常/故障）高度相關(guān)．從觸發(fā)警報和未觸發(fā)警報的數(shù)據(jù)中各隨機抽取500條，統(tǒng)計如下：觸發(fā)警報時狀態(tài)分布未觸發(fā)警報時狀態(tài)分布正常25臺正常450臺故障475臺故障50臺運維單臺服務(wù)器時，可選操作及經(jīng)濟損失（單位：千元）如下：狀態(tài)/操作保持運行快速診斷深度檢修正常013故障1046假設(shè)用頻率估計概率，各服務(wù)器狀態(tài)相互獨立．（1）若服務(wù)器觸發(fā)高溫警報，求其處于故障狀態(tài)的概率；（2）某次維護中，發(fā)現(xiàn)1臺觸發(fā)警報的服務(wù)器和1臺未觸發(fā)警報的服務(wù)器．現(xiàn)有三種操作方案：方案甲：觸發(fā)警報的服務(wù)器深度檢修，未觸發(fā)警報的保持運行；方案乙：觸發(fā)警報的服務(wù)器快速診斷，未觸發(fā)警報的保持運行；方案丙：觸發(fā)警報的服務(wù)器深度檢修，未觸發(fā)警報的快速診斷．從總經(jīng)濟損失期望最小的角度，判斷哪種方案更優(yōu)．解：（1）設(shè)服務(wù)器觸發(fā)警報時其處于故障狀態(tài)設(shè)為事件A，服務(wù)器未觸發(fā)報警記時其處于故障狀態(tài)記為B．由題意可知，；，由古典概型知識可知，.（2）∵，∴，又，∴．∴.方案甲：觸發(fā)警報的服務(wù)器深度檢修的經(jīng)濟損失的數(shù)學期望為：（千元）．未觸發(fā)警報的服務(wù)器保持運行的經(jīng)濟損失的數(shù)學期望為：（千元）．∴（千元）方案乙：觸發(fā)警報的服務(wù)器快速診斷的經(jīng)濟損失的數(shù)學期望為：（千元）．所以，（千元）方案丙：未觸發(fā)警報的服務(wù)器快速診斷的經(jīng)濟損失的數(shù)學期望為：（千元），所以（千元）∵，所以方案乙更優(yōu)．16.已知函數(shù)．（1）若是函數(shù)的極值點，求a的值；（2）在（1）的條件下，若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍．解：（1），因為是函數(shù)的極值點，所以，即，此時，由，得；由，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，是函數(shù)的極小值點，故.（2）由（1）可知有兩個零點，即方程有兩個解．當時，，當時，，即．設(shè)，函數(shù)零點個數(shù)為函數(shù)的圖象與直線的交點個數(shù)．，，令，得或；令，得且．所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增．當時，；當時，；如圖所示，，函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，即或，即或時，函數(shù)有兩個零點.17.已知數(shù)列的首項，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）由題意可知，，可得，又，故數(shù)列是以-1為首項，以-1為公比的等比數(shù)列，所以.（2）由（1）可得，所以，，當n奇數(shù)時，①，②，由①-②得，所以，所以，，所以，，所以，當n為偶數(shù)時，，同理求和可得，，所以，，故，綜上，實數(shù)的取值范圍為.18.已知拋物線的焦點為F，點在E上，且．（1）求E的方程；（2）過F作互相垂直的兩條直線，，這兩條直線與拋物線C分別交于A，B和P，Q兩點，其中點A，P在第一象限．（?。┯洝鰽OB和△POQ的面積為，，求的最小值；（ⅱ）過F點作x軸的垂線，分別交AP，BQ于C，D兩點，請判斷是否存在以CD為直徑的圓與y軸相切，并說明理由．解：（1）依題意得，點M在拋物線上，且，所以，所以可得，所以E的方程為；（2）（?。佄锞€方程為，焦點坐標為，當?shù)闹本€斜率為0時，與拋物線只有1個交點，不合要求，當?shù)男甭什淮嬖跁r，的斜率為0，此時與拋物線只有1個交點，不合要求，故設(shè)，，則，，，，，由，消去x得，，，，所以，同理，所以，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為．（ⅱ）不妨設(shè)，由題意可知，又，，所以AP的直線方程可化為：，又，故可得，同理可得直線方程為，又，故，又，所以可得，可得，所以可得CD的中點恒為F，以CD為直徑的圓與y軸相切等價于，若，則，所以，又，所以，故，整理可得，即，因為，故，所以．又，故可得．代入方程可得，，，故不存在以CD為直徑的圓與y軸相切19.在空間直角坐標系O-xyz中，已知向量，經(jīng)過點，且以為法向量的平面α的方程為．（1）求原點到平面的距離；（2）根據(jù)平面直角坐標系中點到直線的距離公式，類比出到平面的距離公式，并利用有關(guān)知識證明；（3）已知平行六面體，平面的方程為，平面經(jīng)過點，平面的方程為，求平面與平面夾角的余弦值的最大值．（1）解：根據(jù)題意，平面的法向量，在平面上任取點，可得，設(shè)原