湖北省部分普通高中聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省部分普通高中聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上.2．答選擇題時(shí)必須使用2B鉛筆，將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).3．答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書(shū)寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上.4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效.5．考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡，相應(yīng)的位置上.1.在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A.160 B. C. D.【答案】B【解析】由題可得二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選：B2.下列函數(shù)求導(dǎo)不正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：C3.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)首項(xiàng)為，公差為，因?yàn)?，所以，則，即，得到，而，故C正確.故選：C4.在等比數(shù)列中，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】由題意得在等比數(shù)列中，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則由韋達(dá)定理得，，故，得到，由等比中項(xiàng)性質(zhì)得，解得，得到，故A正確.故選：A5.現(xiàn)有6個(gè)編號(hào)為不同的球和6個(gè)編號(hào)為不同的盒子，每盒放一球，則恰有三個(gè)球的編號(hào)和盒子的編號(hào)相同的放法，有（）A.20種 B.30種 C.40種 D.80種【答案】C【解析】從6個(gè)盒子任取3個(gè)，使其與球的編號(hào)相同，有種方法，另三球的放法數(shù)為2種，所以恰有三個(gè)球的編號(hào)和盒子的編號(hào)相同的放法的（種）.故選：C6.與已知直線平行的直線是曲線的切線，當(dāng)切線與已知直線距離最大時(shí)，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，求導(dǎo)得，依題意，，即，解得或，則切點(diǎn)坐標(biāo)為或，切線與直線的距離即切點(diǎn)到該直線距離，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，，由，即點(diǎn)到直線的距離最大.故選：D7.現(xiàn)有四所學(xué)校，每所學(xué)校出2名教師參加學(xué)科比武大賽，現(xiàn)有4名教師得獎(jiǎng)，獲獎(jiǎng)教師中恰有2名教師來(lái)自同一學(xué)校的有（）A.24種 B.48種 C.72種 D.96種【答案】B【解析】從4所學(xué)校任取1所的2名教師，再?gòu)挠嘞?所學(xué)校取2所，并分別取1名教師，所求的不同方法種數(shù)為.故選：B8.下列不等式不正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.對(duì)于A，因?yàn)?，所以，即，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，即，所以，故B正確；對(duì)于C，設(shè)函數(shù)，則，等于0不恒成立，故是R上的增函數(shù)，因?yàn)?，所以，即，故C正確；對(duì)于D，設(shè)函數(shù)，則，等于0不恒成立，故是R上的增函數(shù)，因?yàn)?，所以，即，故D錯(cuò)誤.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和是，且，已知，，則下列說(shuō)法正確的有（）A.數(shù)列是等差數(shù)列 B.的最小值是C.的最大值是 D.的最小為15【答案】ACD【解析】數(shù)列的前項(xiàng)和，且，所以，且，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，顯然滿足上式，所以，所以，故數(shù)列是等差數(shù)列，故A正確；對(duì)于BC，由上，因?yàn)?，所以有最大值；故B錯(cuò)誤，C正確；對(duì)于D，令，所以的最小為15，故D正確.故選：ACD10.已知，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對(duì)于B，取，得，B正確；對(duì)于A，取，得，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于C，依題意，均為正數(shù)，均為負(fù)數(shù)，取，得，則，C正確；對(duì)于D，兩邊求導(dǎo)得，取，得，D正確.故選：BCD11.已知函數(shù)，則（）A.總有兩個(gè)極值點(diǎn)B.時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)C.點(diǎn)是曲線的對(duì)稱(chēng)中心，則D.是的極小值點(diǎn)【答案】ABD【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得對(duì)于A，方程中，，則函數(shù)總有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，因此總有兩個(gè)極值點(diǎn)，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值極小值為，即當(dāng)時(shí)，，而，因此只有一個(gè)零點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，由點(diǎn)是曲線的對(duì)稱(chēng)中心，得，即，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，是的極小值點(diǎn)，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.數(shù)列中，，，則通項(xiàng)______．【答案】【解析】數(shù)列中，由，得，而，因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，則，所以.故答案為：13.已知，求在處的切線方程：______．【答案】【解析】由，得，令，則，解得，所以，所以在處的切線方程的斜率為，又，所以切線方程為：，即或.故答案為：14.已知在上是增函數(shù)，則的最小值是______．【答案】【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得，由函數(shù)在上是增函數(shù)，得，，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，因此，而，解得，所以的最小值是.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）在數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，而，即，因此數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.16.已知函數(shù)，（1）若，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）有兩個(gè)根，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得極大值，無(wú)極小值，所以函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，極大值為，無(wú)極小值.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，令，由有兩個(gè)根，得直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，恒成立，，因此當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以的取值范圍是.17.一市級(jí)重點(diǎn)中學(xué)選中了6名男教師和4名女教師共10名教師，其中1名主任（男）和1名副主任（女），現(xiàn)要組成6人支教小組，依下列條件各有多少種選派方法？（1）6人支教小組中，有3名男教師和3名女教師；（2）6人支教小組中，既有男教師，又有女教師；（3）6人支教小組中，至少有1名主任參加；（4）6人支教小組中既有主任，又有女教師．解：（1）由題意得從6名男教師里選3名有種選派方法，從4名女教師里選3名有種選派方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有種選派方法（2）由題意得從10名教師里選6名有種選派方法，而只有4名女教師，則6名教師里不可能全是女教師，若全是男教師，有種選派方法，故既有男教師，又有女教師的選派方法為種.（3）由題意得從10名教師里選6名有種選派方法，從不是主任的8名教師里選6名有種選派方法，則至少有1名主任參加有種選派方法.（4）由已知得從10名教師里選6名有種選派方法，從不是主任的8名教師里選6名有種選派方法，若有主任，且沒(méi)有女教師，有種選派方法，則既有主任，又有女教師有種選派方法.18.已知中，，．是的前項(xiàng)和．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的取值范圍；（3），，求的通項(xiàng)公式.解：（1）在數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，，，，滿足上式，所以的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）知，則，而數(shù)列單調(diào)遞增，則，因此，所以的取值范圍是.（3）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，而，則，即，因此數(shù)列常數(shù)列，則，所以的通項(xiàng)公式是.19.已知函數(shù)，，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有解，求的取值范圍．（3），討論零點(diǎn)個(gè)數(shù).解：（1）由題意得，的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)時(shí)，，令，，令，，故此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，解得或，當(dāng)時(shí)，解得，令，，令，，故此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，解得，得到，故此時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，解得，令，，令，，故此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）若有解，則有解，故有解，即有解，則有解即可，令，則即可，而，