2024-2025學(xué)年北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)期末復(fù)習(xí)題-解答壓軸題（含解析）

2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)期末復(fù)習(xí)題--解答壓軸題【題型1相交線中的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題】1.點(diǎn)O是直線AB上的一點(diǎn)，射線OC從OA出發(fā)繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)到OB停止，設(shè)∠AOC=α（0°≤α≤180°），射線OD⊥OC，作射線OE平分∠BOD．(1)如圖1，若α=40°，且OD在直線AB的上方，求∠DOE的度數(shù)（要求寫出簡(jiǎn)單的幾何推理過(guò)程）．(2)射線OC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到圖2，當(dāng)射線OD在直線AB的下方時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)你用含α的代數(shù)式表示∠DOE的度數(shù)，（要求寫出簡(jiǎn)單的幾何推理過(guò)程）．(3)射線OC從OA出發(fā)繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到OB，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中你發(fā)現(xiàn)∠DOE與∠AOC（0°≤∠AOC≤180°，0°≤∠DOB≤180°）之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你直接用含α的代數(shù)式表示2.張老師將教鞭和直角三角板放在量角器上．如圖①，MN是量角器的直徑，點(diǎn)O是圓心，教鞭OC與OM重合，直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OB與ON重合，∠AOB=30°．如圖②，現(xiàn)將教鞭OC繞點(diǎn)O沿順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?°的速度旋轉(zhuǎn)，同時(shí)將直角三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛞悦棵?°的速度旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OC與ON重合時(shí)，三角板和教鞭OC同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．(1)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求∠AON的度數(shù)（用含t的代數(shù)式表示）．(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，OA⊥MN．(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若射線OC，OA，OB中的兩條射線組成的角（指大于0°而不超過(guò)180°的角）恰好被第三條射線平分，求出此時(shí)t的值．3.問(wèn)題提出已知一副直角三角尺按如圖1方式拼接在一起，其中OC與直線MN重合，∠AOB=45°，∠AOM=∠COD=30°．（1）在圖1中，∠BOD的度數(shù)為_(kāi)_____．問(wèn)題探究（2）如圖1，三角尺COD固定不動(dòng)，將三角尺AOB繞著點(diǎn)O以每秒4°的速度順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，且在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，兩塊三角尺均在直線MN的上方．設(shè)三角尺AOB的旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，當(dāng)OB平分∠AOD時(shí)，請(qǐng)求出t的值．問(wèn)題解決（3）如圖1，若三角尺AOB繞著點(diǎn)O以每秒4°的速度順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的同時(shí)，三角尺COD也繞著點(diǎn)O以每秒1°的速度逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，兩塊三角尺均在直線MN的上方，且當(dāng)三角尺AOB停止旋轉(zhuǎn)時(shí)，三角尺COD也停止旋轉(zhuǎn)．設(shè)三角尺AOB的旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻∠AOD=2∠BOC？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4.如圖1，點(diǎn)O在直線AB上，∠AOC=30°，將一個(gè)含有60°角的直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，較長(zhǎng)的直角邊OM在射線OB上，較短的直角邊ON在直線AB的下方．【操作一】：將圖1中的三角尺繞著點(diǎn)O以每秒12°的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．當(dāng)它完成旋轉(zhuǎn)一周時(shí)停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．（1）圖1中與∠BOC互補(bǔ)的角有．（2）當(dāng)ON⊥OC，求旋轉(zhuǎn)的時(shí)間t．【操作二】：如圖2將一把直尺的一端點(diǎn)也放在點(diǎn)O處，另一端點(diǎn)E在射線OC上．如圖3，在三角尺繞著點(diǎn)O以每秒3x度的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的同時(shí)，直尺也繞著點(diǎn)O以每秒x度的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)一方完成旋轉(zhuǎn)一周時(shí)停止，另一方也停止旋轉(zhuǎn)．試探索：在三角尺與直尺旋轉(zhuǎn)的整個(gè)過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得∠COM與∠AOE這兩個(gè)角中，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的一半？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足題意時(shí)∠COM的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．你的答案是：．

【題型2平行線中的定值問(wèn)題】1.如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在直線AB和CD之間，且在直線BD的左側(cè)，∠ABE=1(1)如圖1，求∠BED的度數(shù)（用含α的式子表示）；(2)連接BD，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BD，交AB于點(diǎn)F，動(dòng)點(diǎn)G在射線BE上，①如圖2，若k=5，DG平分∠BDE，判斷DG與BE的位置關(guān)系并說(shuō)明理由．②連接DF，若∠DFE=12∠DFB，DG⊥BE于點(diǎn)G，是否存在常數(shù)k，使∠FDG2.已知AB∥CD，點(diǎn)M、N分別是AB、CD上的點(diǎn)，點(diǎn)G在AB、CD之間，連接MG、

(1)如圖1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度數(shù)．(2)在（1）的條件下，已知∠BMG的平分線MH交∠GND的平分線NH于點(diǎn)H，求∠MHN的度數(shù)．(3)如圖2，若點(diǎn)P是CD下方一點(diǎn)，MT平分∠BMP，NC平分∠TNP，已知∠BMT=40°，證明：∠MTN?∠P為定值．3.如圖1，已知直線l1∥l2，點(diǎn)A、B在直線l1上，點(diǎn)C、D在l2上，線段AD交線段(1)求證：∠ABE+∠EDC=60°；(2)如圖2，當(dāng)F、G分別在線段AE、EC上，且∠ABF=2∠FBE，∠EDG=2∠GDC，標(biāo)記∠BFE為∠1，∠BGD為∠2．①若∠1?∠2=16°，求∠ADC的度數(shù)；②當(dāng)k=________時(shí)，k∠1+∠2為定值，此時(shí)定值為_(kāi)_______．4.如圖，兩個(gè)形狀，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如圖放置，PA、PB與直線MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（1）①如圖1，∠DPC＝度．②我們規(guī)定，如果兩個(gè)三角形只要有一組邊平行，我們就稱這兩個(gè)三角形為“孿生三角形”，如圖1，三角板BPD不動(dòng)，三角板PAC從圖示位置開(kāi)始每秒10°逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周（0°<旋轉(zhuǎn)<360°），問(wèn)旋轉(zhuǎn)時(shí)間t為多少時(shí)，這兩個(gè)三角形是“孿生三角形”．（2）如圖3，若三角板PAC的邊PA從PN處開(kāi)始繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速3°/秒，同時(shí)三角板PBD的邊PB從PM處開(kāi)始繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速2°/秒，在兩個(gè)三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，（PC轉(zhuǎn)到與PM重合時(shí)，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動(dòng)）．設(shè)兩個(gè)三角板旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，以下兩個(gè)結(jié)論：①∠CPD∠BPN為定值；②∠BPN+∠CPD【題型3平行線中探究角度之間的關(guān)系】1.如圖1，AB∥CD，G為(1)若GE平分∠AEF，GF平分∠EFC．求證：(2)如圖2，若∠AEP=25∠AEF，∠CFP=25∠EFC，且FP的延長(zhǎng)線交∠AEP的角平分線于點(diǎn)(3)如圖3，若點(diǎn)H是射線EB之間一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)G平分∠EFH，MF平分∠EFC，過(guò)點(diǎn)G作GQ⊥FM于點(diǎn)Q，請(qǐng)猜想∠EHF與2.已知：MN∥PQ，點(diǎn)A，B分別在MN，PQ上，點(diǎn)

(1)如圖1，若∠MAC=45°，∠PBC=43°，求(2)如圖2，AD，BD，AE，(3)在（2）的條件下，如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DA的垂線交PQ于點(diǎn)G，點(diǎn)F在PQ上，∠FDA=2∠FDB，F(xiàn)D的延長(zhǎng)線交EA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，若3∠C=4∠E，猜想∠H與∠GDB的倍數(shù)關(guān)系并證明．3.點(diǎn)A，C，E在直線l上，點(diǎn)B不在直線l上，把線段AB沿直線l向右平移得到線段CD．（1）如圖1，若點(diǎn)E在線段AC上，求證：∠B+∠D=∠BED；（2）若點(diǎn)E不在線段AC上，試猜想并證明∠B，∠D，∠BED之間的等量關(guān)系；（3）在（1）的條件下，如圖2所示，過(guò)點(diǎn)B作PB//ED，在直線BP，ED之間有點(diǎn)M，使得∠ABE=∠EBM，∠CDE=∠EDM，同時(shí)點(diǎn)F使得∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，其中n≥1，設(shè)∠BMD=m，利用（1)中的結(jié)論求∠BFD的度數(shù)（用含m，n的代數(shù)式表示）．4.已知a//b，直角△ABC的邊與直線a分別相交于O、G兩點(diǎn)，與直線b分別交于E，F(xiàn)點(diǎn)，且∠ACB=90°．（1）將直角△ABC如圖1位置擺放，如果∠AOG=56°，則∠CEF=________；（2）將直角△ABC如圖2位置擺放，N為AC上一點(diǎn)，∠NEF+∠CEF=180°，請(qǐng)寫出∠NEF與∠AOG之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）將直角△ABC如圖3位置擺放，若∠GOC=135°，延長(zhǎng)AC交直線b于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是射線GF上一動(dòng)點(diǎn)，探究∠POQ,∠OPQ與∠PQF的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論．【題型4完全平方公式在幾何中的應(yīng)用】1.通過(guò)第14章的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)不同的方法計(jì)算圖形的面積可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式：如圖1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2(1)【探索發(fā)現(xiàn)】根據(jù)圖中條件，猜想并驗(yàn)證(a+b)2與(a?b)2之間的關(guān)系（用含a、(2)【解決問(wèn)題】①若x+y=8，x2+y②當(dāng)(x?300)(200?x)=1996時(shí)，求(2x?500)2(3)【拓展提升】如圖4，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC，BC為邊向兩邊作正方形ACDE和BCFG，延長(zhǎng)GB和ED交于點(diǎn)H，那么四邊形DCBH為長(zhǎng)方形，設(shè)AB=10，圖中陰影部分面積為42，求兩個(gè)正方形的面積和S12.【閱讀理解】“若x滿足80?xx?60=30，求解：設(shè)80?x=a，x?60=b，則80?xx?60=ab=30【解決問(wèn)題】(1)若x滿足25?x18?x=30，求(2)若x滿足x2+10?x(3)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，AE=6，CG=8，長(zhǎng)方形EFGD的面積是240，四邊形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是長(zhǎng)方形，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果必須是一個(gè)具體的數(shù)值）．

3.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，A種紙片邊長(zhǎng)為a的正方形，B中紙片是邊長(zhǎng)為b的正方形，C種紙片是長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形．并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．（1）請(qǐng)問(wèn)兩種不同的方法求圖2大正方形的面積．方法1：s=____________________；方法2：s=________________________；（2）觀察圖2，請(qǐng)你寫出下列三個(gè)代數(shù)式：a+b2_______________________________________________________；（3）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：①已知：a+b=5,a2+②已知2020?a2+a?20194.閱讀理解，解答下列問(wèn)題：利用平面圖形中面積的等量關(guān)系可以得到某些數(shù)學(xué)公式．（1）例如，根據(jù)下圖①，我們可以得到兩數(shù)和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根據(jù)圖②能得到的數(shù)學(xué)公式是__________．（2）如圖③，請(qǐng)寫出（a＋b）、（a﹣b）、ab之間的等量關(guān)系是__________（3）利用（2）的結(jié)論，解決問(wèn)題：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．（4）根據(jù)圖④，寫出一個(gè)等式：__________．（5）小明同學(xué)用圖⑤中x張邊長(zhǎng)為a的正方形，y張邊長(zhǎng)為b的正方形，z張寬、長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片，用這些紙片恰好拼出一個(gè)面積為（3a＋b）（a＋3b）長(zhǎng)方形，請(qǐng)畫出圖形，并指出x＋y＋z的值．類似地，利用立體圖形中體積的等量關(guān)系也可以得到某些數(shù)學(xué)公式．（6）根據(jù)圖⑥，寫出一個(gè)等式：___________．【題型5三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用】1.已知，如圖四邊形ABCD中，O是AC與BD的交點(diǎn)，試說(shuō)明：AC與BD的和小于四邊形ABCD的周長(zhǎng)．2.按要求完成下列各小題．(1)在△ABC中，AB=8，BC=2，AC(2)已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為3，5，a，化簡(jiǎn)a3.如圖，在△ABC中AB>BC，AC=2BC，BC邊上的中線AD把△ABC的周長(zhǎng)分成50和35兩部分，求AC和AB的長(zhǎng)．4.將長(zhǎng)度為2n（n≥4，n是自然數(shù)）的一根鉛絲折成各邊的長(zhǎng)均為整數(shù)的三角形，三邊的長(zhǎng)記為a、b、c，且滿足a≤b≤c．(1)就n=4，5，6的情況，分別寫出所有滿足題的a,b,c．(2)有人根據(jù)（1）中的情況，猜想到若鉛絲的長(zhǎng)度為2n（n為自然數(shù)，且n≥4）時(shí)，a,b,c的個(gè)數(shù)一定為n?3，這個(gè)猜想正確嗎？請(qǐng)你對(duì)n=12時(shí)的情況進(jìn)行驗(yàn)證．【題型6利用網(wǎng)格求三角形的面積】1.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位，每個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)．(1)求出△BCD的面積S△BCD為(2)用不帶刻度的直尺畫出△ABC的AB邊上的高CH，垂足為H；(3)在圖中方格中，能使S△QBC=S△BCD的格點(diǎn)Q（不包括2.如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1，點(diǎn)A、B、P、Q均為格點(diǎn)（格點(diǎn)是指每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)），線段AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)P．(1)過(guò)點(diǎn)P畫線段CD，使得線段CD滿足以下兩個(gè)條件：①CD⊥AB②CD=AB；(2)過(guò)點(diǎn)Q畫AB的平行線EF，EF與CD相交于點(diǎn)G；(3)若格點(diǎn)H使得△PAH的面積等于6，則這樣的點(diǎn)H共有個(gè)．（畫線時(shí)必須用小黑點(diǎn)標(biāo)出重要的格點(diǎn)）3.如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形網(wǎng)格中．根據(jù)下列條件，利用網(wǎng)格點(diǎn)和無(wú)刻度的直尺畫圖并解答相關(guān)的問(wèn)題（保留畫圖痕跡）：

(1)畫出AB邊上的中線CD；(2)畫出BC邊上的高線AE；(3)△ABC的面積為_(kāi)_____；(4)在圖中能使S△PAC=S△ABC的格點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有______個(gè)（點(diǎn)4.閱讀下列材料：正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形叫格點(diǎn)多邊形，若格點(diǎn)多邊形至少有一邊是曲線，則稱其為曲邊格點(diǎn)多邊形．（1）求圖（1）中格點(diǎn)三角形的面積；（2）在圖（2）中畫出一個(gè)格點(diǎn)梯形，使它的面積等于9；（只需畫出，不必說(shuō)明）（3）在圖（3）中畫出一個(gè)曲邊格點(diǎn)多邊形，使它的面積等于25，說(shuō)明理由.【題型7利用軸對(duì)稱進(jìn)行設(shè)計(jì)】1.（1）請(qǐng)你沿著圖1中的虛線，用兩種方法將圖1劃分為兩個(gè)全等的圖形；（2）如圖2，是4×4的正方形網(wǎng)格，其中已有3個(gè)小方格涂成了陰影，請(qǐng)你從其余的13個(gè)白色的小方格中選出一個(gè)也涂成陰影，使整個(gè)涂成陰影的圖形成為軸對(duì)稱圖形．請(qǐng)用三種方法在圖中補(bǔ)全圖形，并畫出它們各自的對(duì)稱軸（所畫的三個(gè)圖形不能全等）2.下列三個(gè)圖，均由4個(gè)完全相同的小正方形組合而成，分別添加一個(gè)相同的正方形，使它們成為不同的軸對(duì)稱圖形．3.請(qǐng)?jiān)谌鐖D四個(gè)3×3的正方形網(wǎng)格中，畫出與格點(diǎn)三角形（陰影部分）成軸對(duì)稱且以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，并將所畫三角形涂上陰影．（注：所畫的四個(gè)圖不能重復(fù)）4.如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，每個(gè)圖中均已將兩個(gè)小正方形涂色，請(qǐng)你按要求對(duì)各圖中剩下的空白小正方形進(jìn)行涂色：(1)在圖1中選擇一個(gè)空白小正方形涂色，使涂色部分成為軸對(duì)稱圖形，共有___種選法；(2)在圖2中選擇兩個(gè)空白小正方形涂色，使涂色部分成為只有一條對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形；(3)在圖3中選擇兩個(gè)空白小正方形涂色，使涂色部分成為有兩條對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形；(4)在圖4中選擇三個(gè)空白小正方形涂色，使涂色部分成為軸對(duì)稱圖形．【題型8新定義問(wèn)題】1.【閱讀材料】配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決一些問(wèn)題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)椤窘鉀Q問(wèn)題】(1)數(shù)61“完美數(shù)”（填“是”或“不是”）；【探究問(wèn)題】(2)已知x2+2y2(3)已知S=5x2+y2+2xy+12x+k（x、y是整數(shù)，【拓展結(jié)論】(4)已知x、y滿足?x2+2.定義：若∠α、∠β是同旁內(nèi)角，并且∠α,∠β滿足∠β=∠α+20°，則稱∠β是∠α的內(nèi)聯(lián)角．(1)如圖1，已知∠β是∠α的內(nèi)聯(lián)角．①當(dāng)∠α=60°時(shí)，∠β=_____°；②當(dāng)直線l1∥l(2)如圖2，已知∠β是∠α的內(nèi)聯(lián)角，點(diǎn)O是線段GH上一定點(diǎn)．①∠DHG是∠BGH的內(nèi)聯(lián)角嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；②過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線CD、AB于點(diǎn)P、Q，若∠α=60°且∠EOP是圖中某個(gè)角的內(nèi)聯(lián)角．請(qǐng)直接寫出∠EOP是哪個(gè)角的內(nèi)聯(lián)角，以及此時(shí)∠EOP的度數(shù)．3.我們規(guī)定：在一個(gè)三角形中，如果有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形為等角三角形．(1)如圖1，∠ABC的角平分線交AC于D，DE∥BC交AB于①請(qǐng)?jiān)趫D1中依題意補(bǔ)全圖形；②△BDE______等角三角形；(填“是”或“不是”)．(2)如圖2，AF是∠GAC的角平分線，AF∥BC．判斷△(3)如圖3，BM，CM分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，請(qǐng)過(guò)圖中某一點(diǎn)，作一條圖中已有線段的平行線，使圖中出現(xiàn)一個(gè)或兩個(gè)等角三角形，標(biāo)出字母，并就出現(xiàn)的一個(gè)三角形是等角三角形說(shuō)明理由．4.我們定義：如圖1，在△ABC中，把AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<180°)得到AB′，把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β得到AC′，連接B′C′．當(dāng)α+β=180°時(shí)，我們稱△AB′C′是△ABC

(1)【探索一】如圖1，△AB′C′是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，AD是△ABC的“旋補(bǔ)中線”，探索在探索這個(gè)問(wèn)題之前，請(qǐng)先閱讀材料：【材料】如圖2在△ABC中，若AB=10，BC=8．求AC邊上的中線BD的取值范圍．是這樣思考的：延長(zhǎng)BD至E，使DE=BD，連結(jié)CE．利用全等將邊AB轉(zhuǎn)化到CE，在△BCE中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線BD的取值范圍．中線BD的取值范圍是．請(qǐng)仿照上面材料中的方法，猜想圖1中AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．(2)【探索二】如圖3，當(dāng)α=β=90°時(shí)，△AB′C′是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，AE的反向延長(zhǎng)線交B′C′【題型9規(guī)律問(wèn)題】1.已知最外圈的小正方形個(gè)數(shù)分別為：32?1=8，52(1)照這樣的規(guī)律，接下來(lái)第4個(gè)和第6個(gè)圖形最外圈的小正方形個(gè)數(shù)分別是：、；第n個(gè)圖形最外圈的小正方形個(gè)數(shù)是：；(2)寫出第n個(gè)等式：（

）2-（

）=（

），并證明其正確性；(3)利用（2）中的規(guī)律計(jì)算：8+16+24+?+200．2.已知：（1）AB∥CD，P為平行線內(nèi)一點(diǎn)，請(qǐng)猜測(cè)∠B、∠P、∠D的關(guān)系并說(shuō)明理由．（2）若內(nèi)部有兩個(gè)點(diǎn)P1，P2，那么∠B，∠D和∠P（3）內(nèi)部有n個(gè)點(diǎn)呢，你找到了怎樣的規(guī)律？（直接寫出結(jié)果）（4）若內(nèi)部有n個(gè)點(diǎn)的位置這樣變化，你找到了怎樣的規(guī)律？（直接寫出結(jié)果）3.（1）分析圖①，②，④中陰影部分的分布規(guī)律，按此規(guī)律，在圖③中畫出其中的陰影部分；（2）在4×4的正方形網(wǎng)格中，請(qǐng)你用兩種不同方法，分別在圖①、圖②中再將兩個(gè)空白的小正方形涂黑，使每個(gè)圖形中的涂黑部分連同整個(gè)正方形網(wǎng)格成為軸對(duì)稱圖形.4.如圖：△A1B1C1的面積為a，分別延長(zhǎng)△A1B1C1的三條邊B1C1、C1A1、A1B1到點(diǎn)B2、C2、A2，使得C1B2=B1C1，【題型10閱讀理解類問(wèn)題】1.（1）閱讀并補(bǔ)全上述推理過(guò)程．如圖1，已知點(diǎn)A在BC外一點(diǎn)，連接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度數(shù)．解：過(guò)點(diǎn)A作ED∥∴∠B=________，∠C=________．（

）又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°．∴∠B+∠BAC+∠C=________．從上面的推理過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將∠BAC，∠B，∠C“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問(wèn)題得以解決．（2）如圖2所示，已知AB∥CD，BE、CE交于點(diǎn)E，∠BEC=85°，在圖2的情況下求（3）如圖3，已知AB∥CD，BE、CE交于點(diǎn)E，BF、CG分別平分∠ABE、∠ECD，直線BF與直線CG交于點(diǎn)F，若∠F=42°，則

2.閱讀與理解下面是小婷同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．2024年×月×日

星期日多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式．類比數(shù)字的除法運(yùn)算，我們可以將多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式使用豎式除法，如3x如果是多項(xiàng)式6x2+7x+2除以多項(xiàng)式經(jīng)過(guò)查閱資料，我寫出了如圖2所示的豎式，它的計(jì)算步驟如下：（1）先把被除式6x2+7x+2（2）將被除式6x2+7x+2的第一項(xiàng)6x2除以除式2x+1的第一項(xiàng)2x（3）用商的第一項(xiàng)3x與除式2x+1相乘得6x2+3x（4）用6x2+7x+2減去6（5）再用4x+2的第一項(xiàng)4x除以除式2x+1的第一項(xiàng)2x．即4x÷2x=2，寫在商式的第一項(xiàng)3x的后面，寫成代數(shù)和的形式；（6）以商式的第二項(xiàng)2與除式2x+1相乘，得4x+2，寫在（4）中差4x+2的下面；（7）兩式相減得0，表示剛好能除盡；（8）寫出結(jié)果：6x任務(wù)：(1)材料中，由多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的豎式除法到多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的豎式除法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是______；A．?dāng)?shù)形結(jié)合思想

B．類比思想

C．分類討論思想

D．公理化思想(2)請(qǐng)你用豎式除法計(jì)算：2x(3)若x+4是x3+6x23.古希臘有一個(gè)著名的“將軍飲馬問(wèn)題”，大致內(nèi)容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸同側(cè)的兩個(gè)軍營(yíng)A，B．他總是先去A營(yíng)，再到河邊飲馬，之后，再巡查B營(yíng)．他時(shí)常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？

大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對(duì)稱的方法巧妙地解決了這個(gè)問(wèn)題．如圖2，作B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連結(jié)AB′與直線l交于點(diǎn)C

(1)證明：如圖3，在直線l上另取任一點(diǎn)C′，連結(jié)AC′，B

∵直線l是點(diǎn)B，B′的對(duì)稱軸，點(diǎn)C，C′在∴CB=，C′B=∴AC+CB=AC+CB'=．在△AC∵AB∴AC+CB<AC∴AC+CB<AC′+本問(wèn)題實(shí)際上是利用軸對(duì)稱變換的思想，把A，B在直線同側(cè)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，即“三角形兩邊之和大于第三邊”的問(wèn)題加以解決（在連接A，B′兩點(diǎn)的線中，線段A(2)問(wèn)題解決如圖，將軍牽馬從軍營(yíng)P處出發(fā)，到河流OA飲馬，再到草地OB吃草，最后回到P處，試分別在邊OA和OB上各找一點(diǎn)E、F，使得走過(guò)的路程，即△PEF的周長(zhǎng)最?。ūＡ舢媹D痕跡，輔助線用虛線，最短路徑用實(shí)線）

4.【材料閱讀】小明在學(xué)習(xí)完全等三角形后，為了進(jìn)一步探究，他嘗試用三種不同方式擺放一副三角板（在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB；△DEF中，∠DEF=90°，∠EDF=30°），并提出了相應(yīng)的問(wèn)題．【發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，將兩個(gè)三角板互不重疊地?cái)[放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)B擺放在線段DF上時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DF，垂足為點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥DF，垂足為點(diǎn)N，①請(qǐng)?jiān)趫D1找出一對(duì)全等三角形，在橫線上填出推理所得結(jié)論；∵∠ABC=90°，∴∠ABM+∠CBN=90°，∵AM⊥DF，CN⊥DF，∴∠AMB=90°，∠CNB=90°，∴∠ABM+∠BAM=90∴∠BAM=∠CBN，∵∠BAM=∠CBN∠AMB=∠CNB=AB=BC，__________；②AM=2，CN=7，則MN=__________；【類比】（2）如圖2，將兩個(gè)三角板疊放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)B在線段DE上且頂點(diǎn)A在線段EF上時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥DE，垂足為點(diǎn)P，猜想AE，PE，CP的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【拓展】（3）如圖3，將兩個(gè)三角板疊放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)A在線段DE上且頂點(diǎn)B在線段EF上時(shí)，若AE=5，BE=1，連接CE，則△ACE的面積為_(kāi)_________．【題型11利用圖象解決分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題】1.某城市為了加強(qiáng)公民的節(jié)氣和用氣意識(shí)，按以下規(guī)定收取每月煤氣費(fèi)：所用煤氣如果不超過(guò)50立方米，按每立方米0.8元收費(fèi)；如果超過(guò)50立方米，超過(guò)部分按每立方米1.2元收費(fèi)．設(shè)小麗家每月用氣量為x立方米，應(yīng)交煤氣費(fèi)為y元．(1)若小麗家某月用煤氣量為80立方米，則小麗家該月應(yīng)交煤氣費(fèi)多少元？(2)試寫出y與x之間的表達(dá)式；(3)若小麗家4月份的煤氣費(fèi)為88元，那么她家4月份所用煤氣為多少立方米？2.為了增強(qiáng)公民的節(jié)水意識(shí)，某市制定了如下用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：月用水量水費(fèi)不超過(guò)5t每噸2.4元超過(guò)5t超過(guò)的部分按每噸4元收費(fèi)(1)該市某戶居民5月份用水xt（x＞5），應(yīng)交水費(fèi)y元，寫出y與x之間的關(guān)系式．(2)如果某戶居民某月交了24元水費(fèi)，你能算出這個(gè)月這戶居民用了多少噸水嗎？3.“十一”黃金周期間，歡歡一家隨旅游團(tuán)到某風(fēng)景區(qū)旅游，集體門票的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：20人以內(nèi)（含20人），每人25元；超過(guò)20人的，超過(guò)的部分每人10元．（1）寫出應(yīng)收門票費(fèi)y（元）與游覽人數(shù)x（人）（其中x≥20）之間的關(guān)系式．（2）利用（1）中的關(guān)系式計(jì)算：若歡歡一家所在的旅游團(tuán)共54人，那么該旅游團(tuán)購(gòu)門票共花了多少錢？4.我市通過(guò)“互聯(lián)網(wǎng)+”“大數(shù)據(jù)”等新科技，打造“智慧停車平臺(tái)”，著力化解城市“停車難”問(wèn)題．市內(nèi)某智慧公共停車場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是停車不超過(guò)30分鐘，不收費(fèi)；超過(guò)30分鐘，不超過(guò)60分鐘，計(jì)1小時(shí)，收費(fèi)3元；超過(guò)1小時(shí)后，超過(guò)1小時(shí)的部分按每小時(shí)2元收費(fèi)（不足1小時(shí)，按1小時(shí)計(jì)）．(1)若張先生某次在該停車場(chǎng)停車2小時(shí)10分鐘，應(yīng)交停車費(fèi)元；若李先生也在該停車場(chǎng)停車，并支付了11元停車費(fèi)，則該停車場(chǎng)是按小時(shí)（填整數(shù)）計(jì)時(shí)收費(fèi)．(2)當(dāng)x取整數(shù)且x≥1時(shí)，求該停車場(chǎng)停車費(fèi)y（元）關(guān)于停車計(jì)時(shí)x（小時(shí)）的關(guān)系式．參考答案【題型1相交線中的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題】1.（1）解：∵OD⊥OC，∴∠COD=90°，∵α=40°，即∠AOC=40°，∴∠BOD=180°?∠COD?∠AOC=50°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=1（2）∵∠AOC=α，∴∠BOC=180°?α，∵OD⊥OC，∴∠COD=90°，∴∠BOD=∠COD?∠BOC=90°?=α?90°∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=1（3）①當(dāng)0°≤∠AOC≤90°，OD在直線AB的上方時(shí)，如圖所示：∠BOD=180°?∠COD?∠AOC=180°?90°?∠AOC=90°?∠AOC，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=1即∠DOE=45°?1②當(dāng)0°≤∠AOC≤90°，OD在直線AB的下方時(shí)，如圖所示：∵∠AOD=∠COD?∠AOC=90°?∠AOC，∴∠BOD=180°?∠AOD=90°+∠AOC，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=1即∠DOE=45°+1③當(dāng)90°＜∠AOC≤180°，OD在直線∵∠BOC=180°?∠AOC，∴∠BOD=∠DOC+∠BOC=90°+180°?∠AOC=270°?∠AOC，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=1即∠DOE=135°?1④當(dāng)90°＜∠AOC≤180°，OD在直線∵∠BOC=180°?∠AOC，∴∠BOD=∠COD?∠BOC=90°?=∠AOC?90°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=1即∠DOE=1綜上分析可知，∠DOE=45°?12∠AOC即∠DOE=45°?12α或∠DOE=45°+12∠AOC即∠DOE=45°+2.（1）解：如圖1，∵∠AOB=30°，∠BON=2t∴∠AON=∠AOB+∠BON=30+2t；（2）如圖2，∵當(dāng)OA⊥MN時(shí)，∠AON=90°，∴∠AON=30°+2t解得：t=30（秒）．∴當(dāng)t=30秒時(shí)，OA⊥MN；（3）分3種情況：①如圖3，當(dāng)OA平分∠COB時(shí)，∠COA=∠AOB=30°．∴∠COM+∠BON=180°?∠COB，3t+2t=180?60解得：t=24（秒）．②如圖4，當(dāng)OC平分∠AOB時(shí)，∠AOC=∠COB=1∴∠COM+∠BON=180°?∠COB，即3t+2t=180?15解得：t=33（秒）．③如圖5，當(dāng)OB平分∠AOC時(shí)，∠AOB=∠COB=30°．∴∠COM+∠BON?∠COB=180°．3t+2t?30=180解得：t=42（秒）∴綜上所述，當(dāng)t=24秒或33秒或42秒時(shí)，射線OC，OA，OB中的兩條射線組成的角恰好被第三條射線平分．3.解：（1）∵∠AOB=45°，∠AOM=∠COD=30°，∴∠BOD=180°?故答案為：75°；（2）當(dāng)邊OB平分∠AOD時(shí)，∵∠AOB=45°∴∠AOB=∴旋轉(zhuǎn)角為：75°?45°=30°，∴t=30÷4=15（3）存在，理由是：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠AOD=180°?30°?30°?4+1當(dāng)OB在OC左側(cè)時(shí)，∵∠BOC=180°?30°?45°?（∴120°?5°t=2105°?5°t解得：t=18；當(dāng)OB在OC右側(cè)時(shí)，∴∠AOD=120°?5°t,∠BOC=5°t?105°,∵∠AOD=2∠BOC,∴120°?5°t=2(5°t?105°),∴t=22,綜上：t的值為18秒或22秒．4.（1）解：∵∠AOC=30°，∠BOC+∠AOC=180°，∴∠BOC=150°，由題意可知∠OMN=30°，∴∠BOC+∠OMN=180°，∴圖1中與∠BOC互補(bǔ)的角為∠AOC和∠OMN．故答案為：∠AOC和∠OMN；（2）解：∵將圖1中的三角尺繞著點(diǎn)O以每秒12°的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)t秒，∴三角尺旋轉(zhuǎn)角度為12t度，若ON⊥OC，則ON需順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°或330°，∴12t=150或12t=330，解得：t=12.5或t=27.5，答：旋轉(zhuǎn)的時(shí)間t=12.5秒或t=27.5秒．【操作二】存在．∵OM的旋轉(zhuǎn)速度是OE旋轉(zhuǎn)速度的3倍，∴∠BOM=3∠COE，設(shè)∠COE=α，則∠BOM=3α，∵0°≤3α≤360°，∴0°≤α≤120°，分三種情況討論，①當(dāng)0°≤α≤30°時(shí)，∠AOE=30°?α，若∠AOE=2∠COM，則30°?α=2150°?3α∴α=54°，不符合題意，舍去，若∠COM=2∠AOE，則150°?3α=230°?α∴α=90°，不符合題意，舍去，②當(dāng)30°≤α≤50°時(shí)，∠AOE=α?30°，∠COM=150°?3α，若∠AOE=2∠COM，則α?30°=2150°?3α∴α=330則∠COM=150°?3α=60若∠COM=2∠AOE，則150°?3α=2α?30°∴α=42°，則∠COM=150°?3α=24°，③當(dāng)50°≤α≤120°時(shí)，∠AOE=α?30°，∠COM=3α?150°，若∠AOE=2∠COM，α?30°=23α?150°∴α=54°，則∠COM=3α?150°=12°，若∠COM=2∠AOE，則3α?150°=2α?30°∴α=90°，則∠COM=3α?150°=120°，故答案為：607°，24°，12°，【題型2平行線中的定值問(wèn)題】1.（1）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠DEF=∠CDE=4α，∠BEF=∠ABE=α，∴∠BED=∠DEF+∠BEF=5α；（2）解：①DG⊥BE，理由如下：∵EF∥∴∠DBE=∠BEF=kα=5α，∴∠ABD=∠ABE+∠DBE=6α，∵AB∥CD，∴∠BDC=180°?∠ABD=180°?6α，∴∠BDE=∠BDC?∠CDE=180°?10α，∵DG平分∠BDE，∴∠BDG=1∴∠DGB=180°?∠BDG?∠DBG=90°，∴DG⊥BE；②如圖所示，當(dāng)DF在DG左側(cè)時(shí)，∵EF∥BD，∴∠BDF=∠DFE，∵DG⊥BE，∴∠DGB=90°，∴∠BDG=180°?∠DGB?∠DBE=90°?kα，∵∠ABD=∠ABE+∠DBE=k+1∴∠DFB+∠BDF=180°?∠DBF=180°?k+1∵∠DFE=1∴∠DFB=2∠DFE=2∠BDF，∴2∠BDF+∠BDF=180°?∠DBF=180°?k+1∴∠BDF=180°?∴∠FDG=∠BDF?∠BDG===kα?=2kα?α∴此時(shí)不存在常數(shù)k使得∠FDG為定值，如圖所示，當(dāng)DF在DG右側(cè)時(shí)，同理可得∠FDG=∠BDG?∠BDF=30°?α?2kα∴當(dāng)1?2k=0，即k=12時(shí)，綜上所述，存在k=12使得2.（1）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)G作GE∥

∵AB∥CD∴AB∥∴∠AMG=∠1，∠CNG=∠2，∵GM⊥GN，∴∠MGN=90°，∴∠AMG+∠CNG=∠1+∠2=∠MGN=90°．（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)H作HF∥

∵∠AMG+∠CNG=90°，∠AMG+∠BMG=180°，∠CNG+∠GND=180°，∴∠BMG+∠GND=360°?90°=270°∵M(jìn)H平分∠BMG，NH平分∠GND，∴∠3+∠6=∵AB∥∴AB∥∴∠3=∠4，∠5=∠6，∴∠MHN=∠4+∠5=∠3+∠6=135°；（3）如圖所示，將MP與CD的交點(diǎn)記作K，

∵M(jìn)T平分∠BMP，且∠BMT=40°，∴∠1=∠2=40°，∠BMP=80°，∵NC平分∠TNP，∴∠3=∠4，設(shè)∠3=∠4=x°，∴∠TND=180°?x°，由（1）同理可得，∠MTN=∠1+∠TND=40°+180°?x°=220°?x°，∵AB∥∴∠NKP=80°，∴在△KPN中，∠P=180°?80°?x°=100°?x°，∴∠MTN?∠P=120°，即∠MTN?∠P為定值．3.（1）證明：如圖，作EF∥l∴∠FED=∠EDC，∵l1∴EF∥l∴∠ABE=∠BEF，∵∠BED=60°，∴∠ABE+∠EDC=∠BEF+∠FED=∠BED=60°（2）設(shè)∠FBE=a，∠GDC=b，∵∠ABF=2∠FBE，∠EDG=2∠GDC，∴∠ABF=2a，∠EDG=2b，∵l1∴∠BAD=∠ADC=3b，∠ABC=∠BCD=3a，由（1）可得：∠1=2a+3b，∠2=3a+b，∠BED=3a+3b=60°，∴a+b=20°，∴∠1=60°?a，∠2=20°+2a，①∵∠1?∠2=16°，∴60°?a?20°+2a∴a=8°，b=12°，∴∠ADC=3b=36°；②k=2，定值為140°，理由如下：k∠1+∠2=k=60°k?ka+20°+2a=當(dāng)k=2時(shí)，k∠1+∠2=140°，∴當(dāng)k=2時(shí)，k∠1+∠2為定值，此時(shí)定值為140°．故答案為：2；140°．4.解：（1）①∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，∴∠DPC＝180﹣30﹣60＝90°，故答案為90；②如圖1﹣1，當(dāng)BD∥PC時(shí)，∵PC∥BD，∠DBP＝90°，∴∠CPN＝∠DBP＝90°，∵∠CPA＝60°，∴∠APN＝30°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時(shí)間為3秒；如圖1﹣2，當(dāng)PC∥BD時(shí)，∵PC//BD,∠∴∠CPB＝∠DBP＝90°，∵∠CPA＝60°，∴∠APM＝30°，∵三角板PAC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為180°+30°＝210°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時(shí)間為21秒，如圖1﹣3，當(dāng)PA∥BD時(shí)，即點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，此時(shí)∠ACP＝∠BPD＝30°，則AC∥BP，∵PA∥BD，∴∠DBP＝∠APN＝90°，∴三角板PAC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為90°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時(shí)間為9秒，如圖1﹣4，當(dāng)PA∥BD時(shí)，∵∠DPB＝∠ACP＝30°，∴AC∥BP，∵PA∥BD，∴∠DBP＝∠BPA＝90°，∴三角板PAC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為90°+180°＝270°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時(shí)間為27秒，如圖1﹣5，當(dāng)AC∥DP時(shí)，∵AC∥DP，∴∠C＝∠DPC＝30°，∴∠APN＝180°﹣30°﹣30°﹣60°＝60°，∴三角板PAC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為60°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時(shí)間為6秒，如圖1﹣6，當(dāng)AC//∵AC//DP，∴∠DPA=∠PAC=90°，∠DPN+∠DPA=180°?30°+90°=240°，∴三角板PAC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為240°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時(shí)間為24秒，如圖1﹣7，當(dāng)AC∥BD時(shí)，∵AC∥BD，∴∠DBP＝∠BAC＝90°，∴點(diǎn)A在MN上，∴三角板PAC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為180°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時(shí)間為18秒，當(dāng)AC//BP時(shí)，如圖1-3，1-4，旋轉(zhuǎn)時(shí)間分別為：9s，綜上所述：當(dāng)t為3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s時(shí)，這兩個(gè)三角形是“孿生三角形”；（2）如圖，當(dāng)PD在MN上方時(shí)，①正確，理由如下：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則∠BPM＝2t，∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝30°﹣2t，∠APN＝3t．∴∠CPD＝180°﹣∠DPM﹣∠CPA﹣∠APN＝90°﹣t，∴∠BPN=2∠CPD=180°?2t,∴∠CPD∠BPN②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD隨著時(shí)間在變化，不為定值，結(jié)論錯(cuò)誤．當(dāng)PD在MN下方時(shí)，如圖，①正確，理由如下：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則∠BPM＝2t，∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝2t?30°,∠APN＝3t．∴∠CPD＝360°?∠CPA?∠APN?∠DPB?∠BPN=360°?60°?3t?30°?(180°?2t)=90°?t∴∠BPN=2∠CPD=180°?2t,∴∠CPD∠BPN②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD隨著時(shí)間在變化，不為定值，結(jié)論錯(cuò)誤．綜上：①正確，②錯(cuò)誤．【題型3平行線中探究角度之間的關(guān)系】1.（1）∵AB∥∴∠AEF+∠CFE=180°，∵GE平分∠AEF,GF平分∠EFC，∴∠AEG=∠FEG=12∠AEF∴∠FEG+∠GFE=90°，即EG⊥FG；（2）如圖，分別過(guò)M,N作MG∥AB，∵AB∥∴AB∥∴∠AEM=∠EMG，∠GMF=∠MFC，∠AEN=∠ENH，∠HNF=∠NFC，∴∠EMF=∠AEM+∠MFC，∠ENF=∠AEN+∠NFC，同理：∠EPF=∠AEP+∠PFC，∴∠EMF+∠ENF=∠AEM+∠MFC+∠AEN+∠NFC，∵EM平分∠AEN，F(xiàn)N平分∠MFC，∴∠AEM=12∠AEN∴∠EMF+∠ENF=∵∠AEP=2∴∠MFC+∠AEN=2∠EMF+∠ENF=（3）∠FGQ=1∵AB∥∴∠EHF+∠CFH=180°，∵GQ⊥MF，∴∠FGQ=90°?∠GFQ，∵FG平分∠EFH，MF平分∠EFC，∴∠GFE=12∠EFH∴∠GFQ=1∴∠FGQ=90°?90°?2.（1）證明：如圖1，過(guò)C作EF∥MN，，∵M(jìn)N∥PQ，∴MN∥EF∥PQ，∴∠ACF=∠MAC=45°，∴∠ACF+∠BCF=∠MAC+∠PBC=88°，即∠ACB=∠ACF+∠BCF=88°；（2）解：如圖2，

，∵AD，AE分別為∴∠MAD=1∴∠MAD+∠NAE=1同理可得：∠PBD+∠QBE=90°，由（1）得：∠D=∠MAD+∠PBD，∠E=∠NAE+∠QBE，∴∠D+∠E=∠MAD+∠PBD+∠NAE+∠QBE=180°；（3）解：猜想：∠H=3∠GDB，理由如下：如圖3，

，由（1）可知：∠C=∠MAC+∠PBC=2∠MAD+∠PBD∵3∠C=4∠E，∴6∠ADB=4∠E，∴3∠ADB=2∠E，∵∠ADB+∠E=180°，∴∠ADB=72°，∵DG⊥DA，∴∠GDB=18°，∵∠FDA=2∠FDB=∠FDB+∠ADB，∴∠FDB=∠ADB，∴∠HDA=36°，∵DA⊥AE，∴∠H=54°，∴∠H=3∠GDB．3.解：（1）證明：如圖1中，過(guò)點(diǎn)E作ET∥AB．由平移可得AB∥CD，∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠BET+∠DET=∠B+∠D．（2）如圖2-1中，當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作ET∥AB．∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠DET-∠BET=∠D-∠B．如圖2-2中，當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作ET∥AB．∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D．（3）如圖，設(shè)∠ABE=∠EBM=x，∠CDE=∠EDM=y，∵AB∥CD，∴∠BMD=∠ABM+∠CDM，∴m=2x+2y，∴x+y=12m∵∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，∴∠BFD=n?1nx+n?1ny=4.解：（1）如圖，作CP//a，∵a//b，CP//a，∴CP//a//b，∴∠AOG=∠ACP=56°，∠BCP+∠CEF=180°，∴∠BCP=180°-∠CEF，∵∠ACP+∠BCP=90°，∴∠AOG+180°-∠CEF=90°，∴∠CEF=180°-90°+∠AOG=146°．（2）∠AOG+∠NEF=90°.理由如下：如圖，作CP//a，則CP//a//b，∴∠AOG=∠ACP，∠BCP+∠CEF=180°，∵∠NEF+∠CEF=180°，∴∠BCP=∠NEF，∵∠ACP+∠BCP=90°，∴∠AOG+∠NEF=90°．（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在GF上時(shí)，作PN//a，連接PQ，OP,則PN//a//b，∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，∴∠OPQ=∠OPN+∠NPQ=∠GOP+∠PQF,∵∠GOC=∠GOP+∠POQ=135°，∴∠GOP=135°-∠POQ，∴∠OPQ=135°-∠POQ+∠PQF．如圖，當(dāng)點(diǎn)P在GF延長(zhǎng)線上時(shí)，作PN//a，連接PQ，OP,則PN//a//b，∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，∵∠OPN=∠OPQ+∠QPN，∴∠GOP=∠OPQ+∠PQF，∴135°-∠POQ=∠OPQ+∠PQF．【題型4完全平方公式在幾何中的應(yīng)用】1.（1）解：如圖3所示：大正方形的邊長(zhǎng)為(a+b)，小正方形的邊長(zhǎng)為(a?b)，∴大正方形的面積為(a+b)2，小正方形的面積為(a?b)另一方面：大正方形是由4個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的長(zhǎng)方形和一個(gè)邊長(zhǎng)為(a?b)的小正方形構(gòu)成，∴(a+b)故答案為：(a+b)2（2）解：①∵(x+y)∴2xy=(x+y)∵x+y=8，x2∴2xy=8∴xy=12，故答案為：12；②設(shè)x?300=a，200?x=b，∴a+b=x?300+200?x=?100，a?b=x?300?(200?x)=2x?500，∵(x?300)(200?x)=1996，∴ab=1996，由（1）可知：(a+b)2∴(a?b)∴(2x?500)（3）解：設(shè)AC=a，BC=b，∵AB=10，∴a+b=10，∵圖中陰影部分面積為24，∴ab=24，∵四邊形ACDE和BCFG均為正方形，∴S∵(a+b)∴a∴S2.（1）解：設(shè)25?x=m，18?x=n，則25?x18?x∴30?x2（2）解：設(shè)x=c，10?x=d，則x2+10?x2=c∴x10?x（3）解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，AE=6，CG=8，∴DE=x?6，DG=x?8∴x?6x?8設(shè)x?6=a，x?8∴ab=240，a?b=x?6∴a2∴陰影部分的面積為：a23.解：（1）圖2大正方形的面積=a+b2，圖2大正方形的面積=故答案為：a+b2，a（2）由題可得a+b2，a2+b2，ab（3）①∵∴2ab=∴ab=4②設(shè)2020-a=x，a-2019=y，則x+y=1，∵2020?a2∴x2+y2=5，∵（x+y）2=x2+2xy+y2，∴xy=x+y2即2020?aa?20194.（1）根據(jù)圖②各個(gè)部分面積之間的關(guān)系可得：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，故答案為：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；（2）∵圖③中，大正方形的面積為（a＋b）2，小正方形的面積為（a﹣b）2，每個(gè)長(zhǎng)方形的面積為ab，∴a+b故答案為：a+b2（3）利用（2）的結(jié)論，可知x?y2∵x＋y＝8，xy＝2，∴（x﹣y）2＝（x＋y）2﹣4xy＝64﹣8＝56；（4）根據(jù)圖④，大正方形的面積可表示為（a＋b＋c）2，∵內(nèi)部9塊的面積分別為：a2∴（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc故答案為：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；（5）∵（3a＋b）（a＋3b）＝3a2＋3b2＋10ab，∴x=3,y=3,z=10，即需要3張邊長(zhǎng)為a的正方形，3張邊長(zhǎng)為b的正方形，10張寬、長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片，畫圖如下：∴x＋y＋z＝16；（6）根據(jù)圖⑥，大正方體的體積為（a＋b）3，分割成8個(gè)“小塊”的體積分別為：a3∴（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2故答案為：（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2．【題型5三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用】1.證明：在△ABD中，AD+AB>BD，在△BCD中，CD+BC>BD，在△ACD中，AD+CD>AC，在△ABC中，AB+BC>AC，∴AD+AB+CD+BC+AD+CD+AB+BC>BD+BD+AC+AC，∴2AD+AB+CD+BC∴AD+AB+CD+BC>AC+BD，∴AC與BD的和小于四邊形ABCD的周長(zhǎng)．2.（1）解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得：8?2<AC<8+2，即∵AC為偶數(shù)，∴AC=8∴△ABC的周長(zhǎng)為8+2+8=18（2）解：∵△ABC的三邊長(zhǎng)分別為3，5，a∴5?3<a<3+5，解得∴a===?3．3.解：設(shè)BD=CD=x，則AC=2BC=4x，∵BC邊上的中線AD把△ABC的周長(zhǎng)分成50和35兩部分，AB>BC，①當(dāng)AC+CD=50，AB+BD=35時(shí)，4x+x=50，解得：x=10，∴AC=4x=4×10=40，BD=CD=10，∴AB=35?BD=35?10=25，∴AB=25>BC=20，滿足條件；∵BC+AB=20+25=45>AC=40，滿足三邊關(guān)系，∴AC=40，AB=25；②當(dāng)AC+CD=35，AB+BD=50時(shí)，4x+x=35，解得：x=7，∴AC=4x=4×7=28，∴BD=CD=7，AB=50?BD=50?7=43，∵AC+BC=28+14=42<43=AB，∴不滿足三角形的三邊關(guān)系，∴不合題意，舍去，綜上：AC=40，AB=25．4.（1）解：當(dāng)n=4時(shí)，有2,3,3；當(dāng)n=5時(shí)，有2,4,4，3,3,4；當(dāng)n=6時(shí)，有2,5,5，3,4,5，4,4,4．（2）解：這個(gè)猜想不正確，當(dāng)n=12時(shí)，a+b+c=24，且a+b>c，a≤b≤c，得8≤c≤11，即c=8，9，10，11，故可得a,b,c共12組：A2,11,11，B3,10,11，C4,9,11，D5,8,11，G5,9,10，H6,8,10，I7,7,10，J6,9,9，∴12≠12?3=9，∴這個(gè)猜想不正確．【題型6利用網(wǎng)格求三角形的面積】1.（1）解：由網(wǎng)格的特點(diǎn)可得S△BCD故答案為：3；（2）解：如圖所示，取格點(diǎn)E、F，連接AF，CE交于H，（3）如圖所示，根據(jù)平行線間間距相等，可知，在直線PQ，MN上的格點(diǎn)都符合題意（∴一共有6個(gè)點(diǎn)符合題意，故答案為：6．2.（1）如圖，線段CD即為所作，（2）如圖所示，直線EF即為所作，（3）如圖，若格點(diǎn)H使得△PAH的面積等于6，則這樣的點(diǎn)H共有5個(gè)，故答案為：53.（1）解：如圖1，點(diǎn)D即為所求；

（2）解：如圖1；E點(diǎn)即為所求；（3）解：由題意知，S△ABC故答案為：8；（4）解：如圖1，共有7個(gè)格點(diǎn)，故答案為：7．4.(1)格點(diǎn)三角形△ABC的面積等于6；(2)不唯一，如：面積等于9的格點(diǎn)梯形如圖；（3）如圖，分別作半徑為2的圓弧AB和BC，則曲邊三角形ABC的面積為4；同理，曲邊三角形CDE的面積為9；又三角形ACE的面積為12，所以曲邊五邊形的面積為25.【詳解】正方形網(wǎng)格中，學(xué)會(huì)求格點(diǎn)多邊形和曲邊格點(diǎn)多邊形面積【題型7利用軸對(duì)稱進(jìn)行設(shè)計(jì)】1.(1)如圖：(2)如圖：2.解：如圖所示．?3.解：如圖所示：．4.（1）解：如圖所示，選擇一個(gè)空白小正方形涂色，使涂色部分成為軸對(duì)稱圖形，共有6種選法；故答案為：6（2）如圖所示，

（3）如圖所示，

（4）如圖所示，

【題型8新定義問(wèn)題】1.（1）解：∵61=5∴61是“完美數(shù)”，故答案為：是；（2）解：∵x2∴x=2，y=?1，∴x+y=1，故答案為：1；（3）解：∵S=5==x+yS為“完美數(shù)”，∴k?9=0∴k=9；（4）解：∵?x∵?y=x∴?3y=3x∴7x?3y=3x∴當(dāng)x=?56，時(shí)，7x?3y的最小值為：?2.（1）解：①∵∠β是∠α的內(nèi)聯(lián)角，∴∠β=∠α+20°，∵∠α=60°，∴∠β=60°+20°=80°；故答案為：80；②∵∠β是∠α的內(nèi)聯(lián)角，∴∠β=∠α+20°，∵l1∴∠α+∠β=180°，∴∠α+∠α+20°=180°，∴∠α=80°，∴∠β=80°+20°=100°；（2）①是，理由如下：∵∠β是∠α的內(nèi)聯(lián)角，∴∠β=∠α+20°，∵∠DHG=180°?α，∠BGH=180°?β，∴∠BGH=180°?α?20°，∴∠BGH+20°=180°?α?20°+20°=180°?α=∠DHG，又∵∠DHG、∠BGH是同旁內(nèi)角，∴∠DHG是∠BGH的內(nèi)聯(lián)角；②∵∠β是∠α的內(nèi)聯(lián)角，∠α=60°，∴∠β=∠α+20°=80°，當(dāng)直線位于如下圖所示位置時(shí)：∴當(dāng)∠EOP是∠AGH的內(nèi)聯(lián)角時(shí)，則：∠EOP=∠β+20°=100°，當(dāng)∠EOP是∠CPO的內(nèi)聯(lián)角時(shí)，∠EOP=∠CPO+20°=60°+180°?∠EOP+20°=260°?∠EOP，解得：∠EOP=130°當(dāng)直線位于如下圖所示位置時(shí)：∵∠AGH=80°,∠CHG=60°，∴∠BGH=180°?∠AGH=180°?80°=100°，∠GHD=180°?∠CHG=180°?60°=120°，

若∠EOP是∠BGO的關(guān)聯(lián)角，則∠EOP=∠BGO+20°=100°+20°=120°，∵∠EOP=∠GHD+∠OPH=120°+∠OPH>120°，∴∠EOP=120°（舍去）．若∠EOP是∠DPO的關(guān)聯(lián)角，則∠EOP=∠DPO+20°=120°+180°?∠EOP+20°=320°?∠EOP，得∠EOP=160°，綜上：當(dāng)∠EOP是∠AGH的內(nèi)聯(lián)角時(shí)，∠EOP=100°；當(dāng)∠EOP是∠CPO的內(nèi)聯(lián)角時(shí)，∠EOP=130°；當(dāng)∠EOP是∠OPD的內(nèi)聯(lián)角時(shí)，∠EOP=160°．3.（1）①如圖所示：②∵DE∥∴∠EDB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∴∠EDB=∠EBD，∴△BDE是等角三角形；故答案為：是．（2）△ABC是等角三角形，理由如下，∵AF∥∴∠GAF=∠ABC，∠FAC=∠ACB，∵AF平分∠GAC，∴∠GAF=∠FAC，∴∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等角三角形．（3）如圖，過(guò)點(diǎn)M作DE∥BC，交AB邊于點(diǎn)D，交AC邊于點(diǎn)∵DE∥∴∠DMB=∠MBC，∠EMC=∠MCB，∵BM，CM分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∴∠DBM=∠MBC，∠ECM=∠MCB，∴∠DMB=∠DBM，∠EMC=∠ECM，∴△DBM和△ECM均為等角三角形．4.（1）解：材料：由題意得：AB=CE=10，BC=8，BE=2BD，由三角形三邊關(guān)系可得：CE?BC<BE<CE+BC，即2<2BD<18，∴1<BD<9，故答案為：1<BD<9；探索一：BC=2AD；證明：如圖1，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E使AD=DE，連接C′

∵AD是△ABC的“旋補(bǔ)中線”，∴AD是△AB′C又∵∠B∴△B∴AB′=∵AB∴AB=C∵AD是△ABC的“旋補(bǔ)中線”，∴∠BAC+∠B∵∠AC′E+∠E+∠EAC=180°∴∠BAC=∠AC∵AC=AC′，∠BAC=∠A∴△ABC≌∴BC=AE=2AD．（2）AD是△ABC的“旋補(bǔ)中線”；證明：如圖，作C′H⊥AD于H，作B′F⊥AD交

∵AE⊥BC，∴∠F=∠BEA=90°，∴∠BAE+∠B=90°，∵α=β=90°，即∠BAB∴∠BAE+∠B∴∠B=∠B又∵BA=AB∴△ABE≌∴B′又∵∠AEC=∠C′HA=90°∴∠CAE+∠C=90°，∠CAE+∠C∴∠C=∠C∵CA=AC∴△ACE≌∴AE=∴B′∵∠F=∠C′HD=90°∴△B∴B′∴AD是△AB∴AD是△ABC的“旋補(bǔ)中線”．【題型9規(guī)律問(wèn)題】1.（1）解：由題意知，第4個(gè)圖形最外圈的小正方形個(gè)數(shù)為92第6個(gè)圖形最外圈的小正方形個(gè)數(shù)為132∴第n個(gè)圖形最外圈的小正方形個(gè)數(shù)是2n+12故答案為：32，48，8n；（2）解：由（1）可知，第n個(gè)等式為2n+12證明：左邊2n+1==4n×2=8n，∴左邊=右邊，等式正確；（3）解：∵32?1=8，52?3∴8+16+24+?