2025年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考二輪復(fù)習(xí)：與旋轉(zhuǎn)相關(guān)的幾何動(dòng)態(tài)問題探究（解答題）含答案

2025年春九年級(jí)數(shù)學(xué)中考二輪復(fù)習(xí)《與旋轉(zhuǎn)相關(guān)的幾何動(dòng)態(tài)問題探究》

解答題專題訓(xùn)練(附答案)

1.如圖1,△力BC與AEB。均為等邊三角形，將AEBD繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(其

中0。＜戊＜180。)，連接力E,CD,M是4E的中點(diǎn)，BC="BD.

(1)求證：AE—CD；

(2)如圖2,連接DM,當(dāng)ED的延長線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形MEBD的形狀，并說明理曲

⑶如圖3,連接CM,若BD=2,在繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的過程中，求CM的最大值.

2.如圖1,點(diǎn)。是正方形4BCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，分別延長OD到點(diǎn)G,OC到點(diǎn)E,使

OG=2OD,OE=2OC,然后以。G、OE為鄰邊作正方形OEFG,連接AG,DE.

圖1圖2

(1)求證：DE14G；

(2)如圖2,正方形A8CD固定，將正方形。EFG繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角(0。＜a＜360。)，得到

正方形。EEC；

①在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)N04G，是直角時(shí)，求a的度數(shù)；

②若正方形48C。的邊長為2,在旋轉(zhuǎn)過程中，力F'長的最大值為.

3.如圖1,在△力8c中，^ACB=90°,BC^AC,點(diǎn)。在力B上，OE14B交8C于點(diǎn)E,F

是2E中點(diǎn).

⑴線段尸。與線段FC的數(shù)量關(guān)系是尸。FC,位置關(guān)系是FDFC；

(2)如圖2,將ABDE繞點(diǎn)2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a((T<a<90。)，其他條件不變，線段FD與線段FC

的關(guān)系是否發(fā)生變化？寫出你的結(jié)論并證明；

⑶將ABDE繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，如果8。=2隹，BE=2,直接寫出線段B廠長的取值范

圍_______

4.如圖，四邊形4BCD和EFGB均為正方形，將EFGB繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn);

E

圖①

⑴如圖①，連接CE、AG,判斷直線4G、CE的位置關(guān)系并說明理由;

(2汝口圖②，連接BD、BF,若ADFC=135。，探索并證明線段8艮CF、。產(chǎn)的數(shù)量關(guān)系;

⑶如圖③，若正方形力BCD、EFGB邊長分別為4、2,EFGB繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周，直線4G與CE

相交于點(diǎn)H,直接寫線段的最小值及點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)軌跡的長度.

5.已知正方形4BCD,一等腰直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與2重合，將此三角板繞4點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

時(shí)，兩邊分別交直線BC、CD于M、N.

(1)當(dāng)M、N分別在邊BC、CD上時(shí)(如圖1),將AADN繞4點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至△ABE,求誣

BM+DN=MN；

(2)當(dāng)M、N分別在邊BC、CD所在的直線上時(shí)(如圖2),線段BM、DN、MN之間又有怎樣的

數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論：

⑶在圖3中，作直線BD交直線4M、4N于P、Q兩點(diǎn)，在(2)的條件下，若MN=10,

CM=8,求力P的長.

6.已知正方形4BCD邊長為1,對(duì)角線力C,BD相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作射線。E,OF,分別

交AD,48于點(diǎn)E,

圖1圖3

(1)如圖1,當(dāng)。E14D時(shí)，求證：四邊形2E0F是正方形;

(2)如圖2,將射線0E,。尸繞著點(diǎn)。進(jìn)行旋轉(zhuǎn).

①在旋轉(zhuǎn)過程中，判斷線段0E與。尸的數(shù)量關(guān)系，并給出證明;

②四邊形。應(yīng)4尸的面積為_；

⑶如圖3,在四邊形PQMN中，PQ=PN,AQPN=AQMN=90°,連接PM.若PM=9,請(qǐng)

直接寫出四邊形PQMN的面積.

7.如圖，AaBC中，ABAC=90°,4B=AC,為點(diǎn)D在射線G4上，點(diǎn)F在射線B4上，CD=BF,

將線段CD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，連接EF.

(1)求證四邊形BDEF是平行四邊形；

(2)設(shè)BF=x,四邊形BDEF的面積是y,y關(guān)于x的函數(shù)圖像如圖2所示，點(diǎn)M(l,3)是函數(shù)圖

像上一點(diǎn)

①力B=_；

②過點(diǎn)F在EF上方作線段FG,使得FG1FE,且FG=EF(尺規(guī)作圖)；

③連接4G,說明點(diǎn)G是定點(diǎn)；

④點(diǎn)PG,yj在點(diǎn)K左側(cè)的函數(shù)圖像上，點(diǎn)QG+3,乃)在點(diǎn)K右側(cè)的函數(shù)圖像上，且直線PQ

與x軸構(gòu)成的銳角的正切值是:，求x的值.

8.綜合與實(shí)踐

將正方形2BCD的邊4B繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ZB，，記旋轉(zhuǎn)角為a.連接B*,過點(diǎn)D作DE垂直

于直線BB',垂足為點(diǎn)E,連接DB',CE,

(1)如圖1,當(dāng)a=60。時(shí)，ADEB，的形狀為.,連接BD,可求出器的值為

CE

(2)當(dāng)0°<a<360°且a豐90°時(shí).

①(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明;如果不成立,

請(qǐng)說明理由;

②當(dāng)以點(diǎn)方，E,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求二BF的值，若AB=2I—^,請(qǐng)直接

DC

寫出此時(shí)點(diǎn)E到CD的距離.

9.［問題情境］如圖1,E為正方形4BCD內(nèi)一點(diǎn)，AE=5,BE=12,乙4EB=90。，將Rt

△ABE繞點(diǎn)4按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a度(0WaW180。)，點(diǎn)B,E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)用，E,.

［問題解決］

D

E'

圖1圖2

⑴如圖2,在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)所落在力C上時(shí)，求此時(shí)CB，的長;

(2)若a=90。，如圖3,得到AAD尻(此時(shí)夕與。重合)，延長BE交DE'于點(diǎn)F,試判斷四邊形

4EFE，的形狀，并說明理由;

⑶在RtAABE繞點(diǎn)4逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，直接寫出線段?！觊L度的最大值.

10.問題情境:

"綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問題：將圖①中的矩形紙片沿對(duì)角線剪開，得到兩個(gè)全

等的三角形紙片，表示為△48C和△￡>￡尸，其中N4CB=NDEF=90O,N4=ND,將△2BC

和ADEF按圖②所示方式擺放，其中點(diǎn)2與點(diǎn)尸重合(標(biāo)記為點(diǎn)3).當(dāng)=U時(shí)，延

CBCB

圖3圖4

深入探究:

老師將圖②中的ADBE繞點(diǎn)8逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在△ABC內(nèi)部，并讓同學(xué)們提出

新的問題.

(1)“巧思小組”提出問題：如圖③，當(dāng)=時(shí)，過點(diǎn)/作4M1BE交BE的延長

線于點(diǎn)M,BM與4C交于點(diǎn)N.試猜想線段力M和BE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

(2)"聰慧小組"提出問題：如圖④，當(dāng)“BE=NBAC時(shí)，過點(diǎn)N作4/IDE于點(diǎn)凡若

BC=6,AC=8,貝!W=

11.(1)觀察猜想如圖1,已知C,D,G三點(diǎn)在一條直線上(CD>DG),正方形4BCD和正方

形DEFG在線段CG同側(cè)，//是CG中點(diǎn)，線段D”與力E的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是

(2)猜想證明：在(1)的基礎(chǔ)上，將正方形DEFG繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)a度(0。<a<360。)，試判

斷(1)中結(jié)論是否仍成立？若成立，僅用圖2進(jìn)行證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

ZODE

(3)拓展延伸：如圖3,矩形力BCD和矩形DEFG中，—=—DE=3,將矩形DEFG繞點(diǎn)D

CDUu

3

旋轉(zhuǎn)任意角度，連接力E,CG,H是CG中點(diǎn)，若求點(diǎn)”運(yùn)動(dòng)的路徑長.

12.問題情境：

如圖1,在矩形2BCD中，715=10,BC=8,E為邊BC上一點(diǎn)，沿直線DE將矩形折疊，使

點(diǎn)C落在4B邊的點(diǎn)J處.

圖3

猜想驗(yàn)證:

(1)填空：AC1的長為.

(2)如圖2,將△■DJE沿線段4B向右平移，使點(diǎn)J與點(diǎn)2重合，得到ADiBEi，%%與BC

交于點(diǎn)F,與DE交于點(diǎn)G.

①連接GF,EE1,圖中除矩形4BCD外，還有幾個(gè)平行四邊形？請(qǐng)一一列舉出來.

②求EF的長.

拓展研究：

(3)如圖3,將△DiBEi沿點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度a(0。<a<90°),2后2分別交DE

和8c于點(diǎn)M和點(diǎn)N.當(dāng)IIDE時(shí)，分別求出tana的值和線段MN的長.

13.在。4BCD中，NZBC=45。，連接2C,已知4B=4C=M，點(diǎn)￡在線段4C上，將線段DE

繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°為線段DF.

⑴如圖1,線段"與線段的交點(diǎn)和點(diǎn)￡重合，連接EF,求線段E尸的長度；

(2)如圖2,點(diǎn)G為OC延長線上一點(diǎn)，使得GC=EC,連接FG交AD于點(diǎn)X,求證：隹

AH=CD；

(3)如圖3,在(2)的條件下，平面內(nèi)一點(diǎn)尸，當(dāng)HP+CP+隹BP最小時(shí)，求AZ/PB的面

積.

14.旋轉(zhuǎn)是幾何圖形運(yùn)動(dòng)中的一種重要變換，通常與全等三角形等數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合來解決實(shí)

際問題，某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在研究三角形旋轉(zhuǎn)的過程中，進(jìn)行如下探究△力BC和ADEF

均為等腰直角三角形，AB4C=NEDF=90。，點(diǎn)。為BC中點(diǎn)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，連接

AE,CF.

觀察猜想：（1）如圖L在ADEF旋轉(zhuǎn)過程中，4E與CF的位置關(guān)系為；

探究發(fā)現(xiàn)：（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E、尸在△ABC內(nèi)且C、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，試探究線段CE、AE

與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

解決問題：（3）若AABC中，AB=B在△DEF旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AE=隹且C、E、F三點(diǎn)

共線時(shí)，直接寫出DE的長.

備用圖

15.在A/IBC中，8。14;于點(diǎn)。，點(diǎn)P為射線BD上任一點(diǎn)（點(diǎn)B除外），連接AP,將線段

P力繞點(diǎn)P順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a,a=AABC,得到PE,連接CE.

（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖1，當(dāng)B4=BC,且〃BC=60。時(shí)，BP與CE的數(shù)量關(guān)系是BC與CE

的位置關(guān)系是

（2）【猜想證明】如圖2,當(dāng)B4=BC,且乙4BC=90。時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立,

請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.（請(qǐng)選擇圖2,圖3中的一種情況予以證明或說理）

⑶【拓展探究】在（2）的條件下，若力B=4業(yè)，4P=5,請(qǐng)直接寫出CE的長.

16.小紅在學(xué)習(xí)了三角形的相關(guān)知識(shí)后，對(duì)等腰直角三角形進(jìn)行了探究，如圖，$ERt△ABC

（1）問題解決：如圖1，當(dāng)點(diǎn)。，￡分別與點(diǎn)2,C重合時(shí)，將線段DE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,

得到線段尸￡,連接4F，4尸與BC的位置關(guān)系是,數(shù)量關(guān)系是.

（2）問題探究：如圖2,當(dāng)點(diǎn)。，￡不與點(diǎn)2,C重合時(shí)，將線段OE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，

得到線段FE,連接4F/F與BC的位置關(guān)系是怎樣的？請(qǐng)說明理由.

⑶拓展延伸：如圖3,當(dāng)點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合，且。為4B的中點(diǎn)時(shí)，將線段DE繞點(diǎn)E順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段FE,點(diǎn)G是點(diǎn)。關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)，若點(diǎn)G,D,尸在一條直線上，

求亍的值.

EC

17.綜合與實(shí)踐

問題情境如圖1，在矩形力BCD中，AB=5,AD=10.將矩形力BCD繞邊力D的中點(diǎn)￡逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)角度以0。＜。＜90。）得到矩形4BCDY點(diǎn)B,C,。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)4,B1,

C,￡＞'）.

操作發(fā)現(xiàn)：

（1）連接44',AD',DD',A'D,則四邊形44'。。'的形狀是；

問題探究：

（2）如圖2,連接A4,CC,試判斷力4與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

拓展延伸：

（3）如圖3,AE與BC交于點(diǎn)F,連接2D,當(dāng)點(diǎn)4落在線段2。上時(shí).

①求4B的長度；

②直接寫出4尸的長度.

D'

D'D'

18.如圖,操作:把正方形CGEF的對(duì)角線CE放在正方形48CD的邊BC的延長線上

（CG>BC）,取線段AE的中點(diǎn)M.

探究：線段M。、MF的關(guān)系，并加以證明.

⑴說明：如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒有找到解決問題的方法，請(qǐng)你把探索過程中的某種思路

寫出來（要求至少寫3步）；

（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程后，可以從下列①、②、③中選取一個(gè)補(bǔ)充或更換已知條件，

完成你的證明.

注意：選?、偻瓿勺C明得10分；選?、谕瓿勺C明得7分；選取③完成證明得5分.

①DM的延長線交CE于點(diǎn)N,且4D=NE；②將正方形CGEF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。（如圖）,

其他條件不變；③在②的條件下，且CF=24D.

附加題將正方形CGEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角度后（如圖），其他條件不變.探究線段MD、MF

的關(guān)系，并加以證明.

初步嘗試:

（1）如圖LMN與AC的數(shù)量關(guān)系是—，MN與AC的位置關(guān)系是.

特例研討：

（2）如圖2,若NB2C=90。，BC=472,先將△BMN繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（a為銳角）,

得至IUBEF,當(dāng)點(diǎn)N,E,尸在同一直線上時(shí)，2E與BC相交于點(diǎn)。，連接CF.

①求NBFC的度數(shù)；

②求CF的長.

深入探究：

（3）若ABAC<90。，將A8MN繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,得至U△BEF,連接4E,CF.當(dāng)旋轉(zhuǎn)

角a滿足0。<a<360°,點(diǎn)C,E,尸在同一直線上時(shí)，利用所提供的備用圖探究AB4E與N4BF

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

20.某研究性學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)《簡單的圖案設(shè)計(jì)》時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種特殊的四邊形，如圖1,

在四邊形力BCD中，48=40/8+乙。=180。，我們把這種四邊形稱為"等補(bǔ)四邊形如何

求”等補(bǔ)四邊形"的面積呢？

探究一：

⑴如圖2,已知“等補(bǔ)四邊形"4BCD,若乙4=90。，將"等補(bǔ)四邊形"力BCD繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90。,可以形成一個(gè)直角梯形（如圖3）.若BC=4cm,CD=2cm,則等補(bǔ)四邊彩，的面積為.cm?

探究二：

（2）如圖4,己知"等補(bǔ)四邊形"4BCD,若“=120。，將"等補(bǔ)四邊形"繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

120°,再將得到的四邊形按上述方式旋轉(zhuǎn)120。,可以形成一個(gè)等邊三角形（如圖5）.若BC=6

cm,CD=4cm，則“等補(bǔ)四邊形”4BCD的面積為_cm2.

由以上探究可知，對(duì)一些特殊的"等補(bǔ)四邊形"，只需要知道BC,CD的長度，就可以求它的

面積.那么，如何求一般的"等補(bǔ)四邊形”的面積呢？

探究三：

⑶如圖6,已知"等補(bǔ)四邊形"ABCD,連接4C,將△AC。以點(diǎn)4為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定

角度，使力。與4B重合，得至點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)

①由旋轉(zhuǎn)得：乙D=4_,因?yàn)镹HBC+N。=180。，所以乙48。+乙48。=180。，即點(diǎn)C',

B,c在同一直線上，所以我們拼成的圖形是一個(gè)三角形，即△aca.

②如圖7,在△2CC'中，作AH1BC于點(diǎn)，，若CH=n,試求出等補(bǔ)四邊形"4BCD

的面積（用含加，〃的代數(shù)式表示），并說明理由.

參考答案

L(1)解：???AABC與AEBD為等邊三角形,

??.AB=BC,BE=BD,

???△EBO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,

Z.ABE=Z.CBD,

在△ABE和△48。中

AB=BC

/.ABE=乙CBD

,BE=BD

??.AABE三AABD,

??.AE=CD；

(2)四邊形MEB。為菱形，理由如下：

過點(diǎn)8作BNIDE,垂足為N,

???AEBO為等邊三角形，

匕BED=60。,BD=BE=ED,

BNIDE,

1A/3

???EN=-BE,BN=「BE,

22

???ED的延長線經(jīng)過點(diǎn)C,BC=^7BD,

由勾股定理得，NC=^BE,

15

??.EC=EN+NC=-BE+-BE=3BE,

22

；.DC=EC-ED=2BE,

由(1)得，AE=CD=2BE,

??,M是AE的中點(diǎn)，

i

???EM=-AE=BE,

???Z.EDB=60°,

??.ABDC=120°f

^BEA=^BDC=120°f

???乙BEA+乙EBD=120°+60°=180°,

???EM||BD,

BE=BD=EM,

四邊形MEB。為菱形;

（3）取4B中點(diǎn)F,連接FM,FC,

???△48C為等邊三角形，F(xiàn)為48中點(diǎn),

；.FC=@BC,

2

?；BC="BD,BD=2,

FC=

???M為4E中點(diǎn)，F(xiàn)為力B中點(diǎn)，

???MF為AABE的中位線，

11

MF=-BE=-BD=1,

22

在△MFC中，MC<FM+FC

??.“c最大為g+i.

2.解：（1）如圖，延長ED交AG于H,

E???點(diǎn)。是正方形4BCD兩對(duì)角線的交點(diǎn),

OA=OD,OA10D,

???四邊形OEFG是正方形

OG=OE

在△aOG和△DOE中,

OA=OD

Z.AOG=Z-DOE,

.OG=OE

??.△ZOG"DOE(SAS),

.，.Z-AGO=乙DEO,

???乙AGO+2LGA0=90°,

/.Z.GAO+乙DEO=90°,

???4HE=1800-(NGZ。+乙DEO)=180°-90°=90°,

即。ElAG；

(2)①在旋轉(zhuǎn)過程中，N04G，成為直角有兩種情況：

如圖2,a由0。增大至()90。過程中，

當(dāng)NO4G，=90。時(shí)，

11

OA=OD=-OG=-OG',

22

一,OA1

在Rt△04G，中,="

???乙AGO=30°,

vOALOD,OA1AG',

??.OD||AG',

???4DOG'=NAG'O=30。，即a=30。；

a由90。增大到180。過程中，當(dāng)乙。46，=90。時(shí)，如圖

Gf爐——

同理可求/BOG'=30。，

a=乙DOG'=180°-^BOG,=180°-30°=150°,

綜上所述，當(dāng)NOAG'=90。時(shí),a=30?；?50。；

②如圖，連接。F,

G

???四邊形OEFG是正方形,

ZFOE=45°,OG=GF,AOGF=90°

???正方形ZBCD的邊長為2,

OA——=^\JAB2+BC2-^22+22=也，

OG=2OD=20A=2X隹=2但，

22

則OF=yJOG+GF=J(2值＞+(2回2=4,

???當(dāng)a=360°-ZFOE=360°-45°=315。時(shí)，

/、0、F'在一條直線上，此時(shí)AF的長最大，

最大值為“。+。尸=4+業(yè)，

故答案為：4+也.

3.解：(1)'：^ADE=^ACE=90°fAF=FE,

：.DF=AF=EF=CF,

???乙FAD=4FDA,/.FAC=Z.FCA,

.ZDFE=Z.FDA+Z.FAD=2/-FAD,乙EFC=A.FAC+Z.FCA=2/.FAC,

-CA=CB,^ACB=90°,

."AC=45。，

"DFC=乙EFD+乙EFC=2(^FAD+=90°,

：.DF=FC,DF1FC,

故答案為：—,1:

（2）線段FD與線段FC的關(guān)系不發(fā)生變化.理由如下：

如圖，延長力C到〃使得CM=C4延長ED至iJN,使得DN=DE,連接BN、BM、EM、AN,

延長ME交⑷V于，，交48于O,

-Z-ACB=90°,BC=AC,

?44。=乙48。=45。，

-BCLAM,AC=CM9

.-.BA=BM,

.?ZABC=/MBC=45。，

.?ZABM=9O。，

同理可證BE=BN,乙EBN=9。。

-2LABM=(EBN=90°,

??/NBA=乙EBM,

??.△ABN三△MBE(SAS),

.?.AN=EM,乙BAN=^BME,

-AF=FE,AC=CM,

i

：,CF=-EMfFC||EM,

同理可證FD||AN,

：.FD=FC,

???/8ME+/BOM=90。,2BOM=￡AOH,

."AN+ZG4O”=90。，

"AHO=90°,

.-.AN1MH,FD1FC；

(3)如圖2,連接BE

A

-\BE-BF\<BF<BE+BF,

???如圖3時(shí)取得最大值時(shí)，點(diǎn)E落在48上時(shí),

-AC=BC=272,乙4cB=90。，

：.AB-[AC2+BC2=4,

-BE=2,

-，-AE=4—2=2,

,?,點(diǎn)尸是AE的中點(diǎn)，

：.AF=EF=1,

???BF的最大值=AB—AF=4-1=3；

如圖4中，當(dāng)點(diǎn)E落在48的延長線上時(shí)，8尸的值最小,

：.AE=AB+BE=6,

???點(diǎn)/是4E的中點(diǎn),

.-.AF=EF=3,

??.B尸的最小值=AB-AF=4-3=1,

綜上所述，1WBFW3.

4.(1)解：AGLCE,理由如下，延長力B交CE的延長線于點(diǎn)M,延長4G交CE于點(diǎn)N,

?.ZBC=NGBE=90°,

Z-ABG+Z.GBC=Z.CBE+2GBC,

Z.ABG=乙CBE,

???AB=BC,BG=BE,

三△CBE(SAS),

???Z-BAG=乙BCE,

???乙CBM=90。,

??.ZBCE+ZBMC=9O°,

/.ABAG+乙AMN=90°,

???乙ANM=90°,

(2)解：BF2=2CF2+DF2,理由如下，

四邊形ABC。是正方形，

.?.AB=BC=CD=AD,4BAD=乙ABC=乙BCD=^ADC=90°,

如圖，將。尸繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至D%,連接/%產(chǎn)％,

圖⑨DF=DF1,

???zl+/.ADF=Z.ADF+Z3=90°,

???zl=z3,

.-.△CDF=A^DF^SAS),

■.CF=AF1,FFj=2。產(chǎn)，N4=Z.5,/叫2=ND"=135。,

如圖，將BF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至NF?，連接人尸2尸尸2，

同理可證△CBF=A^BF2(SAS),

2

CF=AF2,Z6=Z7,BF=BF2,FFl=2BF,

???45+N6=90°,

Z4+Z7+/.BAD=180°,

.-.三點(diǎn)共線，

：.F1F2=2CF,

■.■DF=DF1,/.FDFr=90°,

???ZDF1F=45°,

???ZF2F1F=90°,

在RtAFFiFz中，PPi^FiF2+fFr

即2B產(chǎn)=(2CF)2+2DF2,

???BF2=2CF2+DF2；

(3)解：???正方形EFGB繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周，BG=BE,

.??B、E在以8為圓心，2為半徑圓上，如圖所示：

在正方形EFGB繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過程中，BG>BL,

當(dāng)BG=84時(shí)，BL最大,

此時(shí)42最大，sinz2=1,

???42=30°,

AG=^42-22=2內(nèi)，

由（1）可知，AH1CE,

??.Z.AHC=90°,

連接AC,取AC中點(diǎn)M,連接M”，

??.”在以4C為直徑的。M上，

1

vABAC=/BAD=45°,z8=45°-30°=15°,

???AM=MH,

.?.z8=z9=15°,

??.Z10=Z8+Z9=30°,

此時(shí)F、”重合，DH最小,如圖所示：

作“NIC。，交。C的延長線于N,

Z.N=90°,NH||BC,

/.Z.CHN=乙BCE,

由（1）知，LABG=△CBE,

???/BCE=42=30。，CE=AG=2^3,

???乙CHN=30。,CH=CE-EH=273-2,

???CN=-CH=乒1,HN='CN-=pCN=3一業(yè)

2V'tanzCHNvv

DF=^DN2+HN2=J（4+73-l）2+（3-V3）2=2后,

當(dāng)點(diǎn)G在4B左側(cè)時(shí)，如圖所示：

圖③

同理可得42=30。，Z1O=3O°,

點(diǎn)G從4B左側(cè)運(yùn)動(dòng)到右側(cè)，點(diǎn)H在。M上轉(zhuǎn)過的角度為180。-30。-30°=120°,

點(diǎn)G從48右側(cè)運(yùn)動(dòng)到左側(cè)，點(diǎn)H在。M上轉(zhuǎn)過的角度為180。-30。-30°=120°,

正方形4BC0的邊長為4,

FM=CM=2隹，

；?點(diǎn)”的運(yùn)動(dòng)軌跡為12-*2穆x2=電包.

1803

5.(1)證明：??,四邊形4BCD是正方形，

：.AB=BC=CD=AD,乙ABC=乙BCD=A.ADC=乙BAD=90°,

根據(jù)直角三角板的性質(zhì)可得，NM4V=45。，

??z￡MN+/RAM=45。，

???將△ADN繞/點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至△ABE,

.'.2LDAN=^BAE,AN=AEfDN=BE,^BAE+/-BAM=45°=/-MAN,

在△EAM,△NAM中，

AF=AN

^LEAM=NM4M,

AM=AM

△EAMw△NZM（SAS）,

：.ME=MN,

,；BE+BM=ME,

：.BM+DN=MN；

(2)解：BM+MN=DN或DN+MN=BM,理由如下，

第一種情況，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左邊，點(diǎn)N在點(diǎn)C下方，如圖所示,

?.?四邊形ABCD是正方形，

"BAD=90°,

.?.將AABM繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得AADG,連接MG,AN,MG交于點(diǎn)H,

△ABM=△A.DGf

；.BM=DG,AM=AG,￡.MAB=^GAD,NM4G=90。，

根據(jù)等腰直角三角板可得，乙MAN=45°=^MAB+乙BAN,

"BAN+Z.GAD=45°,

"GAN=45°=乙MAN,

???/N平分ZM4G,且AM=AG,

：.AHIMG,且平分MG,即4NUM=4NHG=90。，MH=GH,

在AMHN,△G”N中，

MH=GH

乙MHN=乙GHN,

,HN=HN

??.△M”NwZkG”N(SAS),

；.MN=NG,

?;DG+NG=DN,

??.BM+MN=DN；

第二種情況，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)C右邊，點(diǎn)N在點(diǎn)D上方，如圖所示,

同理，AADN=AABGf

"DAN=/.BAG,

根據(jù)等腰直角三角版可得，匕MAN=CDAN+^DAM=45°,

?44G+/DAM=45。，

.'.Z.GAM=45°=4NAM,

在△AGM,△%可”中，

AG=AN

2GAM=匕NAM,

AM=AM

??.△AGM三△ANM(SAS),

??.MG=MN,

???BG+MG=BM,

；.DN+MN=BM；

,?,四邊形ABC。是正方形，

.-.ZBCD=90°,貝此BCN=90。，

在Rt^CMN中，MN=10,CM=8,

:￡N=yjMN2-CM2=7102-82=6,

由(2)中可得，BM+MN=DN,且CM=BM+8C,BC=CD,

.'.CM-BC+MN=BC+CN,即8—BC+10=BC+6,

解得，BC=6,

???在中，AC=BD=672,且NBAC="CB=45。，

在RtZk/DN中，AD=BC=6,DN=CD+CN=12,

.'.AN—{AD?+DN2=^62+122=6^5,

-ABAP+^BAN=45°,ABAN+^CAN=45°,

：./-BAP=乙CAN,

?.2MBP=乙CBD=45°,

：./-ABP=Z-ABM+乙MBP=90°+45°=135°,乙ACN=4ACB+乙BCN=45°+90°=135°

則=

AABP~〉A(chǔ)CN,

ABAP

??,

ACAN

6.(1)證明：???四邊形/BCD是正方形,

：.Z.DAB=90°,4￡MC=45。，

-OE1OF,OELAD,

.'.^DAB=Z.OEA=乙EOF=90°,

???四邊形ZE。尸是矩形，

vZ.DAC=45°f

：.OE=AE,

.??四邊形AE。尸是正方形；

(2)解：@OE=OF,

證明：???四邊形ABC。是正方形，

：.OA=OB/EAO=AFBO=45°,

-■-z￡0F=zX0B=90o,

：.Z-EOA=乙FOB,

△AEO=△BFO(ASA),

：.OE=OF-

②???四邊形/BCD是正方形，

11

：.AC=BD,AC1BD,OA=OC=-AC,OB=OD=-BD,

，，22

:.0A=0B=0Cf乙4。8=48。。=90。，

：.^OBE=AOAE=45°,4OCF=4OBF=45。,

：.Z-OBE=Z-OCF,

?：0E1OF,

.?ZEOF=90。，

"BOE=ACOF=90。一乙BOF,

??.△BOE=△COF(ASA),

△BOE的面積=△C。/7的面積，

1ii

???四邊形。瓦4尸的面積=△的面積正方形/BCD的面積=-x1=-；

(3)解：如圖，延長MQ至點(diǎn)G,使GQ=MN,連接尸G,

。0M

?.2QPN=/QMN=90。，

.?zPQM+zJV=180。，

???△PQM+NPQG=180。,

"PQG=(N,

???PQ=PN,

△PGQ=△PMN(SAS)，

??.PG=PM,乙GPQ=^MPN,

.?/GPM=乙GPQ+Z.QPM=乙MPN+Z.QPM=90°,

??.△PGM為等腰直角三角形，

?；PM=9,

181

四邊形PQMN的面積=等腰直角三角形PGM的面積5X92=》.

7.(1)解：?.2B4C=90°,AB=AC,

.-,ZXBC=ZXCB=45°,

???將線段CD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,

??.“DE=90。，CD=DE,

-CD=BF,

：.DE=BF,

'.^BAC=90°,ZfDE=90°,

；.DE||BF,

???四邊形BDEF是平行四邊形；

(2)解：由(1)可知四邊形是平行四邊形，過點(diǎn)E作于點(diǎn)”,

???S平行四邊形BDEF=B/7X￡7/，Z.AHE=90°,

-ABAC=90°fZ^DE=90°,

???四邊形ZDE”是矩形，

；,EH=AD,AH=DE,

■:BF—x,

：.BF=DE=CD=x,

-Z.BAC=90°,AB=AC,

??.△ABC是等腰直角三角形，

：.EH=AD=AC-BF=AC—x=AB—x,

???四邊形8DEF的面積是y,

.,.y=x(XB—%),

???點(diǎn)M(l,3)是函函數(shù)圖象上一點(diǎn)，

.-.1x(XB-1)=3,

=4,

故答案為4；

②如圖所示，線段FG即為所求，

???四邊形BDEF是平行四邊形，

.'.EF||BD,BF=DE,EF=BD

...41=^ABD,BF=DE=CD,

?"FG=9O0+N1,

MBDC=+4ABD=90°+z.1

：.Z-BFG=Z-BDC,

又???GF=EF=BD

△BFG=△COB(SAS)

：.BG=BC,^FBG=^C=^ABC=4S°,

??.“BG=90。，

;.BG可以看作BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到的，

二點(diǎn)G是定點(diǎn)；

④過點(diǎn)P作無軸的垂線PS,過點(diǎn)Q作QLIPS于點(diǎn)3

.?ZPLQ=90。，

??.△PLQ是直角三角形，QL||NSf

;.￡P(guān)NS=LPQL,

;?sin乙PNS=sinZ.PQL,

???點(diǎn)P(x,%)在點(diǎn)K左側(cè)的函數(shù)圖像上，點(diǎn)Q(x+3，V2)在點(diǎn)K右側(cè)的函數(shù)圖像上，

：.PL=y1-y2fQL=3,

.PLyi-y

.-.sinzPQL=—=2,

i

???直線PQ與x軸構(gòu)成的銳角的正切值是3,

丫1一丫21

,3二2f

由①可知ZB=4,

.,.y=x(4—%)=4x—x2,

,22

..y1=4x—%,y2=—X—2X+3,

(4x—%2)—(—%2—2%+3)1

??—―，

32

3

解得：x=-

8.(1)解：如圖，

?.?四邊形48CD是正方形，

."DC=45。，ABCD=ABAD=90°,AB=AD,

CD/2

—=cos乙BDC=cos45°=A—,

BD2

?MB繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ZB，,旋轉(zhuǎn)角為a=60。，

.-.AB=AB',NB4B'=60°,

.-.AB=AD=AB',為等邊三角形，^B'AD=ABAD-/LBAB'=90°-60°=30°,

i,、i

；ZAB'B=60°,乙AB'D=-x(180°-NB'AD)=-X(180°-30°)=75°,

"DB'E=180。一44夕5一44"。=180°-60°-75°=45°,

-DELBB\

:.￡.DEB'=90°,

"B'DE=90°-^DBrE=90°-45°=45°=乙DB'E,

??.DE=B'E,

??.△DE9為等腰直角三角形，

DE/2

"BDC=乙B'DE=45°,—=3s乙B'DE=cos45°=A'

DB'2

工乙BDC-乙B'DC=乙B'DE—乙B'DC,即NBDB'=乙CDE,

CD_yl2_DE

'BD~^Z~DB，'

/.△B'DBEDC,

BB'BD上A

?,宣=而=*="，

故答案為：等腰直角三角形；隹；

（2）①兩個(gè)結(jié)論仍然成立,

證明：如圖，連接BD,

?.?四邊形4BCD是正方形，

:.Z.BDC=45°,Z.BCD=^BAD=90°,AB=ADBC=CD,

CD/2

——=cosZ-BDC=cos45°=A—,

BD2

BD亞=旦

「CD-

???AB繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至Z9，旋轉(zhuǎn)角為a,

.\AB=AB',乙BAB'=a,

1/、1a

=-x(180°-z5?lF,)=-x(180°-a)=90°--,AD=AB',4B'AD=4BAB'

—Z-BAD=a—90°,

"AB'D=|x（180。-"4"）=|x（180。一仇+90°）=135°-1,

:/EB，D=（AB'D一（AB'B=135°-|-（90°-|）=45°,

???DEIBB',

"EDB'=90°-^EB/D=90°-45°=45°=乙EB'D,

：.EB'=ED,

??.△DEB是等腰直角三角形,

DE/2

XBDC=KB'DE=45%-=COSZB-DE=cos45°=A%

：/BDC+乙EDC=4B'DE+乙EDC,即NB'DB=乙EDC,

MM

△B'DBEDC,

BB'

CE

（1）中的兩個(gè)結(jié)論不變，依然成立;

B'

②若以點(diǎn)夕，E,C,D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，分兩種情況討論:

第一種：以。）為邊時(shí)，貝UCDIIB'E,

此時(shí)點(diǎn)夕在線段B4的延長線上，如圖所示，

此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)a重合,

.-.BE=CD=B'E,ED1CD,

BE

---=1,

B'E

'：AB=2點(diǎn),

■■.ED——AB=2而，

此時(shí)點(diǎn)E到CD的距離為2強(qiáng)

第二種：當(dāng)以CD為對(duì)角線時(shí)，如圖所示，

???四邊形CB7JE是平行四邊形，

1

,,

：.BF=EF=-BEfDE=BC,點(diǎn)F為CD中點(diǎn)，DE||B'C,

??.BC=CD=2CF,

-DELB

：.^DEB'=90°,

工乙CB'E=LDEB'=9U。，

.?ZBB'C=180o-Z.CB/E=90°,

,.zBCF=90。,

乙BCF=^CB'F=幺BB'C,

?.?乙CBF=^B'BC,乙BFC=^CFB',

MBCF八CB'F八BBC

BCCB'BB'.

CF—B'F—CB'—2,

：.BB'=2CB'=4B'F,

??.BE=BB'+B'E=4B'F+2B'F=6B'F,B'E=2B'F,

BE6B'Fc

——3,

B'E2B'F

過點(diǎn)E作EG1CD于點(diǎn)G,

'：AB=275,

：.CF=-AB=-x26=4,

■■-BF=^BC2+CF2=42狗2+（也2=5,

,魯=siWBB，=*g,

..6=覲：=￡X2m=2,

:,DE=B'C=2,

-DE||B'C,

???乙B'CF=（EDF,

?"BB'+乙BCB'=90°=（B'CF+乙BCB',

???乙CBB'=幺B'CF=LEDF,

EGJ5

???一=sinzEDF=sin乙CBB'=L,

DE5

.-.EG=*DE=延，

55

綜上所述，U的值為1或3,此時(shí)點(diǎn)E到CD的距離為2而或等.

9.（1）解：（1）?.?4E=5,BE=12,zXEB=90°,

AB=yjAE2+BE2—13,

???四邊形ABCD是正方形，

BC=AB=13,乙48c=90°,

AC=MAB=13位,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB'=AB=13,

???CB'=4C—4B'=13隹—13；

（2）解：四邊形AEFE，是正方形，理由如下：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:AE'=AE,NR4?=a=90。，

V/LAE'D=乙AEB=90°,Z.AEF=180°-90°=90°,

???四邊形ZEFE'是矩形，

又AE'=AE,

矩形/EFE是正方形；

(3)解：?.?/E'=5是固定值，點(diǎn)/是定點(diǎn)，點(diǎn)E，是動(dòng)點(diǎn),

.??點(diǎn)匯的軌跡為以人為圓心，5為半徑的圓，如圖：

當(dāng)點(diǎn)C、4、￡依次共線時(shí)，CE'最大，

rr

此時(shí)，CE=AC+AE=13^2+5f

即CE，長度的最大值為13M+5.

10.解：問題情境：結(jié)論：四邊形BCGE為正方形.理由如下:

???乙BED=90°,

ABEG=180°-zBED=90°,

???乙ABE=乙4,

???AC||BE,

???(CGE=^BED=9U。，

vZC=9O°,

???四邊形BCGE為矩形.

△ACB=△DEB,

BC=BE,

矩形BCGE為正方形.

故答案為：正方形：

深入探究：(1)結(jié)論：AM=BE.

理由：-：/.ABE=Z.BAC,

；.AN=BN,

???zC=90°,

'.BCIAN,

vAM1BE,即AMIBN,

i1

S“BN=5，AN,BC=—,BN,AM,

???AN=BN,

/.BC=AM,由(1)得BE=BC,

??.AM=BE；

(2)解：如圖：設(shè)的交點(diǎn)為M,過M作MG18。于G,

D

???△ACB=△DEB,

BE=BC=6,DE—AC=8,Z.A=乙D,乙ABC=Z-DBE,

Z.CBE=Z.DBM,

Z.CBE=Z-BAC,

；.zJ)=Z-BAC,

??.MD=MB,

???MG1BD,

???點(diǎn)G是BD的中點(diǎn)，

由勾股定理得4B=^AC2+BC2=^62+82=10,

1

DG=~BD=5,

DGDE

cosD=—=——,

DMDB

DG-BD5x1025325

ADM=-----=-----=—,即3M=0M=—,

DE844

2515

AM=AB-BM=10一一=—,

44

???AH1DE,BE1DE/AMH=乙BME,

AMHBME,

AHAM3

??BE~BM~5’

3318

AH=-BE=-x6=—.

555

11.解：(l)AElDH,且。//=/瓦理由如下：

?.?正方形48CD和正方形DEFG,

.-.^ADC=90°

:.AE1DH；

設(shè)正方形2BCD的邊長為0,正方形DEFG的邊長為6,

根據(jù)題意，得ZE=AD-DE-a-b；

???》是CG中點(diǎn),

CD+DGa+b

1?CH=------------=---------,

22

a+ba—b1

1.DH=CD—CH=a----==-AE.

222

1

故答案為：DH=-AEfAE1DH.

1

(2)結(jié)論?！倍?瓦/月1?！比匀怀闪?理由如下，

延長CD到點(diǎn)P,使得CD=DP,連接GP,延長“2/E二線交于點(diǎn)。，

???〃是CG中點(diǎn)，

.-.GP||DH,DH=^GP,

.?ZQDP=乙DPG,

???正方形ABC。和正方形DEFG,

.'.^ADP=^EDG=90°f^QDP+^ADQ=90°,AD=DC=PD,ED=GD,

=90。一乙EDP=Z.PDG,

AD=PD

vZ-ADE=Z-PDG

.ED=GD

.?.△4DEwZkP0G(SAS),

;.PG=AE,^DAE=LDPG,

:.DH=/.DAE+4ADQ=90°,

:.DH=^AE,/.AQD=90°,

,,1

故DH=WAE,AE1DH.

（3）如圖，延長co到點(diǎn)。，使得CD=DQ,連接GQ,

根據(jù)三角形中位線定理，得到D”||GQ,D"=；GQ,

???矩形ABCD和矩形DEFG,

：.^ADQ=乙EDG=90°,

???乙4DE=90°-^EDQ=Z.QDG,

ADDE

?CD-DG'

ADDE

''DQ-DG"

ADDQ

''DE-DGf

/.△ADEQDG,

ADDEAEAE

?,QD~DG~QG_2DH9

3

-DE=3,DH=-AEf

DE121

???_----X/___?

DG233

...DG=3DE=9,

取CD的中點(diǎn)O,

連接0”，

???H是CG中點(diǎn)，

19

.-.0H=-DG=-,

根據(jù)圓的定義，判定點(diǎn)8在以點(diǎn)。為圓心，以。口為半徑的圓上,

.?.其周長為2萬。//=9兀.

BA

HX\x

G

12.解：(1)???四邊形/BCD為矩形，48=10,BC=8,

DC=AB=10fAD=BC=8,乙4=90。，

由折疊的性質(zhì)可知：DCr=DC=10,

22

???AC1=^DC^—AD=6,

故答案為：6.

(2)①由